Numerical verification of the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture for hyperelliptic curves of higher genus over $\mathbb Q$ up to squares
Flynn，Leprévost，Schaefer，Stein，Stoll和Wetherell等用模方法对32条亏格为2的模超椭圆曲线的Jacobian证明了Birch和Swinnerton-Dyer猜想.在实际周期的计算中，有一点不准确，这可能会给在Néron模型的特殊纤维中具有非约化分量的曲线带来问题。在本文中，我们解释了如何计算的实际周期，以及如何验证已扩展到许多更多的超椭圆曲线，一些亏格3，4和5，而不使用模块的方法。
2018-09-13 math.NT
Local statistics and average rank of genus $g$ hyperelliptic curves with a Weierstrass point
Chonnam National University（全南国立大学）
研究具有魏尔斯特拉斯点的亏格\(g\)超椭圆曲线，通过确定其在特定素数处良好约化概率及其他约化类型概率公式，在相关猜想假设下，推导出该类曲线平均解析秩的明确上界。
2026-07-15 math.NT
Computing L-series of geometrically hyperelliptic curves of genus three
设C/Q是亏格为3的曲线，给定为平面二次曲线的双重覆盖。这样的曲线在Q的代数闭包上是超椭圆的，但在Q上可能没有通常形式的超椭圆模型。我们描述了一个算法，计算C的局部zeta函数在所有奇素数的好约化到一个规定的界限N。该算法依赖于适应的“累积剩余树”的矩阵中的一个二次域的条目。我们报告的实施，并比较其性能与以前的算法的普通超椭圆的情况下。
2016-05-16 math.NT
Three-Torsion Subgroups and Wild Conductors of Genus 3 Hyperelliptic Curves
本文提出用复逼近、同伦延拓和格基约化计算亏格3超椭圆曲线雅可比簇三挠子群的实用方法，并将其应用于计算导子在2处局部指数的野部分。
2025-09-24 math.NT
Modular invariants for genus 3 hyperelliptic curves
在这篇文章中，我们证明了一个类似的定理的Lachaud，Ritzenthaler，和Zykin，这使我们能够连接不变量的二元oc-tics西格尔模形式的亏格3。我们使用这种连接表明，某些模函数，当限制到超椭圆轨迹，假设值的乘积是相关的超椭圆曲线的坏约化素数的权力。我们用显式计算来说明我们的定理。这项工作的动机是研究这些模函数的价值在CM点的西格尔上半空间，其中，如果他们的分解器是已知的，可以用来有效地计算模型（超椭圆，在我们的情况下）曲线CM。
2019-03-08 math.NT
Families of Explicit Isogenies of Hyperelliptic Jacobians
我们构造了亏格为6，12和14的三维超椭圆曲线族，亏格为3，6，7，10，20和30的二维超椭圆曲线族，亏格为5，10和15的一维超椭圆曲线族，所有这些曲线族都具有从它们的Jacobian到另一个超椭圆Jacobian的显式同构.我们证明了雅可比算子是一般绝对简单的，并描述了同构的核。这些族是从Cassou-Noguès和Couveignes对多项式对$(f,g)$的显式分类导出的，使得$f(x_1) - g(x_2)$是可约的。
2009-09-29 math.NT
Computing twists of hyperelliptic curves
本文给出了计算任意亏格的超椭圆曲线在任意可分域（特征不等于2）上的扭转方程的一个有效算法，并给出了一些有趣的例子.
2018-09-26 math.NT
Most hyperelliptic curves over Q have no rational points
所谓Q上的超椭圆曲线，我们指的是Q上的光滑的、几何上不可约的、完备的曲线C，它具有一个定义在Q上的到P^1的2次固定映射。因此，任何亏格为g的Q上的超椭圆曲线C都可以通过以下形式的方程嵌入加权射影空间P（1，1，g+1）：z^2 = f（x，y）= f_0 x^n + f_1 x^{n-1} y +.. + 其中n=2g+2，系数fi位于Z中，f在Q-棒上分解为不同的线性因子。通过H（C）：=max{ |f_i| }定义C的高度H（C），并按高度对亏格g的Q上的所有超椭圆曲线进行排序。证明了当g趋于无穷大时：1）亏格g的超椭圆曲线的密度接近100%时没有有理点; 2）亏格g的局部处处有点的超椭圆曲线的密度接近100%时不满足Hasse原理; 3）亏格g的超椭圆曲线的密度接近100%时有空Brauer集，即有一个Brauer-Manin障碍来获得有理点。我们还证明了这种类型的个别属，包括g = 1的正比例结果。
2013-08-02 math.NT
Selmer Ranks of twists of hyperelliptic curves and superelliptic curves
本文研究了超椭圆曲线和超椭圆曲线的挠率的Jacobian的Selmer秩的变化。我们找到了这样的曲线有无限多个扭曲的雅可比矩阵的塞尔默秩等于$r$，任何给定的非负整数$r$的充分条件。这推广了Mazur-Rubin关于椭圆曲线的早期结果。
2015-11-23 math.NT
Determinant Expressions for Hyperelliptic Functions in Genus Three
本文将Frobenius-Stickelberger公式和Kiepert公式推广到亏格为三的情形。后者是已知的任意椭圆曲线的任意除多项式的行列式表达式。
2001-07-26 math.AG math.NT
Twists of non-hyperelliptic curves
本文给出了一种计算定义在任意（完美）域$k$上的非奇异射影曲线的扭曲集的方法。该方法是基于扭转和解决方案之间的对应关系的伽罗瓦嵌入问题。当此外，这条曲线是非超椭圆，我们展示了如何计算方程的扭曲。如果$k = \mathbb{F}_{q}$，则该方法成为算法，因为在这种情况下，出现的伽罗瓦嵌入问题已知如何解决。作为一个例子，我们计算的扭曲的非超椭圆亏格$6$曲线$x^{7}-y^{3}z^{4}-z^{7} = 0$时，我们认为它定义在一个数域，使$[k(ζ_{21}):k] = 12$。对于每一个扭曲方程显示。
2015-03-11 math.NT
Twists of hyperelliptic curves by integers in progressions modulo $p$
设$f(x)$是具有整数系数和非零判别式的非常数多项式。研究了无平方因子整数集合$d$的模素数分布，使得曲线$dy^2=f(x)$具有非平凡有理点或整数点.
2019-03-20 math.NT
The fluctuations in the number of points on a hyperelliptic curve over a finite field
在$q$元素的域上的超椭圆曲线上的点的数目可以表示为$q+1+S$，其中$S$是特定的字符和。我们研究波动的$S$的曲线变化超过一个大家庭的超椭圆曲线属$g$。对于固定亏格和增长的$q$，Katz和Sarnak证明了$S/\sqrt{q}$是随机$2g\times 2g$酉辛矩阵的迹。当有限域固定且亏格增长时，我们发现$S$的极限分布是$q$独立三项随机变量之和的极限分布，其值$\pm 1$的概率为$1/2(1+q^{-1})$，值0的概率为$1/(q+1)$ .当亏格和有限域都增长时，我们发现$S/\sqrt{q}$具有标准高斯分布.
2008-10-07 math.NT
On Quadratic Twists of Hyperelliptic Curves
设C是定义在具有代数闭剩余域k的离散赋值域K上的具有好约化的超椭圆曲线.此外，假设char k \ne 2.给定d \in K^* \K^* 2，我们引入了C的二次扭曲的最小正则模型的明确描述。作为应用，我们证明了：如果C/Q是由y ^2 = f（x）给出的非奇异超椭圆曲线，其中f是不可约多项式，则存在C的非处处局部可解的二次素扭的正密度族.
2012-06-03 math.NT
Computing isogenies between jacobians of hyperelliptic curves of arbitrary genus via differential equations
设$p$为奇素数，且为与$p$互质的整数.本文研究了$p$ -进数域$\mathbb{Q}\_p$的扩张$K$上任意亏格的超椭圆曲线的Jacobian之间的$(\ell,...,\ell)$ -同构的显式有理表示的算法.该算法在$\ell$和曲线的亏格上都具有拟线性复杂度。
2021-02-16 math.AG math.NT
Traces of High Powers of the Frobenius Class in the Moduli Space of Hyperelliptic Curves
有限域上的曲线$C$的Zeta函数可以用酉矩阵$Θ_C$的特征多项式表示。在Rudnick工作的基础上，我们计算了有限域$\mathbb{F}_q$上亏格为$g$的超椭圆曲线的模空间上的$\mbox{tr}(Θ_C^n)$在大亏格极限下的期望值.作为应用，我们计算了当亏格趋于无穷大时，$C$在$\mathbb{F}_{q^n}$中的点数的期望值。我们还研究了小值$n$的两个预期值的偏倚。
2015-10-21 math.NT
Statistics for products of traces of high powers of the frobenius class of hyperelliptic curves
研究了固定有限域上亏格为g的超椭圆曲线的Frobenius类的高次幂迹的平均.我们证明了当亏格g增大时，这些乘积的极限期望等于曲线在酉辛群USp（2 g）上变化时的期望.我们还考虑了超椭圆曲线的Frobenius类特征相位的线性统计量的标度极限，并证明了它们的前几阶矩是高斯的。
2011-05-23 math.NT
The Number of Rational Points On Genus 4 Hyperelliptic Supersingular Curves in Characteristic 2
有限域上曲线领域的一个大问题是关于点的个数的分布：在亏格为$g$的曲线上，哪些数是点的个数？同样的问题也可以问到曲线的各种子类。本文对$2^n$，$n$奇阶有限域上亏格为4的超奇异超椭圆曲线上点数的可能性进行了分类.
2010-12-01 math.AG math.NT
Isolated Curves for Hyperelliptic Curve Cryptography
引入了孤立亏格两条曲线的概念。由于没有已知的有效算法来显式地构造具有大导体间隙的两个亏格的两条曲线之间的同构，离散对数问题（DLP）不能有效地从孤立曲线转移到大的同构曲线集合。因此，孤立亏格两条曲线可能是更安全的DLP基于超椭圆曲线密码。建立了极大CM阶自同态环的指数的显式表达式，并对三类不同的四次CM域给出了指数为素数或几乎素数的条件.我们还得到了在任意固定的四次CM域上，孤立亏格两条CM曲线的密度和分布的启发式渐近结果。计算结果，这也显示了三个明确的例子，同意与启发式预测的误差在可容忍的范围内。
2012-02-26 math.NT
The a-number of hyperelliptic curves
已知对于具有大的$a$数的光滑超椭圆曲线，亏格相对于定义曲线的域的特征$p>0$必须小。Elkin证明了对于亏格$g$超椭圆曲线$C$具有$a_C=g-1$，亏格由$g<\frac{3p}{2}$界定。在本文中，我们表明，这个界限可以降低到$g <p$。证明的方法是强迫卡蒂埃-马宁矩阵具有秩1，并检查对定义超椭圆曲线的仿射方程的限制。然后，我们使用这个界限来总结当$p=3,5$和$7$。
2017-06-26 math.NT
Factorization with genus 2 curves
椭圆曲线方法（ECM）是最好的因式分解方法之一。可以使用超椭圆曲线来代替椭圆曲线，但理论上它更慢。我们使用特殊的超椭圆曲线和Kummer曲面来降低算法的复杂度。我们的实现GMP-HECM比GMP-ECM更快地分解大数字。
2009-05-14 math.NT
Statistics of the Jacobians of hyperelliptic curves over finite fields
设$C$是基数为$q$的有限域$\F$上亏格为$g \ge 1$的光滑射影曲线.本文首先研究了当$\F(C)/\F(X)$是几何Galois扩张时，$C$在$\F$上的Jacobian的大小，即$\#\J_C$.这改进了Shparlinski \cite{shp}的结果。然后，我们研究的波动量$\log \#\J_C-g \log q$的曲线$C$变化的一个大家庭的超椭圆曲线的属$g$。对于固定亏格和增长的$q$，Katz和Sarnak证明了$\sqrt{q}\left(\log \# \J_C-g \log q\right)$作为随机$2g \times 2g$酉辛矩阵的迹分布。当有限域固定且亏格增长时，我们用特征函数找到了$\log \#\J_C-g \log q$的极限分布。当亏格和有限域都增长时，我们发现$\sqrt{q}\left(\log \# \J_C-g \log q\right)$具有标准高斯分布。
2010-07-27 math.NT
Chabauty-Coleman experiments for genus 3 hyperelliptic curves
我们描述了一个计算有理点格为3的超椭圆曲线$C$定义在$\mathbb{Q}$的雅可比矩阵具有Mordell-Weil秩1。利用Chabauty和Coleman的方法，提出并在Sage中实现了一个计算两个Coleman积分的零轨迹的算法，并分析了由这些积分的消失所切出的有限集。我们运行的算法约17,000曲线从即将到来的数据库属3超椭圆曲线，并讨论了一些有趣的例子，其中零集包括全球点没有发现在$C(\mathbb{Q})$。
2018-05-09 math.AG math.NT
Linear complexity of some sequences derived from hyperelliptic curves of genus 2
对于有限域上给定的超椭圆曲线$C$，考虑由$W_n=W_{n-1}+D$定义的同余生成元的超椭圆模拟，其中$C$的Jacobian为$n\geq 1$和$D,W_0\in J_C$ .我们证明亏格2的曲线产生具有大线性复杂度的序列。
2021-02-04 cs.IT math.IT math.NT
Factorization patterns and fields of definition of $\ell$-torsion points on the Jacobians of genus 3 hyperelliptic curves
Instituto de Matemáticas, Universidad del Valparaíso（瓦尔帕莱索大学数学研究所）；Departamento de Ciencias Básicas, Universidad del Bío-Bío（比奥比奥大学基础科学系）
该研究针对有限域上亏格3超椭圆曲线雅可比矩阵的ℓ-挠点问题，通过分析Frobenius作用的若尔当分解，将ℓ-挠点定义域次数的界从O(ℓ⁶)改进到O(ℓ⁴)，并建立了ℓ-挠子群秩与伽罗瓦轨道的对应关系。
2026-09-04 math.NT
Computing rational points on rank 0 genus 3 hyperelliptic curves
计算$\mathbb{Q}$上亏格$3$奇次超椭圆曲线$C$上的有理点，这些曲线的Jacobian为Mordell-Weil秩$0$ .该计算应用Chabauty-Coleman方法来找到$p$ -adic积分的某个系统的零点集，该系统已知是有限的并且包括有理点$C(\mathbb{Q})$的集合。我们在Sage中实现了一种算法，以在$5870$曲线数据库上执行Chabauty-Coleman方法。
2020-09-23 math.AG math.NT
Efficient search for superspecial hyperelliptic curves of genus four with automorphism group containing $\mathbb{Z}_6$
在算术和代数几何中，superspecial（s.sp.）曲线是密码学和编码理论中最重要的研究对象之一。如果是$g \geq 4$，则甚至不知道在一般特征$p > 0$中是否存在这样一条属$g$的曲线，而在$g=4$的情况下，已经提出了几种搜索这些曲线的计算方法。在亏格- $4$超椭圆的情况下，Kudo-Harashita提出了一个通用算法来枚举所有的s.sp.。曲线，最近Ohashi-Kudo-Harashita提出了一个算法，具体的情况下，自同构群包含克莱因4-群。本文提出了一个理论上复杂度为$\tilde{O}(p^4)$，实际上复杂度为$\tilde{O}(p^3)$的算法来计数s.sp.亏格为4的超椭圆曲线，其自同构群包含$6$阶循环群。通过在Magma上执行该算法，我们列举了$p$到$1000$的那些曲线。我们还成功地找到了一种S.sp.。在每个具有$p \equiv 2 \pmod{3}$的$p$中亏格$4$的超椭圆曲线。作为理论结果，在附录中我们用自同构群对亏格$4$的超椭圆曲线进行了分类。
2022-10-26 math.AG math.NT
Constructing genus 3 hyperelliptic Jacobians with CM
给定一个六次CM域$K$，通过对它们的Rosenhain不变量的逼近，给出了一个求定义在$\mathbb{C}$上的所有亏格为3的超椭圆曲线的显式方法，这些曲线的Jacobian是简单的，并且与该域的极大序模有复乘.在翁的工作的基础上，我们给出了一个算法，该算法在完全的一般性，任何CM六次域$K$，并计算极小多项式的Rosenhain不变量的雅可比矩阵的任何周期。该算法通过求Rosenhain极小多项式模$p$的根，可以在有限域$\mathbb{F}_p$上生成亏格为3的超椭圆曲线.
2016-06-01 math.AG math.NT
Computing torsion subgroups of Jacobians of hyperelliptic curves of genus 3
给出了亏格为3的超椭圆曲线在有理数上的雅可比矩阵的有理挠子群的计算方法。我们应用岩浆实现我们的算法的曲线数据库，由于萨瑟兰低判别以及一系列的曲线系数小。在这个过程中，我们发现了一些以前没有在文献中描述的扭转结构。该算法是一个推广的算法属2由于斯托尔，我们扩展到满足一定条件的阿贝尔簇。我们的想法是计算p-adic扭转升降机的点在有限域使用库默尔品种，并检查他们是否合理使用高度。Stoll对亏格为3的超椭圆曲线的雅可比行列式都作了明确的表示。本文部分基于第二名作者的硕士论文。
2023-03-16 math.AG math.NT
Algebraic families of hyperelliptic curves violating the Hasse principle
在$2000$中，Colliot-Thélène和Poonen展示了如何构建代数族的属一曲线违反哈塞原则。Poonen明确地构建了一个代数家庭的属一立方曲线违反哈塞原则使用一般方法开发的Colliot-Thélène和他自己。本文的主要结果将Colliot-Thélène和Poonen的结果推广到任意高亏格的超椭圆曲线.更准确地说，对于$n > 5$和$n \not\equiv 0 \pmod{4}$，我们表明，有一个代数家庭的超椭圆曲线属$n$是反例哈塞原则解释的Brauer-Manin障碍。
2014-07-27 math.AG math.NT
Non hyperelliptic curves of genus three over finite fields of characteristic two
设k=F_q是偶特征的有限域。本文给出了定义在k上的非奇异四次平面曲线的一个完全分类，直至k-同构。我们发现明确的理性正常的模式，我们给闭公式的总数k-同构类。通过这些计算，我们导出了亏格为3的曲线的模空间M_3的非超椭圆轨迹M_3^{nh}的牛顿多边形的不同层次的k-有理点的个数。通过把已知的超椭圆轨迹的结果加到这些计算中，我们得到了M_3的这些地层的完整图象。
2004-02-02 math.AG math.NT
An intriguing hyperelliptic Shimura curve quotient of genus 16
设$F$是$\mathbf{Q}(ζ_{32})$的极大全实子域，$F$的分圆域和单位根.设$D$是$F$上的四元数代数，它恰好在$2$上的唯一素数和$F$的7个实位上分歧。设$\mathcal{O}$是$D$中的最大阶数，$X_0^D(1)$是附着在$\mathcal{O}$上的Shimura曲线。设$C = X_0^D(1)/\langle w_D \rangle$，其中$w_D$是$X_0^D(1)$上唯一的Atkin-Lehner对合。我们表明，曲线$C$有几个显着的特点。首先，它是亏格为$16$的超椭圆曲线，其超椭圆对合是例外的。第二，在$C$上有$34$ Weierstrass点，并且这些点中正好有一半是CM点;它们定义在包含在$\mathbf{Q}(ζ_{64})$中的类数$17$的唯一CM扩张$E/F$的希尔伯特类域上，$64$的单位根的分圆域。第三，$2$域的正规闭包-$C$的雅可比矩阵的挠率是Harbater域$N$，即在$2$和$\infty$之外未分歧的唯一伽罗瓦数域$N/\mathbf{Q}$，具有伽罗瓦群$\mathrm{Gal}(N/\mathbf{Q})\simeq F_{17} = \mathbf{Z}/17\mathbf{Z} \rtimes (\mathbf{Z}/17\mathbf{Z})^\times$。实际上，雅可比矩阵$\mathrm{…
2021-03-16 math.NT
Hyperelliptic curves and their invariants: geometric, arithmetic and algorithmic aspects
我们应用经典的不变量理论的二进制形式明确的同构类的小亏格的超椭圆曲线的特点，相反，提出了算法重建超椭圆模型从给定的不变量。我们主要研究亏格为3的超椭圆曲线。几何和算术方面被认为是。
2011-11-17 math.AG math.NT
Recursion Relation of Hyperelliptic Psi-Functions of Genus Two
D.G. Cantor（J. reine angew. Math.447（1994）91-145）。由于康托的方法是代数的，另一个推导是作为一个自然的扩展的椭圆psi函数的递归关系的解析推导。
2002-07-24 math-ph math.AG math.MP
Hasse principle violation for algebraic families of del Pezzo surfaces of degree 4 and hyperelliptic curves of genus congruent to 1 modulo 4
本文构造了无限多个显式单参数代数族，包含次数为4的del Pezzo曲面和亏格模4余1的超椭圆曲线，证明其每个K成员都违反Hasse原则，并由Brauer-Manin障碍解释。
2025-06-02 math.AG math.NT
The p-rank strata of the moduli space of hyperelliptic curves
证明了特征p > 2时，p阶地层与超椭圆曲线模空间边界相交的结果。在此基础上，我们证明了亏格为g，p秩为f的超椭圆曲线的层H_g^f的每个不可约分支的Z/ \ell -单值性是辛群Sp_{2g}（Z/ \ell），如果g > 2，f > 0，且\ell是不同于p的奇素数.这些结果给出了亏格为g，p秩为f的超椭圆曲线的通有性的应用.第一个应用是亏格g > 2且p秩为0的一般超椭圆曲线不是超奇异的。其他应用是关于绝对简单的雅可比行列式和类群的一般行为和给定亏格的超椭圆曲线的zeta函数和有限域上的$p$ -秩。
2009-12-18 math.AG math.NT
On superspecial hyperelliptic curves of genus 5 whose automorphism groups contain $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^3$
Graduate School of Information Science and Technology, The University of Tokyo（东京大学信息理工学研究科）；Fukuoka Institute of Technology（福冈工业大学）
本文提出一种算法，用于枚举 genus 5 超特殊双曲曲线，其自同构群包含$(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^3$，并在特征 11 < p < 1000 的情况下成功实现。
2026-03-23 math.AG math.NT
Hyperelliptic curves covering an elliptic curve twice
本文证明了对特征不等于2和3的域上的任意椭圆曲线（j不变量不为0或1728），存在亏格为5的超椭圆曲线H，H具有两个到给定椭圆曲线的独立映射.我们还表明，如果我们希望这样的曲线是几何超椭圆的，所以有一个度2映射到一个圆锥曲线，那么有一些亏格3。
2013-03-18 math.AG math.NT
Genus-five hyperelliptic or trigonal curves with many rational points in characteristic three
数$N_9(5)$，即$5$亏格的$\mathbb{F}_9$上曲线上的$\mathbb{F}_9$ -有理点的最大数是未知的，但已知$32 \le N_9(5)\le 35$。本文列举了$\mathbb{F}_3$上具有多个$\mathbb{F}_9$ -有理点（和$\mathbb{F}_3$ -有理点）的超椭圆曲线和三角曲线，特别是这些曲线的$\mathbb{F}_9$ -有理点的最大数目为$30$ .工藤原下研究了非超椭圆和非三角的情况，他们发现了一个新的例子，曲线（超过$\mathbb{F}_3$）的亏格5，达到$32$，并证明了没有例子达到超过$32$，在六次平面曲线与温和的奇异性。我们从本文的主要结果得出结论，我们需要搜索六次模型（即，非超椭圆和非三角形），以便找到具有至少$33$ $\mathbb{F}_9$ -有理点的$\mathbb{F}_3$上的亏格五曲线。
2022-04-14 math.AG math.NT
Counting hyperelliptic curves
给出了有限域$k=\mathbb{F}_q$上亏格为$g$的超椭圆曲线的个数$\operatorname{hyp}(g)$的一个闭公式.这些数$\operatorname{hyp}(g)$表示为$q$中的多项式，其整数系数取决于$q-1$和$q+1$的约数集。作为副产品，我们得到了亏格$g$的自对偶曲线个数的一个闭公式。超椭圆曲线是自对偶的，如果它是$k$ -同构于它自己的超椭圆扭曲。
2007-03-19 math.AG math.NT
Isogenies for point counting on genus two hyperelliptic curves with maximal real multiplication
Schoof的经典算法允许在多项式时间内对有限域上的椭圆曲线进行点计数。该算法随后由Atkin改进，使用模块多项式的因式分解，并由Elkies使用显式同构理论。移动到亏格2曲线的雅可比行列式，点计数的当前技术状态是Schoof算法的推广。虽然我们目前缺少的工具，我们需要推广埃尔基的方法属2，最近马丁代尔和米利奥计算类似的模块多项式属2曲线的雅可比矩阵有真正的乘法极大序模的小判别。在这篇文章中，我们证明了Atkin风格的结果与实乘极大序模的亏格-2雅可比，以期使用这些新的模多项式，以提高点计数算法的实用性，这些曲线。
2017-04-19 cs.CR math.NT
An explicit theory of heights for hyperelliptic Jacobians of genus three
我们开发了一个明确的理论库默尔品种相关的雅可比超椭圆曲线的亏格3，在任何领域$k$的特征$\neq 2$。特别是，我们提供明确的方程定义的库默尔品种$\mathcal K$作为一个子品种的$\mathbb P^7$，连同明确的多项式给出重复映射$\mathcal K$。仔细研究退化的这张地图，然后形成的基础上发展的明确理论的高度等雅可比矩阵时，$k$是一个号码字段。我们使用这个输入，以获得一个很好的约束之间的差异天真和典型的高度，这是一个必要的成分明确确定的Mordell-Weil组。我们用两个例子来说明我们的结果。
2017-03-19 math.AG math.NT
A positive proportion of monic odd-degree hyperelliptic curves of genus $g \geq 4$ have no unexpected quadratic points
本文证明对每个亏格 $g\geq 4$，正比例的首一奇次数超椭圆曲线除拉回点外无二次点，推广了 Poonen-Stoll 关于有理点的结果。
2024-08-21 math.AG math.NT
Non-hyperelliptic modular curves of genus 3
Universidad Autónoma de Madrid（马德里自治大学）；Instituto de Ciencias Matemáticas (CSIC-UAM-UC3M-UCM)（数学科学研究所）
本文研究了亏格为3的非超椭圆模曲线的模性，提出了一种判定其模性的条件和计算其方程的算法，并探讨了新的模曲线的定义。
2026-02-19 math.AG math.NT
The average size of the 2-Selmer group of a family of non-hyperelliptic curves of genus 3
我们表明，平均大小的$2$ -塞尔默组的家庭的雅可比非超椭圆属- $3$曲线有一个显着的合理hyperflex点，当有序的自然高度，是有界以上的$3$。我们实现这一点，通过解释$2$ -塞尔默元素的积分轨道的代表与一个稳定的$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ -分级的李代数类型$E_6$和使用Bhargava的轨道计数技术。我们使用这个结果表明，标记点是唯一的有理点的一个积极的比例曲线在这个家庭。主要的新颖之处是建设的积分代表使用某些性质的紧致雅可比的简单曲线奇异的类型$E_6$，和一个代表性理论解释的芒福德θ组自然与我们的家庭的曲线。
2021-09-07 math.AG math.NT
Computing superspecial hyperelliptic curves of genus 4 with automorphism group properly containing the Klein 4-group
本文提出算法，在Magma上枚举或寻找自同构群真包含Klein 4群的亏格4超特殊超椭圆曲线，成功枚举了$19 \leq p < 500$的所有曲线，并为$19 \leq p < 7000$的每个$p$找到一条。
2023-12-28 cs.SC math.AG math.NT
Counting points on genus-3 hyperelliptic curves with explicit real multiplication
我们提出了一个Las Vegas概率算法来计算定义在有限域$\mathbb F_q$上的亏格-3超椭圆曲线的zeta函数，并在全实三次域中用一阶$\mathbb Z[η]$进行显式实数乘法。我们的主要结果表明，该算法需要一个预期数量的$\widetilde O((\log q)^6)$位操作，在$\widetilde O()$中的常数取决于环$\mathbb Z[η]$和多项式的次数表示的自同态$η$。作为概念验证，我们计算在64位素域上定义的曲线的zeta函数，并通过$\mathbb Z[2\cos(2π/7)]$进行显式实数乘法。
2018-09-20 cs.SC math.AG math.NT
Average size of the 2-Selmer group of Jacobians of monic even hyperelliptic curves
Manjul Bhargava和Benedict Gross在文献[5]中考虑了$\Q$上的超椭圆曲线族具有固定的亏格和一个标记的有理Weierstrass点.他们表明，当按高度排序时，这些曲线的雅可比行列式的2-Selmer群的平均大小为3。本文考虑了$\Q$上的一类具有固定亏格和一个标记有理非Weierstrass点的超椭圆曲线.我们表明，当这些曲线的高度排序，其雅可比矩阵的2-Selmer群的平均大小是6。这就产生了这些超椭圆曲线的雅可比行列式的Mordell-Weil群的平均秩的上界为5/2。最后，使用等分布结果，我们修改了[16]的技巧，从而得出结论：当$g$趋于无穷大时，具有亏格$g$的这些一元偶次超椭圆曲线中趋于1的部分恰好具有两个有理点-无穷远处的标记无穷远点及其超椭圆共轭。
2014-02-17 math.AG math.NT
Elliptic curves with common torsion $x$-coordinates and hyperelliptic torsion packets
我们建立了扭转包之间的连接曲线的属$2$和椭圆曲线对实现为双覆盖的投影线$\mathbb{P}_{x}^{1}$，有许多共同的扭转$x$坐标。这可以用来表明公共扭转$x$坐标的集合具有至少$22$的大小，并且在某些情况下具有$34$元素。我们还解释了我们如何获得当前记录的例子超椭圆扭转包的亏格$2$曲线。
2022-06-24 math.AG math.NT
Explicit Rational Group Law on Hyperelliptic Jacobians of any Genus
众所周知，阿贝尔簇是射影的，因此存在明确的多项式和有理函数来定义簇及其群律。然而，很难找到任何明确的多项式和有理函数来描述这些变量或它们在大于2维中的群律。一个例外可以在Mumford的经典“Lectures on Theta”中找到，在那里他描述了如何获得超椭圆Jacobian的显式模型，作为描述为显式多项式方程的消失轨迹的几个仿射片段的联合。在这篇文章中，我们推广了这一工作，给出了稠密开集上的群律的显式方程。人们可以把这些方程看作是椭圆曲线上通常的基于弦的群律的推广。
2018-08-05 math.AG math.NT
Hyperelliptic curves in characteristic 2
本文证明了对任意整数n>1，F_2杆上不存在亏格为2^n-1的超椭圆超奇异曲线。设g为自然数，h=floor（log_2（g+1）+1）。设X是亏格g>2且2秩为零的F_2bar上的超椭圆曲线，由仿射方程y ^2-y= c_{2g+1} x^{2g+1} +.+ c_1 x.证明了X的牛顿多边形的第一斜率大于或等于1/h。我们还证明了当（I）g<2^h-2，c_{2^h-1}非零，或（II）g=2^h-2，c_{2^h-1}或c_{3（2^{h-1}）-1}非零时，等式成立.本文证明了F_2杆上亏格为4的超椭圆曲线正是满足方程y^2 - y = x^9 + ax^5 + bx^3的曲线。
2001-05-03 math.AG math.NT
On Faltings' Delta-Invariant of Hyperelliptic Riemann Surfaces
本文证明了任意超椭圆Riemann曲面的Faltings $δ$ -不变量的新的显式公式。这有几个应用：例如，我们得到了$δ$的一个仅依赖于亏格的显式下界，并推导了数域上与超椭圆曲线相关的Arakelov自相交数$ω^2$的新的显式界.进一步，我们得到了亏格至少为$3$的超椭圆曲线的Szpiro小点猜想的一个改进.我们的方法允许我们另外建立一个推广的Rosenhain的公式对$θ$ -衍生物的瓜迪亚。
2016-05-04 math.AG math.NT
Pointless Hyperelliptic Curves
本文研究了在$\FF_q$上是否存在亏格为$g$的超椭圆曲线，该曲线在$\FF_q$上没有有理点，且对不同的对$(g,q)$ .
2012-09-13 math.AG math.NT
An effective proof of the hyperelliptic Shafarevich conjecture
设$C$是数域$K$上亏格为$g\geq 1$的超椭圆曲线，在$K$的有限位置集$S$之外具有好约化.证明了$C$在$K$的整数环上有Weierstrass模型，其高度仅根据$g$，$S$和$K$有效有界.特别地，我们得到了对于任意给定的数域$K$，$K$的有限位置集$S$和整数$g\geq 1$，原则上可以确定亏好约化为$S$的$K$上超椭圆曲线的$K$ -同构类的集合.
2013-10-24 math.AG math.NT
