Period and index of genus one curves over number fields
Shahed Sharif
曲线的周期是Galois-不变因子类的最小正次数。该指数是有理因子的最小正度。我们构造了给定数域上具有指定周期和指数的亏格为1的曲线的例子。
The period of a curve is the smallest positive degree of Galois-invariant divisor classes. The index is the smallest positive degree of rational divisors. We construct examples of genus one curves with prescribed period and index over certain number fields.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Period and index for higher genus curves
给定域$K$上的曲线$C$，$C/K$的周期是$K$ -有理数除数类的次数的gcd，而指数是$K$ -有理数除数类的次数的gcd。S. Lichtenbaum证明了周期和指数必须满足一定的整除条件。对于给定的容许周期，指数和亏格，我们证明了存在曲线$C$和数域$K$与这些所需的不变量，只要指数是不整除的$4$。
There are genus one curves of every index over every infinite, finitely generated field
弱Mordell-Weil定理成立的希尔伯特域上的每个非平凡阿贝尔簇都允许无穷多个Torsor，其周期为任何不能被特征整除的$n > 1$。用“指数”代替“期间”的相应说法似乎合理，但更具挑战性。我们证明了对于每一个无穷大的非线性生成场$K$，存在一条椭圆曲线$E_{/K}$，它允许无穷多个指标为任意$n > 1$的扭振子.
Index calculus with double large prime variation for curves of small genus with cyclic class group
我们提出了一个指数演算算法与双大素数变化，这使得自己以及严格的分析。利用该算法，证明了对于固定亏格$g \geq 2$，在有限域$\mathbb{F}_q$上的非奇异曲线的0次类群的离散对数问题可以在期望时间$\tilde{O}(q^{2-2/g})$内求解，条件是曲线由有界次数的平面模型给出，且0次类群是循环的.这个结果推广了Gaudry，Jiée，Thériault和作者关于虚Weierstravel方程给出的超椭圆曲线的一个结果.
Genus Periods, Genus Points and Congruent Number Problem
本文基于Tian的一个理想，利用正整数的素因子的Legendre符号，建立了正整数是全等数的一个新的充分条件.我们的准则推广了Heegner，Birch-Stephens，Monsky和Tian的准则，并给出了全等数的正密度的一个列表.我们的方法证明我们的标准是给公式的解析泰特-Shafarevich数在所谓的亏格周期和亏格点。这些公式是由Waldspurger公式和袁章章的广义Gros-Zagier公式导出的。
There are genus one curves of every index over every number field
证明了有理数上的每个指标都存在亏格1曲线，从而肯定地回答了Lang和Tate提出的一个问题.这个证明是“初等的”，因为它不假设任何Shafarevich-Tate群的有限性。另一方面，利用Kolyvagin对Mordell-Weil群和Shafarevich-Tate群均为平凡群的有理椭圆曲线的构造，证明了在任意数域上存在无穷多条具有任意指标的曲线.
Periods on the moduli space of genus 0 curves
这份报告概述了一个组合配方计算基地，其元素是有向多边形，两个上同调空间与multizeta值：顶维德拉姆上同调的模空间属0复杂的尖曲线和顶维德拉姆上同调的某些部分紧化这些模空间。
Moduli of vector bundles on $μ_n$-gerbes over genus 2 curves and the period-index problem
研究通过构造 genus 2 曲线上的向量丛模空间，证明基域上存在周期等于指数的 Brauer 类，并展示 C_1-域上 2- torsion Brauer 类满足周期-指数问题，为该猜想提供新证据。
Genus Fields of Congruence Function Fields
设$k$是有理同余函数域，考虑任意有限可分扩张$K/k$ .如果对$k$中的每个素数在$K$中分歧，我们有至少一个分歧指数不被$K$的特征除，我们找到扩张$K/k$的除常数外的亏格域$\g K$.一般来说，我们描述了一个整体函数域的亏格域。
Cycles of Quadratic Polynomials and Rational Points on a Genus-Two Curve
证明了当$N$足够大时，在周期为$N$的有理周期点的$\bold Q[z]$中不存在二次多项式. Morton用$N=4$证明了不存在，证明了对周期为4的周期点进行分类的亏格$2$代数曲线是$X_1(16)$的双有理曲线，而$X_1(16)$的有理点是预先计算好的.我们证明了没有与$N=5$。这里的相关曲线有亏格~ $14$，但它有亏格~ $2$商，其有理点，我们通过执行一个~ $2$ -下降的雅可比矩阵和应用Chabauty和Coleman的方法的改进计算。我们希望我们的计算将作为一个模型，为其他人谁需要计算超椭圆曲线上的有理点。我们还描述了三种可能的Gal $_{\bold Q}$ -稳定的$5$ -圈，并证明了对于无穷多个$N$，存在Gal $_{\bold Q}$ -稳定的$N$ -圈.进一步，我们证明亏格~ $14$曲线及其商不是模的，从而回答了Morton的一个问题.最后，我们给出了关于$N=6$的部分结果.
Computer search for curves with many points among abelian covers of genus 2 curves
利用类域理论，我们将有限域上的每一条曲线C及其除子类群的每一个子群G联系起来，得到C的非分歧阿贝尔覆盖，其亏格由G的指数决定。通过列出小亏格的曲线的类群，可以得到具有多个点的曲线的例子;我们对基数为5，7，9，11，13和16的域上的亏格2的所有曲线都这样做，为具有多个点的曲线表提供新的条目（www.manYPoints.org）。
Period, index and potential sha
本文提出了O 'Neil周期指数阻塞映射的理论，并导出了全局域上亏格为1的曲线的算法。我们的第一个结果意味着对每一对正整数（P，I），其中P整除I，I整除P^2，存在数域K和K上的亏格为1的曲线C，其周期为P，指数为I.其次，设E是整体域K上的任意椭圆曲线，P > 1是被K的特征线整除的任意整数。我们在K上构造了无限多个亏格为1的曲线C，其周期为P，指数为P^2，雅可比矩阵为E。我们推导出域扩张下Sharevich-Tate群结构的强结果。
Numerical verification of the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture for hyperelliptic curves of higher genus over $\mathbb Q$ up to squares
Flynn，Leprévost，Schaefer，Stein，Stoll和Wetherell等用模方法对32条亏格为2的模超椭圆曲线的Jacobian证明了Birch和Swinnerton-Dyer猜想.在实际周期的计算中，有一点不准确，这可能会给在Néron模型的特殊纤维中具有非约化分量的曲线带来问题。在本文中，我们解释了如何计算的实际周期，以及如何验证已扩展到许多更多的超椭圆曲线，一些亏格3，4和5，而不使用模块的方法。
Isolated Curves for Hyperelliptic Curve Cryptography
引入了孤立亏格两条曲线的概念。由于没有已知的有效算法来显式地构造具有大导体间隙的两个亏格的两条曲线之间的同构，离散对数问题（DLP）不能有效地从孤立曲线转移到大的同构曲线集合。因此，孤立亏格两条曲线可能是更安全的DLP基于超椭圆曲线密码。建立了极大CM阶自同态环的指数的显式表达式，并对三类不同的四次CM域给出了指数为素数或几乎素数的条件.我们还得到了在任意固定的四次CM域上，孤立亏格两条CM曲线的密度和分布的启发式渐近结果。计算结果，这也显示了三个明确的例子，同意与启发式预测的误差在可容忍的范围内。
Hypergeometric Properties of Genus 3 Generalized Legendre Curves
受Manin的一个结果的启发，研究了亏格为3的广义Legendre曲线的Frobenius迹与某些周期积分的关系.我们表明，这两个属性可以计算的“匹配”的经典和有限域超几何函数，这种现象也被观察到在椭圆曲线和许多高维品种。
Periods modulo $p$ of integer sequences associated with division polynomials of genus $2$ curves
研究2阶曲线积分点相关除法多项式整数序列的模p周期性，揭示序列模p周期与积分点在Jacobian变元上阶的关系，扩展Ward关于椭圆曲线除法序列的研究。
Isogenies and the Discrete Logarithm Problem in Jacobians of Genus 3 Hyperelliptic Curves
我们描述了使用显式的同源性来翻译的实例的离散对数问题（DLP）的超椭圆属3曲线的雅可比矩阵的非超椭圆属3曲线，在那里他们是容易受到更快的指数演算攻击。我们提供了显式公式同构的内核同构的$(\ZZ/2\ZZ)^3$（在一个代数闭包的基础领域）的任何超椭圆亏格3曲线的特征不2或3。这些isogenies是合理的，所有超椭圆亏格3曲线定义在一个有限域上的特征$p > 3$。在合理的假设下，我们的构造给出了一个明确和有效的减少的DLP的实例从超椭圆到非超椭圆雅可比约18.57%的超椭圆属3曲线在一个给定的有限域。最后，我们讨论这些想法扩展到更一般的内核的同源。这项工作的浓缩版出现在2008年欧洲议会PT会议的议事录中。
The period-index problem in WC-groups II: abelian varieties
本文研究了阿贝尔簇上主齐性空间的周期与指数之间的关系，所得结果推广了Cassels和Lichtenbaum关于亏格为1的曲线的工作.此外，我们表明，p-挠在Shafarevich-Tate群的一个固定的阿贝尔簇在数域k增长任意大时，被认为是在域扩张l/k的有界度。基本上使用的是奥尼尔周期指数阻塞的阿贝尔簇。
Determining the rational points on a curve of genus 2 and Mordell-Weil rank 1
本文给出在 Mordell–Weil 秩为 1 时，利用 Jacobi 簇上有限指数生成点高效计算亏格 2 曲线全部有理点的方法。
Closed geodesics in homology classes modulo sublattices
研究Weil-Petersson随机双曲曲面中同调类模素指数格的本原闭测地线分布，计算加权计数函数中心矩、分析方差渐近行为，结果类同算术级数素数分布现象。
Arithmetic genus inequalities with an application to sums of squares
该研究证明了算术曲线特殊纤维分量的亏格不等式变体，将其应用于n重迭代实劳朗级数域上亏格为g的曲线，得到了全正二平方和指数的两个新的界，其中一个界此前仅对超椭圆曲线已知。
Composite Genus One Belyi Maps
基于理论物理对显亏格为1的Belyi映射的需求，本文给出了显亏格为1的Belyi映射的一种有效计算方法：（1）将亏格为0的Belyi映射与较简单的（单变量）亏格为0的椭圆曲线到黎曼球面的覆盖映射合成，以及（2）将亏格为0的Belyi映射与椭圆曲线之间的同构合成.这在双周期平面上给出了许多新的显式描述，其中包括在物理学文献中已经实现的几个，即在规范理论的背景下所谓的brane-tilings。
Relative Brauer groups of genus 1 curves
在本文中，我们开发的技术，计算相对布劳尔组的曲线，特别关注的情况下，属是1。我们使用这些技术表明，相对布劳尔组可能是无限的（某些基域），以及明确确定这个组的某些曲线定义的有理数。为了连接到以前的描述相对布劳尔群在文献中，我们描述了一个家庭的亏格1曲线，我们称之为“循环型”的相对布劳尔群可以被证明有一个特别好的描述。为了做到这一点，我们讨论了一些公式的配对之间的点之间的椭圆曲线和它的Weil-Chatêlet群到布劳尔群的基域，并提请连接到周期指数问题的亏格1曲线。
Splitting Brauer classes using the universal Albanese
证明了域上的每个Brauer类在一个阿贝尔簇下的torsor上分裂.如果指数的类是不全等2模4，我们表明，Albanese品种的任何平滑曲线的正亏格分裂类也分裂类，并存在许多这样的曲线分裂类。我们表明，这可能是假的，当指数是全等的2模4，但添加一个单一的属1因子的阿尔巴尼亚足以分裂类。
Gauss-Manin connection in disguise: Quasi Jacobi forms of index zero
本文考虑了具有两个标志点的阿贝尔簇的模空间及其混合Hodge结构，在这两个标志点上有一个相对de Rham上同调框架.这样的模空间给出了一个自然的代数几何框架的高亏格拟Jacobi形式的指标为零，其微分方程，这是给定的向量场。在椭圆曲线的情况下，我们明确计算Gauss-Manin联络和这样的向量场。
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