通过 Kummer 下降研究有理数域上椭圆曲线的 $7$-adic Galois 表示
$7$-adic Galois representations of elliptic curves over the rationals via Kummer descent
- University of Massachusetts Amherst（马萨诸塞大学阿默斯特分校）
- Amherst College（阿默斯特学院）
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AI总结：
本文通过 Kummer 下降证明了两个亏格 9 的模曲线无非 CM 有理点，从而完成了非 CM 椭圆曲线 $7$-adic Galois 像的分类，其关键依赖于指数为 7 的费马大定理。
AI中文摘要：
我们证明了 Rouse、Sutherland 和 Zureick-Brown 以及 Furio 和 Lombardo 的工作中遗留的、亏格为 9 的两个模曲线没有非 CM 有理点。结合 Furio 和 Lombardo 关于 $X_{ns}^{+}(49)$ 的定理，这完成了 $Q$ 上非 CM 椭圆曲线 Galois 群的 $7$-adic 像的分类。证明是对 Furio 和 Lombardo 的超椭圆方程 $F(x,y) = k\\,w^{7}$ 进行 Kummer 下降，处理他们遗留的 $7 \mid k$ 的情形。覆盖曲线是 Fermat 七次曲线的扭曲，它们映射到 Klein 四次曲线的扭曲，并且 $7$-adic 计算表明与解相关的扭曲是平凡的。Klein 四次曲线的有理点由 Hurwitz 确定，他将问题归结为指数为 7 的费马大定理，该定理由 Lamé 证明。因此，Mazur 的 Program B 的 $7$-adic 部分的最后一个未解决问题依赖于指数为 7 的费马大定理。
英文摘要：
We show that the two modular curves of level $49$ and genus $9$ left open by the work of Rouse, Sutherland and Zureick-Brown, and of Furio and Lombardo, have no non-CM rational points. Together with the theorem of Furio and Lombardo on $X_{ns}^{+}(49)$, this completes the classification of the $7$-adic images of Galois of non-CM elliptic curves over $Q$. The proof is a Kummer descent on the superelliptic equations $F(x,y) = k\,w^{7}$ of Furio and Lombardo, in the cases $7 \mid k$ that they left open. The covering curves are twists of the Fermat septic, they map to twists of the Klein quartic, and a $7$-adic computation shows that the twist attached to a solution is trivial. The rational points of the Klein quartic were determined by Hurwitz, who reduced the question to Fermat's Last Theorem for exponent $7$, proved by Lamé. Thus, the last open case of the $7$-adic part of Mazur's Program B rests on Fermat's Last Theorem for exponent $7$.
