Diophantine problems related to cyclic cubic and quartic fields
我们对求解有理系数多项式$f, g$中的同余式$f^3+g^3+1\equiv 0\pmod{fg}$和$f^4-4g^2+4\equiv 0\pmod{fg}$感兴趣。此外，我们提出的计算结果的所有整数点的某些一个参数曲线的亏格1和3，有关的三次和四次域，分别。
2021-06-28 math.NT
On Hilbert genus fields of imaginary cyclic quartic fields
设$p$是素数，使得$p=2$或$p\equiv 1\pmod 4$。令$\varepsilon_p$表示$\mathbb{Q}(\sqrt{p})$的基本单位，并且令$a$是正的无平方整数。本文的主要目的是明确地确定形式为$\mathbb{Q}(\sqrt{-a\varepsilon_p\sqrt{p}})$的虚循环四次域的Hilbert亏格域。
2021-05-18 math.NT
The construction of the Hilbert genus fields of real cyclic quartic fields
设$p$是素数，使得$p=2$或$p\equiv 1\pmod 4$。令$\varepsilon_p$表示$\mathbb{Q}(\sqrt{p})$的基本单位，并且令$a$是正的无平方整数。本文构造了实循环四次域$\mathbb{Q}(\sqrt{a\varepsilon_p\sqrt{p}})$的Hilbert亏格域.
2021-05-24 math.NT
An infinite family of pairs of distinct quartic Galois CM-fields with the same discriminant and regulator
Gakushuin University（学习院大学）；Meijo University（名城大学）
本文构造了无限多个具有相同判别式和调节数的虚二元四次域和虚循环四次域的配对，并给出了具有相同判别式、调节数和类数的示例。
2026-01-12 math.NT
Ranks of elliptic curves over cyclic cubic, quartic, and sextic extensions
对于给定的群$G$和定义在数域$K$上的椭圆曲线$E$，本文讨论了寻找$K$的$G$ -扩张，使$E$在其上获得秩的问题.我证明了下面的定理，扩展了Fearnley，Kisilevsky和Kuwata的结果：设$n = 3,4,$或$6$。如果$K$包含其$n^{th}$ -单位根，则对于$K$上的任何椭圆曲线$E$，存在无穷多个$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ -$K$的扩展，其中$E$获得秩。
2014-01-31 math.NT
Monogenic Cyclic Quartic Trinomials
本文证明了恰好存在三个形如 $x^4+bx^2+d$ 且 Galois 群为四阶循环群的单生成三项式。
2024-04-27 math.NT
Binary quartic forms with bounded invariants and small Galois groups
本文研究了伽罗瓦群同构于八阶二面体群的一个子群的整数和不可约二元四次型。我们首先表明，所有这些形式的集合是一个联盟的家庭索引的整数二进制二次型$f(x,y)$的非零判别式。然后，我们将列举与固定的$f(x,y)$相关联的所有这些形式的$\operatorname{GL}_2(\mathbb{Z})$等价类。
2018-11-10 math.NT
Euclidean algorithm in Galois Quartic Fields
证明了类数为$1$的虚四次域和循环四次域都是欧氏域。
2021-08-18 math.NT
5-Class towers of cyclic quartic fields arising from quintic reflection
设zeta 5是一个本原五次单位单位根，d<>1是一个不能被5整除的二次基本判别式。对于5-对偶循环四次域M=Q（（zeta 5-zeta 5 ^-1）*d^1/2），研究了M的第二个Hilbert 5类域M（5，2）的伽罗瓦群G（5，2）M=Gal（M（5，2）/M）同构型的可能性，当5-类群Cl_5（M）是秩为2的初等双环时。通常，M的最大非分歧pro-5-扩张M（5，无穷大）已经与M（5，2）重合.当G（5，2）M的阶数小于或等于5^5时，确定了M的5级塔的精确长度ell 5（M）.理论结果得到了所有83个，分别为93个，在0<d<10^4，分别为-2 10 ^5 <d<0的情况下的实际计算的支持。
2019-09-08 math.NT
On the tame kernels of imaginary cyclic quartic fields with class number one
Tate首先提出了一种确定$F,$的驯服核$K_2\mathcal{O}_F,$的方法，并对一些特殊的小判别式二次域给出了具体的计算.在此基础上，给出了判别式较大的二次域的许多例子，并对判别式不大的三次域和一些特殊的四次域做了类似的工作。本文研究了更一般的虚循环四次域$F=\mathbb{Q}\Big(\sqrt{-(D+B\sqrt{D})}\Big)$具有类数1和大判别式的情形。其关键问题是如何将计算过程中出现的巨大理论界减小到一个可管理的范围内，而其主要难点是如何处理计算过程中出现的大规模数据。为了解决这一问题，我们建立了一个通用的计算体系结构，特别是：（1）在C++代码中调用PARI的函数;（2）在C++代码中采用并行程序设计方法;（3）在算法和代码的设计中，采用面向对象的观点，从而获得了可扩展的程序。作为程序的一个应用，我们证明了$K_2\mathcal{O}_F$在以下三种情况下是平凡的：$B=1,D=2$或$B=2, D=13$或$B=2, D=29.$在最后一种情况下，$F$的判别式是24389，因此，我们可以说，我们的架构也适用于判别式小于25000的数域的驯服核的计算。
2018-11-14 math.NT
Generalized Artin pattern of heterogeneous multiplets of dihedral fields and proof of Scholz's conjecture
本文将基域K的具有p类转移同态$T_{K,N_i}:\,\mathrm{Cl}_p(K)\to\mathrm{Cl}_p(N_i)$的非分歧循环素数度扩张的齐次多重集$(N_1,\ldots,N_m)$的Artin转移模式$((\ker(T_{K,N_i}))_i,(\mathrm{Cl}_p(N_i))_i)$的概念推广到分歧扩张的异质多重集.应用于具有奇素数p的2 p次二面体N的二次子域K，计算验证了Scholz关于导子f>1的分歧扩张N/K的子域单位指数$(U_N:U_0)$的猜想.
2019-04-12 math.NT
HT90 and "simplest" number fields
标准公式（1）导致HT 90的证明，但是需要证明$θ$的存在，使得$α\ne 0$，使得$β=α/σ(α)$。相反，我们强加条件（M），即取$θ=1$得到$α=0$。利用$n=3$，我们恢复了Shanks最简单的三次场。“最简单”的3至6度数域、华盛顿的循环四次域和$\Q(\cos(π/4m))$的某类全实循环扩张都有定义多项式，其零点满足\eqref{e:M}。进一步研究$n=4$的（M），得到了具有“一般”伽罗瓦群$_{8}T_{11}$的二参数八次多项式族的初等代数构造.强加一个额外的代数条件，这些octics产生一个新的家庭循环四次扩张。这个族包括“最简单的”四次域和华盛顿的循环四次域作为特例。当参数为数域中的代数整数时，我们得到了更详细的结果。特别是，我们确定了一些特殊的单位，包括例外序列的3个单位，并给出了他们的一些性质。
2012-07-25 math.NT
Calculating power integral bases in some quartic fields corresponding to monogenic families of polynomials
本研究针对J. Harrington、L. Jones及P. Voutier提出的单基因四次多项式族，刻画其生成数域中幂整基的全部生成元，补充了相关单基因数域的幂整基生成元研究。
2024-09-15 math.NT
A class number problem for imaginary cyclic number fields of 2-power degrees
本文将M. K. Ram关于虚循环四次数域类数不等于特定素数的结论，大幅推广至2的幂次阶非二次虚循环数域且类数非素数的情形。
2025-08-14 math.NT
Monogenic Quartic Polynomials and Their Galois Groups
本文借助 Kappe–Warren 的四次 Galois 群分类，为除循环群外的各类可能 Galois 群构造生成互异四次域的无限单参数单生四次多项式族，并讨论未解决的循环情形。
2024-04-16 math.NT
An obstruction to the local lifting problem
本文针对循环p-群与互素循环群半直积的局部作用，基于Harbater-Katz-Gabber紧化建立可提升判据，并给出二面体群中不可提升的实例，构成比KGB障碍更强的障碍。
2025-05-22 math.AG math.NT
Hopf-Galois module structure of quartic Galois extensions of $\mathbb{Q}$
给定数域的四次Galois扩张$L/\mathbb{Q}$和$L/\mathbb{Q}$上的Hopf-Galois结构$H$，研究了整数环$\mathcal{O}_L$作为$H$中伴随阶$\mathfrak{A}_H$上的模的自由性.对于经典的伽罗瓦结构$H_c$，由Leopoldt定理可知$\mathcal{O}_L$是无$\mathfrak{A}_{H_c}$的.如果$L/\mathbb{Q}$是循环的，它允许一个唯一的非经典Hopf-Galois结构，而如果它是双二次的，它允许三个这样的Hopf-Galois结构。在这两种情况下，我们得到自由度依赖于某些广义Pell方程在$\mathbb{Z}$中的可解性.我们将把Pell方程的一些结果转化为关于$\mathcal{O}_L$的$\mathfrak{A}_H$ -自由性的结果。
2022-02-15 math.NT
A family of pairs of imaginary cyclic fields of degree $(p-1)/2$ with both class numbers divisible by $p$
本文构造了一类新的无限族的虚循环域对的度$(p-1)/2$显式地与两个类数可除由一个给定的素数$p$。为了证明，我们使用了$\mathbb Q(\sqrt{p})$的基本单位，参数四次多项式的某些根单位，Kummer理论，Gauss和Jacobi和，线性递归序列，Weil猜想的一个推论和Lenstra的一个结果，Lenstra是Artin猜想关于原根的推广.我们的结果是基于著名的Scholz关于二次域对$\mathbb Q(\sqrt{D})$和$\mathbb Q (\sqrt{-3D})$的结果.
2018-09-21 math.NT
The group determinants for $\mathbb Z_n \times H$
令$\mathbb Z_n$表示阶为$n$的循环群。我们展示了如何组行列式为$G= \mathbb Z_n \times H$可以简单地写在组行列式为$H$。我们使用它得到一个完整的描述的整数群行列式为$\mathbb Z_2 \times D_8$，其中$D_8$是二面角群的顺序8，和$\mathbb Z_2 \times Q_8$，其中$Q_8$是四元数群的顺序8。
2023-03-15 math.NT
On the field intersection problem of generic polynomials: a survey
令$k$是特征$\neq 2$的域。本文综述了一般多项式域交问题的一种一般方法--形式契豪森变换法。我们宣布我们最近的一些结果的三次，四次和五次的情况下，其细节将出现在其他地方。本文利用多重预解式多项式，在三次和二面体五次情形下，给出了该问题的显式解答。
2009-06-09 math.NT math.RA
Monogenic cyclic trinomials of the form $x^4+cx+d$
本文证明了不存在形如 $x^4+cx+d$ 的单生成循环三项式，并结合先前研究确定了仅有的三个单生成循环四次三项式。
2024-11-15 math.NT
Power maps in finite groups
在最近的工作中，Pomerance和Shparlinski已经获得了结果的循环数在功能图的地图$x \mapsto x^a$在$\mathbb{F}_p^*$。我们证明了类似的结果，其他家庭的有限群。特别地，我们得到了循环群，对称群，二面体群和$SL_2(\mathbb{F}_q)$的圈数的估计。我们还表明，循环群的顺序$n$中的所有幂零群的顺序$n$为一个固定的指数最小化的循环数。最后，我们提出几个问题。
2019-07-05 math.CO math.GR math.NT
