Asymptotic Generalized Fermat's Last Theorem over Number Fields
Freitas和Siksek最近的工作表明，费马大定理的渐近版本对许多全实域都成立。后来这个结果被Deconinck推广到形式为$Ax^p +By^p +Cz^p = 0$的广义费马方程，其中A;B;C是属于全实数域的奇数。另一个扩展是由森un和Siksek。他们证明了费马方程对于满足通常的模性定理的虚二次数域渐近成立。结合他们的技巧，我们将他们关于广义Fermat方程的结果推广到虚二次域。更具体地说，我们证明了渐近广义费马大定理对许多二次虚数域成立。
2019-04-08 math.NT
Class field theory, Diophantine analysis and the asymptotic Fermat's Last Theorem
Freitas，Kraus，Sengun和Siksek最近的结果给出了渐近费马大定理在特定数域上成立的充分判据。这些作品反过来又建立在算术几何中许多深刻的定理上。本文将上述结果与类域理论、p-群和p-扩张理论、丢番图逼近和代数中的线性型相结合，建立了许多无限族数域和数千个小次数域的渐近费马大定理。例如，我们证明了有限域族$\mathbb{Q}(ζ_{2^r})^+$的有效渐近费马大定理。
2019-02-20 math.NT
On Fermat's equation over some quadratic imaginary number fields
假设一个深刻的，但标准的猜想在朗兰兹计划，我们证明了费马大定理在$\mathbb Q(i)$。在同样的假设下，我们还证明了对所有的素指数$p \geq 5$，费马方程$a^p+b^p+c^p=0$在$\mathbb Q(\sqrt{-2})$和$\mathbb Q(\sqrt{-7})$上不存在非平凡解.
2018-04-24 math.NT
Chevalley's class number formula, unit equations and the asymptotic Fermat's Last Theorem
设$F$是数域，$\mathcal{O}_F$是整数环.利用Chevalley的模糊类数公式给出了单位方程$λ+ μ= 1$，$λ, μ\in \mathcal{O}_F^\times$解不存在的一个判别准则.这是然后用来加强一个标准的渐近费马大定理由于弗雷塔斯和西克塞克。
2020-03-15 math.NT
Fermat's Last Theorem and modular curves over real quadratic fields
本文研究了二次域$\mathbb{Q}(\sqrt{d})$上的Fermat方程$x^n+y^n=z^n$，其中$d$是无平方的，有$26 \leq d \leq 97$ .通过研究二次点上的模曲线$X_0(N)$，$d$ -正则素数，并与Hecke运营商的空间的希尔伯特新形式，我们扩展工作的Freitas和Siksek表明，大多数squarefree $d$在这个范围内有没有非平凡的解决方案，这个方程的$n \geq 4$。
2022-10-17 math.NT
On Serre's modularity conjecture and Fermat's equation over quadratic imaginary fields of class number one
本文推广了作者以前的结果，证明了当$K$是任何类数为1的二次虚域时，Fermat方程$a^p+b^p+c^p=0$不存在整数互质解$a,b,c \in K \setminus \{ 0 \}$使得$2 \mid abc$和$p \geq 19$是素数.这些结果证明了Serre模猜想的自然推广的正确性。
2019-08-28 math.NT
Solutions of the cubic Fermat equation in quadratic fields
我们给出了一个平方自由整数$d$的充要条件，有非平凡的解决方案$x^{3} + y^{3} = z^{3}$在$\Q(\sqrt{d})$，条件的伯奇和Swinnerton-Dyer猜想。这些条件类似于J. Tunnell在他的全等数问题的解决方案中获得的条件。
2012-11-15 math.NT
Fermat's Last Theorem, Schur's Theorem (in Ramsey Theory), and the Infinitude of the Primes
Alpoge和Granville（分别）用拉姆齐理论证明了素数是无限的。特别是，他们使用范德瓦尔登定理和一些数论。我们证明了素数是无限的使用一个更容易的定理从拉姆齐理论，即舒尔定理，和一些数论（Elsholtz独立获得相同的证明，素数是无限的）。特别地，我们使用费马最后定理的n=3的情况。我们也应用我们的方法来显示其他域有无穷多个不可约。
2023-03-20 math.NT
Nontrivial solutions to the Fermat equation $x^3+y^3=kz^3$ over quadratic number fields
本研究通过建立二次数域上费马方程与有理数域上特定椭圆曲线点的对应关系，给出了该方程存在非平凡解的充分条件，为数论中相关方程解的判定提供了新方法。
2025-01-17 math.NT
The quartic Fermat equation in Hilbert class fields of imaginary quadratic fields
证明了四次Fermat方程$x^4 +y^4=1$在判别式满足$-d \equiv 1$（mod 8）的任意二次域$K=\mathbb{Q}(\sqrt{-d})$的Hilbert类域$Σ$中存在非平凡整数解.一个推论是四次费马方程在$K=\mathbb{Q}(\sqrt{-p})$中没有非平凡解，因为$p$ $( > 7)$是$7$（mod 8）的素同余，但在$K$的奇数次扩张$Σ$中有非平凡解。这些解决方案产生的显式公式为4阶椭圆曲线上的泰特标准形。的解决方案进行了详细的研究，并将结果应用于证明的几个性质的韦伯奇异模由Yui和Zagier介绍。
2014-10-11 math.NT
Fermat's Last Theorem for the Exponent 3
费马指数为3的大定理已经得到了无数的证明，其中最常见的是欧拉或高斯的证明。后者完全在由-3的平方根生成的二次域的整数环中工作。欧拉风格的证明是基于一个与二次型x^2 + 3y^2的性质有关的中心引理，然后通过考虑两种主要情况来进行下降。在本版本中，中心引理得到了一个简短的证明，经典的两种主要情况下的下降证明归结为一种情况下的证明。
2016-02-22 math.NT
Fermat's Last Theorem over $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$
研究实双二次域上的费马方程，证明在 $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ 上 $n\geq 4$ 时无非平凡解。
2024-05-08 math.NT
The Asymptotic Fermat's Last Theorem for Five-Sixths of Real Quadratic Fields
设$K$是一个全实数域。关于$K$的渐近费马大定理，我们指的是存在一个常数$B_K$，使得对于素指数$p>B_K$，在$K$中具有$a$，$b$，$c$的费马方程$a^p + b^p + c^p = 0$的唯一解是满足$abc = 0$的平凡解。借助于模块化、降阶和惯性比较的图像，我们给出了一个算法上可检验的准则，如果$K$满足该准则，则蕴含了关于$K$的渐近费马大定理.使用解析数论的技术，我们表明，我们的标准是满足$K = \mathbb{Q}(\sqrt{d})$的$d$的一个子集，具有密度$5/6$之间的squarefree正整数。如果我们假设一个标准的“Eichler-Shimura”猜想，我们可以将其改进为密度1。
2014-07-16 math.NT
Fermat's Last Theorem over ${\mathbb Q}(\sqrt{5})$ and ${\mathbb Q}(\sqrt{17})$
我们证明了费马大定理${\mathbb Q}(\sqrt{5})$和${\mathbb Q}(\sqrt{17})$的素指数$p \ge 5$在某些同余类模$48$通过使用模块化的方法和Brauer-Manin障碍明确给出的二次互易约束的组合。用于处理${\mathbb Q}(\sqrt{5})$的情况的互易性约束是对Chen-Siksek所使用的实二次基域的推广。对于${\mathbb Q}(\sqrt{17})$的情况下，这是不够的，我们推广了一个互易性约束Bennett-Chen-Dahmen-Yazdani使用希尔伯特符号从有理域到某些实二次域。
2022-03-07 math.NT
On Fermat's Last Theorem over the $\mathbb{Z}_3$-extension of $\mathbb{Q}$ and other fields
University of Aveiro（阿威罗大学）
本文结合模方法与 Pomey 算术结果的推广，证明了在包括分圆域极大实子域在内的某些数域上，满足 $p\equiv2\pmod3$ 的充分大素指数情形的费马大定理。
2026-10-28 math.NT
Remarques sur le premier cas du théorème de Fermat sur les corps de nombres
对于素指数$p$的费马大定理的第一种情况有时可以利用局部障碍的存在来证明。1823年，索菲·热尔曼在这个方向上得到了一个重要的结果：如果$2p+1$是素数，费马大定理的第一种情况对$p$成立。在本文中，我们研究了数域上的这种障碍。对于虚二次域，我们得到了关于Sophie Germain型准则的类似结果。此外，扩展一个众所周知的声明在${\bf Q}$上，我们给出了一个容易测试的条件，偶尔允许证明费马大定理的第一种情况下的数域上的素数$p\equiv 2 \mod 3$。
2014-10-02 math.NT
Analysis of the classical cyclotomic approach to fermat's last theorem
我们再次证明了几个经典的结果有关的分圆方法费马的最后定理使用专门的类域理论（本质上是反射定理），没有任何计算。这是可能的，这一事实在一定程度上表明了历史研究在逻辑上的无效性。我们分析了文献中大量计算的意义，以说明它们可能太局部而无法证明定理。然而，我们使用Eichler的推导方法作为我们目的的先决条件，这种方法也是局部的，但更有效。然后，我们提出了一些适度的研究方法，在一个更丢番图的上下文中使用根，这一点需要进一步的非代数调查。
2011-03-23 math.NT
Young's Inequality and Fermat's Last Theorem
这篇论文已被作者撤回，以便进一步调查。
2009-04-24 math.HO math.NT
Sur le théorème de Fermat sur ${\bf Q}(\sqrt{5})$
设$p$为奇素数。使用模块化的参数，我们给出了一个容易测试的条件，允许经常证明费马大定理的二次域${\bf Q}(\sqrt{5})$的指数$p$。它与多项式$X^n-1$和$(X+1)^n-1$的温特结式有关。我们推导出费马大定理在这个领域的情况下，有$5\leq p<10^7$，我们得到类似的结果，苏菲杰曼型标准。
2014-10-09 math.NT
Double exponential lower bounds for possible solutions in the Second Case of the Fermat Last Theorem
在最近的一篇论文中，第一作者提供了一些下界的解决方案的Fermat和Catalan，基于当地的幂级数发展的分歧素的一个素分圆扩张。虽然这两个方程实际上已被证明没有任何未知的解决方案，这些改进的边界是有趣的一个新的有效的abc不等式的上下文中宣布的文件\cite{MFHMP}基于望月的\cite{Mo} [IUT-IV，定理A]。在本文中，我们提供了一个加强的下界FLT 2，这是必要的，以利用最佳上界的素数$p$，它是在计算机上验证，FLT 2没有解决方案。
2021-08-19 math.NT
A New Generalization of Fermat's Last Theorem
本文考虑一类混合型的加法和乘法丢番图方程。首先改进了一个新的Hilbert-Waring问题的结果。然后我们考虑方程\begin{equation} \begin{cases} A+B=C ABC=D^n \end{cases} \end{equation}其中$A,B,C,D,n \in\ZZ_{+}$和$n\geq3$，它可以看作是Fermat方程$x^n+y^n=z^n$的推广.当$\gcd(A,B,C)=1$时，$(1)$等价于费马方程，这意味着它没有正整数解。我们讨论了$\gcd(A,B,C)=p^k$的几种情况下，$p$是一个奇素数。特别地，对于$k=1$，我们证明了当$n=3$为素数时，$(1)$没有非零整数解，并且我们猜想对于任何素数$n>3$也是如此.最后，我们考虑方程$(1)$在二次域$\mathbb{Q}(\sqrt{t})$上的解，其中方程是$n=3$。
2014-03-04 math.NT
Fermat's Last Theorem for Selmer sections
Goethe–Universität Frankfurt（法兰克福歌德大学）
本文证明了对于指数ℓ≥7的仿射费马曲线，所有定义在有理数上的塞尔默截面都是尖点的。
2026-03-03 math.AG math.NT
A Study of Kummer's Proof of Fermat's Last Theorem for Regular Primes
我们研究库默尔的方法对证明费马最后定理的正则素数。一些基本的代数先决条件也在本报告中讨论，并简要的历史问题提到。我们回顾了类数公式，并使用该公式来总结我们的研究。
2013-07-11 math.HO math.NT
An Exponential Diophantine Equation - One Order Higher than Fermat's Equation
我们建立了一个指数型的丢番图方程，它在某种意义上比费马大定理高一阶。我们还给出了这个指数型丢番图方程的三个解的例子，并提出了一个猜想。
2016-11-23 math.NT
Fermat quotients and the Ankeny-Artin-Chowla conjecture
本文为 Ankeny-Artin-Chowla 关于实二次域基本单位数的结论提供了精简证明，推广了该猜想，并据此将模 p 的二次非剩余的费马商与调和数之和联系起来。
2023-04-05 math.NT
Solutions of the cubic Fermat equation in ring class fields of imaginary quadratic fields (as periodic points of a 3-adic algebraic function)
在判别式满足$d_K \equiv 1$（mod $3$）的任意虚二次域$K$的环类域$Ω_f$中，用Dedekind $η$ -函数构造了三次Fermat方程的显式解，其中导体$f$与$3$互素.由于$K$和$f$的变化，所有的解决方案的坐标集被证明是一个单一的代数函数和它的逆定义的最大unramified，代数扩展$\textsf{K}_3$的$3$ -进字段$\mathbb{Q}_3$的自然子集的周期点的确切集合。这是用来给杜林类数关系的动力学证明。然后用这些解给出了艾格纳猜想的一部分的无条件证明：三次费马方程在$K=\mathbb{Q}(\sqrt{-d})$中有一个非平凡解，如果$d_K \equiv 1$（mod $3$）和类数$h(K)$不能被$3$整除。如果是$3 \mid h(K)$，则给出了$Ω_f$中特定元素迹的同余条件，这意味着在$Fer_3(K)$中存在无穷阶点。
2015-06-20 math.NT
Solving Fermat-type equations over quadratic fields
本文通过模方法研究二次域上广义费马方程的有效可计算界及特殊解的不存在性。
2026-02-23 math.NT
Asymptotic Fermat's Last Theorem for a family of equations of signature $(2, 2n, n)$
针对签名为$(2, 2n, n)$的费马型方程$Cx^2 + q^ky^{2n} = z^n$，研究人员借助模方法、水平降低与伽罗瓦理论，给出可算法检验的条件，证明满足条件时存在常数$B_{C,q}$，当$n$大于该常数时方程无整数解。
2024-04-22 math.NT
A Dynamical Analogue of a Question of Fermat
本文研究二次多项式迭代轨道中的连续平方数问题，构造了含三个连续平方数的单参数族，并证明存在x^2+c形式的多项式其轨道含四个连续平方数，同时在标准猜想下给出周期点轨道仅含有理平方数的充要条件。
2023-10-27 math.NT
A classical approach on cyclotomic fields and Fermat-Wiles theorem
这篇论文被提交给代数数论档案馆，由数论家社区进行验证。它是以前版本ANT-0155、ANT-0170、ANT-0205、ANT-0237、ANT-0321、ANT-0333和ANT-0356的更新，其中前四个版本的标题是“费马大定理的艾希勒判据的推广”，后三个版本的标题是“费马-怀尔斯定理的经典方法”。这个版本包含了一个完整的重组文件与第一部分处理分圆域（独立于FLT）从第10页到第72页和第二部分处理FLT从第73页到结束。这个版本改进了我们以前关于分圆域的结果，并包含几个重要的误差修正。证明依赖于分圆数域的经典理论$\Q(zeta_p)$。
2002-11-03 math.NT
Diophantus' 20th Problem and Fermat's Last Theorem for n=4: Formalization of Fermat's Proofs in the Coq Proof Assistant
我们提出的证明丢番图'第20个问题（第六册丢番图'算术），其中包括想知道是否存在直角三角形的双方可以衡量为整数和其表面可能是一个广场。这个问题在17世纪被费马否定地解决了，他使用了无限下降的“奇妙”方法（ipse difficult Fermat）。这种方法，在历史上是归纳法的第一次使用，包括产生越来越小的非负整数解，假设存在一个;这自然会导致反证推理，因为我们以零为界。我们描述了这种证明的形式化已进行的Coq证明助手。此外，作为一个直接的和同样具有历史意义的应用，我们还提供了费马最后定理（n=4）的证明（由费马），以及Coq中相应的形式化。
2005-10-04 cs.LO cs.SE math.NT
Le théorème de Fermat sur certains corps de nombres totalement réels
设$K$是一个全实数域。对于所有素数$p\geq 5$，我们用$F_p$表示方程$x^p+y^p+z^p=0$的费马曲线。在$2$在$K$中全分歧的假设下，建立了关于$K$上的$F_p$的有理点集$F_p(K)$的一些结果.本文给出了$K$上的渐近费马大定理成立的一个判据，该判据与$K$上的Hilbert模尖点新形式的集合有关，具有平行权$2$，且具有$2$上的素理想的水平.它通常是简单的数字测试，特别是如果$K$的窄类数是$1$。利用模的方法，证明了在$\mathbb{Q}$上度为$3,4,5,6$和$8$的数域上的费马大定理.
2017-09-25 math.NT
On the generalized Fermat equation over totally real fields
在最近的一篇论文中，Freitas和Siksek证明了费马大定理在许多全实域上的渐近版本。我们证明了他们的结果推广到形式为$A x^p+B y^p+ C z^p=0$的广义Fermat方程，其中$A$，$B$，$C$是属于全实数域的奇数.
2015-05-22 math.NT
Fermat-Catalan and Tijdeman-Zagier conjectures for products
本文将 Fermat-Catalan 猜想、Tijdeman-Zagier 猜想与 Fermat 大定理推广到整数乘积情形，并给出 abc 猜想的新显式表述。
2024-10-28 math.NT
A complete formalization of Fermat's Last Theorem for regular primes in Lean
本研究在Lean4定理证明器中完成费马大定理正则素数情形的完整形式化证明，借助Hilbert第90-94定理证明核心的Kummer引理，相较类域论的现代证法更适配形式化需求。
2025-06-13 cs.FL cs.LO math.NT
Some works of Furtwängler and Vandiver revisited and Fermat's last theorem
摘自P. Furtwängler和H.S. Vandiver，我们把一个新的分圆方法的基础上费马的最后定理p>3和一个更强的版本称为SFLT，通过引入形式Q（exp（2 i pi/q-1））的素数q的管理领域。例如，我们证明，如果存在无穷多个素数q，q不全等于1 mod p，q^（p-1）不全等于1 mod p^2，使得对于Q在Q中除q（exp（2 i pi /q-1）），我们有Q^（1-c）= A^p。（alpha），其中alpha全等于1 mod p^2（其中c是复共轭），则费马最后定理对p成立。更一般地说，本文的主要目的是证明SFLT的非平凡解的存在性意味着对域Q（exp（2 i pi /q-1））的算术的一些强约束。从那里，我们给出了不存在的充分条件，这将需要进一步的调查，导致SFLT的证明，我们制定了各种各样的结构。本文必须被视为一个基本的工具，为未来的researchs（可能是分析或几何性质）-这第二个版本包括一些更正，在英语，深入研究的情况下p=3（特别是定理8），进一步的细节，对一些programmures，和一些小的数学改进。
2011-04-13 math.NT
Équation de Fermat et nombres premiers inertes
设$K$为数域，$p$为素数$\geq 5$。让我们用$μ_p$表示单位的$p$次根的群。如果$p$不除字段$K(μ_p)$的类数，则我们将$p$定义为$K$ -正则。在假设$p$是$K$ -正则的且在$K$中惰性的情况下，我们建立了关于指数为$p$的$K$上的费马大定理的第二种情况.我们使用的证明经典的论点，以及Faltings'定理，说明在$K$至少有两个亏格的曲线有有限个$K$ -有理点。此外，如果$K$是一个虚二次域，而不是${\bf Q}(\sqrt{-3})$，我们推导出一个语句，它允许经常在实践中证明费马大定理在$K$的$K$ -正则指数。
2014-11-27 math.NT
Fermat's Last Theorem Implies Euclid's Infinitude of Primes
该研究借助费马大定理与舒尔组合定理给出小指数情形下欧几里得素数无穷性定理的新证明，还探讨了多个组合数论结果对该定理的蕴含，揭示其为诸多数学结果的必要条件。
2020-09-16 math.CO math.NT
Eisenstein's criterion, Fermat's last theorem, and a conjecture on powerful numbers
给定整数$\ell > m >0$，我们定义首一多项式$X_n$，$Y_n$和$Z_n$，并具有$μ$是$X_n$的零的性质，当且仅当三元组$(μ,μ+m,μ+\ell)$满足$x^n + y^n = z^n$。证明了这些多项式的不可约性蕴含着费马大定理。它还表明，在一个精确的渐近意义上，对于绝大多数情况下，这些多项式是不可约的通过爱森斯坦的标准。最后，我们提出了一个关于幂数的猜想。
2018-02-13 math.HO math.NT
Products of Small Integers in Residue Classes and Additive Properties of Fermat Quotients
我们表明，对于任何$\varepsilon > 0$和足够大的立方自由$q$，任何减少剩余类模$q$可以表示为从间隔$[1, q^{1/4e^{1/2} + \varepsilon}]$的$14$整数的产品。的间隔的长度是在下极限什么是可能的最小的二次nonresidue上的Burgess界得到改善之前。我们还考虑了这一结果的几个变化，并给出了应用费马定理。
2015-05-23 math.NT
Quadratic points on the Fermat quartic over number fields
Universidad Autónoma de Madrid（马德里自治大学）
研究费马四次曲线在数域上的二次点性质，证明其有限可计算性并提供计算方法
2026-02-01 math.AG math.NT
Irreducibility and locus of complex roots of polynomials related to Fermat's Last Theorem
Institute of Mathematics, National Academy of Sciences（亚美尼亚国家科学院数学研究所）；Yerevan State University（埃里温国立大学）
研究有理数a下多项式x^n+(1-x)^n+a^n的不可约性，证明多个无穷族的不可约性，并分析复根位置，同时揭示a=±1时与Cauchy-Mirimanoff多项式及Nanninga多项式的因式分解关系。
2026-05-29 math.NT
Fermat's Last Theorem for regular primes
本文使用Lean定理证明器及其数学库mathlib，形式化了正则素数的费马大定理第一情形的证明，并分析了形式化过程中的困难及解决方案。
2023-05-21 cs.LO math.NT
A survey on the generalized Fermat equation of various signatures over totally real fields
本文综述了在完全实数域上使用模性方法研究不同签名的推广费马方程的最新研究成果。
2025-12-04 math.NT
On second case of Strong Fermat's Last Theorem conjecture
本文讨论在[GQ]中引入的一个猜想（以下简称$SFLT2$），它推广了费马大定理的第二种情况：{ \it}设$p>3$是素数。丢番图方程$\frac{u^p+v^p}{u+v}=w_1^p$与$u,v,u+v, w_1\in\Z\backslash\{0\}$、$u,v$互质和$v\equiv 0 \mod p$无解。设$ζ$是$p$的单位本原根，而$K:=\Q(ζ)$是$K:=\Q(ζ)$的单位本原根.一个素$q$称为{ \it $p$ -principal}，如果$K$在$q$上的任何素理想$\mathfrak q_K$的类是一个类的$p$ -幂。假设$(p,u,v)$的$SFLT2$失败。设$q$是与$puv$互质的奇素数，$f$是$q\mod p$的阶，$n$是$\frac{v}{u}\mod q$的阶，$ξ$是$n$的第1个单位根，$\mathfrak q$是$\Q(ξ)$的素理想$(q,uξ-v)$.在这篇补充文章[GQ]重温一些作品的Vandiver，我们证明，如果$q$是{ \it $p$ -主要}和$n\not=2p$然后$$\Big(\frac{1+ξζ^k}{1+ξζ}\Big)^{(q^f-1)/p}\equiv 1\mod \mathfrak q for k=1,\dots,p-1.$$我们将得出，通过例子，这个同余，对于$p$足够大，一个非常大的素数应划…
2013-05-29 math.NT
Solving Fermat-type equations $x^4 + d y^2 = z^p$ via modular Q-curves over polyquadratic fields
我们求解了丢番图方程x^4 + dy ^2 = z^p，其中d=2，d=3，p>349，p>131.该方法包括推广Frey、Ribet和Wiles在求解费马大定理时以及Ellenberg在求解方程x^4 + y^2 = z^p时所应用的思想，我们使用Q曲线、模形式和内扭曲。原则上，我们的方法可以应用于解决这类方程的其他值的d。
2008-04-14 math.NT
Polynomial identities and Fermat quotients
本文通过证明多项式恒等式，推导出费马商模 $p^2$ 的更简单同余式，推广 Eisenstein 经典同余式，并得到调和数相关和式及高阶二项和公式。
2023-09-18 math.NT
On asymptotic Fermat over the Z_2 extension of Q
在最近的工作中，作者证明了有效的渐近费马大定理的无限域族$\mathbb{Q}(ζ_{2^{r+2}})^+$，其中$r \ge 0$。在他们的证明中，一个关键的步骤是下面的克劳斯猜想。设$K$是具有奇数窄类数和在$2$之上的唯一素数$λ$的数域。则不存在定义在$K$上的椭圆曲线，其导体为$λ$，并且具有$2$的$K$ -有理阶点。本文仅利用椭圆曲线、Tate曲线和Tate模的基本事实，给出Kraus猜想的一个新的初等证明.
2020-12-06 math.NT
On Asymptotic Fermat over $\mathbb{Z}_p$ extensions of $\mathbb{Q}$
令$p \ge 5$是素数，令$\mathbb{Q}_{n,p}$表示$\mathbb{Q}$的分圆$\mathbb{Z}_p$ -扩展的第$n$层.我们证明了$\mathbb{Q}_{n,p}$没有特殊的单位。我们使用这个证明有效的渐近费马大定理在$\mathbb{Q}_{n,p}$的所有$n \ge 1$和所有素数$p \ge 5$是非Wieferich，即$2^{p-1} \not \equiv 1 \pmod{p^2}$。我们的结果的有效性建立在最近的工作Thorne证明模块化的椭圆曲线在$\mathbb{Q}_{n,p}$。
2020-03-09 math.NT
Asymptotic Fermat for signature $(4,2,p)$ over number fields
设$K$为数字字段。使用模块化的方法，我们证明了丢番图方程$x^4-y^2=z^p$的解决方案的渐近结果在$K$，假设一些深，但标准的Langlands计划时，$K$至少有一个复杂的嵌入。另一方面，我们给出了全实扩张具有奇窄类数且在$2$上有唯一素数的情况下的无条件结果。当已知$K$上椭圆曲线的模性时，例如当$K$是实二次或$\mathbb{Q}$的分圆$\mathbb{Z}_2$ -扩展的$r$ -层时，有效的渐近结果成立。
2022-09-19 math.NT
On Furtwängler's theorems and second case of Fermat's Last Theorem
这篇文章是对文章[Que]的补充，讨论了Futwängler定理对于费马大定理（FLT 2）第二种情况的一些推广。设$p$是奇素数，$ζ$是$p$的第1个本原单位根，$K:=\Q(ζ)$和$C\ell_K$是$K$的类群.一个素$q$称为$p$ -主元，如果$\Z_K$在$q$上的任何素理想$\mk q_K$的类$c\ell_K (\mk q_K)\in C\ell_K$是类的$p$次幂。假设FLT 2对于$(p,x,y,z)$失败，其中$x, y, z$是互质整数，$p$整除$y$和$x^p+y^p+z^p=0$。设$q$是$\frac{(x^p+y^p)(y^p+z^p)(z^p+x^p)}{(x+y)(y+z)(z+x)}$的素整除，$\mk q_K$是$K$在$q$上的任意素理想.得到了$p$ -幂剩余符号关系式：$$(\frac{p}{\mk q_K})_K=(\frac{1-ζ^j}{\mk q_K})_K for j=1,\dots,p-1.$$作为应用，证明了：如果Vandiver猜想对$p$成立，则$q$是$p$ -主素数.类似地，设$q$是一个素整除$\frac{(x^p-y^p)(y^p-z^p)(z^p-x^p)}{(x-y)(y-z)(z-x)}$的理想，而$\mk q_K$是$K$在$q$上的素理想整除$(xζ-y)(zζ-y)(xζ-z)$。本文给出了…
2013-04-23 math.NT
A Universal Quaternary Quadratic Form over Gaussian Integers
在这篇文章中，我们表明，形式$x^2 + iy^2 + z^2 + iw^2$代表所有的高斯整数。在这个证明中使用的主要工具是费马的小定理（在有限域扩展），Mordell-Niven定理（一些高斯的表示），和广义欧拉恒等式在有限域扩展。
2014-05-08 math.NT
Quadratic form representations via generalized continuants
H. J. S.史密斯用回文连续的概念证明了费马的二平方定理。本文将Smith的方法推广到某些交换欧氏环中的真二元二次型表示，包括奇数特征域上的整数环和多项式环。此外，我们提出了新的确定性算法，找到相应的适当表示。
2015-05-27 math.NT
Sophie Germain, mathématicienne extraordinaire: A story stranger than fiction
Oregon State University（俄勒冈州立大学）
本文回顾索菲·热尔曼在数论领域的贡献，揭示她对费马大定理的深入研究及与拉格朗日、勒让德和高斯的互动，重新评估其在数论中的重要性。
2026-05-14 math.HO math.NT
