Quartic points on the Fermat quintic
本文研究了方程$x^5+y^5+z^5=0$的Fermat曲线$F_5/\mathbb{Q}$上$4$在$\mathbb{Q}$上的次数代数点. 1997年，Klassen和Tzerlaut给出了这些点的几何描述。利用他们的结果，以及Bruin的工作，丢番图方程的签名$(5,5,2)$，我们在这里给出了一个代数描述这些点。特别是，我们证明了只有一个伽罗瓦扩展的$\mathbb{Q}$的程度$4$产生的领域的定义的一个非平凡点的$F_5$。
2017-06-12 math.NT
The largest cycles consist by the quadratic residues and Fermat primes
本文研究了由模素数的二次剩余构成的最大圈。我们给出了一些关于圈的最大长度的公式。特别地，给出了模Fermat素数的计算公式。
2016-01-27 math.NT
Fermat near misses and the integral Hilbert Property
Max Planck Institute for Mathematics（马克斯·普朗克数学研究所）；University of Bath（巴斯大学）
本文研究了四次费马方程的近似解问题，通过德尔皮佐表面几何学证明了积分点非稀疏性。
2025-12-12 math.AG math.NT
On Shafarevich-Tate groups and the arithmetic of Fermat Curves
本文推广了第一作者关于素数阶费马曲线商的雅可比行列式的Shafarevich-Tate群中的非平凡元素的结果，并利用第二作者的方法导出了19阶费马曲线上二次点的一个结果。
2002-10-31 math.AG math.NT
On Fermat's equation over some quadratic imaginary number fields
假设一个深刻的，但标准的猜想在朗兰兹计划，我们证明了费马大定理在$\mathbb Q(i)$。在同样的假设下，我们还证明了对所有的素指数$p \geq 5$，费马方程$a^p+b^p+c^p=0$在$\mathbb Q(\sqrt{-2})$和$\mathbb Q(\sqrt{-7})$上不存在非平凡解.
2018-04-24 math.NT
Fermat's Last Theorem over some small real quadratic fields
使用模块化，降低水平，并明确计算与希尔伯特模块化形式，伽罗瓦表示和射线类组，我们表明，$3 \le d \le 23$ squarefree，$d \ne 5$，$17$，费马方程$x^n+y^n=z^n$没有非平凡的解决方案，在二次域$\mathbb{Q}(\sqrt{d})$的$n \ge 4$。此外，我们表明，同样适用于素指数$n \equiv 3$，$5 \pmod{8}$的$d=17$。
2014-09-18 math.NT
Fermat's Last Theorem and modular curves over real quadratic fields
本文研究了二次域$\mathbb{Q}(\sqrt{d})$上的Fermat方程$x^n+y^n=z^n$，其中$d$是无平方的，有$26 \leq d \leq 97$ .通过研究二次点上的模曲线$X_0(N)$，$d$ -正则素数，并与Hecke运营商的空间的希尔伯特新形式，我们扩展工作的Freitas和Siksek表明，大多数squarefree $d$在这个范围内有没有非平凡的解决方案，这个方程的$n \geq 4$。
2022-10-17 math.NT
On Serre's modularity conjecture and Fermat's equation over quadratic imaginary fields of class number one
本文推广了作者以前的结果，证明了当$K$是任何类数为1的二次虚域时，Fermat方程$a^p+b^p+c^p=0$不存在整数互质解$a,b,c \in K \setminus \{ 0 \}$使得$2 \mid abc$和$p \geq 19$是素数.这些结果证明了Serre模猜想的自然推广的正确性。
2019-08-28 math.NT
On algorithms to obtain linear determinantal representations of smooth plane curves of higher degree
给出了计算域上任意次数光滑平面曲线的线性行列式表示的两个算法。作为特殊的例子，我们明确地给出了所有等价类的线性行列式表示的两个特殊的四次在域$\mathbb{Q}$的有理数，克莱因四次和费马四次。本文是第三作者在2018年3月JSIAM JANT算法数论研讨会上的演讲总结。细节将出现在其他地方。
2018-12-27 math.AG math.NT
Asymptotic Generalized Fermat's Last Theorem over Number Fields
Freitas和Siksek最近的工作表明，费马大定理的渐近版本对许多全实域都成立。后来这个结果被Deconinck推广到形式为$Ax^p +By^p +Cz^p = 0$的广义费马方程，其中A;B;C是属于全实数域的奇数。另一个扩展是由森un和Siksek。他们证明了费马方程对于满足通常的模性定理的虚二次数域渐近成立。结合他们的技巧，我们将他们关于广义Fermat方程的结果推广到虚二次域。更具体地说，我们证明了渐近广义费马大定理对许多二次虚数域成立。
2019-04-08 math.NT
Solutions of the cubic Fermat equation in quadratic fields
我们给出了一个平方自由整数$d$的充要条件，有非平凡的解决方案$x^{3} + y^{3} = z^{3}$在$\Q(\sqrt{d})$，条件的伯奇和Swinnerton-Dyer猜想。这些条件类似于J. Tunnell在他的全等数问题的解决方案中获得的条件。
2012-11-15 math.NT
Nontrivial solutions to the Fermat equation $x^3+y^3=kz^3$ over quadratic number fields
本研究通过建立二次数域上费马方程与有理数域上特定椭圆曲线点的对应关系，给出了该方程存在非平凡解的充分条件，为数论中相关方程解的判定提供了新方法。
2025-01-17 math.NT
Quartic del Pezzo surfaces over $\mathbb{F}_p(t)$ without quadratic points
University College London（伦敦大学学院）；University of Bath（巴斯大学）；Leiden University（莱顿大学）
研究构造了无二次点的四次德尔皮佐表面，并展示了Brauer--Manin障碍。
2026-02-25 math.AG math.NT
Parametrizing quartic algebras over an arbitrary base
我们参数化四次交换代数在任何基环或计划（等价有限，平坦度四$S$ -计划），其三次预解式，对三元二次型的基础。这推广了Bhargava的参数化的四次环与他们的三次预解环在$\mathbb{Z}$通过对整数三元二次型，以及Casnati和Ekedahl的建设Gorenstein四次覆盖的某些秩2家庭的三元二次型。本文给出了由任意一对三元二次型构成的四次代数的一个尺规作图法，证明了这个构造与基变交换，并且与Bhargava在$\mathbb{Z}$上的显式构造一致.
2010-07-30 math.AG math.NT
The Asymptotic Fermat's Last Theorem for Five-Sixths of Real Quadratic Fields
设$K$是一个全实数域。关于$K$的渐近费马大定理，我们指的是存在一个常数$B_K$，使得对于素指数$p>B_K$，在$K$中具有$a$，$b$，$c$的费马方程$a^p + b^p + c^p = 0$的唯一解是满足$abc = 0$的平凡解。借助于模块化、降阶和惯性比较的图像，我们给出了一个算法上可检验的准则，如果$K$满足该准则，则蕴含了关于$K$的渐近费马大定理.使用解析数论的技术，我们表明，我们的标准是满足$K = \mathbb{Q}(\sqrt{d})$的$d$的一个子集，具有密度$5/6$之间的squarefree正整数。如果我们假设一个标准的“Eichler-Shimura”猜想，我们可以将其改进为密度1。
2014-07-16 math.NT
Fermat's Last Theorem over ${\mathbb Q}(\sqrt{5})$ and ${\mathbb Q}(\sqrt{17})$
我们证明了费马大定理${\mathbb Q}(\sqrt{5})$和${\mathbb Q}(\sqrt{17})$的素指数$p \ge 5$在某些同余类模$48$通过使用模块化的方法和Brauer-Manin障碍明确给出的二次互易约束的组合。用于处理${\mathbb Q}(\sqrt{5})$的情况的互易性约束是对Chen-Siksek所使用的实二次基域的推广。对于${\mathbb Q}(\sqrt{17})$的情况下，这是不够的，我们推广了一个互易性约束Bennett-Chen-Dahmen-Yazdani使用希尔伯特符号从有理域到某些实二次域。
2022-03-07 math.NT
Quartic del Pezzo surfaces without quadratic points
本文构造了无穷多个在有理数域上不存在二次闭点的四次del Pezzo曲面，否定回答了此前关于此类曲面是否总有二次点的问题，并首次给出指数严格小于闭点最小次数的光滑二次曲面交的实例。
2025-05-15 math.AG math.NT
Fermat quotients and the Ankeny-Artin-Chowla conjecture
本文为 Ankeny-Artin-Chowla 关于实二次域基本单位数的结论提供了精简证明，推广了该猜想，并据此将模 p 的二次非剩余的费马商与调和数之和联系起来。
2023-04-05 math.NT
Solutions of the cubic Fermat equation in ring class fields of imaginary quadratic fields (as periodic points of a 3-adic algebraic function)
在判别式满足$d_K \equiv 1$（mod $3$）的任意虚二次域$K$的环类域$Ω_f$中，用Dedekind $η$ -函数构造了三次Fermat方程的显式解，其中导体$f$与$3$互素.由于$K$和$f$的变化，所有的解决方案的坐标集被证明是一个单一的代数函数和它的逆定义的最大unramified，代数扩展$\textsf{K}_3$的$3$ -进字段$\mathbb{Q}_3$的自然子集的周期点的确切集合。这是用来给杜林类数关系的动力学证明。然后用这些解给出了艾格纳猜想的一部分的无条件证明：三次费马方程在$K=\mathbb{Q}(\sqrt{-d})$中有一个非平凡解，如果$d_K \equiv 1$（mod $3$）和类数$h(K)$不能被$3$整除。如果是$3 \mid h(K)$，则给出了$Ω_f$中特定元素迹的同余条件，这意味着在$Fer_3(K)$中存在无穷阶点。
2015-06-20 math.NT
Solving Fermat-type equations over quadratic fields
本文通过模方法研究二次域上广义费马方程的有效可计算界及特殊解的不存在性。
2026-02-23 math.NT
Primitive points on some low degree Fermat curves
University of Warwick（华威大学）
本文研究了费马曲线F_n上的原始点，证明当n=7或8时，不存在非平凡四次点，且为F_6和F_8提供非平凡点不存在的充分条件。
2026-03-16 math.NT
Fermat's Last Theorem for the Exponent 3
费马指数为3的大定理已经得到了无数的证明，其中最常见的是欧拉或高斯的证明。后者完全在由-3的平方根生成的二次域的整数环中工作。欧拉风格的证明是基于一个与二次型x^2 + 3y^2的性质有关的中心引理，然后通过考虑两种主要情况来进行下降。在本版本中，中心引理得到了一个简短的证明，经典的两种主要情况下的下降证明归结为一种情况下的证明。
2016-02-22 math.NT
On quadratic character sums over quartics
本文研究了多项式变元的二次特征和问题，推导出了四次和三次多项式变元的二次特征和的变换公式。
2025-07-14 math.NT
A Dynamical Analogue of a Question of Fermat
本文研究二次多项式迭代轨道中的连续平方数问题，构造了含三个连续平方数的单参数族，并证明存在x^2+c形式的多项式其轨道含四个连续平方数，同时在标准猜想下给出周期点轨道仅含有理平方数的充要条件。
2023-10-27 math.NT
Klein Quartic Curve and its Modularity
本文通过将克莱因四次曲线实现为 7 次费马曲线的商来计算其局部 Zeta 函数，并借助伽罗瓦表示给出相应的模形式。
2025-04-05 math.NT
Quartic Equations with Trivial Solutions over Gaussian Integers
本文用预解式方法研究了高斯整数上的$aX^4+bX^2 Y^2+cY^4=dZ^2$型方程。本文将$X^4+6X^2 Y^2+Y^4=Z^2$（Mordell's equation over $\mathbb{Z}[i]$），$X^4+6(1+i)X^2Y^2+2iY^4=Z^2$和$X^4\pm Y^4=(1+ i)Z^2$作为一个新的方程进行研究，并给出了关于$X^4+Y^4=Z^2$（Fermat-Hilbert），$X^4\pm Y^4=iZ^2$（Szabó-Najman）的已知定理的新证明.
2016-07-28 math.NT
On the asymptotic Fermat's Last Theorem over number fields
假设两个深，但标准的朗兰兹纲领，我们证明了渐近费马大定理成立虚二次域Q（\sqrt{-d}），其中-d=2，3 mod 4。对于一般数域K，再次假设标准几何，我们给出了一个基于某个S-单位方程的解的准则，如果满足该准则，则蕴含着渐近的费马大定理。
2016-10-30 math.NT
Galois representations attached to Q-curves and the generalized Fermat equation A^4 + B^2 = C^p
证明了虚二次数域K上d次Q曲线E上的mod p伽罗瓦表示是满射的，对所有大于某个常数M_{K,d}的p，如果E在不整除6的素数上有潜在的乘性约化.证明使用Mazur的形式浸入法，结果的Darmon和Merel对非分裂模曲线，和分析论证表明，某些扭曲的模曲线的雅可比矩阵承认与Mordell-Weil秩0。结合作者和Skinner关于Q-曲线模性的一个定理，满射性结果证明了当p >= 211时，广义Fermat方程A^4 + B^2 = C^p没有非平凡的原始解。
2003-11-27 math.AG math.NT
Relative power integral bases in infinite families of quartic extensions of quadratic fields
我们考虑八次域的无限参数族，它们是二次域的四次扩张。我们描述了二次子域上八度域的所有相对幂整基。
2018-09-27 math.NT
Simplest quartic and simplest sextic Thue equations over imaginary quadratic fields
最简三次、最简四次和最简六次域的族以及相关的图厄方程是众所周知的。在虚二次域上，最简单的三次图厄方程族已经在相对情形下得到了研究。本文给出了虚二次域上最简四次和最简六次Thue方程的类似推广。我们明确地给出了任意虚二次域上这些无穷参数Thue方程族的解。
2018-10-19 math.NT
Sur le théorème de Fermat sur ${\bf Q}(\sqrt{5})$
设$p$为奇素数。使用模块化的参数，我们给出了一个容易测试的条件，允许经常证明费马大定理的二次域${\bf Q}(\sqrt{5})$的指数$p$。它与多项式$X^n-1$和$(X+1)^n-1$的温特结式有关。我们推导出费马大定理在这个领域的情况下，有$5\leq p<10^7$，我们得到类似的结果，苏菲杰曼型标准。
2014-10-09 math.NT
Monogenity in totally real extensions of imaginary quadratic fields with an application to simplest quartic fields
本文给出了计算全实域与虚二次域复合体中幂整基生成元的一个有效算法。我们表明，计算可以减少到原来的全实领域的指数形式方程的求解。我们说明了我们的方法通过调查monogenity在无限参数家庭的虚二次扩展的最简单的四次字段。
2021-02-28 math.NT
One level density of low-lying zeros of quadratic and quartic Hecke $L$-functions
本文证明了高斯场的二次和四次Hecke $L$ -函数族的低零点的一级密度结果。作为推论，我们分别推出，至少$94.27 \%$和$5\%$的二次族和四次族的成员不为零的中心点。
2019-03-22 math.NT
Characterizations of quadratic, cubic, and quartic residue matrices
我们构造了一个由二次剩余符号定义的矩阵集合，称为“二次剩余矩阵”，与$\mathbb{Q}$的二次扩展的复合中的素理想的分裂行为相关联，并证明了一个简单的准则表征这样的矩阵。我们还研究了类似的类矩阵构造的三次和四次剩余符号的一组素理想的$\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$和$\mathbb{Q}(i)$，分别。
2015-12-21 math.NT
Power integral bases in cubic and quartic extensions of real quadratic fields
最近，对单整基和幂整基的研究从绝对情形（在Q上）扩展到相对情形（在代数数域上）。以前，在相对情形下，我们只成功地计算了基域为虚二次域的幂整基的生成元。这是第一种情况下，当我们考虑monogenity在更困难的情况下，在扩展的实二次域。本文给出了计算实二次域的三次和四次扩张的幂整基生成元的有效算法，更准确地说是计算三次和四次域与实二次域的复合幂整基生成元的有效算法.在四次域是全复域的情况下，我们给出了一个特别简单的算法。我们用两个详细的例子来说明我们的方法。
2020-04-11 math.NT
Remarques sur le premier cas du théorème de Fermat sur les corps de nombres
对于素指数$p$的费马大定理的第一种情况有时可以利用局部障碍的存在来证明。1823年，索菲·热尔曼在这个方向上得到了一个重要的结果：如果$2p+1$是素数，费马大定理的第一种情况对$p$成立。在本文中，我们研究了数域上的这种障碍。对于虚二次域，我们得到了关于Sophie Germain型准则的类似结果。此外，扩展一个众所周知的声明在${\bf Q}$上，我们给出了一个容易测试的条件，偶尔允许证明费马大定理的第一种情况下的数域上的素数$p\equiv 2 \mod 3$。
2014-10-02 math.NT
Covariants and simultaneous diagonalization of pairs of ternary quadratic forms, and binary quartic forms
本文建立了二元四次型与三元二次型对协变间的对应，并给出了任意特征零域上二次型对的标准对角化方法及有理数域上可对角化的精确判据。
2025-08-05 math.NT
Squares in arithmetic progression over certain non-primitive quartic number fields
Universidad Autónoma de Madrid（马德里自治大学）；Hanoi University of Science and Technology（河内科技大学）
本文研究了特定非原始四次数字段上等差数列中的平方问题，通过特征化二次扩张Q(√D)上的非常数平方等差数列来探讨相关数论性质。
2026-02-01 math.AG math.NT
Counting imaginary quadratic points via universal torsors, II
本文利用泛Torsor方法证明了虚二次数域上四次奇异del Pezzo曲面的Manin猜想。
2013-04-11 math.AG math.NT
Équation de Fermat et nombres premiers inertes
设$K$为数域，$p$为素数$\geq 5$。让我们用$μ_p$表示单位的$p$次根的群。如果$p$不除字段$K(μ_p)$的类数，则我们将$p$定义为$K$ -正则。在假设$p$是$K$ -正则的且在$K$中惰性的情况下，我们建立了关于指数为$p$的$K$上的费马大定理的第二种情况.我们使用的证明经典的论点，以及Faltings'定理，说明在$K$至少有两个亏格的曲线有有限个$K$ -有理点。此外，如果$K$是一个虚二次域，而不是${\bf Q}(\sqrt{-3})$，我们推导出一个语句，它允许经常在实践中证明费马大定理在$K$的$K$ -正则指数。
2014-11-27 math.NT
Solubility of Additive Quartic Forms over Ramified Quadratic Extensions of $\mathbb{Q}_2$
我们确定的最小数量的变量$Γ^*(d, K)$，保证一个非平凡的解决方案，每一个添加剂形式的程度$d=4$的四个分歧二次扩展$\mathbb{Q}_2(\sqrt{2}), \mathbb{Q}_2(\sqrt{10}), \mathbb{Q}_2(\sqrt{-2}), \mathbb{Q}_2(\sqrt{-10}) $的$\mathbb{Q}_2$。在所有四个领域中，我们证明了$Γ^*(4,K) = 11$。这是针对$\mathbb{Q}_p$的适当扩展的这种计算的第一个示例，其中度是大于$p$的$p$的幂。
2021-12-20 math.NT
Quadratic diophantine equations with applications to quartic equations
本文首先证明了在一定条件下，四元二次丢番图方程方程$Q(x_1,\,x_2,\,x_3,\,x_4)=0$的解可以表示为四参数的双线性型。我们利用这个结果建立了联立二次丢番图方程$Q_j(x_1,\,x_2,\,x_3,\,x_4)=0,\;j=1,\,2,$可解的一个必要但不是充分的条件，并给出了求其完全解的方法.在一般情况下，当这两个方程有一个合理的解决方案，他们代表一个椭圆曲线，但我们表明，有几种情况下，他们的完整的解决方案可能会表示由有限数量的参数解决方案和/或有限数量的原始整数解决方案。最后，我们将四次方程$y^2=t^4+a_1t^3+a_2t^2+a_3t+a_4$的解与一对二次丢番图方程的解联系起来，从而得到了从一个或两个已知解出发导出上述四次方程有理解的新公式.
2014-09-19 math.NT
Exceptional Quartics are Ubiquitous
本文构造性地证明了例外四次数域的普遍存在性：既有无穷多个包含给定实二次域的例外四次域，也有无穷多个不含二次子域的例外四次域，并进一步推广到所有大于4的次数。
2023-10-28 math.NT
On a simple quartic family of Thue equations over imaginary quadratic number fields
令$t$是任意具有$|t|\geq 100$的虚二次整数。证明了不等式\[ |F_t(X,Y)| = | X^4 - t X^3 Y - 6 X^2 Y^2 + t X Y^3 + Y^4 | \leq 1 \]在与$t$相同的虚二次数域的整数中只有平凡解$(x,y)$.此外，我们证明了不等式$|F_t(X,Y)| \leq C|t|$和$|F_t(X,Y)| \leq |t|^{2 -\varepsilon}$的结果。这些结果来自基于超几何方法的近似结果。本文中的证明需要大量的计算，为此提供了代码（Sage）。
2023-03-27 math.NT
The Primitive Generalized Fermat Equation x^3+y^5=z^7: A computer-assisted proof
本文通过计算机辅助方法，结合Fano预解式、模性下降和有限Hecke比较，完整证明了广义费马方程x^3+y^5=z^7无非零互素整数解，并提供了可验证的精确计算证书。
2026-09-24 math.AG math.NT
Asymptotic Fermat for signature $(4,2,p)$ over number fields
设$K$为数字字段。使用模块化的方法，我们证明了丢番图方程$x^4-y^2=z^p$的解决方案的渐近结果在$K$，假设一些深，但标准的Langlands计划时，$K$至少有一个复杂的嵌入。另一方面，我们给出了全实扩张具有奇窄类数且在$2$上有唯一素数的情况下的无条件结果。当已知$K$上椭圆曲线的模性时，例如当$K$是实二次或$\mathbb{Q}$的分圆$\mathbb{Z}_2$ -扩展的$r$ -层时，有效的渐近结果成立。
2022-09-19 math.NT
A Universal Quaternary Quadratic Form over Gaussian Integers
在这篇文章中，我们表明，形式$x^2 + iy^2 + z^2 + iw^2$代表所有的高斯整数。在这个证明中使用的主要工具是费马的小定理（在有限域扩展），Mordell-Niven定理（一些高斯的表示），和广义欧拉恒等式在有限域扩展。
2014-05-08 math.NT
Reflection theorems of Ohno-Nakagawa type for quartic rings and pairs of $n$-ary quadratic forms
该论文证明了大野-中川型反射定理，涉及四次环、二次型对及相关矩阵数量，还为科恩等人关于此类反射定理无限族的问题提供了答案。
2026-08-31 math.NT
Quadratic residues and quartic residues modulo primes
本文研究了与模素数的二次剩余和四次剩余有关的积。设$p$是一个奇素数，$A$是任意整数。我们主要完全确定乘积$$f_p(A):=\prod_{1\le i,j\le(p-1)/2\atop p\nmid i^2-Aij-j^2}(i^2-Aij-j^2)$$模$p$ ;例如，如果$p\equiv1\pmod4$，则$$f_p(A)\equiv\begin{cases}-(A^2+4)^{(p-1)/4}\pmod p&\text{if}\ (\frac{A^2+4}p)=1, \\(-A^2-4)^{(p-1)/4}\pmod p&\text{if}\ (\frac{A^2+4}p)=-1,\end{cases}$$，其中$(\frac{\cdot}p)$表示Legendre符号。我们还确定了$$\prod^{(p-1)/2}_{i,j=1\atop p\nmid 2i^2+5ij+2j^2}\left(2i^2+5ij+2j^2\right) \ \text{and}\ \prod^{(p-1)/2}_{i,j=1\atop p\nmid 2i^2-5ij+2j^2}\left(2i^2-5ij+2j^2\right)$$模$p$。
2020-09-10 math.NT
Quadratic form representations via generalized continuants
H. J. S.史密斯用回文连续的概念证明了费马的二平方定理。本文将Smith的方法推广到某些交换欧氏环中的真二元二次型表示，包括奇数特征域上的整数环和多项式环。此外，我们提出了新的确定性算法，找到相应的适当表示。
2015-05-27 math.NT
$7$-adic Galois representations of elliptic curves over the rationals via Kummer descent
University of Massachusetts Amherst（马萨诸塞大学阿默斯特分校）；Amherst College（阿默斯特学院）
本文通过 Kummer 下降证明了两个亏格 9 的模曲线无非 CM 有理点，从而完成了非 CM 椭圆曲线 $7$-adic Galois 像的分类，其关键依赖于指数为 7 的费马大定理。
2026-10-06 math.NT
Exceptional elliptic curves over quartic fields
研究了具有给定挠群$T$的固定四次域$K$上直到同构的椭圆曲线的个数.令$T=\Z/m\Z \oplus \Z/n\Z$，其中$m|n$是挠群，使得模曲线$X_1(m,n)$是椭圆曲线。设$K$是一个数域，使得存在正的有限个数的$K$上的椭圆曲线$E_T$，其子群为$K$.我们称这种对为$(E_T, K)$ \emph{exceptional}。已知当$K$在所有二次或三次域上变化时，只有100多个例外对。证明了当$K$在所有四次域上变化时，当$T=\Z/14\Z$或$\Z/15\Z$时存在无穷多个例外对，否则存在无穷多个例外对.
2012-05-29 math.AG math.NT
Ramanujan's Identities and Representation of Integers by Certain Binary and Quaternary Quadratic Forms
我们重温了费马和欧拉关于用二进制二次型x^2+5y^2表示整数的老理论。利用Ramanujan的1阶求和公式，建立了\sum_{n,m=-\infty}^{\infty} q^{n^2+5m^2}的一个新的Lambert级数恒等式.费马和欧拉的猜想很容易遵循这个新公式。但我们不会就此止步。采用各种公式中发现拉马努金的笔记本电脑和使用有点巧妙我们obtaina收集新的朗伯系列的某些无穷乘积与二次型，如x^2+6y^2，2x^2+3y^2，x^2+15y^2，3x^2+5y^2，x^2+27y^2，x^2+5（y^2+ z^2+ w^2），5x^2+y^2+ z^2+ w^2。在这个过程中，我们发现了许多新的乘性η-子，并确定了它们的系数。
2007-02-06 math.CO math.NT
$6$-torsion and integral points on quartic threefolds
该研究证明了二次域类群6-挠点平均值的匹配上下界，并完成了仿射四次三维簇上整数解的数量计数，为数论相关领域提供了新的结论。
2024-10-04 math.NT
