On the probability distribution of the gcd and lcm of $r$-tuples of integers
本文研究了正整数随机样本的最大公因数和最小公倍数的统计性质。
2013-05-02 math.NT math.PR
Extremal Problems for GCDs and LCMs in Higher Dimensions
School of Mathematics, Shandong University（山东大学数学学院）；Département de mathématiques et de statistique, Université de Montréal（蒙特利尔大学数学与统计系）
本文研究高维整数元组在大GCD和小LCM条件下的极值问题，推导出GCD和LCM问题的最优上界，并证明这些界在ε损失下是最佳的。
2026-04-22 math.NT
Factorization of power GCD matrices and power LCM matrices on certain gcd-closed sets
对于整数$x$和$y$，$(x, y)$和$[x, y]$分别代表$x$和$y$的最大公约数和最小公倍数。用$|T|$表示有限集合$T$的元素个数。令$a,b$和$n$是正整数，并且令$S=\{x_1, \cdots, x_n\}$是$n$不同正整数的集合。我们用$(S^a)$表示（分别）。$(x_i,x_j)$的$a$次幂的$n\times n$矩阵（分别为$[x_i,x_j]$）作为其$(i,j)$ -条目。对于任何$x\in S$，定义$G_{S}(x):=\{d\in S: d<x, d|x \ {\rm and} \ (d|y|x, y\in S) \Rightarrow y\in \{d,x\}\}$。本文证明了如果$a|b$和$S$是gcd闭的（即$(x_i, x_j)\in S$对所有整数$i$和$j$都有$1\le i, j\le n$）且$\max_{x\in S}\{|G_S (x)|\}=3$使得任意元素$y_1,y_2\in G_S(x)$满足$[y_1,y_2]=x$和$(y_1,y_2)\in G_S(y_1)\cap G_S(y_2)$），则$(S^a)|(S^b)$，$(S^a)|[S^b]$和$[S^a]|[S^b]$在环$M_{n}({\mathbb Z})$中成立.这推广了2022年得到的Chen-Hong-Zhao定理。这也部分地证实了Ho…
2025-10-07 math.NT
On generalized eigenvalues of MAX matrices to MIN matrices and of LCM matrices to GCD matrices
Tampere University（坦佩雷大学）；Lulea University of Technology（吕勒奥理工大学）
本文研究了MAX矩阵到MIN矩阵以及LCM矩阵到GCD矩阵的广义特征值问题，证明了相关定理并提出新的猜想。
2026-01-23 math.NT math.SP
Gcd-closed sets and divisibility among power GCD matrices and power LCM matrices
Hubei Minzu University（湖北民族大学）
本文证明了Hong猜想，即在满足特定条件的gcd闭集上，幂GCD矩阵和幂LCM矩阵在a|b时能被幂GCD矩阵整除。
2026-08-19 math.NT
Circulant graphs and GCD and LCM of Subsets
给定两个整数集合$A$和$B$，我们考虑寻找一个集合$S \subseteq A$的最小可能基数，使得$S \cup B$的元素的最大公约数等于$A \cup B$的元素的最大公约数. $B = \emptyset$和$\#B = 1$的特殊情况是特别有趣的，并且与图论有一些联系。我们还考虑了元素的最小公倍数的相应问题。我们通过将这些问题与最小覆盖问题联系起来，建立了这些问题的NP完全性和近似结果。
2014-02-21 cs.CC math.NT
Additive arithmetic functions meet the inclusion-exclusion principle: Asymptotic formulas concerning the GCD and LCM of several integers
我们得到了包含整数$n_1,\ldots,n_k$的gcd和lcm的和$\sum_{n_1,\ldots,n_k\le x} f((n_1,\ldots,n_k))$和$ \sum_{n_1,\ldots,n_k\le x} f([n_1,\ldots,n_k])$的渐近公式，其中$f$属于某些加性算术函数类.特别地，我们考虑了由Duncan（1962）和Hassani（2018）研究的广义Ω函数$Ω_{\ell}(n)= \sum_{p^ν\mid\mid n} ν^{\ell}$，以及由Alladi和Erds（1977）研究的函数$A(n)=\sum_{p^ν\mid\mid n} νp$、$A^*(n)= \sum_{p \mid n} p$、$B(n)=A(n)-A^*(n)$。作为一个关键的辅助结果，我们使用一个包含-排除型恒等式。
2022-05-28 math.CO math.NT
Hyperbolic summation for functions of the GCD and LCM of several integers
本文研究了多个整数最大公约数与最小公倍数函数在双曲区域上的求和问题，推导了带有余项的渐近公式，并推广了作者先前在二元情形下的结果。
2023-09-07 math.NT
Asymptotics of arithmetic functions of GCD and LCM of random integers in hyperbolic regions
证明了随机整数的最大公因数和最小公倍数的极限定理。虽然整数均匀分布在一个超立方体的大小不断增长的情况下是经典的，我们看看均匀分布在子水平集的多元对称多项式，我们称之为双曲区域。沿着我们的主要结果，我们得到了一些渐近估计的整数点的数量在这些双曲型区域，当它们的大小趋于无穷大。
2022-04-19 math.NT math.PR
Divisibility among power GCD and power LCM matrices on certain gcd-closed sets
本文研究gcd闭集上幂GCD与幂LCM矩阵的整除性，证明满足特定条件时三类整除关系成立，还找到不满足该条件仍成立的集合，推广了已有定理并部分证实相关猜想。
2025-10-06 math.NT
Gcd-closed sets and divisibility among power LCM matrices
Hubei Minzu University（湖北民族大学）
研究gcd-封闭集S上幂LCM矩阵之间的整除性，证明当S满足条件G时，若a|b则[S^a]整除[S^b]，证实了Hong的猜想。
2026-08-19 math.NT
Estimates for $k$-dimensional spherical summations of arithmetic functions of the GCD and LCM
研究了$k$维球面区域内涉及整数GCD和LCM算术函数的求和问题，推导了带余项的渐近公式。
2024-01-03 math.CO math.NT
Some further applications of a lattice theoretic method in the study of singular LCM matrices
1876年H. J. S. Smith定义LCM矩阵如下：令S ={x_1，x_2，.，x_n}是一组正整数。LCM矩阵[S]是n $\times$ n矩阵，其中lcm（x_i，x_j）作为其ij条目。在过去的30年中，LCM矩阵的奇异性引起了许多作者的兴趣。在1992年Bourque和Ligh最终证明了如果集合S的GCD闭性（这意味着gcd（x_i，x_j）$\in$ S对于所有i，j $\in$ {1，2，. . .，n}），足以保证矩阵[S]的可逆性。然而，几年后，这个猜想被证明是错误的，首先是Haukkanen等人，然后是Hong。事实证明，该猜想只在至多7个元素的GCD闭集上成立，而在更大的集合上则不成立。然而，给出的反例并没有给出很多关于为什么这个猜想在n = 8的情况下完全失败的见解。这种情况后来在几篇文章中得到了改进，其中引入了一种新的格理论方法（该方法基于这样的事实，因为集合S被假设为GCD闭，所以结构（S，|）实际上形成交半格）。例如，已经证明，在集合S具有8个元素并且矩阵[S]是奇异的情况下，对于（S，|），即立方体结构。由于在各种文章中已经彻底研究了n = 8的情况，下一个自然的步骤是将方法应用于n = 9的情况。这是由Altinisik和Altintaa完成的，因为他们考虑了（S，|），其具有九个元素，可以导致奇异LCM矩阵[S]。然而，他们的调查留下了两…
2022-12-15 math.CO math.NT
Studying the inertias of LCM matrices and revisiting the Bourque-Ligh conjecture
设$S=\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}$是有限的不同正整数集。在本文中，我们假设集合$S$是GCD闭的。集合$S$的LCM矩阵$[S]$被定义为具有$\mathrm{lcm}(x_i,x_j)$作为其$ij$元素的$n\times n$矩阵。著名的Bourque-Ligh猜想曾经指出，GCD闭集$S$的LCM矩阵总是可逆的，但目前众所周知的事实是，任何非平凡的LCM矩阵都是不确定的，在适当的情况下，它甚至可以是奇异的（即使假设$S$是GCD闭的）。然而，没有更多的是知道的一般LCM矩阵的惯性。本文的最终目的就是要改善这种状况。假设$S$是交闭集，我们定义了一个全新的格论概念：如果集合$\mathrm{meetcl}(C_S(x_i))\setminus C_S(x_i)$可以表示为两个不相交链的并，则元素$x_i\in S$在$S$中生成一个双链集（这里集合$C_S(x_i)$由集合$S$的被$x_i$覆盖的所有元素组成，并且$\mathrm{meetcl}(C_S(x_i))$是包含集合$S$的最小交闭子集$C_S(x_i)$）。然后，我们继续研究莫比乌斯函数在每个元素生成双链集的集合上的值，并使用莫比乌斯函数的性质来解释为什么布尔奎-光猜想在许多情况下成立，而在某些非常特殊的情况下失败。之后，我们将注意力转向惯性，并看到在某些情况下，可以通过单独查看$(S,|)$…
2019-10-15 math.CO math.NT
Nontrivial lower bounds for the least common multiple of some finite sequences of integers
本文提出了一种方法，它可以导出某些有限序列的最小公倍数的非平凡下界。我们得到有效的下界（这在某种程度上是最优的）的算术级数和下界效率较低（但非平凡）的二次序列的形式$u_n = a n (n + t) + b$与$(a, t, b) \in {\mathbb{Z}}^3, a \geq 5, t \geq 0, \rm{gcd}(a, b) = 1$的一般条款。由此，我们推导出例如下限：$\mathrm{lcm}\{1^2 + 1, 2^2 + 1, ..., n^2 + 1\} \geq 0,32 (1,442)^n$（对于所有$n \geq 1$）。在本文的最后一部分，我们研究了整数$\mathrm{lcm}(n, n + 1, ..., n + k)$ $(k \in \mathbb{N}, n \in {\mathbb{N}}^*)$。我们表明，它有一个除数$d_{n, k}$简单的依赖于PDMATHAMT和$k$，和一个多PDMATHAMV也简单的依赖于PDMATHAMT。此外，我们证明了两个等式：$\mathrm{lcm}(n, n + 1, ..., n + k) = d_{n, k}$和$\mathrm{lcm}(n, n + 1, ..., n + k) = m_{n, k}$持有无限多对$(n, k)$。
2008-03-03 math.NT
The least common multiple of consecutive arithmetic progression terms
令$k\ge 0,a\ge 1$和$b\ge 0$为整数。通过$g_{k,a,b}(n):=\frac{(b+na)(b+(n+1)a)...(b+(n+k)a)} {{\rm lcm}(b+na,b+(n+1)a,...,b+(n+k)a)}.$设$a=1$和$b=0$为任意正整数$n$定义算术函数$g_{k,a,b}$，则$g_{k,a,b}$成为Farhi以前介绍的算术函数. Farhi证明了$g_{k,1,0}$是周期的，$k!$也是周期的。Hong和Yang将Farhi的周期$k!$改进为${\rm lcm}(1,2,...,k)$，并证明了$\frac{{\rm lcm}(1,2,...,k,k+1)}{k+1}$可整除$g_{k,1,0}$的最小周期。最近，Farhi和Kane证明了这个猜想，并确定了$g_{k,1,0}$的最小周期。对于一般整数$a\ge 1$和$b\ge 0$，很自然地会问一个有趣的问题：$g_{k,a,b}$是周期性的吗？如果是，那么$g_{k,a,b}$的最小周期是多少？我们首先证明了算术函数$g_{k,a,b}$是周期的。随后，我们提供了详细的$p$ -进分析的周期函数$g_{k,a,b}$。最后，我们确定了$g_{k,a,b}$的最小周期。我们的结果将Farhi-Kane定理从正整数集推广到一般的算术级数。
2010-02-18 math.NT
On the eigenvalues of combined meet and join matrices
在这篇文章中，我们给出了一个矩阵的特征值的界，它可以被看作是交和连接矩阵的一个普通推广，因此也是GCD和LCM矩阵的一个推广。虽然关于这种所谓的组合交并矩阵的分解、行列式和逆已有一些结果，但关于这种矩阵的特征值还没有研究过。最后，我们还给出了一个常数$c_n$的非平凡下界，这是实际计算上述特征值界所需要的。到目前为止，在文献中还没有找到这样的下界。
2015-11-05 math.NT
On Menon-Sury's identity with several Dirichlet characters
梅农-苏里恒等式如下：\begin{equation*} \sum_{\substack{1 \leq a, b_1, b_2, \ldots, b_r \leq n\\\mathrm{gcd}(a,n)=1}} \mathrm{gcd}(a-1,b_1, b_2, \ldots, b_r,n)=φ(n) σ_r(n), \end{equation*}其中$φ$是欧拉函数，而$σ_r(n)=\sum_{d\mid n}{d^r}$是欧拉函数。最近，Li，Hu和Kim \cite{L-K}将上述恒等式推广到具有Dirichlet特征标的多变量情形，即，他们证明了\begin{equation*} \sum_{\substack{a\in\Bbb Z_n^\ast \\ b_1, \ldots, b_r\in\Bbb Z_n}} \mathrm{gcd}(a-1,b_1, b_2, \ldots, b_r,n)χ(a)=φ(n)σ_r{\left(\frac{n}{d}\right)}, \end{equation*}，其中$χ$是模$n$的Dirichlet特征标，$d$是$χ$的导体。在本文中，我们显式计算和\begin{equation*}\sum_{\substack{a_1, \ldots, a_s\in\Bbb Z_n^\ast \\ b_1, ..., b_r\in\Bb…
2018-07-25 math.NT
A lattice-theoretic approach to the Bourque-Ligh conjecture
Bourque-Ligh猜想指出，如果$S=\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}$是具有不同元素的正整数的gcd-闭集，则LCM矩阵$[S]=[\hbox{lcm}(x_i,x_j)]$是可逆的。众所周知，这个猜想对$n\leq7$成立，但对$n\geq8$一般不成立。在本文中，我们提供了一个格理论解释这个解决方案的Bourque-Ligh猜想。事实上，令$(P,\leq)=(P,\land,\lor)$为格，令$S=\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}$为$P$的子集，令$f:P\to{\mathbb C}$为函数。我们研究了在什么条件下$S$上关于$f$的连接矩阵$[S]_f=[f(x_i\lor x_j)]$在交闭集$S$上可逆（即，$x_i,x_j\in S\Rightarrow x_i\land x_j\in S)$。
2014-03-21 math.CO math.NT
Telescopic Structure of Numerical Semigroups Generated by Unsigned Stirling Numbers of the First Kind
Institute of Science Tokyo（东京科学大学）；Jeju National University（济州国立大学）
本文研究由第一类无符号斯特林数生成的数值半群，通过gcd滤链和因子支撑性质证明其约化生成序列为望远镜结构，从而得到Apéry集矩形、显式Frobenius公式及自由对称性。
2026-10-05 math.NT
Generalized eigenvalue problems for meet and join matrices on semilattices
研究了半格上交并矩阵关于关联函数的广义本征值问题。在非常一般的假设下，给出了交矩阵关于联矩阵的广义本征值的新的界。所应用的方法是灵活的，它是在GCD和LCM矩阵的情况下，甚至更清晰的界限，可以通过应用已知的属性的除数格。这些结果也可以很容易地修改为联矩阵关于交矩阵的特征值的对偶问题，我们也简要地考虑了。我们调查的有效性所获得的界限选择的例子，涉及数论格。
2017-06-13 math.CO math.NT
On the positive definiteness and eigenvalues of meet and join matrices
本文用一种新的方法研究了交与联矩阵的正定性。当集合$S_n$满足闭时，给出了矩阵$(S_n)_f$正定的一个充必要条件.作为推论，我们从这个条件得到了正定性的一些充分条件。我们还使用图论，并表明，通过一些图论的假设上设置$S_n$，我们能够减少对功能$f$的假设，同时仍然保持矩阵的正定性$(S_n)_f$。并给出了这些结果在连接矩阵上的对偶定理。作为例子，我们考虑所谓的功率GCD和功率LCM矩阵以及MIN和MAX矩阵。最后，当函数$f$具有某种单调性时，给出了交并矩阵特征值的界。
2012-09-19 math.CO math.NT
An Upper Bound for the Moments of a G.C.D. related to Lucas Sequences
设$(u_n)_{n \geq 0}$是一个非退化的Lucas序列，由关系式$u_n=a_1 u_{n-1}+a_2 u_{n-2}$给出。令$\ell_u(m)=lcm(m, z_u(m))$，对于$(m,a_2)=1$，其中$z_u(m)$是$u_n$中$m$的出现等级。我们证明了当$x$在$\varepsilon$方面足够大时，以及$o(1)$依赖于$u$时，$$\sum_{\substack{m>x\\ (m,a_2)=1}}\frac{1}{\ell_u(m)}\leq \exp(-(1/\sqrt{6}-\varepsilon+o(1))\sqrt{(\log x)(\log \log x)}),$$。此外，如果$g_u(n)=\gcd(n,u_n)$，我们将表明，对于每个$k\geq 1$，当$x$足够大时，$$\sum_{n\leq x}g_u(n)^{k}\leq x^{k+1}\exp(-(1+o(1))\sqrt{(\log x)(\log \log x)}),$$，并且$o(1)$取决于$u$和$k$。这部分地回答了C.桑娜作为一个副产品，我们推导出$#\{n\leq x: (n, u_n)>y\}$的界限，至少在一定范围内的$y$，这加强了已经获得的桑纳。最后，我们开始研究$\ell_u(m)$的乘法类似物，发现有趣的结果。
2019-01-07 math.NT
