关于一个经典零和不变量的注记 II：推翻一个长期存在的猜想
On a classical zero-sum invariant II: Disproof of a long-standing conjecture
- University of Graz（格拉茨大学）
- Tiangong University（天津工业大学）
- Nankai University（南开大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
AI总结：
本文推翻 Gao 于 2000 年提出的关于零和自由序列不变量 $\nu(G)$ 等于小 Davenport 常数减一的猜想，通过构造反例证明该猜想并非普遍成立。
AI中文摘要：
对于非平凡有限阿贝尔群 $G$，设 $\nu(G)$ 为最小整数 $\ell$，使得长度至少为 $\ell$ 的 $G$ 上每个零和自由序列 $T$ 具有以下性质：$G$ 中所有不作为 $T$ 的子序列和出现的非零元素都位于 $G$ 的某个子群的某个真陪集中。容易验证 $\mathsf d (G)-1 \le \nu (G) \le \mathsf d (G)$，其中 $\mathsf d (G)$ 是 $G$ 的小 Davenport 常数。Gao 在 2000 年提出的一个猜想声称下界处应始终取等号。该猜想此后已被许多群族（包括所有 $p$-群和秩至多为 2 的群）所证实。在本文中，我们推翻了这个猜想。
英文摘要：
For a nontrivial finite abelian group $G$, let $ν(G)$ be the smallest integer $\ell$ such that every zero-sum free sequence $T$ over $G$ of length at least $\ell$ has the following property: all nonzero elements of $G$ that do not occur as a subsequence sum of $T$ lie in a proper coset of some subgroup of $G$. It is easy to check that $\mathsf d (G)-1 \le ν(G) \le \mathsf d (G)$, where $\mathsf d (G)$ is the small Davenport constant of $G$. A conjecture by Gao from the year 2000 stated that equality should always hold at the lower bound. This conjecture has since been confirmed for many families of groups (including all p-groups and groups of rank at most two). In the current note, we disprove the conjecture.
