The 2-rank of the class group of some real cyclic quartic number fields II
Abdelmalek Azizi, Mohammed Tamimi, Abdelkader Zekhnini
本文确定了一类实循环四次数域的类群的2-秩。确切地说，我们考虑的情况下，其中的二次子域是Q（\sqrt{l}），其中l=2或素全等1模8。
In this paper, we determine the 2-rank of the class group of certain classes of real cyclic quartic number fields. Precisely, we consider the case in which the quadratic subfield is Q(\sqrt{l}) with l=2 or a prime congruent to 1 mod 8.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
A family of cyclic quartic fields with explicit fundamental units
本文构造了一类具有循环伽罗瓦群的四次多项式，并证明了这类多项式的根是基本单位或生成指数为5的子群。
Sum of two squares in cyclic quartic fields
本文提出一种基于二次型迷向性局部-整体原则的算法，用于判定循环四次域中的数是否为两平方数之和。
The 2-rank of the class group of some real cyclic quartic number fields
本文研究了一类实循环四次数域的类群的2-秩。确切地说，我们考虑的情况下，二次子域是Q（\sqrt{l}）与l全等5模8是一个素数。
On the largest prime factor of quartic polynomial values: the cyclic and dihedral cases
设$P(X)\in\mathbb{Z}[X]$是具有循环或二面体伽罗瓦群的一元四次不可约多项式.我们证明了存在一个常数$c_P>0$使得对于正比例的整数$n$，$P(n)$有一个素因子$\ge n^{1+c_P}$ .
A family of cyclic quartic monogenic polynomials
本文构造显式全实循环四次多项式族，在多数情形下为单项式，并在abc猜想下无限生成不同单项式四次域，另提供更多族。
Well-Rounded ideal lattices of cyclic cubic and quartic fields
本文研究了循环三次和四次域具有良圆理想格的判据，证明了循环三次域必含良圆理想，构造了循环四次域的良圆理想族，并给出了特定素理想为良圆的充要条件及奇素数分解。
Diophantine problems related to cyclic cubic and quartic fields
我们对求解有理系数多项式$f, g$中的同余式$f^3+g^3+1\equiv 0\pmod{fg}$和$f^4-4g^2+4\equiv 0\pmod{fg}$感兴趣。此外，我们提出的计算结果的所有整数点的某些一个参数曲线的亏格1和3，有关的三次和四次域，分别。
On Hilbert genus fields of imaginary cyclic quartic fields
设$p$是素数，使得$p=2$或$p\equiv 1\pmod 4$。令$\varepsilon_p$表示$\mathbb{Q}(\sqrt{p})$的基本单位，并且令$a$是正的无平方整数。本文的主要目的是明确地确定形式为$\mathbb{Q}(\sqrt{-a\varepsilon_p\sqrt{p}})$的虚循环四次域的Hilbert亏格域。
The construction of the Hilbert genus fields of real cyclic quartic fields
设$p$是素数，使得$p=2$或$p\equiv 1\pmod 4$。令$\varepsilon_p$表示$\mathbb{Q}(\sqrt{p})$的基本单位，并且令$a$是正的无平方整数。本文构造了实循环四次域$\mathbb{Q}(\sqrt{a\varepsilon_p\sqrt{p}})$的Hilbert亏格域.
An infinite family of pairs of distinct quartic Galois CM-fields with the same discriminant and regulator
本文构造了无限多个具有相同判别式和调节数的虚二元四次域和虚循环四次域的配对，并给出了具有相同判别式、调节数和类数的示例。
Ranks of elliptic curves over cyclic cubic, quartic, and sextic extensions
对于给定的群$G$和定义在数域$K$上的椭圆曲线$E$，本文讨论了寻找$K$的$G$ -扩张，使$E$在其上获得秩的问题.我证明了下面的定理，扩展了Fearnley，Kisilevsky和Kuwata的结果：设$n = 3,4,$或$6$。如果$K$包含其$n^{th}$ -单位根，则对于$K$上的任何椭圆曲线$E$，存在无穷多个$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ -$K$的扩展，其中$E$获得秩。
Monogenic Cyclic Quartic Trinomials
本文证明了恰好存在三个形如 $x^4+bx^2+d$ 且 Galois 群为四阶循环群的单生成三项式。
Euclidean algorithm in Galois Quartic Fields
证明了类数为$1$的虚四次域和循环四次域都是欧氏域。
5-Class towers of cyclic quartic fields arising from quintic reflection
设zeta 5是一个本原五次单位单位根，d<>1是一个不能被5整除的二次基本判别式。对于5-对偶循环四次域M=Q（（zeta 5-zeta 5 ^-1）*d^1/2），研究了M的第二个Hilbert 5类域M（5，2）的伽罗瓦群G（5，2）M=Gal（M（5，2）/M）同构型的可能性，当5-类群Cl_5（M）是秩为2的初等双环时。通常，M的最大非分歧pro-5-扩张M（5，无穷大）已经与M（5，2）重合.当G（5，2）M的阶数小于或等于5^5时，确定了M的5级塔的精确长度ell 5（M）.理论结果得到了所有83个，分别为93个，在0<d<10^4，分别为-2 10 ^5 <d<0的情况下的实际计算的支持。
On the tame kernels of imaginary cyclic quartic fields with class number one
Tate首先提出了一种确定$F,$的驯服核$K_2\mathcal{O}_F,$的方法，并对一些特殊的小判别式二次域给出了具体的计算.在此基础上，给出了判别式较大的二次域的许多例子，并对判别式不大的三次域和一些特殊的四次域做了类似的工作。本文研究了更一般的虚循环四次域$F=\mathbb{Q}\Big(\sqrt{-(D+B\sqrt{D})}\Big)$具有类数1和大判别式的情形。其关键问题是如何将计算过程中出现的巨大理论界减小到一个可管理的范围内，而其主要难点是如何处理计算过程中出现的大规模数据。为了解决这一问题，我们建立了一个通用的计算体系结构，特别是：（1）在C++代码中调用PARI的函数;（2）在C++代码中采用并行程序设计方法;（3）在算法和代码的设计中，采用面向对象的观点，从而获得了可扩展的程序。作为程序的一个应用，我们证明了$K_2\mathcal{O}_F$在以下三种情况下是平凡的：$B=1,D=2$或$B=2, D=13$或$B=2, D=29.$在最后一种情况下，$F$的判别式是24389，因此，我们可以说，我们的架构也适用于判别式小于25000的数域的驯服核的计算。
On the 2-rank and 4-rank of the class group of some real pure quartic number fields
设$K=\mathbb{Q}(\sqrt[4]{pd^{2}})$是实纯四次数域，$k=\mathbb{Q}(\sqrt{p})$是实二次子域，其中$p\equiv 5\pmod 8$是素数，$d$是与$p$互质的无奇平方整数.本文根据$d$的素因子在$\mathbb{Q}(\sqrt{p})$中分解或保持惰性的个数，计算$K$的子群的$2$秩$r_2(K)$，从而导出满足$r_2(K)=2$的$d$的形式.在最后一种情况下，也给出了$K$类群的$4$秩.
HT90 and "simplest" number fields
标准公式（1）导致HT 90的证明，但是需要证明$θ$的存在，使得$α\ne 0$，使得$β=α/σ(α)$。相反，我们强加条件（M），即取$θ=1$得到$α=0$。利用$n=3$，我们恢复了Shanks最简单的三次场。“最简单”的3至6度数域、华盛顿的循环四次域和$\Q(\cos(π/4m))$的某类全实循环扩张都有定义多项式，其零点满足\eqref{e:M}。进一步研究$n=4$的（M），得到了具有“一般”伽罗瓦群$_{8}T_{11}$的二参数八次多项式族的初等代数构造.强加一个额外的代数条件，这些octics产生一个新的家庭循环四次扩张。这个族包括“最简单的”四次域和华盛顿的循环四次域作为特例。当参数为数域中的代数整数时，我们得到了更详细的结果。特别是，我们确定了一些特殊的单位，包括例外序列的3个单位，并给出了他们的一些性质。
On Conjectural Rank Parities of Quartic and Sextic Twists of Elliptic Curves
研究了定义在数域上的主极化阿贝尔簇上的自对偶素度同构的Selmer秩宇称在扭曲下的行为，扭曲与同构之间存在相容关系.特别是，我们研究的阿贝尔簇的Selmer秩奇偶性相关的椭圆曲线的秩奇偶性与$j$不变0或1728，假设Shafarevich-Tate猜想的同构。利用这些结果，我们给出了如何对定义在数域上的椭圆曲线的所有四次或六次扭曲的秩奇偶进行分类。这推广了Hadian和Weidian关于$p$ -Selmer秩在$p$ -twists下的行为的先前结果。
Binary quartic forms having bounded invariants, and the boundedness of the average rank of elliptic curves
我们证明了一个定理，给出了渐近数的二元四次形式有界不变量，这延伸到四次的情况下，经典的结果高斯和达文波特在二次和三次的情况下，分别。我们的技巧是相当普遍的，并可能适用于计数积分轨道在其他表示的代数群。我们使用这些计数结果证明了$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线的平均秩，当按其高度排序时，是有界的。特别地，我们证明了当椭圆曲线按高度排序时，2-Selmer群的平均大小为3。这意味着椭圆曲线的平均秩的limsup至多为1.5。
Calculating power integral bases in some quartic fields corresponding to monogenic families of polynomials
本研究针对J. Harrington、L. Jones及P. Voutier提出的单基因四次多项式族，刻画其生成数域中幂整基的全部生成元，补充了相关单基因数域的幂整基生成元研究。
A class number problem for imaginary cyclic number fields of 2-power degrees
本文将M. K. Ram关于虚循环四次数域类数不等于特定素数的结论，大幅推广至2的幂次阶非二次虚循环数域且类数非素数的情形。
Rank growth of elliptic curves in $S_4$ and $A_4$ quartic extensions of the rationals
本文证明在满足特定条件下，椭圆曲线在无穷多个$S_4$四次扩张中秩不增长，通过控制2-Selmer秩实现。
Monogenic Quartic Polynomials and Their Galois Groups
本文借助 Kappe–Warren 的四次 Galois 群分类，为除循环群外的各类可能 Galois 群构造生成互异四次域的无限单参数单生四次多项式族，并讨论未解决的循环情形。
Low degree extensions with Cyclic class group
本文证明了阿贝尔四次域及某些类数为2的双二次域中存在欧几里得理想类，并探讨了特定三次和二次扩张中的相关性质。
On a bound of $p$-ranks of Iwasawa modules of $\mathbb{Z}_p$-extensions over a quartic CM-field
本文研究了四次CM域上$\mathbb{Z}_p$-扩张的Iwasawa不变量，确定了某一类无限扩张的$p$-秩界及相关不变量。
Hilbert 2-Class Fields and 2-Descent
给出了一类复二次数域的非分歧循环八度扩张的构造。二元二次型用于这一建设也出现在理论的2下降佩尔二次曲线和椭圆曲线，以及在明确描述循环四次扩张。
Class Numbers of Orders in Quartic Fields
本文证明了全虚四次数域的类数的一个渐近公式，即仅含复嵌入的四次数域。经过以前的工作实二次域（Sarnak）和复杂的立方领域（Deitmar），这是最后剩下的情况下，数域与单位秩1。
Parity of ranks for elliptic curves with a cyclic isogeny
设E是数域K上的一条椭圆曲线，它有一个循环p-同构，p为奇数，且在p以上的素数处半稳定.我们确定了E/K的根数和p-Selmer秩的奇偶性，特别证实了这类曲线的奇偶性猜想.我们证明了类似的结果p=2的额外的假设下，E是不是超奇异的素数以上2。
Modular curves $X_0(N)$ with infinitely many quartic points
本研究确定了所有具有无穷多四次点的模曲线$X_0(N)$，通过定义诱导二次型的配对，刻画了从这类模曲线到正秩椭圆曲线的有理态射的所有可能次数。
A family of pairs of imaginary cyclic fields of degree $(p-1)/2$ with both class numbers divisible by $p$
本文构造了一类新的无限族的虚循环域对的度$(p-1)/2$显式地与两个类数可除由一个给定的素数$p$。为了证明，我们使用了$\mathbb Q(\sqrt{p})$的基本单位，参数四次多项式的某些根单位，Kummer理论，Gauss和Jacobi和，线性递归序列，Weil猜想的一个推论和Lenstra的一个结果，Lenstra是Artin猜想关于原根的推广.我们的结果是基于著名的Scholz关于二次域对$\mathbb Q(\sqrt{D})$和$\mathbb Q (\sqrt{-3D})$的结果.
Non-vanishing for quartic Hecke $L$-functions and ranks of elliptic curves
研究四次残差符号海克勒L函数在中心点非消失的比例，以及与椭圆曲线秩的关系。
Relations in the 2-Class Group of Quadratic Number Fields
我们构建了一个家庭的理想代表理想类的二次数域，并表明，他们的理想类之间的关系是由某些循环四次扩张的有理数。
Ranks of elliptic curves in cyclic sextic extensions of $\mathbb{Q}$
本文研究椭圆曲线在有理数域循环六次扩张中的 Mordell–Weil 秩增长，证明存在无穷多个扩张使秩超过真子域贡献，并对某些曲线给出导体小于 $X$ 时数量至少为 $\sqrt X}$ 量级的下界。
The size function for imaginary cyclic sextic fields
本文研究数域的尺寸函数$h^0$.这个尺寸函数类似于代数曲线上因子的Riemann-Roch空间的维数。Van der Geer和Schoof证明了$h^0$在平凡的Arakelov因子类上达到极大值。对单位群秩为0和1的数域以及单位群秩为2的循环立方数域证明了这个猜想。证明了该猜想对另一类单位群为秩二的数域--全虚循环六次域也成立。
The arithmetic of a twist of the Fermat quartic
研究了由$X^4 + Y^4 + Z^4 = 0$定义的Fermat四次方程的扭度的算法，其中没有$\mathbb{Q}$ -有理点.我们明确地计算了雅可比簇的Mordell-Weil群.我们证明了Picard群的度$0$部分是秩为$2$的自由$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ -模，而Mordell-Weil群是秩为$3$的自由$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ -模.因此，相对Brauer群是非平凡的。我们还表明，这四次违反了局部-全局性质的线性行列式表示。
The size function for cyclic cubic fields
数域的尺寸函数是代数曲线上因子的Riemann-Roch空间的维数的模拟。证明了它在平凡的Arakelov因子类上达到最大值。对于许多单位群为一阶的数域，这个猜想得到了证明。我们的研究证实，该猜想也适用于循环三次域，其中有单位群的秩为2。
Monogenic cyclic trinomials of the form $x^4+cx+d$
本文证明了不存在形如 $x^4+cx+d$ 的单生成循环三项式，并结合先前研究确定了仅有的三个单生成循环四次三项式。
Determinantal quartics and the computation of the Picard group
我们测试的方法计算的Picard群的$K3$表面的情况下，高秩。选择的例子是$\bP^3$中四次曲线的分辨率，具有$A_1$类型的14个奇点。计算表明，R.当使用足够大的素数时，van Luijk工作良好。
The geometry of the moduli Space of non-cyclic biquadratic field extensions
本文研究了双二次扩张的非$2$特征的初等交换闭包的存在性.我们发现它对任何非循环扩张都存在。我们利用它来获得这类扩展的分类同构通过下降。这使我们能够描述几何的模空间在群论方面。我们还提供了两个家庭的多项式的两个参数，可以描述任何四次扩张。
Selmer Ranks of Quadratic Twists of Elliptic Curves with Partial Rational Two-Torsion
本文研究了在数域K上定义的椭圆曲线E的二次扭族中，哪些整数可以作为2-Selmer秩出现，其中E（K）[2] = Z/2 Z.我们证明了如果E在K（E[2]）上没有定义的循环4-等距环，则只要满足常数2-Selmer奇偶性，每个非负整数都无限频繁地出现为E的二次扭曲的2-Selmer秩.如果E有一个定义在K（E[2]）上但不定义在K上的循环4-等距环，则当2-Selmer秩大于或等于r_2时，我们证明了同样的结果。我们还得到了关于E的秩为0的最小扭转数的结果，并且在标准拓扑下，秩为1的扭转数，只要E没有定义在K上的循环4-等距。
Twists of the Albanese varieties of cyclic multiple planes with large ranks over higher dimension function fields
在[17]中，我们证明了函数域上的阿贝尔簇的Mordell-Weil群的一个结构定理，该函数域作为阿贝尔簇被投射簇的循环覆盖的扭曲，根据与覆盖相关的Prym簇。本文给出了一种构造高维函数域上大秩阿贝尔簇的显式方法。为此，我们将上述定理应用于循环多重平面的Albanese簇的扭曲。
Tate-Shafarevich results for quartic twists in characteristic $2$
本文研究偶特征函数域上的椭圆曲线，通过具4阶自同构的极大曲线的函数域构造$\u211d_2$上超奇异椭圆曲线的四次扭转，给出由相关曲线亏格表示的Mordell-Weil秩公式，以得到任意大秩的椭圆曲线。
Arithmetic Problems in Cubic and Quartic Function Fields
本文的主要内容之一是对任意特征的三次函数域和特征至少为5的四次函数域的无穷位和有限位的特征的刻画。为了这些目的，我们提供了一个新的理论，可以应用到三次和四次函数场，甚至更高维的函数场。这个理论的一个显着的优势，其他现有的方法是，它不使用p-adic完成的概念，我们可以免除卡尔达诺的公式。另一个关键结果包括单位秩为1和2的三次函数场的构造，具有明显的基本系统。此类构造的主要成分之一是最大值的定义。这个定义是新的，在寻找基本系统的背景下非常多产。最后，我们总结了关于因子类数h的各种结果，包括一个新的方法来寻找因子h。
The boundary of the $p$-rank $0$ stratum of the moduli space of cyclic covers of the projective line
本文研究了特征$p$中投射线的循环度$\ell$覆盖的模空间的$p$秩分层，其中$p$和$\ell$是不同的素数.主要结果是关于$p$秩$0$层与曲线的模空间的边界的交。当$\ell=3$和$p \equiv 2 \bmod 3$是奇素数时，证明了特征$p$中存在光滑的三椭圆曲线，并且每个亏格$g$，签名类型$(r,s)$和$p$ -秩$f$满足明确的必要条件.
Drinfeld Modular Polynomials in Higher Rank
本文研究了环F_q[T]上任意秩的Drinfeld模之间的循环同构的模多项式分类。
Ranks of elliptic curves with prescribed torsion over number fields
研究了2、3、4阶数域上椭圆曲线的Mordell-Weil群的结构。证明了若$T$是群，则二次域上所有具有扭子群$T$的椭圆曲线的类要么为空，要么包含秩为0的曲线和正秩的曲线.我们证明了一个类似的，但稍弱的三次和四次领域的结果。另一方面，我们找到一个群$T$和一个四次域$K$，使得在具有挠子群$T$的$K$上的椭圆曲线中，存在正秩曲线，但不存在秩~0的曲线。我们发现的例子椭圆曲线的正秩和给定的挠在许多以前未知的情况下。我们还证明了所有的椭圆曲线在二次域上的一个点的阶数为13或18和所有的椭圆曲线在四次域上的一个点的阶数为22是同构的伽罗瓦共轭之一，并通过一个现象，我们称之为\emph{false complex multiplication}，有偶数秩。最后，我们讨论了与有限域上的椭圆曲线的关系以及在整数分解中的应用。
Two classes of number fields with a non-principal Euclidean ideal
本文引入了两类全实四次数域，一类是双二次扩张，一类是循环扩张，每一类都有一个非主欧氏理想。推广了Graves证明数域$\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{35})$有非主欧氏理想的技巧。
The finitude of tamely ramified pro-$p$ extensions of number fields with cyclic $p$-class groups
本文研究了 $p$-类群循环的数域在单个非 $p$-进素理想外不分歧的极大 pro-$p$ 扩张的 Galois 群的有限性，并证明了在生成元秩为 2 时该群对大多数素理想有限。
Boundedness of average rank of elliptic curves ordered by the coefficients
本文研究按高度 $h=\max(|A|,|B|)$ 排序的有理椭圆曲线平均秩，通过改进非均匀扩张区域内的整点计数技术，证明其 2-Selmer 群平均大小有界，并得到平均秩不超过 1.5。
Distribution of Selmer ranks in prime cyclic extensions
本文在扩展黎曼假设下，研究给定偶维Galois模的扭族Selmer秩的分布，并应用于椭圆曲线、超椭圆曲线等在p-循环扩张中秩变化的概率，得到分布界限。
Gauss Sums, Jacobi Sums, and $p$-ranks of Cyclic Difference Sets
本文研究了$2^d$元的有限域$F_{2^d}$的乘法群中的二次剩余差集、GMW差集和单式超椭圆差集，它们都是$(2^d-1, 2^{d-1}-1, 2^{d-2}-1)$循环差集，并利用$d \geq 2$ .我们发现，除了少数情况下，小$d$，这些差集都是两两不等价的。这部分是通过检查他们的两个等级来完成的。除了与Segre和Glynn超椭圆相关的那些，所有这些差集的2秩都是以前已知的。我们确定由Segre和Glynn超椭圆产生的差集的2-秩，如下所示。Stickelberger的高斯和定理是用来减少这些2-秩的计算的问题，计数某些循环二进制字符串的长度$d$。这个计数问题，然后解决组合，与援助的转移矩阵法。我们给出了2秩公式的进一步应用，包括确定某些二元循环码的非零值，以及当$d$为奇数时，根据迹函数判定多项式$x^6 + x + β$在$F_{2^d}$中对$F_{2^d}^*$中的哪个$β$有零值的准则.
Classification of torsion of elliptic curves over quartic fields
本文确定了四次域上椭圆曲线挠群的所有可能情况，证明不存在零散挠群，并利用秩0方法、Hecke筛法和全局方法等证明了相关模曲线无非尖点四次点。
Counting Co-Cyclic Lattices
由于W. M. Schmidt（1968）给出了在$\mathbb{Z}^n$中索引至多为$V$的满秩整数格的个数。该格集$L$可以自然地关于因子组$\mathbb{Z}^n/L$被划分。相应地，我们计算了满秩整数格$L \subseteq \mathbb{Z}^n$的个数，使得$\mathbb{Z}^n/L$是循环的，且阶数至多为$V$，并推导出这些共循环格在所有整数格中占优势：它们的自然密度为$\left(ζ(6) \prod_{k=4}^n ζ(k)\right)^{-1} \approx 85\%$ .这个问题的动机是复杂性理论，即最坏情况下的平均情况下减少格问题。
On the prime Selmer ranks of cyclic prime twist families of elliptic curves over global function fields
研究有限域上非等同椭圆曲线循环素数扭族的素数Selmer群大小分布，证明其符合Bhargava等人的猜想并给出误差界。
Abelian Varieties over Cyclic Fields
设K是特征不为2的域，使得K的每个有限可分扩张都是循环的。设A是K上的阿贝尔簇.如果K是无限的，则A（K）在A中是Zerkiki稠密的。如果K不是局部有限的，则A在K上的秩是无限的。
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