模曲线上三次与四次点：利用广义对称 Chabauty 方法
Cubic and quartic points on modular curves using generalised symmetric Chabauty
AI总结：
针对 Zureick-Brown 的问题，提出部分相对对称 Chabauty 方法，确定多个模曲线的三次点及 X_0(65) 的四次点，并严格计算其雅可比的有理 Mordell--Weil 群。
摘要：
回答 Zureick-Brown 的一个问题，我们确定了模曲线 $X_0(N)$（其中 $N \in \{53,57,61,65,67,73\}$）上的三次点，以及 $X_0(65)$ 上的四次点。为此，我们发展了一种“部分相对”的对称 Chabauty 方法。我们的结果推广了当前的对称 Chabauty 定理，并通过降低所涉及的素数界对其进行了改进。对于我们的曲线，出现了若干新颖之处。我们证明了一个“高阶”Chabauty 定理来处理这些情形。最后，为了研究 $X_0(65)$ 上的孤立四次点，我们严格计算了其雅可比簇的完整有理 Mordell--Weil 群。
英文摘要：
Answering a question of Zureick-Brown, we determine the cubic points on the modular curves $X_0(N)$ for $N \in \{53,57,61,65,67,73\}$ as well as the quartic points on $X_0(65)$. To do so, we develop a "partially relative" symmetric Chabauty method. Our results generalise current symmetric Chabauty theorems, and improve upon them by lowering the involved prime bound. For our curves a number of novelties occur. We prove a "higher order" Chabauty theorem to deal with these cases. Finally, to study the isolated quartic points on $X_0(65)$, we rigorously compute the full rational Mordell--Weil group of its Jacobian.
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