Quartic points on the Fermat quintic
本文研究了方程$x^5+y^5+z^5=0$的Fermat曲线$F_5/\mathbb{Q}$上$4$在$\mathbb{Q}$上的次数代数点. 1997年，Klassen和Tzerlaut给出了这些点的几何描述。利用他们的结果，以及Bruin的工作，丢番图方程的签名$(5,5,2)$，我们在这里给出了一个代数描述这些点。特别是，我们证明了只有一个伽罗瓦扩展的$\mathbb{Q}$的程度$4$产生的领域的定义的一个非平凡点的$F_5$。
2017-06-12 math.NT
Primitive divisors on twists of the Fermat cubic
我们证明了，对于费马三次函数的一个扭曲上的椭圆整除序列u^3+v^3=m，其中m是无立方的，第一项之后的所有项都有一个本原因子。
2007-03-19 math.NT
On the Brauer group of diagonal quartic surfaces
得到了Q上对角四次曲面D的Brauer群是代数群的一个简单的充分条件。给出了D的Brauer群的商与Q的Brauer群的象的阶的一个上界.证明是基于同构的费马四次曲面与库默尔表面由于Masumi水神。
2011-01-05 math.AG math.NT
Fermat near misses and the integral Hilbert Property
Max Planck Institute for Mathematics（马克斯·普朗克数学研究所）；University of Bath（巴斯大学）
本文研究了四次费马方程的近似解问题，通过德尔皮佐表面几何学证明了积分点非稀疏性。
2025-12-12 math.AG math.NT
Twists of the Burkhardt Quartic Threefold
研究了特征不同于2，3，5的非代数闭基域上的三重Burkhardt四次曲线的扭曲.我们证明了它们都允许四次模型在射影四维空间中存在。我们确定了一个伽罗瓦上同调的障碍，措施，如果一个给定的扭曲是双有理的模空间的阿贝尔簇。这种障碍对这些品种的有理点有影响。结果，我们看到所有可能的3-水平结构都可以通过阿贝尔曲面实现，而库默尔3-水平结构在群理论上可能是可容许的，但在某些基域上可能是不可实现的。我们给出了一个二元函数域上的Burkhardt四次曲线的例子，其去奇异化完全没有有理点。我们的方法是基于表示论的Sp（4，3），伽罗瓦上同调，和经典的代数几何的Burkhardt四次。
2022-08-23 math.AG math.NT
Tate-Shafarevich results for quartic twists in characteristic $2$
本文研究偶特征函数域上的椭圆曲线，通过具4阶自同构的极大曲线的函数域构造$\u211d_2$上超奇异椭圆曲线的四次扭转，给出由相关曲线亏格表示的Mordell-Weil秩公式，以得到任意大秩的椭圆曲线。
2024-05-22 math.AG math.NT
Counter-examples to the Hasse principle among the twists of the Klein quartic
在本文中，我们检查从近的局部和整体点的扭曲的克莱因四次。对于局部的，我们使用几何参数，而对于全球的，我们强烈使用的扭曲的模解释。主要的结果是提供家庭与（实际上无限多）扭曲的克莱因四次曲线，在反例哈塞原则。
2022-12-21 math.NT
Primitive points on some low degree Fermat curves
University of Warwick（华威大学）
本文研究了费马曲线F_n上的原始点，证明当n=7或8时，不存在非平凡四次点，且为F_6和F_8提供非平凡点不存在的充分条件。
2026-03-16 math.NT
Plane quartic twists of X(5,3)
给定Q的绝对伽罗瓦群在PGL（2，3）上的一个奇表示和一个正整数N，存在定义在Q上的一条扭模曲线，它的有理点将实现该表示的N次二次Q-曲线分类.本文给出了在亏格三N=5的情况下，该曲线的显式平面四次模型的方法。
2005-01-28 math.NT
Quartic Equations with Trivial Solutions over Gaussian Integers
本文用预解式方法研究了高斯整数上的$aX^4+bX^2 Y^2+cY^4=dZ^2$型方程。本文将$X^4+6X^2 Y^2+Y^4=Z^2$（Mordell's equation over $\mathbb{Z}[i]$），$X^4+6(1+i)X^2Y^2+2iY^4=Z^2$和$X^4\pm Y^4=(1+ i)Z^2$作为一个新的方程进行研究，并给出了关于$X^4+Y^4=Z^2$（Fermat-Hilbert），$X^4\pm Y^4=iZ^2$（Szabó-Najman）的已知定理的新证明.
2016-07-28 math.NT
Twisted Siegel-Weil formulas for $\mathrm{GL}_2$ over non-Galois quartic CM fields
Technische Universität Darmstadt（达姆施塔特工业大学）
研究非伽罗瓦四次CM域上\(\mathrm{GL}_2\)的扭曲西格尔 - 韦伊公式，通过联系扭曲西塔积分与赫克积分的土居 - 永野提升，证明雅克比 - 朗兰兹对应基变换是同构，还得出博切尔兹形式扭曲CM值相关结论。
2026-07-21 math.NT
On Conjectural Rank Parities of Quartic and Sextic Twists of Elliptic Curves
研究了定义在数域上的主极化阿贝尔簇上的自对偶素度同构的Selmer秩宇称在扭曲下的行为，扭曲与同构之间存在相容关系.特别是，我们研究的阿贝尔簇的Selmer秩奇偶性相关的椭圆曲线的秩奇偶性与$j$不变0或1728，假设Shafarevich-Tate猜想的同构。利用这些结果，我们给出了如何对定义在数域上的椭圆曲线的所有四次或六次扭曲的秩奇偶进行分类。这推广了Hadian和Weidian关于$p$ -Selmer秩在$p$ -twists下的行为的先前结果。
2020-06-16 math.NT
Twists of non-hyperelliptic curves of genus 3
在本文中，我们显式计算方程的所有光滑平面四次曲线定义在一个数域k上的扭曲。由于平面四次曲线是亏格为3的非超椭圆曲线，我们可以应用作者在前一篇文章中提出的方法。本文的出发点是Henn对具有非平凡自同构群直到C-同构的平面四次曲线的分类。
2016-04-08 math.NT
Tamagawa number divisibility of central $L$-values of twists of the Fermat elliptic curve
研究Fermat椭圆曲线扭曲的中心L值代数部分的3-adic赋值，揭示Tate-Shafarevich群3-部分与惰性素因子个数的关系，并证明在分裂素数乘积情形下BSD猜想预测的阶为完全平方。
2021-11-22 math.NT
Vanishing of Quartic and Sextic Twists of $L$-functions
设$E$是$\mathbf{Q}$上的椭圆曲线。我们猜想渐近估计数的消失的$L(E,1,χ)$ $χ$变化的所有原始狄利克雷字符的订单4和6，受到一个温和的假设$E$。我们关于这些家庭的代数来自于随机酉矩阵的代数，正如Katz Sarnak哲学所预言的那样。我们用数字证据来支持我们的论点。David、Fearnley和Kisilevsky的早期工作为任何奇素数阶的字符制定了类似的结构。然而，在复合阶的情况下，我们需要通过分析归一化高斯和的平方的等分布来证明我们使用随机矩阵理论的合理性。在此过程中，我们引入了全序$\ell$特征的概念，以量化四次和六次高斯和变得均匀分布的速度。令人惊讶的是，在四次（六次，分别）的整个家庭的等分布率。字符比完全四次（六次）的子家族慢得多。字符.对这种现象的概念性解释是，完整的$\ell$阶扭曲椭圆曲线$L$ -函数族，其中$\ell$是偶数和复合的，是一个具有酉和正交方面的混合族。
2023-01-23 math.NT
Selmer ranks in twists of CM abelian varieties
本研究证明CM阿贝尔簇的若干p次扭变族中Selmer秩服从辛或酉分布，借此推出含本原p次单位根的数域上扭变费马曲线大多无解，并探讨了素数次循环扩张中的秩增长。
2025-07-31 math.NT
Non-vanishing for quartic Hecke $L$-functions and ranks of elliptic curves
University of Illinois（伊利诺伊大学）；EPFL（洛桑联邦理工学院）；Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）
研究四次残差符号海克勒L函数在中心点非消失的比例，以及与椭圆曲线秩的关系。
2026-07-15 math.AG math.NT
$7$-adic Galois representations of elliptic curves over the rationals via Kummer descent
University of Massachusetts Amherst（马萨诸塞大学阿默斯特分校）；Amherst College（阿默斯特学院）
本文通过 Kummer 下降证明了两个亏格 9 的模曲线无非 CM 有理点，从而完成了非 CM 椭圆曲线 $7$-adic Galois 像的分类，其关键依赖于指数为 7 的费马大定理。
2026-10-06 math.NT
The generalized Fermat equation with exponents 2, 3, n
研究了广义费马方程$x^2 + y^3 = z^p$，其中$p \ge 7$是素数.使用模块化和水平降低技术，该问题可以减少到确定的有理点集满足一定的2-adic和3-adic条件的有限集的扭转的模块曲线$X(p)$。首先，我们开发了新的本地标准，以决定是否有某些类型的潜在良好的减少在2和3的两个椭圆曲线可以有辛或反辛同构$p$ -扭转模块。使用这些标准，我们根据2和3处的局部信息产生必须考虑的$X(p)$扭曲的最小列表;该列表取决于$p \bmod 24$。最近的结果mod $p$表示与图像在一个分裂的Cartan子群的正规化，使我们能够减少在某些情况下进一步的列表。我们的第二个主要结果是完整的解决方案的方程时，$p = 11$，这是以前最小的未解决的$p$。一个相关的新成分是使用第三作者在最近的工作中介绍的“Selmer群Chabauty”方法，应用于椭圆曲线Chabauty背景下，以确定在12度的某些数域上定义的$X_0(11)$上的相关点。这个结果是有条件的GRH，这是需要证明的正确性计算的五个特定的数域的36度的类群。对于$p = 13$，我们也给出了一些部分结果.
2019-06-14 math.NT
A Diophantine Criterion for the Shafarevich-Tate Groups of Elliptic Curves from Heron Triangles
通过研究丢番图方程 p u^2 = v^2 + w^2 的整数解，证明了对于特定形式的素数 p，椭圆曲线 E_p 的秩和沙法列维奇-塔特群呈现二分法。
2026-05-24 math.NT
Quadratic twists of genus one curves
本文研究整系数四次首一不可约多项式所定义亏格1曲线的二次扭曲，刻画处处局部可解扭曲参数的计数渐近式，并用数域的 Dedekind zeta 函数表示其 Dirichlet 级数。
2024-03-03 math.NT
Explicit $7$-torsion in the Tate-Shafarevich groups of genus $2$ Jacobians
University of Bristol（布里斯托大学）
针对具有实乘且7分裂的亏格2曲线，提出算法输出Klein四次曲线的扭曲，参数化与Jacobian的模7表示同构的椭圆曲线，应用于小导数的族，构造出Tate-Shafarevich群中阶为7的非平凡元素。
2026-07-02 math.NT
