亏格3超椭圆曲线雅可比矩阵上ℓ-挠点的分解模式与定义域域
Factorization patterns and fields of definition of $\ell$-torsion points on the Jacobians of genus 3 hyperelliptic curves
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中文总结 AI 辅助
该研究针对有限域上亏格3超椭圆曲线雅可比矩阵的ℓ-挠点问题，通过分析Frobenius作用的若尔当分解，将ℓ-挠点定义域次数的界从O(ℓ⁶)改进到O(ℓ⁴)，并建立了ℓ-挠子群秩与伽罗瓦轨道的对应关系。
中文摘要 AI 辅助
受Schoof-Pila型点计数算法的启发，我们研究了有限域上亏格3超椭圆曲线雅可比矩阵上ℓ-挠点伽罗瓦轨道的定义域域与分解模式。我们证明ℓ-挠点定义域域的次数可被限制在O(ℓ⁴)，改进了此前预期的O(ℓ⁶)界（该界反映了ℓ-挠子群的大小，亏格3雅可比矩阵的ℓ-挠子群阶为ℓ⁶）。此外，我们建立了ℓ-挠子群的秩与ℓ-挠除子的伽罗瓦轨道之间的精确对应关系。我们的方法依赖于对Frobenius作用在J上的若尔当分解及其幂零部分的详细分析。
英文摘要
Motivated by Schoof-Pila-type point-counting algorithms, we study the fields of definition and factorization patterns of Galois orbits of $\ell$-torsion points on the Jacobians of genus-3 hyperelliptic curves over finite fields. We show that the degree of the field of definition of the $\ell$-torsion points can be bounded by $O(\ell^4)$, improving the previously expected $O(\ell^6)$ bound (which reflects the size of the $\ell$-torsion subgroup, of order $\ell^6$ for a genus 3 Jacobian). Moreover, we establish a precise correspondence between the rank of the $\ell$-torsion subgroup and the Galois orbits of $\ell$-torsion divisors. Our approach relies on a detailed analysis of the Jordan decomposition of the Frobenius action on $J$ and its nilpotent part.
发表机构
- Instituto de Matemáticas, Universidad del Valparaíso（瓦尔帕莱索大学数学研究所）
- Departamento de Ciencias Básicas, Universidad del Bío-Bío（比奥比奥大学基础科学系）
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