A generalization on the average ratio of the smallest and largest prime divisor of $n$
Biao Wang
1982年，Erdös和van Lint给出了$n$的最小和最大素除子之比的平均值的估计。在本说明中，我们应用C. H。贾氏方法给出了比率的正整数次幂的平均值的一个估计。
In 1982, Erdös and van Lint showed an estimate for the average of the ratio of the smallest and largest prime divisor of $n$. In this note, we apply C.H. Jia's method to give an estimate for the average of positive integer power of the ratio.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
On Certain Sums Related to the Largest Odd Divisor
本文考虑与“最大奇因子”有关的有限和，利用简单的思想和递推关系，得到了这类和的精确上界和下界.
The asymptotic distribution of the largest prime divisor
我们考虑Dickman函数$Ψ(x,y)$在极限下当$\ln x/\ln y\to \infty $和$\ln \ln x \ln y\to 0$ .渐近值用$x$和$ln y$的迭代长度之比表示。
On the third largest prime divisor of an odd perfect number
设$N$是一个奇完满数，$a$是它的第三大素除子，$b$是它的第二大素除子，$c$是它的最大素除子.我们讨论的步骤，获得一个非平凡的上界$a$，以及密切相关的问题，提高界限$bc$，和$abc$。特别是，我们证明了两个结果。首先，我们证明了一个新的一般约束的任何素除子因子的奇数完满数，并获得作为一个推论的界限，$$a < 2N^{\frac{1}{6}}.$$第二，我们表明，$$abc < (2N)^{\frac{3}{5}}.$$我们还表明如何在某些情况下，这些界限和相关的不等式可以收紧。将$σ_{m,n}$对定义为素数$p$和$q$对，其中$q|σ(p^m)$和$p|σ(q^n)$。我们的许多结果都围绕着理解$σ_{2,2}$对。我们还证明了结果有关$σ_{m,n}$对其他值的$m$和$n$。
On the largest prime divisor of $n!+1$
对于整数$m >1$，我们用$P(m)$表示$m$的最大素除子。我们证明了$\limsup_{n \rightarrow +\infty} P(n!+1)/n \geqslant 1+9\log 2>7.238$，改进了Stewart的一个结果.更一般地说，对于任何非零多项式$f(X)$与整数系数，我们表明，$\limsup_{n \rightarrow +\infty} P(n!+f(n))/n \geqslant 1+9\log2$。这改进了Luca和Shparlinski的结果。这些改进来自于对上述工作的额外组合思想。
Popular values of the largest prime divisor function
我们考虑整数的最大素除子在区间$[2,x]$中的分布，并特别研究了这种分布的模式，即最常出现在这个列表中的素数。除了给这种模式的渐近公式$x$趋于无穷大，我们看看这些素数的集合，对于一些值的$x$，最经常出现的整数的最大素除子的间隔$[2,x]$。我们发现许多素数从来没有这个性质。我们比较了一组“流行的素数”，这些素数在某些时候的模式，其他有趣的子集的素数。最后，我们将开发的技术应用到一个类似的问题，这是在分析的因式分解算法。
Skew plane partitions according to the $m$th largest and $m$th smallest parts
推广了G. E. Andrews和G.可以将分区的第$m$大部分和第$m$小部分映射到斜平面分区的更一般的上下文中。为了做到这一点，我们引入新的对象称为斜平面超分割。
On Bounds for the Smallest and the Largest Eigenvalues of GCD and LCM Matrices
本文研究了定义在$S_n=\{1,2,\ldots,n\}$上的GCD矩阵$(S_n)$和LCM矩阵$[S_n]$的特征值.我们提出的最小和最大的特征值的上界和下界的$(S_n)$和$[S_n]$在特定的算术函数。
Period and index of genus one curves over number fields
曲线的周期是Galois-不变因子类的最小正次数。该指数是有理因子的最小正度。我们构造了给定数域上具有指定周期和指数的亏格为1的曲线的例子。
Maximal height of divisors of $x^{pq^{b}}-1$
多项式$f(x)$的高度是$f(x)$的最大系数的绝对值。设B（n）是$\mathbb{Z}[x]$中多项式除以$x^n-1$的最大高度。本文研究了$x^{pq^b}-1$的因子的最大高度，证明了关于$x^{pq^b}-1$的因子的最大高度的一些定理是成立的.
Largest square divisors of shifted primes
该论文证明存在无穷多个素数 $p$，使得对任意非零整数 $a$，$p-a$ 有大于 $p^{1/2+1/700}$ 的平方因子，改进了 Merikoski 的指数，并使用了 Harman 筛法中的强力工具。
On the largest prime divisor of polynomial and related problem
本文研究多项式值的最大素因子问题，识别出满足整除阶乘性质的多项式，并对三次、可约四次及Chebyshev多项式分别给出最大素因子的上界估计。
Elementary closed-forms for non-trivial divisors
本文提出了若干初等闭式公式，通过固定数量的算术运算为每个合数 $n>1$ 表达非平凡因子，并开发了基于超立方体方法及二次剩余不变量的两族闭式公式，其运算数量恒定且与输入大小无关。
An overpartition analogue of partitions with bounded differences between largest and smallest parts
我们研究了最大和最小部分之间有界差的超划分的生成函数，这类似于Breuer和Kronholm关于整数划分的结果。我们还连接这个问题与超过$q$ -二项式系数介绍了Dousse和Kim。
On the largest strongly connected component of randomly oriented divisor graphs
研究随机定向因数图中最大强连通分量的大小，通过分析因数函数τ(n)的分布，得出其渐近行为。
Iterated logarithm approximations to the distribution of the largest prime divisor
本文研究了小于$x$且其最大素除子小于$y$的整数的个数，记为$ψ(x,y)$ .许多相关文献都是用Dickman函数$ρ(u)$来近似$ψ(x,y)$，其中$u=\ln x/\ln y$。典型的这样的结果是，$$ ψ(x,y)=xρ(u)(1+o(1)) \eqno (1) $$在参数$x$和$y$的某个域中。本文利用$x$和$y$的迭代算法，给出了$ψ(x,y)$的一种不同类型的逼近。本文建立了$$ \ln (\frac ψ{x})=-u [\ln ^{(2)}x-\ln ^{(2)}y+\ln ^{(3)}x-\ln ^{(3)}y+\ln ^{(4)}x-a] \eqno (2) $$，其中$\underbar{a}<a<\bar{a}$对某些常数$\underbar{a}$和$\bar{a}$（用$\ln ^{(k)}x=\ln ...\ln x$表示$k$的重对数）成立.近似（2）在与已知近似（1）有效的域互补的域中成立。（2）的一个结果是Dickman函数的渐近表达式，其形式为$\ln ρ(u)=-u[\ln u+\ln ^{(2)}u](1+o(1))$，改进了这种类型的已知渐近近似。我们利用（2）建立了Bertrand猜想的一个版本，并指出如何使用这种方法来锐化结果。
On the largest square divisor of shifted primes
我们证明了存在无穷多个素数$p$使得$p-1$可被$θ=1/2+1/2000.$的平方$d^2 \geq p^θ$整除。这改进了Matomäki（2009）关于$θ=1/2-\varepsilon$的结果（增加了$d$也是素数的约束），改进了Baier和Zhao（2006）使用$θ=4/9-\varepsilon.$的结果类似于Matomäki的工作，我们应用Harman筛法来检测素数$p \equiv 1 \, (d^2)$。为了打破$θ=1/2$障碍，我们证明了一个新的双线性等分布估计模光滑平方模$d^2$，通过使用类似的论点张（2014）用于获得超过Bjueri-Vinogradov范围的素数关于光滑模的等分布。为了优化论证，我们结合了Polymath项目（2014）的技术改进。由于模是平方，该方法产生完全指数和模平方的素数，估计使用的结果Cochrane和郑（2000年）。
On the smallest simultaneous power nonresidue modulo a prime
设$p$是素数，$p_1,\ldots, p_r$是$p-1$的不同素除子.本文证明了对于满足$c_r\ge e^{-(1+o(1))r} \; (r\to \infty).$的正$c_r$，最小正整数$n$是一个同时的$p_1,\ldots,p_r$ -幂模$p$非剩余，它满足$$ n<p^{1/4 - c_r+o(1)}\quad(p\to\infty) $$
Partitions with fixed differences between largest and smallest parts
我们研究了最大部分和最小部分之间具有差异$t$的$n$的划分的数目$p(n,t)$。我们的主要结果是生成函数$P_t(q) := \sum_{n \ge 1} p(n,t) \, q^n$的显式公式。令人惊讶的是，$P_t(q)$是$t>1$的有理函数;等价地，对于固定的$t>1$，$p(n,t)$是$n$中的拟多项式。我们的结果推广到具有任意数量的指定距离的分区。
Some conjectures on the maximal height of divisors of $x^n-1$
定义B（n）为$\mathbb{Z}[x]$中多项式除以$x^n-1$的最大高度。当$n$具有规定的形式时，我们给出了与B（n）值有关的一些公式.另外，我们证明了$B(p^aq^b)$的一个下界，其中$p,q$是不同的素数.
On the small prime factors of a non-deficient number
令$σ(n)$为$n$的正因子之和。如果为$σ(n) \geq 2n$，则数字为非亏数。本文利用奇非亏数的第二小、第三小和第四小素因子建立了奇非亏数的不同素因子个数的新的下界。我们还得到了奇完满数的更严格的界限。我们还讨论了$σ(n!+1)$、$σ(2^n+1)$和相关序列的行为。
The sum of the reciprocals of the prime divisors of an odd perfect or odd primitive non-deficient number
本文在奇完全数及更弱的奇本原非亏数假设下，证明了素因子倒数之和 T(n) 与乘积 H(n) 关于最小素因子的新上界。
A problem on the largest divisor $d$ of $N$ with $d\leq \sqrt{N}$
针对给定数 N，提出避免因式分解的随机化算法，计算满足条件的除数对 (r,f)，并给出总数公式及比值估计，同时研究 r>N 的情形。
A superpowered Euclidean prime generator
本研究提出一种欧几里得素数生成器的超强变体，证明最小k个素数乘积的n^n次方减1的大于1的最小除数即为第k+1个素数，并探讨了相关同类生成方法。
Finding Prime Numbers as Fixed Points of Sequences
本文描述了一种求特别简单序列的素数作为不动点的方法。一些基本的计算表明，这种方法识别素数的成功率超过99.9%。特别是，奇素数的集合似乎可以作为我们称之为A（1）的序列的不动点得到，A（1）是三角数的最小因子序列，其中因子是序列中尚未出现的正数。
Higher Order Dualities over Global Function Fields and Weighted Möbius Sums over $\mathbb{F}_q{[T]}$
本文在全局函数域中建立了Alladi双射恒等式，扩展了Duan等人2021年的结果至更高阶，研究了受限于素因子子集的加权莫比乌斯和的渐进行为。
Prime ideal divisors of parametric recurrence sequences
本文研究单位根处参数线性递归序列的算术性质，给出了最大素理想因子和主理想生成元范数的有效下界，并证明了S-部分的有效上界。
On the $k$th smallest part of a partition into distinct parts
本文研究无重复部分分拆的第$k$小部分$s_k(π)$，推广了Uchimura关于最小部分与因子数关系的经典定理，并探讨了加权分拆及尾部求和恒等式，获得新的组合与分析结果。
On the largest singular vector of the Redheffer matrix
本文研究Redheffer矩阵$A_n$的最大奇异向量，证明其与第$k$分量为$k$逆因数之和的向量$w$在定量意义上接近，该矩阵行列式性质与黎曼假设相关，奇异向量含素数和因数数量信息。
Unsupported Cyclotomic Divisors in Three-Prime Integer Tilings
本文证明三素数整数平铺中存在无支撑分圆因子，刻画了平方周期情形，并给出最小模数及Apéry集构造。
The Largest Prime Dividing the Maximal Order of an Element of $S_n$
我们定义$g(n)$为对称群的元素在$n$元素上的极大序模。关于$g(n)$的素因子分解的结果允许将$g(n)$的最大素除子的上界减少到$1.328\sqrt{n\log n}$。
On the largest prime factor of quadratic polynomials
本文基于 Grimmelt 和 Merikoski 的近期结果，证明了 $n^2+1$ 的最大素因子无穷多次大于 $x^{1.317}$，并给出了满足 $n \leqslant x$ 且 $n^2+1$ 具有本原因子的整数 $n$ 个数的新上界。
A note on the dimension of the largest simple Hecke submodule
对于$k\ge 2$偶数，令$d_{k,N}$表示$S_{k}(Γ_0(N); \mathbb{Q})^\text{new}$的最大单Hecke子模的维数。我们使用一个简单的分析方法证明了$d_{k,N} \gg_k \log\log N / \log(2p)$与$p$是$N$的最小素数互质.以前，这种性质的界限只知道$N$在某些子集的素数。我们也建立了类似的（有时更强）的结果，$S_{k}(Γ_0(N), χ)$，$k \geq 2$的整数和$χ$任意neutralypus。
A uniform bound on the smallest surjective prime of an elliptic curve
本文研究无复乘椭圆曲线的 $\ell$-进伽罗瓦表示，证明使其满射的最小素数至多为 $7$，并完全分类了最小满射素数恰好为 $7$ 的所有椭圆曲线。
Arithmetic properties of the Ramanujan function
研究了Ramanujan函数$τ(n)$的一些算术性质，如最大素除子$P(τ(n))$和不同素除子因子$τ(n)$的个数$ω(τ(n))$对不同的$n$序列的影响.特别地，我们证明了对于无穷多个$n$，\hbox{$P(τ(n)) \geq (\log n)^{33/31 + o(1)}$}是唯一的，对于每个素数$p$，\begin{equation*} P(τ(p)τ(p^2)τ(p^3)) > (1+o(1))\frac{\log\log p\log\log\log p} {\log\log\log\log p} \end{equation*}是唯一的，并且\hbox{$τ(p)\neq 0$}是唯一的.
Prime-Exponent Transition Geometry and Divisor Barriers Between Consecutive Highly Composite Numbers
该研究探讨连续高合数间素数指数向量的移动问题，通过动态规划、计算机辅助枚举等方法，揭示除数障碍相关性质，发现静态边界失效情况，得到测地线容量等关键结果。
Forbidden subgraphs in divisor graphs and an Erdős divisibility problem
本文研究了除数图中禁止子图的问题，证明了最大无元素相互整除的子集大小为c₂n+o(n)，并给出了此类子集数量的渐进行为。
Dynamics on the number of prime divisors for additive arithmetic semigroups
本文在有限域算术半群中推广了Bergelson和Richter的定理，并探讨了整数最大素因子分布的动态性质。
Analogues of Alladi's formula over global function fields
本文在全局函数域上类比Kural等人关于Alladi公式的成果，证明了素数除数集的自然密度与莫比乌斯函数的极限关系，并应用到Chebotarev密度定理和素多项式定理的类比研究中。
On certain sums involving the largest prime factor over integer sequences
本文研究了整数序列中最大素因子相关的求和问题，推导了两个求和的渐进行为。
Random index of codivisibility
一个整数集合的余整除指数是它的最大子集与一个公共素除子的大小。对于整数的大随机样本，可除性指数近似正态。
Rational numbers in $\times b$-invariant sets
设$b \geq 2$为整数，$S$为不含$b$因子的有限非空素数集.对任意非稠密集$A \subset [0,1)$，若$A \cap \mathbb{Q}$在$\times b$运算下不变，则证明了其分解子只能被$S$中的素数整除的有理数在$A$中的有限性.给出了$A$中有理数的分解子的最大素因子的一个定量结果。
Primitive prime divisors in the forward orbit of a polynomial
本文研究多项式前向轨道序列中 Zsigmondy 集合的最大元素上界，并对两类特殊多项式给出具体上界，同时导出 Krieger 的已知结果。
A polyhedral model of partitions with bounded differences and a bijective proof of a theorem of Andrews, Beck, and Robbins
本文的主要结果是一个双射证明，证明了最大和最小部分之间的差有界的分区的生成函数是一个有理函数。这一结果是类似的密切相关的情况下，分区固定差异之间的最大和最小的部分，最近已研究通过分析方法安德鲁斯，贝克和罗宾斯。我们的方法是几何的：我们模型分区有界的差异，在一个无限的多面体圆锥体联盟的格点。令人惊讶的是，这个无限的联合平铺一个单一的单纯锥。这种构造然后导致可以在纯组合水平上解释的双射。
扫码添加微信好友，提出您的宝贵建议 👇
💡 备注请填写：网站反馈
发表机构由 AI 从论文文本抽取，如发现错误，欢迎反馈修正建议。