Diophantine problems related to cyclic cubic and quartic fields
我们对求解有理系数多项式$f, g$中的同余式$f^3+g^3+1\equiv 0\pmod{fg}$和$f^4-4g^2+4\equiv 0\pmod{fg}$感兴趣。此外，我们提出的计算结果的所有整数点的某些一个参数曲线的亏格1和3，有关的三次和四次域，分别。
2021-06-28 math.NT
Large values of cubic and quartic Dirichlet $L$-functions of prime moduli
School of Mathematical Sciences, Beihang University（北京航空航天大学数学科学学院）；School of Mathematics and Statistics, University of New South Wales（新南威尔士大学数学与统计学院）
本文在广义黎曼假设下，应用谐振子方法研究素数模的三次与四次Dirichlet L-函数族，展示其在中心点处的大值。
2026-09-03 math.NT
Enumerative Galois theory for cubics and quartics
证明了存在$O_\varepsilon(H^{1.5+\varepsilon})$一次、三次多项式，其Galois群为$A_3$，且其整系数绝对值有界于$H$.我们还证明了$D_4$四次曲线的数量级为$H^2 (\log H)^2$，$A_4$、$V_4$、$C_4$的相应计数为$O(H^{2.91})$、$O(H^2 \log H)$、$O(H^2 \log H)$。我们的工作建立了不可约的非$S_3$三次多项式比可约多项式少，同样在四次设置：这些是前两个解决的情况下，1936年猜想由范德瓦尔登。
2020-08-05 math.NT
Characterizations of quadratic, cubic, and quartic residue matrices
我们构造了一个由二次剩余符号定义的矩阵集合，称为“二次剩余矩阵”，与$\mathbb{Q}$的二次扩展的复合中的素理想的分裂行为相关联，并证明了一个简单的准则表征这样的矩阵。我们还研究了类似的类矩阵构造的三次和四次剩余符号的一组素理想的$\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$和$\mathbb{Q}(i)$，分别。
2015-12-21 math.NT
The equidistribution of lattice shapes of rings of integers in cubic, quartic, and quintic number fields
对于$n=3$、4和5，我们证明了当$n$度的$S_n$ -数域按它们的绝对判别式排序时，这些域中整数环的格形在格空间中成为等分布的.
2015-12-17 math.NT
Well-Rounded ideal lattices of cyclic cubic and quartic fields
本文研究了循环三次和四次域具有良圆理想格的判据，证明了循环三次域必含良圆理想，构造了循环四次域的良圆理想族，并给出了特定素理想为良圆的充要条件及奇素数分解。
2023-10-14 math.NT
Arithmetic Problems in Cubic and Quartic Function Fields
本文的主要内容之一是对任意特征的三次函数域和特征至少为5的四次函数域的无穷位和有限位的特征的刻画。为了这些目的，我们提供了一个新的理论，可以应用到三次和四次函数场，甚至更高维的函数场。这个理论的一个显着的优势，其他现有的方法是，它不使用p-adic完成的概念，我们可以免除卡尔达诺的公式。另一个关键结果包括单位秩为1和2的三次函数场的构造，具有明显的基本系统。此类构造的主要成分之一是最大值的定义。这个定义是新的，在寻找基本系统的背景下非常多产。最后，我们总结了关于因子类数h的各种结果，包括一个新的方法来寻找因子h。
2010-07-08 math.NT
On quadratic character sums over quartics
本文研究了多项式变元的二次特征和问题，推导出了四次和三次多项式变元的二次特征和的变换公式。
2025-07-14 math.NT
Non-vanishing of primitive cubic, quartic and sextic L-functions
School of Mathematics, Renmin University of China（中国人民大学数学学院）；School of Mathematics and Statistics, UNSW Sydney（新南威尔士大学悉尼分校数学与统计学院）
该研究在非库默尔情形下，通过适配Gao和Zhao的截断指数方法，改进了三次狄利克雷$L$-函数的非零比例下界，对四次与六次族得到正下界及六次一阶矩渐近公式，所有结果均无条件成立。
2026-10-27 math.NT
Quartic Forms in Many Variables
我们证明了至少有$3192$变量的四次$p$ -adic型具有非平凡的零点.我们还证明了关于三次、二次和线性型系统的新结果。作为一个例子，我们表明，对于一个系统，包括两个三次型$132$变量是足够的。
2014-05-27 math.NT
On $ p-$Rationality of Cubic and Quartic Number Fields
Southern University of Science and Technology（南方科技大学）；Capital Normal University（首都师范大学）
本文提出新的判据，通过三次递推序列的p-可除性判断某些复三次数字段的p-理性性，并探讨广义abc猜想与p-理性性的关系，获得满足Greenberg广义猜想的显式数域。
2025-12-09 math.NT
Ranks of elliptic curves over cyclic cubic, quartic, and sextic extensions
对于给定的群$G$和定义在数域$K$上的椭圆曲线$E$，本文讨论了寻找$K$的$G$ -扩张，使$E$在其上获得秩的问题.我证明了下面的定理，扩展了Fearnley，Kisilevsky和Kuwata的结果：设$n = 3,4,$或$6$。如果$K$包含其$n^{th}$ -单位根，则对于$K$上的任何椭圆曲线$E$，存在无穷多个$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ -$K$的扩展，其中$E$获得秩。
2014-01-31 math.NT
Relative power integral bases in infinite families of quartic extensions of quadratic fields
我们考虑八次域的无限参数族，它们是二次域的四次扩张。我们描述了二次子域上八度域的所有相对幂整基。
2018-09-27 math.NT
Existence results for primitive elements in cubic and quartic extensions of a finite field
当$\Fq$是$q$元素的有限域时，我们研究了以下问题。如果$γ$在$\Fq$上生成$\Fqn$，并且$β$是$\Fqn$的非零元素，那么是否总是存在一个$a \in \Fq$，使得$β(γ+ a)$是原始元素？我们解决这种情况下，当$n=3$，从而证明了科恩的猜想。我们还大大提高了什么是已知的，当$n=4$。
2018-10-17 math.NT
Simplest quartic and simplest sextic Thue equations over imaginary quadratic fields
最简三次、最简四次和最简六次域的族以及相关的图厄方程是众所周知的。在虚二次域上，最简单的三次图厄方程族已经在相对情形下得到了研究。本文给出了虚二次域上最简四次和最简六次Thue方程的类似推广。我们明确地给出了任意虚二次域上这些无穷参数Thue方程族的解。
2018-10-19 math.NT
Non-orthogonality of the cubic and quartic large sieves via Rankin-Selberg
EPFL（洛桑联邦理工学院）；Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）；Brown University（布朗大学）
研究三次和四次大筛法的非正交性，利用久保田狄利克雷级数二阶矩平均林德勒夫上界及亚纯θ函数兰金 - 塞尔伯格卷积傅里叶系数平均下界，采用扎吉尔正则化方法，还对特定赫克特征族提出猜想。
2026-07-15 math.NT
Dirichlet series associated to quartic fields with given resolvent
设$k$为三次域。本文给出了狄利克雷级数$\sum_K|\Disc(K)|^{-s}$的一个显式公式，这里的和是在所有三次预解式域同构于$k$的四次域的同构类上.我们的工作是Cohen、Diaz y Diaz和Olivier未发表预印本的续集，我们包含了他们结果的完整证明，以免依赖未发表的工作。这是一个同伴以前的文件，我们计算的狄利克雷级数相关的立方领域有一个给定的二次预解式。
2013-02-22 math.NT
Monogenity in totally real extensions of imaginary quadratic fields with an application to simplest quartic fields
本文给出了计算全实域与虚二次域复合体中幂整基生成元的一个有效算法。我们表明，计算可以减少到原来的全实领域的指数形式方程的求解。我们说明了我们的方法通过调查monogenity在无限参数家庭的虚二次扩展的最简单的四次字段。
2021-02-28 math.NT
One level density of low-lying zeros of quadratic and quartic Hecke $L$-functions
本文证明了高斯场的二次和四次Hecke $L$ -函数族的低零点的一级密度结果。作为推论，我们分别推出，至少$94.27 \%$和$5\%$的二次族和四次族的成员不为零的中心点。
2019-03-22 math.NT
Quartic rings associated to binary quartic forms
我们给出了二元四次形式和具有单演三次预解环的四次环之间的双射，将二元四次形式与Bhargava的三次预解环相关联。这给出了具有单演三次预解式的四次环的参数化。我们还给出了这种参数化的几何解释。
2011-03-31 math.AG math.NT
Cubic and quartic points on modular curves using generalised symmetric Chabauty
针对 Zureick-Brown 的问题，提出部分相对对称 Chabauty 方法，确定多个模曲线的三次点及 X_0(65) 的四次点，并严格计算其雅可比的有理 Mordell--Weil 群。
2021-11-23 math.NT
Covariants and simultaneous diagonalization of pairs of ternary quadratic forms, and binary quartic forms
本文建立了二元四次型与三元二次型对协变间的对应，并给出了任意特征零域上二次型对的标准对角化方法及有理数域上可对角化的精确判据。
2025-08-05 math.NT
The quartic Fermat equation in Hilbert class fields of imaginary quadratic fields
证明了四次Fermat方程$x^4 +y^4=1$在判别式满足$-d \equiv 1$（mod 8）的任意二次域$K=\mathbb{Q}(\sqrt{-d})$的Hilbert类域$Σ$中存在非平凡整数解.一个推论是四次费马方程在$K=\mathbb{Q}(\sqrt{-p})$中没有非平凡解，因为$p$ $( > 7)$是$7$（mod 8）的素同余，但在$K$的奇数次扩张$Σ$中有非平凡解。这些解决方案产生的显式公式为4阶椭圆曲线上的泰特标准形。的解决方案进行了详细的研究，并将结果应用于证明的几个性质的韦伯奇异模由Yui和Zagier介绍。
2014-10-11 math.NT
Solubility of Additive Quartic Forms over Ramified Quadratic Extensions of $\mathbb{Q}_2$
我们确定的最小数量的变量$Γ^*(d, K)$，保证一个非平凡的解决方案，每一个添加剂形式的程度$d=4$的四个分歧二次扩展$\mathbb{Q}_2(\sqrt{2}), \mathbb{Q}_2(\sqrt{10}), \mathbb{Q}_2(\sqrt{-2}), \mathbb{Q}_2(\sqrt{-10}) $的$\mathbb{Q}_2$。在所有四个领域中，我们证明了$Γ^*(4,K) = 11$。这是针对$\mathbb{Q}_p$的适当扩展的这种计算的第一个示例，其中度是大于$p$的$p$的幂。
2021-12-20 math.NT
Quadratic diophantine equations with applications to quartic equations
本文首先证明了在一定条件下，四元二次丢番图方程方程$Q(x_1,\,x_2,\,x_3,\,x_4)=0$的解可以表示为四参数的双线性型。我们利用这个结果建立了联立二次丢番图方程$Q_j(x_1,\,x_2,\,x_3,\,x_4)=0,\;j=1,\,2,$可解的一个必要但不是充分的条件，并给出了求其完全解的方法.在一般情况下，当这两个方程有一个合理的解决方案，他们代表一个椭圆曲线，但我们表明，有几种情况下，他们的完整的解决方案可能会表示由有限数量的参数解决方案和/或有限数量的原始整数解决方案。最后，我们将四次方程$y^2=t^4+a_1t^3+a_2t^2+a_3t+a_4$的解与一对二次丢番图方程的解联系起来，从而得到了从一个或两个已知解出发导出上述四次方程有理解的新公式.
2014-09-19 math.NT
Exceptional Quartics are Ubiquitous
本文构造性地证明了例外四次数域的普遍存在性：既有无穷多个包含给定实二次域的例外四次域，也有无穷多个不含二次子域的例外四次域，并进一步推广到所有大于4的次数。
2023-10-28 math.NT
On a simple quartic family of Thue equations over imaginary quadratic number fields
令$t$是任意具有$|t|\geq 100$的虚二次整数。证明了不等式\[ |F_t(X,Y)| = | X^4 - t X^3 Y - 6 X^2 Y^2 + t X Y^3 + Y^4 | \leq 1 \]在与$t$相同的虚二次数域的整数中只有平凡解$(x,y)$.此外，我们证明了不等式$|F_t(X,Y)| \leq C|t|$和$|F_t(X,Y)| \leq |t|^{2 -\varepsilon}$的结果。这些结果来自基于超几何方法的近似结果。本文中的证明需要大量的计算，为此提供了代码（Sage）。
2023-03-27 math.NT
Class Numbers of Orders in Quartic Fields
本文证明了全虚四次数域的类数的一个渐近公式，即仅含复嵌入的四次数域。经过以前的工作实二次域（Sarnak）和复杂的立方领域（Deitmar），这是最后剩下的情况下，数域与单位秩1。
2006-05-04 math.NT
$K_2$ of families of elliptic curves over non-Abelian cubic and quartic fields
本文给出了非阿贝尔三次和四次域上椭圆曲线族的两种构造，在驯顺符号核中分别获得三个和四个线性无关的“积分”元素，证明了不忽略挠元的新积分性判据，并对90余条曲线数值验证了 Beilinson 猜想。
2024-01-09 math.AG math.KT math.NT
Rational points on Cubic, Quartic and Sextic Curves over Finite Fields
令$\mathbb{F}_q$表示具有$q$元素的有限域。本文利用椭圆曲线上有理点的个数，给出$\mathbb{F}_q$上适当的低次曲线上有理点的个数。在$q$是素数的情况下，我们给出了计算这些数的方法。作为这些结果的结果，我们的特点给出的形式$ax^3+by^3+cz^3=0$和$ax^4+by^4+cz^4=0$方程的最大和最小曲线。
2020-01-30 math.AG math.NT
The shape of quartic fields
我们使用的方法Shintani，开发的谷口和索恩，证明了联合尖形的四次字段的形状与其三次预解式的形状配对的均匀分布，当字段排序判别式。我们的估计节省了一个小的权力，在相应的外尔和。
2018-01-11 math.NT
First Moments of Some Hecke $L$-functions of Prime Moduli
本文研究了Hecke $L$ -函数的中心值的一阶矩，这些函数与二次、三次和四次素数模符号有关。这也使我们能够获得结果的第一时刻的中心值的某些家庭的三次和四次狄利克雷$L$ -函数的素数模。
2020-05-05 math.NT
Trinomial Planar Functions on Cubic and Quartic Extensions of Finite Fields
本文研究有限域三次和四次扩域上的平面三项式，利用二次型联系与经典代数工具取得成果，并提出可推导更多扩域平面函数的通用方法。
2023-06-29 cs.IT math.IT math.NT
Quartic del Pezzo surfaces over $\mathbb{F}_p(t)$ without quadratic points
University College London（伦敦大学学院）；University of Bath（巴斯大学）；Leiden University（莱顿大学）
研究构造了无二次点的四次德尔皮佐表面，并展示了Brauer--Manin障碍。
2026-02-25 math.AG math.NT
Reflection theorems of Ohno-Nakagawa type for quartic rings and pairs of $n$-ary quadratic forms
该论文证明了大野-中川型反射定理，涉及四次环、二次型对及相关矩阵数量，还为科恩等人关于此类反射定理无限族的问题提供了答案。
2026-08-31 math.NT
Quadratic residues and quartic residues modulo primes
本文研究了与模素数的二次剩余和四次剩余有关的积。设$p$是一个奇素数，$A$是任意整数。我们主要完全确定乘积$$f_p(A):=\prod_{1\le i,j\le(p-1)/2\atop p\nmid i^2-Aij-j^2}(i^2-Aij-j^2)$$模$p$ ;例如，如果$p\equiv1\pmod4$，则$$f_p(A)\equiv\begin{cases}-(A^2+4)^{(p-1)/4}\pmod p&\text{if}\ (\frac{A^2+4}p)=1, \\(-A^2-4)^{(p-1)/4}\pmod p&\text{if}\ (\frac{A^2+4}p)=-1,\end{cases}$$，其中$(\frac{\cdot}p)$表示Legendre符号。我们还确定了$$\prod^{(p-1)/2}_{i,j=1\atop p\nmid 2i^2+5ij+2j^2}\left(2i^2+5ij+2j^2\right) \ \text{and}\ \prod^{(p-1)/2}_{i,j=1\atop p\nmid 2i^2-5ij+2j^2}\left(2i^2-5ij+2j^2\right)$$模$p$。
2020-09-10 math.NT
Solvable points on intersections of quadrics, cubics, and quartics
Carleton College（卡尔顿学院）；University of California-Irvine（加州大学尔湾分校）
本文建立多项式下界，使得在二次、三次和四次超曲面交线X上存在稠密的可解点集，方法是将极超曲面经典理论与X上j维线性子空间的Fano簇联系起来。
2026-06-23 math.AG math.NT
Bounds for the Quartic Weyl Sum
本文改进二次无理数参数的四次指数和的Weyl估计，将指数从7/8+ε降至5/6+ε，并证明van der Corput的AB步骤足以处理四次情形，无需三次情形所需的BAAB过程。
2024-02-06 math.NT
Parametrizing quartic algebras over an arbitrary base
我们参数化四次交换代数在任何基环或计划（等价有限，平坦度四$S$ -计划），其三次预解式，对三元二次型的基础。这推广了Bhargava的参数化的四次环与他们的三次预解环在$\mathbb{Z}$通过对整数三元二次型，以及Casnati和Ekedahl的建设Gorenstein四次覆盖的某些秩2家庭的三元二次型。本文给出了由任意一对三元二次型构成的四次代数的一个尺规作图法，证明了这个构造与基变交换，并且与Bhargava在$\mathbb{Z}$上的显式构造一致.
2010-07-30 math.AG math.NT
Quartic and Octic Characters Modulo n
模n的本原二次Dirichlet特征标的平均数随着n->infty趋于常数。对于原始立方字符也是如此。因此令人惊讶的是，当n->infty时，模n的原四次特征标的平均数随ln（n）而增长，模n的原八次特征标的平均数随ln（n）^[2]而增长。计算了渐近表达式中的首项系数。
2016-03-25 math.NT
The Hasse principle for systems of quadratic and cubic diagonal equations
利用Brüdern和Wooley的新的复化方法，当三次方程的个数至少是二次型个数的两倍时，我们建立了r_3三次和r_2二次对角型方程组解的个数的渐近Hasse原理.所需的变量的数量是低于在早期的工作。特别是，我们实现了一个二次和任意多个三次方程的系统基本上平方根取消。
2016-12-02 math.NT
$6$-torsion and integral points on quartic threefolds
该研究证明了二次域类群6-挠点平均值的匹配上下界，并完成了仿射四次三维簇上整数解的数量计数，为数论相关领域提供了新的结论。
2024-10-04 math.NT
Three-Torsion Subgroups and Wild Conductor Exponents of Plane Quartics
本文提出算法，通过三次曲线与方程组描述并计算平面四次曲线雅可比簇的3-挠子群，并利用其伽罗瓦结构计算局部野导子指数。
2025-10-10 math.NT
Sum of two squares in cyclic quartic fields
本文提出一种基于二次型迷向性局部-整体原则的算法，用于判定循环四次域中的数是否为两平方数之和。
2024-03-26 math.NT
The 2-rank of the class group of some real cyclic quartic number fields
本文研究了一类实循环四次数域的类群的2-秩。确切地说，我们考虑的情况下，二次子域是Q（\sqrt{l}）与l全等5模8是一个素数。
2020-04-17 math.NT
Computing the Hilbert Class Fields of Quartic CM Fields Using Complex Multiplication
设$K$是一个四次CM域，即实二次数域的全虚二次扩张。在1962年的一篇题为“论阿贝尔簇的复乘所得到的类域”的文章中，志村考虑了$K$的阿贝尔扩张的一个特殊家族$\{F_K(m) : m \in \mathbb{Z} >0 \}$，并证明了对于某些正整数m，$K$的希尔伯特类域$H_K$包含在$F_K(m)$中。我们把这个m显式化。然后，我们给出了一个算法，计算一组定义多项式的希尔伯特类字段使用字段$F_K(m)$。我们的概念验证实现该算法计算一组定义多项式的速度远远超过目前的通用库默尔算法的某些例子四次CM字段的实现。
2021-04-28 math.NT
Computing relative power integral bases in a family of quartic extensions of imaginary quadratic fields
令$M$是具有整数环$\mathbb{Z}_{M}$的虚二次域，并且令$ξ$是多项式$$f\left( x\right) =x^{4}-2cx^{3}+2x^{2}+2cx+1,$$的根，其中$c\in\mathbb{Z}_{M},$ $c\notin\left\{ 0,\pm2\right\}$。我们考虑一个无限族的octic域$K_{c}=M\left( ξ\right)$的整数环$\mathbb{Z}_{K_{c}}.$我们的目标是确定所有的生成元的相对功率积分基$\mathcal{O=}\mathbb{Z}_{M}\left[ ξ\right]$在$\mathbb{Z}_{M}.$我们表明，我们的问题减少到解决系统的相对Pellian方程\[ cV^{2}-\left( c+2\right) U^{2}=-2μ,\ \ cZ^{2}-\left( c-2\right) U^{2}=2μ, \]其中$μ$是一个单位的$\mathbb{Z}_{M}$。我们完全求解了这个系统，发现$\mathbb{Z}_{M}$上的$\mathcal{O}$的幂积分基的所有非等价生成元都由$α=ξ,$ $2ξ-2cξ^{2}+ξ^{3}$给出，对于$\left\vert c\right\vert \geq159108$和$|c|\leq200$ .
2016-07-11 math.NT
The 2-rank of the class group of some real cyclic quartic number fields II
本文确定了一类实循环四次数域的类群的2-秩。确切地说，我们考虑的情况下，其中的二次子域是Q（\sqrt{l}），其中l=2或素全等1模8。
2020-04-17 math.NT
On the Divisibility of Class Numbers of Cubic Number Fields with Discriminants in a Prescribed Rational Quadratic Class
设n是奇数，F是具有奇判别式的虚二次域.证明了存在无穷多个三次域K，使得K的类数可被n整除，且K的Galois闭包包含F.
2005-02-13 math.NT
Quartic del Pezzo surfaces without quadratic points
本文构造了无穷多个在有理数域上不存在二次闭点的四次del Pezzo曲面，否定回答了此前关于此类曲面是否总有二次点的问题，并首次给出指数严格小于闭点最小次数的光滑二次曲面交的实例。
2025-05-15 math.AG math.NT
Quadratic points on the Fermat quartic over number fields
Universidad Autónoma de Madrid（马德里自治大学）
研究费马四次曲线在数域上的二次点性质，证明其有限可计算性并提供计算方法
2026-02-01 math.AG math.NT
On parameters of orders of quartic fields and essential pairs -- extended version
三元二次型对类通过Bhargava的一个结果参数化了四次环.我们给出了一个算法，找到一对三元二次型参数化一个给定的四次域的阶。我们研究了一种新的技术，本质对，从数域数据库中获得四次域的阶数参数。四次域的极大序模的本质对是非常常见的，并且提供了一种获得整数环的整基的简单方法。
2020-02-18 math.NT math.RA
A positive proportion of quartic fields are not monogenic yet have no local obstruction to being so
我们表明，一个积极的四次字段的比例不是单演的，尽管没有当地的障碍是单演的。我们的证明建立在相应的三次域的结果，我们在以前的工作中得到的。一路上，我们还证明了一个积极的比例四次环的整数不出现的不变秩序的一个完整的二元四次形式，尽管没有局部障碍。
2021-07-12 math.AG math.NT
Quadratic congruences on average and rational points on cubic surfaces
研究了一类二次同余方程的平均解数。作为应用，我们建立了奇性类型为A_5+A_1的三次曲面的Manin猜想。
2015-07-22 math.AG math.NT
