Fermat's Last Theorem: Algebra and Number Theory
Felix Sidokhine
在我们的工作中，我们给出了应用费马大定理解决代数和数论中一些问题的例子。
In our work we give the examples using Fermat's Last Theorem for solving some problems from algebra and number theory.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
This is a survey article on developments in modularity since the proof of Fermat's Last Theorem, with an emphasis on the historical development of the subject rather than any technical details.
On first case of Fermat's Last Theorem in the spirit of Kummer and Furtwangler
本文已被作者撤回[arXiv admin]。
On the asymptotic Fermat's Last Theorem over number fields
假设两个深，但标准的朗兰兹纲领，我们证明了渐近费马大定理成立虚二次域Q（\sqrt{-d}），其中-d=2，3 mod 4。对于一般数域K，再次假设标准几何，我们给出了一个基于某个S-单位方程的解的准则，如果满足该准则，则蕴含着渐近的费马大定理。
Let F be a totally real number field of odd degree. We prove several purely local criteria for the asymptotic Fermat's Last Theorem to hold over F, and also for the non-existence of solutions to the unit equation over F. For example, if 2 totally ramifies and 3 splits completely in F, then the asymptotic Fermat's Last Theorem holds over F.
Recent work of Freitas and Siksek showed that an asymptotic version of Fermat's Last Theorem holds for many totally real fields. Later this result was extended by Deconinck to generalized Fermat equations of the form $Ax^p +By^p +Cz^p = 0$, where A;B;C are odd integers belonging to a totally real field. Another extension was given by Sengun and Siksek. They showed that the Fermat equation holds asymptotically for imaginary quadratic number fields satisfying usual conjectures about modularity. In this work, combining their techniques we extend their results about the generalized Fermat equatio…
Recent results of Freitas, Kraus, Sengun and Siksek, give sufficient criteria for the asymptotic Fermat's Last Theorem to hold over a specific number field. Those works in turn build on many deep theorems in arithmetic geometry. In this paper we combine the aforementioned results with techniques from class field theory, the theory of p-groups and p-extensions, Diophantine approximation and linear forms in logarithms, to establish the asymptotic Fermat's Last Theorem for many infinite families of number fields, and for thousands of number fields of small degree. For example, we prove the effect…
Let $F$ be a number field and $\mathcal{O}_F$ its ring of integers. We use Chevalley's ambiguous class number formula to give a criterion for the non-existence of solutions to the unit equation $λ+ μ= 1$, $λ, μ\in \mathcal{O}_F^\times$. This is then used to strengthen a criterion for the asymptotic Fermat's Last Theorem due to Freitas and Siksek.
Alpoge and Granville (separately) gave novel proofs that the primes are infinite that use Ramsey Theory. In particular, they use Van der Waerden's Theorem and some number theory. We prove the primes are infinite using an easier theorem from Ramsey Theory, namely Schur's Theorem, and some number theory (Elsholtz independently obtained the same proof that the primes were infinite). In particular, we use the n=3 case of Fermat's last theorem. We also apply our method to show other domains have an infinite number of irreducibles.
Fermat's Last Theorem over some small real quadratic fields
使用模块化，降低水平，并明确计算与希尔伯特模块化形式，伽罗瓦表示和射线类组，我们表明，$3 \le d \le 23$ squarefree，$d \ne 5$，$17$，费马方程$x^n+y^n=z^n$没有非平凡的解决方案，在二次域$\mathbb{Q}(\sqrt{d})$的$n \ge 4$。此外，我们表明，同样适用于素指数$n \equiv 3$，$5 \pmod{8}$的$d=17$。
Fermat's Last Theorem for the Exponent 3
费马指数为3的大定理已经得到了无数的证明，其中最常见的是欧拉或高斯的证明。后者完全在由-3的平方根生成的二次域的整数环中工作。欧拉风格的证明是基于一个与二次型x^2 + 3y^2的性质有关的中心引理，然后通过考虑两种主要情况来进行下降。在本版本中，中心引理得到了一个简短的证明，经典的两种主要情况下的下降证明归结为一种情况下的证明。
Fermat's Last Theorem over $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$
研究实双二次域上的费马方程，证明在 $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ 上 $n\geq 4$ 时无非平凡解。
The Asymptotic Fermat's Last Theorem for Five-Sixths of Real Quadratic Fields
设$K$是一个全实数域。关于$K$的渐近费马大定理，我们指的是存在一个常数$B_K$，使得对于素指数$p>B_K$，在$K$中具有$a$，$b$，$c$的费马方程$a^p + b^p + c^p = 0$的唯一解是满足$abc = 0$的平凡解。借助于模块化、降阶和惯性比较的图像，我们给出了一个算法上可检验的准则，如果$K$满足该准则，则蕴含了关于$K$的渐近费马大定理.使用解析数论的技术，我们表明，我们的标准是满足$K = \mathbb{Q}(\sqrt{d})$的$d$的一个子集，具有密度$5/6$之间的squarefree正整数。如果我们假设一个标准的“Eichler-Shimura”猜想，我们可以将其改进为密度1。
In this paper we study the Fermat equation $x^n+y^n=z^n$ over quadratic fields $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ for squarefree $d$ with $26 \leq d \leq 97$. By studying quadratic points on the modular curves $X_0(N)$, $d$-regular primes, and working with Hecke operators on spaces of Hilbert newforms, we extend work of Freitas and Siksek to show that for most squarefree $d$ in this range there are no non-trivial solutions to this equation for $n \geq 4$.
We prove Fermat's Last Theorem over ${\mathbb Q}(\sqrt{5})$ and ${\mathbb Q}(\sqrt{17})$ for prime exponents $p \ge 5$ in certain congruence classes modulo $48$ by using a combination of the modular method and Brauer-Manin obstructions explicitly given by quadratic reciprocity constraints. The reciprocity constraint used to treat the case of ${\mathbb Q}(\sqrt{5})$ is a generalization to a real quadratic base field of the one used by Chen-Siksek. For the case of ${\mathbb Q}(\sqrt{17})$, this is insufficient, and we generalize a reciprocity constraint of Bennett-Chen-Dahmen-Yazdani using Hilbe…
On Fermat's Last Theorem over the $\mathbb{Z}_3$-extension of $\mathbb{Q}$ and other fields
本文结合模方法与 Pomey 算术结果的推广，证明了在包括分圆域极大实子域在内的某些数域上，满足 $p\equiv2\pmod3$ 的充分大素指数情形的费马大定理。
Remarques sur le premier cas du théorème de Fermat sur les corps de nombres
对于素指数$p$的费马大定理的第一种情况有时可以利用局部障碍的存在来证明。1823年，索菲·热尔曼在这个方向上得到了一个重要的结果：如果$2p+1$是素数，费马大定理的第一种情况对$p$成立。在本文中，我们研究了数域上的这种障碍。对于虚二次域，我们得到了关于Sophie Germain型准则的类似结果。此外，扩展一个众所周知的声明在${\bf Q}$上，我们给出了一个容易测试的条件，偶尔允许证明费马大定理的第一种情况下的数域上的素数$p\equiv 2 \mod 3$。
Analysis of the classical cyclotomic approach to fermat's last theorem
我们再次证明了几个经典的结果有关的分圆方法费马的最后定理使用专门的类域理论（本质上是反射定理），没有任何计算。这是可能的，这一事实在一定程度上表明了历史研究在逻辑上的无效性。我们分析了文献中大量计算的意义，以说明它们可能太局部而无法证明定理。然而，我们使用Eichler的推导方法作为我们目的的先决条件，这种方法也是局部的，但更有效。然后，我们提出了一些适度的研究方法，在一个更丢番图的上下文中使用根，这一点需要进一步的非代数调查。
Young's Inequality and Fermat's Last Theorem
这篇论文已被作者撤回，以便进一步调查。
Sur le théorème de Fermat sur ${\bf Q}(\sqrt{5})$
设$p$为奇素数。使用模块化的参数，我们给出了一个容易测试的条件，允许经常证明费马大定理的二次域${\bf Q}(\sqrt{5})$的指数$p$。它与多项式$X^n-1$和$(X+1)^n-1$的温特结式有关。我们推导出费马大定理在这个领域的情况下，有$5\leq p<10^7$，我们得到类似的结果，苏菲杰曼型标准。
In a recent paper, the first author provided some lower bounds to solutions of the equations of Fermat and Catalan, based on local power series developments at the ramified prime of a prime cyclotomic extension. Although both equations have in fact been proved not to have any unknown solutions, these improved bounds are interesting in the context of a new effective abc inequality announced in the paper \cite{MFHMP} based on Mochizuki's \cite{Mo}[IUT-IV, Theorem A]. In this paper we provide a strengthening of the lower bound for FLT2, which is necessary in order to take advantage of the best up…
A New Generalization of Fermat's Last Theorem
本文考虑一类混合型的加法和乘法丢番图方程。首先改进了一个新的Hilbert-Waring问题的结果。然后我们考虑方程\begin{equation} \begin{cases} A+B=C ABC=D^n \end{cases} \end{equation}其中$A,B,C,D,n \in\ZZ_{+}$和$n\geq3$，它可以看作是Fermat方程$x^n+y^n=z^n$的推广.当$\gcd(A,B,C)=1$时，$(1)$等价于费马方程，这意味着它没有正整数解。我们讨论了$\gcd(A,B,C)=p^k$的几种情况下，$p$是一个奇素数。特别地，对于$k=1$，我们证明了当$n=3$为素数时，$(1)$没有非零整数解，并且我们猜想对于任何素数$n>3$也是如此.最后，我们考虑方程$(1)$在二次域$\mathbb{Q}(\sqrt{t})$上的解，其中方程是$n=3$。
Fermat's Last Theorem for Selmer sections
本文证明了对于指数ℓ≥7的仿射费马曲线，所有定义在有理数上的塞尔默截面都是尖点的。
A Study of Kummer's Proof of Fermat's Last Theorem for Regular Primes
我们研究库默尔的方法对证明费马最后定理的正则素数。一些基本的代数先决条件也在本报告中讨论，并简要的历史问题提到。我们回顾了类数公式，并使用该公式来总结我们的研究。
An Exponential Diophantine Equation - One Order Higher than Fermat's Equation
我们建立了一个指数型的丢番图方程，它在某种意义上比费马大定理高一阶。我们还给出了这个指数型丢番图方程的三个解的例子，并提出了一个猜想。
Asymptotic Fermat's Last Theorem for a family of equations of signature $(2, 2n, n)$
针对签名为$(2, 2n, n)$的费马型方程$Cx^2 + q^ky^{2n} = z^n$，研究人员借助模方法、水平降低与伽罗瓦理论，给出可算法检验的条件，证明满足条件时存在常数$B_{C,q}$，当$n$大于该常数时方程无整数解。
A classical approach on cyclotomic fields and Fermat-Wiles theorem
这篇论文被提交给代数数论档案馆，由数论家社区进行验证。它是以前版本ANT-0155、ANT-0170、ANT-0205、ANT-0237、ANT-0321、ANT-0333和ANT-0356的更新，其中前四个版本的标题是“费马大定理的艾希勒判据的推广”，后三个版本的标题是“费马-怀尔斯定理的经典方法”。这个版本包含了一个完整的重组文件与第一部分处理分圆域（独立于FLT）从第10页到第72页和第二部分处理FLT从第73页到结束。这个版本改进了我们以前关于分圆域的结果，并包含几个重要的误差修正。证明依赖于分圆数域的经典理论$\Q(zeta_p)$。
Diophantus' 20th Problem and Fermat's Last Theorem for n=4: Formalization of Fermat's Proofs in the Coq Proof Assistant
我们提出的证明丢番图'第20个问题（第六册丢番图'算术），其中包括想知道是否存在直角三角形的双方可以衡量为整数和其表面可能是一个广场。这个问题在17世纪被费马否定地解决了，他使用了无限下降的“奇妙”方法（ipse difficult Fermat）。这种方法，在历史上是归纳法的第一次使用，包括产生越来越小的非负整数解，假设存在一个;这自然会导致反证推理，因为我们以零为界。我们描述了这种证明的形式化已进行的Coq证明助手。此外，作为一个直接的和同样具有历史意义的应用，我们还提供了费马最后定理（n=4）的证明（由费马），以及Coq中相应的形式化。
Le théorème de Fermat sur certains corps de nombres totalement réels
设$K$是一个全实数域。对于所有素数$p\geq 5$，我们用$F_p$表示方程$x^p+y^p+z^p=0$的费马曲线。在$2$在$K$中全分歧的假设下，建立了关于$K$上的$F_p$的有理点集$F_p(K)$的一些结果.本文给出了$K$上的渐近费马大定理成立的一个判据，该判据与$K$上的Hilbert模尖点新形式的集合有关，具有平行权$2$，且具有$2$上的素理想的水平.它通常是简单的数字测试，特别是如果$K$的窄类数是$1$。利用模的方法，证明了在$\mathbb{Q}$上度为$3,4,5,6$和$8$的数域上的费马大定理.
Fermat-Catalan and Tijdeman-Zagier conjectures for products
本文将 Fermat-Catalan 猜想、Tijdeman-Zagier 猜想与 Fermat 大定理推广到整数乘积情形，并给出 abc 猜想的新显式表述。
A complete formalization of Fermat's Last Theorem for regular primes in Lean
本研究在Lean4定理证明器中完成费马大定理正则素数情形的完整形式化证明，借助Hilbert第90-94定理证明核心的Kummer引理，相较类域论的现代证法更适配形式化需求。
Some works of Furtwängler and Vandiver revisited and Fermat's last theorem
摘自P. Furtwängler和H.S. Vandiver，我们把一个新的分圆方法的基础上费马的最后定理p>3和一个更强的版本称为SFLT，通过引入形式Q（exp（2 i pi/q-1））的素数q的管理领域。例如，我们证明，如果存在无穷多个素数q，q不全等于1 mod p，q^（p-1）不全等于1 mod p^2，使得对于Q在Q中除q（exp（2 i pi /q-1）），我们有Q^（1-c）= A^p。（alpha），其中alpha全等于1 mod p^2（其中c是复共轭），则费马最后定理对p成立。更一般地说，本文的主要目的是证明SFLT的非平凡解的存在性意味着对域Q（exp（2 i pi /q-1））的算术的一些强约束。从那里，我们给出了不存在的充分条件，这将需要进一步的调查，导致SFLT的证明，我们制定了各种各样的结构。本文必须被视为一个基本的工具，为未来的researchs（可能是分析或几何性质）-这第二个版本包括一些更正，在英语，深入研究的情况下p=3（特别是定理8），进一步的细节，对一些programmures，和一些小的数学改进。
Équation de Fermat et nombres premiers inertes
设$K$为数域，$p$为素数$\geq 5$。让我们用$μ_p$表示单位的$p$次根的群。如果$p$不除字段$K(μ_p)$的类数，则我们将$p$定义为$K$ -正则。在假设$p$是$K$ -正则的且在$K$中惰性的情况下，我们建立了关于指数为$p$的$K$上的费马大定理的第二种情况.我们使用的证明经典的论点，以及Faltings'定理，说明在$K$至少有两个亏格的曲线有有限个$K$ -有理点。此外，如果$K$是一个虚二次域，而不是${\bf Q}(\sqrt{-3})$，我们推导出一个语句，它允许经常在实践中证明费马大定理在$K$的$K$ -正则指数。
Fermat's Last Theorem Implies Euclid's Infinitude of Primes
该研究借助费马大定理与舒尔组合定理给出小指数情形下欧几里得素数无穷性定理的新证明，还探讨了多个组合数论结果对该定理的蕴含，揭示其为诸多数学结果的必要条件。
Given integers $\ell > m >0$, we define monic polynomials $X_n$, $Y_n$, and $Z_n$ with the property that $μ$ is a zero of $X_n$ if and only if the triple $(μ,μ+m,μ+\ell)$ satisfies $x^n + y^n = z^n$. It is shown that the irreducibility of these polynomials implies Fermat's last theorem. It is also shown, in a precise asymptotic sense, that for a vast majority of cases, these polynomials are irreducible via Eisenstein's criterion. We conclude by offering a conjecture on powerful numbers.
The $a$-numbers of Fermat and Hurwitz curves
对于定义在特征$p >0$的代数闭域上的代数曲线$\mathcal{X}$，$a$数$a(\mathcal{X})$是$\mathcal{X}$上的正合全纯微分空间的维数.我们计算了Fermat曲线和Hurwitz曲线的无限族的$a$ -数。我们的结果适用于埃尔米特曲线给出了一个新的证明以前的结果格罗斯。
Beyond and slightly aside of the Fermat Desert
本文利用分圆方法证明一类广义费马方程在互素整数及素数 p>3 条件下无解，并由此推出费马大定理。
Assuming a deep but standard conjecture in the Langlands programme, we prove Fermat's Last Theorem over $\mathbb Q(i)$. Under the same assumption, we also prove that, for all prime exponents $p \geq 5$, Fermat's equation $a^p+b^p+c^p=0$ does not have non-trivial solutions over $\mathbb Q(\sqrt{-2})$ and $\mathbb Q(\sqrt{-7})$.
Fermat's Last Theorem for regular primes
本文使用Lean定理证明器及其数学库mathlib，形式化了正则素数的费马大定理第一情形的证明，并分析了形式化过程中的困难及解决方案。
Irreducibility and locus of complex roots of polynomials related to Fermat's Last Theorem
研究有理数a下多项式x^n+(1-x)^n+a^n的不可约性，证明多个无穷族的不可约性，并分析复根位置，同时揭示a=±1时与Cauchy-Mirimanoff多项式及Nanninga多项式的因式分解关系。
A survey on the generalized Fermat equation of various signatures over totally real fields
本文综述了在完全实数域上使用模性方法研究不同签名的推广费马方程的最新研究成果。
Nontrivial algebraic cycles in the Jacobian varieties of some quotients of Fermat curves
我们得到了费马曲线的某些导数的某些调和体积值的迹映象。这就提供了一种算法，即第k个Ceresa圈所调用的代数圈在雅可比簇中不代数等价于零。
On second case of Strong Fermat's Last Theorem conjecture
本文讨论在[GQ]中引入的一个猜想（以下简称$SFLT2$），它推广了费马大定理的第二种情况：{ \it}设$p>3$是素数。丢番图方程$\frac{u^p+v^p}{u+v}=w_1^p$与$u,v,u+v, w_1\in\Z\backslash\{0\}$、$u,v$互质和$v\equiv 0 \mod p$无解。设$ζ$是$p$的单位本原根，而$K:=\Q(ζ)$是$K:=\Q(ζ)$的单位本原根.一个素$q$称为{ \it $p$ -principal}，如果$K$在$q$上的任何素理想$\mathfrak q_K$的类是一个类的$p$ -幂。假设$(p,u,v)$的$SFLT2$失败。设$q$是与$puv$互质的奇素数，$f$是$q\mod p$的阶，$n$是$\frac{v}{u}\mod q$的阶，$ξ$是$n$的第1个单位根，$\mathfrak q$是$\Q(ξ)$的素理想$(q,uξ-v)$.在这篇补充文章[GQ]重温一些作品的Vandiver，我们证明，如果$q$是{ \it $p$ -主要}和$n\not=2p$然后$$\Big(\frac{1+ξζ^k}{1+ξζ}\Big)^{(q^f-1)/p}\equiv 1\mod \mathfrak q for k=1,\dots,p-1.$$我们将得出，通过例子，这个同余，对于$p$足够大，一个非常大的素数应划…
Solving Fermat-type equations $x^4 + d y^2 = z^p$ via modular Q-curves over polyquadratic fields
我们求解了丢番图方程x^4 + dy ^2 = z^p，其中d=2，d=3，p>349，p>131.该方法包括推广Frey、Ribet和Wiles在求解费马大定理时以及Ellenberg在求解方程x^4 + y^2 = z^p时所应用的思想，我们使用Q曲线、模形式和内扭曲。原则上，我们的方法可以应用于解决这类方程的其他值的d。
In a recent work the authors prove the effective asymptotic Fermat's Last Theorem for the infinite family of fields $\mathbb{Q}(ζ_{2^{r+2}})^+$ where $r \ge 0$. A crucial step in their proof is the following conjecture of Kraus. Let $K$ be a number field having odd narrow class number and a unique prime $λ$ above $2$. Then there are no elliptic curves defined over $K$ with conductor $λ$ and a $K$-rational point of order $2$. In this note we give a new elementary proof of Kraus' conjecture that makes use only of basic facts about elliptic curves, Tate curves and Tate modules.
One curious proof of Fermat's little theorem
我们给出了费马小定理的一个证明，它既不使用算术（欧几里德算法），也不使用代数（群论），而是使用了形式幂级数Q（（x））的域。这张纸条是一个数学笑话的例子，尽管它包含了严格的证明。(The纸将出现在打印完全一样，在版本v3）。
On Furtwängler's theorems and second case of Fermat's Last Theorem
这篇文章是对文章[Que]的补充，讨论了Futwängler定理对于费马大定理（FLT 2）第二种情况的一些推广。设$p$是奇素数，$ζ$是$p$的第1个本原单位根，$K:=\Q(ζ)$和$C\ell_K$是$K$的类群.一个素$q$称为$p$ -主元，如果$\Z_K$在$q$上的任何素理想$\mk q_K$的类$c\ell_K (\mk q_K)\in C\ell_K$是类的$p$次幂。假设FLT 2对于$(p,x,y,z)$失败，其中$x, y, z$是互质整数，$p$整除$y$和$x^p+y^p+z^p=0$。设$q$是$\frac{(x^p+y^p)(y^p+z^p)(z^p+x^p)}{(x+y)(y+z)(z+x)}$的素整除，$\mk q_K$是$K$在$q$上的任意素理想.得到了$p$ -幂剩余符号关系式：$$(\frac{p}{\mk q_K})_K=(\frac{1-ζ^j}{\mk q_K})_K for j=1,\dots,p-1.$$作为应用，证明了：如果Vandiver猜想对$p$成立，则$q$是$p$ -主素数.类似地，设$q$是一个素整除$\frac{(x^p-y^p)(y^p-z^p)(z^p-x^p)}{(x-y)(y-z)(z-x)}$的理想，而$\mk q_K$是$K$在$q$上的素理想整除$(xζ-y)(zζ-y)(xζ-z)$。本文给出了…
Algebraic functions with Fermat property, eigenvalues of transfer operator and Riemann zeros, and other open problems
本文列举了数论、组合学和表示论中的若干未解决的问题：具有Fermat性质的代数函数，配分拆函数的生成函数的幂乘积展开式，转移算子的非平凡Riemann零点与特征值的关系，与范数形式有关的函数方程，几何组合学中的两个问题，几何组合学中的两个问题。Minkowski问号函数的矩问题;表示论中的一个问题; Stern双原子序列的矩插值问题;二元复合函数的算术性质。
Sophie Germain, mathématicienne extraordinaire: A story stranger than fiction
本文回顾索菲·热尔曼在数论领域的贡献，揭示她对费马大定理的深入研究及与拉格朗日、勒让德和高斯的互动，重新评估其在数论中的重要性。
Comments about the paper by Elsholz, Fermat's last theorem implies Euclid's infinitude of primes, (2021), and simplification.
Primitive points on some low degree Fermat curves
本文研究了费马曲线F_n上的原始点，证明当n=7或8时，不存在非平凡四次点，且为F_6和F_8提供非平凡点不存在的充分条件。
Lefschetz classes of simple factors of Fermat Jacobian of prime degree over finite fields
给出了有限域的代数闭包上的单阿贝尔簇的所有Tate类都是Lefschetz的一个矩阵的充要条件.作为应用，我们证明了在一个假设下，所有的泰特类是Lefschetz的简单因子的费马雅可比素数的程度。
A diophantine sum with factorials
本文给出了一个含因子的丢番图方程的解，它可以写成三次型，也可以写成二项式系数之和。给出了高次形式的一些解，并将一些解与一个不可解的费马大定理方程联系起来。
$7$-adic Galois representations of elliptic curves over the rationals via Kummer descent
本文通过 Kummer 下降证明了两个亏格 9 的模曲线无非 CM 有理点，从而完成了非 CM 椭圆曲线 $7$-adic Galois 像的分类，其关键依赖于指数为 7 的费马大定理。
A multi-Frey approach to Fermat equations of signature $(r,r,p)$
本文通过全实域上 Frey 椭圆曲线的模方法与精细化的多重 Frey 技术，解决了签名 $(r,r,p)$ 的两类广义费马方程，并给出 $x^5+y^5=d z^n$ 在局部条件下的新结果。
Let $p$ be a prime number and let $k$ be an algebraically closed field of characteristic $p$. A $BT_1$ group scheme over $k$ is a finite commutative group scheme which arises as the kernel of $p$ on a $p$-divisible (Barsotti--Tate) group. We compare three classifications of $BT_1$ group schemes, due in large part to Kraft, Ekedahl, and Oort, and defined using words, canonical filtrations, and permutations. Using this comparison, we determine the Ekedahl--Oort types of Fermat quotient curves and we compute four invariants of the $p$-torsion group schemes of these curves.
On the rational approximation of the sum of the reciprocals of the Fermat numbers
令$\C{G}(z):=\sum_{n=0}^\infty z^{2^n}(1-z^{2^n})^{-1}$表示标尺函数的生成函数，而$\C{F}(z):=\sum_{n=0}^\infty z^{2^n}(1+z^{2^n})^{-1}$ ;注意，特殊值$\C{F}(1/2)$是费马数的倒数之和$F_n:=2^{2^n}+1$。函数$\C{F}(z)$和$\C{G}(z)$以及它们的特殊值已经由马勒、Golomb、Schwarz和Duverney研究过;已知数$\C{F}(\ga)$和$\C{G}(\ga)$对于所有满足$0<\ga<1$的代数数$\ga$都是超越的。对于序列$\mathbf{u}$，表示汉克尔矩阵$H_n^p(\mathbf{u}):=(u({p+i+j-2}))_{1\leqslant i,j\leqslant n}$。设$\ga$为实数。{ \em无理性指数} $μ(\ga)$被定义为实数集$μ$的上确界，使得不等式$|\ga-p/q|<q^{-μ}$有无穷多个解$(p,q)\in\B{Z}\times\B{N}.$本文首先证明了对每个$n\geqslant 1$，$H_n^1(\mathbf{g})$和$H_n^1(\mathbf{f})$的行列式都是非零的.然后，我们使用这个结果来证明，对于$b\geqslant 2$的无理性指数$μ(\C{F}(1/b…
On Fibonacci Polynomial Expressions for Sums of $m$th Powers, their implications for Faulhaber's Formula and some Theorems of Fermat
用$Σn^m$表示第一个$n$正整数的$m$次幂之和$1^m+2^m+\ldots +n^m$。类似地，令$Σ^r n^m$是第一个$n$正整数的$m$次幂的$r$倍和，定义为$Σ^0 n^{m}=n^m$，然后递归地由$Σ^{r+1} n^{m}=Σ^{r} 1^{m}+Σ^{r} 2^{m}+\ldots + Σ^{r} n^{m}$。在17世纪早期，多项式表达式的总和$Σ^r n^m$和他们的因式分解和多项式的基础表示性质进行了审查的约翰Faulhaber，谁发表了一些显着的定理有关这些$r$倍总和在他的学术代数（1631年）。在本文中，我们认为家庭的多项式有关的斐波那契和卢卡斯多项式，自然借给自己代表总和和差异的整数权力，以及$Σ^r n^m$。使用求和多项式的基础上表示单项式，我们概括了这个总和的任何多项式$q(x)\in\mathbb{Q}[x]$，遇到一些有趣的系数家庭的过程中。其他结果包括使用我们的多项式表达式来陈述一些定理的费马，特别是，我们得到了一个明确的表达式的商在费马的小定理。在最后两个部分，我们检查这些款项的上下文中的三对斯特林数品种和二项式分解。我们还得到了一个表达式的$Σn^m$的斯特林数和Pochhammer符号，导致一个看似新的关系之间的斯特林数和伯努利数。
On sums and products in C[x]
我们证明了在24项费马大定理的假设下，存在一个绝对常数c > 0，使得如果S是一组n > n_0的正整数，满足|S.S| < n^（1+c），则和集S.S满足|S+S|>> n^2。换句话说，我们证明了Erdos-Szemeredi和积猜想的一个弱形式，条件是费马大定理的扩展。本文无条件地证明了当S是n个首一多项式的集合时的这一定理。我们还证明了一个类似的定理Bourgain和张环C[x]。
On the p-th root of a p-adic number
给出了p进整数在p进整数环中有p次根的一个充分和必要条件。对于模p^k的剩余，同样的条件也明显成立。证明了费马最后定理对p进整数和模p^k的剩余都是假的。
On Modular Approach to Diophantine Equation $x^4-y^4=nz^p$ over Number Fields
本文利用模方法证明了丢番图方程 $x^4-y^4=nz^p$ 在各类数域上解的渐近结果，并证明了方程 $x^4-y^4=2^αz^p$ 的渐近广义费马定理在无限多个二次数域上成立。
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