Relationships and Algorithm in order to achieve the Largest Primes
今天，素数在数论和密码学领域都取得了特殊的地位。我们知道，由于梅森定理的应用而出现的求最大素数的趋势，虽然导致了相关数的巨大发展，但却使求素数的速度从一年降到了五年。本文通过加快对素数的求取速度，得到了比梅森定理更广的定理。从那时起，频繁使用梅森定理的原因是没有人能找到一个有效的公式来访问最大的素数。本文给出了素数的一些关系式，可以定义几个求任意区间内素数的公式，因此，根据这些关系式的灵活性，可以在求大素数的领域中找到一个新的分支，最后给出了求最大素数的一个算法.
2015-04-27 math.NT
Prime-universal diagonal quadratic forms
一个（正定和积分）二次型称为$\textit{prime-universal}$，如果它代表所有的素数。最近，Doyle和Williams在[2]中提出了两种分类方法，分别对所有的素泛对角三元二次型和素泛对角四元二次型进行了分类。在这篇文章中，我们分类所有的素泛对角二次型，而不考虑秩。进一步证明了对角二次型的所谓$67$ -定理是素泛的。
2020-06-26 math.NT
On the largest prime factors of shifted semiprime numbers
Hanoi University of science and technology（河内科技大学）
该研究证明了对于固定整数a和足够大的x，移位半素数乘积的最大大素因子超过x^θ，其中θ为0.5减去一个任意小的正数。
2025-12-10 math.NT
On the largest prime factor of the Mersenne numbers
设P（k）是正整数k的最大素因子。本文证明了级数$\sum_{n\ge 1}\frac{(\log n)^a}{P(2^n-1)}$对任意常数a<1/2都是收敛的，从而给出了C. L. 1977年的斯图尔特
2007-04-10 math.NT
On the largest prime factor of quartic polynomial values: the cyclic and dihedral cases
设$P(X)\in\mathbb{Z}[X]$是具有循环或二面体伽罗瓦群的一元四次不可约多项式.我们证明了存在一个常数$c_P>0$使得对于正比例的整数$n$，$P(n)$有一个素因子$\ge n^{1+c_P}$ .
2022-12-07 math.NT
Statistics of small prime quadratic non-residues
我们证明了$k$ -th最小素数二次非剩余模一个素数的平均值近似于$2k$ -th最小素数。
2022-12-30 math.NT
The asymptotic distribution of the largest prime divisor
我们考虑Dickman函数$Ψ(x,y)$在极限下当$\ln x/\ln y\to \infty $和$\ln \ln x \ln y\to 0$ .渐近值用$x$和$ln y$的迭代长度之比表示。
2008-11-19 math.NT
Bounds on the largest prime factor of a negative discriminant with one class per genus
Gauss证明了任何至少有32个属的负判别式在每个属中至少有两类二元二次型。我们证明了这样的判别式不能有一个特别大的素因子，由一个参数类似的贝克的解决方案高斯的类数一个问题。
2020-11-18 math.NT
On the third largest prime divisor of an odd perfect number
设$N$是一个奇完满数，$a$是它的第三大素除子，$b$是它的第二大素除子，$c$是它的最大素除子.我们讨论的步骤，获得一个非平凡的上界$a$，以及密切相关的问题，提高界限$bc$，和$abc$。特别是，我们证明了两个结果。首先，我们证明了一个新的一般约束的任何素除子因子的奇数完满数，并获得作为一个推论的界限，$$a < 2N^{\frac{1}{6}}.$$第二，我们表明，$$abc < (2N)^{\frac{3}{5}}.$$我们还表明如何在某些情况下，这些界限和相关的不等式可以收紧。将$σ_{m,n}$对定义为素数$p$和$q$对，其中$q|σ(p^m)$和$p|σ(q^n)$。我们的许多结果都围绕着理解$σ_{2,2}$对。我们还证明了结果有关$σ_{m,n}$对其他值的$m$和$n$。
2021-06-26 math.NT
On the largest prime factor of the $k-$Fibonacci numbers
令$P(m)$表示整数$m\geq 2$的最大素因子，并将$P(0)=P(1)=1$。对于整数$k\geq 2$，令$(F_{n}^{(k)})_{n\geq 2-k}$为以$0,...,0,1$（$k$项）开始的$k-$广义斐波那契序列，其后的每一项为$k$前一项之和。在这里，我们表明，如果$n\geq k+2$，那么$P(F_n^{(k)})>c\log\log n$，其中$c>0$是一个有效的可计算常数。此外，我们确定了所有的$k-$斐波那契数$F_n^{(k)}$的最大素因子小于或等于7。
2012-10-15 math.NT
Primes in quadratic fields
本文给出了计算任意二次域的整数环的二次特征标和素理想范数的算法。利用域的二次特征，通过筛法得到了素理想的范数。一个二次域及其整数环可以自然地表示在一个平面上。使用这样的表示，素数-生成环中的主素理想-显示在平面的给定有界区域中。
2010-01-28 math.NT
Primes represented by quadratic polynomials via exceptional characters
本文利用判别式$Δ$估计了一般二次多项式所表示的素数的个数，并假设相应的实特征是例外的。
2020-11-10 math.NT
On the largest prime divisor of $n!+1$
对于整数$m >1$，我们用$P(m)$表示$m$的最大素除子。我们证明了$\limsup_{n \rightarrow +\infty} P(n!+1)/n \geqslant 1+9\log 2>7.238$，改进了Stewart的一个结果.更一般地说，对于任何非零多项式$f(X)$与整数系数，我们表明，$\limsup_{n \rightarrow +\infty} P(n!+f(n))/n \geqslant 1+9\log2$。这改进了Luca和Shparlinski的结果。这些改进来自于对上述工作的额外组合思想。
2021-03-27 math.NT
Some Collatz quadratic prime sequences
我们考虑一些二次变化的递归序列介绍了洛塔尔Collatz在1937年。
2022-03-08 math.NT
A characterization of almost universal ternary quadratic polynomials with odd prime power conductor
一个整二次多项式（具有正定二次部分）称为几乎泛多项式，如果它表示除1/2个正整数以外的所有正整数。本文引入了二次多项式的导体，并给出了几乎泛三元二次多项式具有奇素数幂导体的一个有效刻画。
2014-02-07 math.NT
Primes in Quadratic Progressions on Average
本文建立了二次平均级数中素数的素数分布定理。
2007-01-17 math.NT
Quadratic Frobenius probable prime tests costing two selfridges
通过对大整数平方差计算的初步观察，给出了运行时间约为2个selfridges的确定性二次Frobenius概率素检验。
2017-06-05 math.NT
A note on the normal largest gap between prime factors
令$\{p_j(n)\}_{j=1}^{ω(n)}$表示整数$n$的不同素因子的递增序列。我们提供的细节证明的一项声明Erdibs意味着，对于任何功能$ξ(n)$趋于无穷与$n$，我们有$$f(n):=\max_{1\leqslant j<ω(n)}\log \Big({\log p_{j+1}(n)\over \log p_j(n)}\Big)=\log_3n+O(ξ(n))$$几乎所有的整数$n$。
2019-04-30 math.NT
Bounds for moments of quadratic Dirichlet character sums of prime moduli
本文在广义黎曼假设下，先对模8p的二次Dirichlet L-函数平移矩建立精确上界，再据此证明素数模二次Dirichlet特征和矩的界。
2024-12-26 math.NT
Quadratic polynomials at prime arguments
对于一个固定的二次不可约多项式$f$，在素变元上没有固定的素因子，我们证明了存在无穷多个素数$p$使得$f(p)$至多有4个素因子，改进了Richert要求用5代替4的经典结果.用$P^+(n)$表示$n$的最大素因子，并证明了$P^+(f(p))>p^{0.847}$无穷常存在.
2016-09-01 math.NT
On the Representation of Almost Primes by Sets of Quadratic Forms
研究了r个几乎素数由二次型表示的问题，给出了r个几乎素数的上界。我们的结果扩展了Diamond和Halberlane的工作，他们在其中研究了相应的多项式问题。
2006-07-20 math.NT
Local Densities of Diagonal Integral Ternary Quadratic Forms at Odd Primes
给出了对角积分三元二次型在奇素数处的局部密度公式。使用指数和和二次高斯和来获得这些公式。这些公式（连同2-adic密度和Siegel质量公式）可以用来计算某些三元二次型的表示数。
2020-12-31 math.NT
The quadratic form in 9 prime variables
设$f(x_1,\ldots,x_n)$是具有$n\ge 9$的正则不定积分二次型，$t$是整数.它建立了$f(x_1,\ldots,x_n)=t$有解决方案，在素变量，如果没有当地的障碍。
2014-02-15 math.NT
Binary quadratic forms that represent almost the same primes
Jagy和Kaplansky展示了一个表，其中包含68对正定二元二次型，它们代表相同的奇素数，并证明这个列表在“平凡”对之外是完整的。在本文中，我们找到了表示有限集之外相同素数的所有此类形式对。
2012-04-25 math.NT
On Primes Represented by Quadratic Polynomials
这是一篇关于二次级数中素数的哈代-利特尔伍德猜想的综述文章。我们叙述的历史，并引用一些结果近似这个迄今尚未解决的猜想。
2008-04-24 math.NT
On the largest prime factor of $n^2+1$
我们证明了$n^2+1$的最大素因子是无限经常大于$n^{1.279}$。这改进了de la Bretèche和Drappeau（2019）的结果，他们用$1.2182$代替$1.279.$获得了这个结果。证明中的主要新成分是一个新的II型估计，并通过应用Harman的筛法使用该估计。为了证明II型估计，我们使用的界限Deshouillers和Iwaniec的线性形式的Kloosterman和。我们还证明了在Selberg特征值猜想的条件下，指数$1.279$可以增加到$1.312.$
2020-11-02 math.NT
The Median Largest Prime Factor
令$M(x)$表示区间$[1,x]$中整数的中值最大素因子。我们证明了$$M(x)=x^{\frac{1}{\sqrt{e}}\exp(-\text{li}_{f}(x)/x)}+O_ε(x^{\frac{1}{\sqrt{e}}}e^{-c(\log x)^{3/5-ε}})$$，其中$\text{li}_{f}(x)=\int_{2}^{x}\frac{\{x/t\}}{\log t}dt$。由此，我们得到渐近的$$M(x)=e^{\frac{γ-1}{\sqrt{e}}}x^{\frac{1}{\sqrt{e}}}(1+O(\frac{1}{\log x})),$$，其中$γ$是欧拉-马斯切罗尼常数。这回答了Martin提出的一个问题，改进了Selfridge和Wunderlich的一个结果。
2013-03-12 math.NT
The largest prime factor of an irreducible cubic polynomial
将Heath-Brown关于$n^3+2$存在大于$n^{1+c}$的素因子的结论推广到任意首一不可约三次整系数多项式，并给出依赖于多项式的指数$c_p$。
2026-06-15 math.NT
On the Representation of Primes by Binary Quadratic Forms, and Elliptic Curves
它表明，在一些温和的技术条件下，表示素数的二进制二次型可以计算在多项式复杂度利用Schoof的算法，它计数的数量$\mathbb F_q$ -点的椭圆曲线上的有限域$\mathbb F_q$。此外，描述了一种方法，该方法通过$\mathbb Z$上多项式的整数根从约化二次型计算素数的表示。最后，对判别式的二次型的哪一类表示哪类素数这一尚未解决的一般性问题，也取得了一些进展。
2016-04-22 math.NT
Non-vanishing of central values of quadratic Hecke $L$-functions of prime moduli in the Gaussian field
本文研究了一个二次Hecke $L$ -素数模函数族的中心值的第一和第二软化矩，证明了这个族中超过百分之九的成员在中心值处不为零。
2020-07-26 math.NT
A note on the distribution of prime ideals in real quadratic fields
本文总结了虚二次域素理想分布的研究，并基于相同方法建立了实二次域的类似结果。
2024-01-10 math.NT
An improvement on the largest prime factor of $n^2+1$
Pontificia Universidad Católica de Chile（智利天主教宗座大学）
本研究改进了$n^2+1$最大素因子的增长下界，将此前的$(\nlog_2 n)^2/\nlog_3 n$提升至$(\nlog_2 n)^2/\nlog_4 n$，并证明该下界接近紧时同样适用于$n^2+1$的多个素因子。
2026-09-02 math.NT
Non-vanishing of quadratic twists of modular $L$-functions of prime-related moduli
本文研究了模为$8p$且$p$在奇素数上的模$L$ -函数的二次扭族的中心值.假设广义黎曼假设成立，我们建立了相应的$L$ -值的正比例非零结果。
2022-05-04 math.NT
On Primes in Quadratic Progressions
我们验证了Hardy-Littlewood猜想的素数在二次级数的平均。本文的结果显着改善了作者以前的论文（arXiv：math.NT/0605563）。
2008-04-24 math.NT
Catalan's Equation For Even Primes over Quadratic Fields
本文给出了当其中一个素数$p and q$为偶数时，加泰罗尼亚方程$x^p-y^q=1$对$x,y \in \mathbb{Z}[i]$的所有解.
2015-11-25 math.NT
Large values of quadratic Dirichlet $L$-functions of prime-related moduli
School of Mathematical Sciences, Beihang University（北京航空航天大学数学科学学院）
本文在广义黎曼假设下，应用长谐振子方法，展示了与素数相关模数的二次狄利克雷 $L$-函数族在中心点处的大值。
2026-06-16 math.NT
Almost-Primes Represented by Quadratic Polynomials
在他的论文《二次多项式表示的几乎素数》中，伊万涅茨证明了多项式n^2 + 1无穷多次地具有至多两个素因子（重数）的值。他说：“为了避免技术上的复杂性，我们将把我们的证明限制在多项式n^2 + 1。".在这一论述中，我们遵循Iwaniec的证明，并表明，任何不可约的二次多项式G（n）（满足一些显然必要的假设），G（n）有至多两个素因子的无穷多个值的n。
2019-09-26 math.NT
Mersenne Primes in Real Quadratic Fields
在类数为1的实二次域中研究了梅森素数的概念。给出了计算结果。详细研究了场$Q(\sqrt{2})$，重点是用$x^{2}+7y^{2}$表示梅森素数。还证明了$x$可被8整除，并且$y\equiv \pm3\pmod{8}$推广了F Lemmermeyer的结果，该结果首先在\cite{LS}中使用Artin的互易定律证明。
2012-05-02 math.NT
On prime values of binary quadratic forms with a thin variable
本文推广了Fouvry和Iwaniec关于二次型$x^2 + y^2$的一个输入限制为整数的一个薄子集的素数的结果。我们用任意本原正定二元二次型证明了同样的结果。特别地，对于任何正定二元二次型$F$和二元线性型$G$，存在无穷多个$\ell, m\in\mathbb{Z}$，使得只要没有局部障碍，$F(\ell, m)$和$G(\ell, m)$都是素数。
2018-09-27 math.NT
Large values of quadratic Hecke $L$-functions with prime-related moduli of the Gaussian field
School of Mathematical Sciences, Beihang University（北京航空航天大学数学科学学院）
本文在广义黎曼假设下，利用共振方法证明高斯域中与素数相关模的二次Hecke $L$-函数在中心点可取到任意大的值。
2026-09-22 math.NT
Representing Primes as the Form $x^2+ny^2$ in Some Imaginary Quadratic Fields
本文给出了虚二次域上丢番图方程$p=x^2+ny^2$可解的判别准则，其中$p$是素元.在特殊情况下，标准变得相当简单。
2015-01-09 math.NT
Explicit Result on Equivalence of Rational Quadratic Forms Avoiding Primes
给定$\mathbb{Q}$上一对同亏格的正则二次型和一个有限素数集$P$，我们证明了在$P$中的每一个素数上都是整数的这两个二次型之间有一个有理等价性.这就回答了康威和斯隆在他们的著作《\em Sphere packings，lattices and groups》（Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]，1999年，Springer-Verlag出版社，第290卷，第402页）中提出的一个主要问题。
2020-08-03 math.NT
On the average distribution of primes represented by binary quadratic forms
本文研究了由定积分二元二次型表示的素数的平均素数分布，其平均值在长范围内被取为负的基本判别式。特别地，我们证明了Bennieri-Vinogradov型和Barban-Davenport-Halbernut型的相应结果，尽管其范围比等差数列中素数的原始定理要小：这些结果意味着，对于所有$a>0$，可由判别式$q$的任何给定正定二元二次型表示的最小素数小于$|q|^{7+a}$;此外，对于“大多数”形式到“大多数”判别式，它甚至小于$|q|^{3+a}$。
2013-12-05 math.NT
Quadratic residues and non-residues for infinitely many Piatetski-Shapiro primes
本文证明了$\mathbb{N}^+$的每一个非空有限子集都是一个具有$1\leqslant c\leqslant243/205$的$[n^c]$形式的无穷多个素数的二次剩余集这一命题的一个定量版本。相应地，在合理的假设下，对于二次非剩余的情形，我们也可以得到类似的结果。这些结果推广了S.在某些方面，莱特。
2012-02-05 math.NT
The number of imaginary quadratic fields with prime discriminant and class number up to $H$
本文得到了具有素数判别式的虚二次域的个数的渐近公式，其类数达到$H$，如$H\to \infty$ .在此之前，这样的渐近仅在广义黎曼假设的假设下被Holmin，Jones，Kurlberg，McLeman和Petersen的最近工作所知。
2017-08-25 math.NT
On the largest prime factors of $p-1$ and $p+1$
Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）
本文证明对正比例的素数，$p-1$ 与 $p+1$ 的最大素因子大小关系在两个方向均成立，方法结合对数平衡恒等式与均匀塞尔伯格筛法。
2026-10-02 math.NT
The asymptotic estimation of prime ideals in imaginary quadratic fields and Chebyshev's bias
School of Mathematics, Nanjing University（南京大学数学系）；Morningside Center of Mathematics, Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院晨兴数学中心；中国科学院大学）；University of the Chinese Academy of Sciences
该研究聚焦虚二次域中满足特定条件的素理想的渐近估计，探讨其分布的切比雪夫偏差现象，丰富了代数数论中素理想分布的相关研究。
2026-09-01 math.NT
The mixed second moment of prime quadratic Dirichlet $L$-functions over function fields
该研究在函数域背景下，针对首一不可约多项式对应的二次Dirichlet L-函数的μ阶和ν阶导数，计算出其混合二阶矩的渐近公式，为相关L-函数导数矩的研究提供了结果。
2024-12-02 math.NT
Extreme values of quadratic Dirichlet $L$-functions with prime-related moduli
Soochow University（苏州大学）；Shandong University（山东大学）；Hunan University（湖南大学）；Tongji University（同济大学）
研究具有素数相关模的二次狄利克雷\(L\)函数极值，通过给出新下界推广前人工作并改进近期成果。
2026-07-29 math.NT
On the largest prime factor of integers in short intervals III
International Curriculum Center, The High School Affiliated to Renmin University of China（中国人民大学附属中学国际课程中心）
该研究通过均值定理和筛法分解，证明短区间内存在素因子大于特定阈值的整数，改进了先前关于该问题的记录。
2026-01-01 math.NT
Bounds for moments of quadratic Dirichlet $L$-functions of prime-related moduli
本文研究了模为$8p$的二次Dirichlet $L$ -函数族的中心值的$k$ -阶矩，其中$p$在奇素数上.假设广义黎曼假设的真理，我们建立尖锐的上界和下界的$k$次幂矩的这些$L$ -值的所有真正的$k \geq 0$。
2022-01-21 math.NT
Largest square divisors of shifted primes
该论文证明存在无穷多个素数 $p$，使得对任意非零整数 $a$，$p-a$ 有大于 $p^{1/2+1/700}$ 的平方因子，改进了 Merikoski 的指数，并使用了 Harman 筛法中的强力工具。
2025-10-17 math.NT
Character sums to prime power moduli evaluated at binary quadratic forms
Ramakrishna Mission Vivekananda Educational and Research Institute（罗摩克里希那传教士维韦卡南达教育与研究机构）
研究素数幂模下二元二次型的特征和估计，采用p进分析方法，补充Heath-Brown对平方自由模的估计。
2026-08-27 math.NT
The Mixed Second Moment of Quadratic Dirichlet $L$-functions with Prime Conductors
Swansea University（斯旺西大学）
本文在函数域语境下，针对首一不可约多项式平均的情况，建立了含完备L函数二阶导数的混合二阶矩的渐近公式。
2026-08-27 math.NT
