Sum of two squares in cyclic quartic fields
Wenhuan Huang
本文提出一种基于二次型迷向性局部-整体原则的算法，用于判定循环四次域中的数是否为两平方数之和。
本文给出一种算法，用于判定循环四次域中的数是否为两平方数之和，主要基于二次型迷向性的局部-整体原则。
This paper gives an algorithm to determine whether a number in a cyclic quartic field is a sum of two squares, mainly based on local-global principle of isotropy of quadratic forms.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
A family of cyclic quartic fields with explicit fundamental units
本文构造了一类具有循环伽罗瓦群的四次多项式，并证明了这类多项式的根是基本单位或生成指数为5的子群。
The 2-rank of the class group of some real cyclic quartic number fields
本文研究了一类实循环四次数域的类群的2-秩。确切地说，我们考虑的情况下，二次子域是Q（\sqrt{l}）与l全等5模8是一个素数。
On the largest prime factor of quartic polynomial values: the cyclic and dihedral cases
设$P(X)\in\mathbb{Z}[X]$是具有循环或二面体伽罗瓦群的一元四次不可约多项式.我们证明了存在一个常数$c_P>0$使得对于正比例的整数$n$，$P(n)$有一个素因子$\ge n^{1+c_P}$ .
The 2-rank of the class group of some real cyclic quartic number fields II
本文确定了一类实循环四次数域的类群的2-秩。确切地说，我们考虑的情况下，其中的二次子域是Q（\sqrt{l}），其中l=2或素全等1模8。
A family of cyclic quartic monogenic polynomials
本文构造显式全实循环四次多项式族，在多数情形下为单项式，并在abc猜想下无限生成不同单项式四次域，另提供更多族。
Well-Rounded ideal lattices of cyclic cubic and quartic fields
本文研究了循环三次和四次域具有良圆理想格的判据，证明了循环三次域必含良圆理想，构造了循环四次域的良圆理想族，并给出了特定素理想为良圆的充要条件及奇素数分解。
Diophantine problems related to cyclic cubic and quartic fields
我们对求解有理系数多项式$f, g$中的同余式$f^3+g^3+1\equiv 0\pmod{fg}$和$f^4-4g^2+4\equiv 0\pmod{fg}$感兴趣。此外，我们提出的计算结果的所有整数点的某些一个参数曲线的亏格1和3，有关的三次和四次域，分别。
On Hilbert genus fields of imaginary cyclic quartic fields
设$p$是素数，使得$p=2$或$p\equiv 1\pmod 4$。令$\varepsilon_p$表示$\mathbb{Q}(\sqrt{p})$的基本单位，并且令$a$是正的无平方整数。本文的主要目的是明确地确定形式为$\mathbb{Q}(\sqrt{-a\varepsilon_p\sqrt{p}})$的虚循环四次域的Hilbert亏格域。
The construction of the Hilbert genus fields of real cyclic quartic fields
设$p$是素数，使得$p=2$或$p\equiv 1\pmod 4$。令$\varepsilon_p$表示$\mathbb{Q}(\sqrt{p})$的基本单位，并且令$a$是正的无平方整数。本文构造了实循环四次域$\mathbb{Q}(\sqrt{a\varepsilon_p\sqrt{p}})$的Hilbert亏格域.
An infinite family of pairs of distinct quartic Galois CM-fields with the same discriminant and regulator
本文构造了无限多个具有相同判别式和调节数的虚二元四次域和虚循环四次域的配对，并给出了具有相同判别式、调节数和类数的示例。
Ranks of elliptic curves over cyclic cubic, quartic, and sextic extensions
对于给定的群$G$和定义在数域$K$上的椭圆曲线$E$，本文讨论了寻找$K$的$G$ -扩张，使$E$在其上获得秩的问题.我证明了下面的定理，扩展了Fearnley，Kisilevsky和Kuwata的结果：设$n = 3,4,$或$6$。如果$K$包含其$n^{th}$ -单位根，则对于$K$上的任何椭圆曲线$E$，存在无穷多个$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ -$K$的扩展，其中$E$获得秩。
Monogenic Cyclic Quartic Trinomials
本文证明了恰好存在三个形如 $x^4+bx^2+d$ 且 Galois 群为四阶循环群的单生成三项式。
Euclidean algorithm in Galois Quartic Fields
证明了类数为$1$的虚四次域和循环四次域都是欧氏域。
5-Class towers of cyclic quartic fields arising from quintic reflection
设zeta 5是一个本原五次单位单位根，d<>1是一个不能被5整除的二次基本判别式。对于5-对偶循环四次域M=Q（（zeta 5-zeta 5 ^-1）*d^1/2），研究了M的第二个Hilbert 5类域M（5，2）的伽罗瓦群G（5，2）M=Gal（M（5，2）/M）同构型的可能性，当5-类群Cl_5（M）是秩为2的初等双环时。通常，M的最大非分歧pro-5-扩张M（5，无穷大）已经与M（5，2）重合.当G（5，2）M的阶数小于或等于5^5时，确定了M的5级塔的精确长度ell 5（M）.理论结果得到了所有83个，分别为93个，在0<d<10^4，分别为-2 10 ^5 <d<0的情况下的实际计算的支持。
On the tame kernels of imaginary cyclic quartic fields with class number one
Tate首先提出了一种确定$F,$的驯服核$K_2\mathcal{O}_F,$的方法，并对一些特殊的小判别式二次域给出了具体的计算.在此基础上，给出了判别式较大的二次域的许多例子，并对判别式不大的三次域和一些特殊的四次域做了类似的工作。本文研究了更一般的虚循环四次域$F=\mathbb{Q}\Big(\sqrt{-(D+B\sqrt{D})}\Big)$具有类数1和大判别式的情形。其关键问题是如何将计算过程中出现的巨大理论界减小到一个可管理的范围内，而其主要难点是如何处理计算过程中出现的大规模数据。为了解决这一问题，我们建立了一个通用的计算体系结构，特别是：（1）在C++代码中调用PARI的函数;（2）在C++代码中采用并行程序设计方法;（3）在算法和代码的设计中，采用面向对象的观点，从而获得了可扩展的程序。作为程序的一个应用，我们证明了$K_2\mathcal{O}_F$在以下三种情况下是平凡的：$B=1,D=2$或$B=2, D=13$或$B=2, D=29.$在最后一种情况下，$F$的判别式是24389，因此，我们可以说，我们的架构也适用于判别式小于25000的数域的驯服核的计算。
HT90 and "simplest" number fields
标准公式（1）导致HT 90的证明，但是需要证明$θ$的存在，使得$α\ne 0$，使得$β=α/σ(α)$。相反，我们强加条件（M），即取$θ=1$得到$α=0$。利用$n=3$，我们恢复了Shanks最简单的三次场。“最简单”的3至6度数域、华盛顿的循环四次域和$\Q(\cos(π/4m))$的某类全实循环扩张都有定义多项式，其零点满足\eqref{e:M}。进一步研究$n=4$的（M），得到了具有“一般”伽罗瓦群$_{8}T_{11}$的二参数八次多项式族的初等代数构造.强加一个额外的代数条件，这些octics产生一个新的家庭循环四次扩张。这个族包括“最简单的”四次域和华盛顿的循环四次域作为特例。当参数为数域中的代数整数时，我们得到了更详细的结果。特别是，我们确定了一些特殊的单位，包括例外序列的3个单位，并给出了他们的一些性质。
An infinite collection of quartic polynomials whose products of consecutive values are not perfect squares
利用一个初等恒等式，证明了对无穷多个四次多项式$P(x)\in \mathbb{Z}[X]$，方程$\prod\limits_{k=1}^{n}P(k)=y^2$在$\mathbb{Z}$中有无穷多个解.我们还给出了一个四次多项式的例子，它的第一个连续值的乘积往往是一个完满平方。
Calculating power integral bases in some quartic fields corresponding to monogenic families of polynomials
本研究针对J. Harrington、L. Jones及P. Voutier提出的单基因四次多项式族，刻画其生成数域中幂整基的全部生成元，补充了相关单基因数域的幂整基生成元研究。
The Quartic Residues Latin Square
我们建立了一个基本的，但相当引人注目的模式有关的四次剩余的素数$p$是全等的5模8。令$g$是$\mathbb Z_p$的乘法群的生成元，并且令$M$是$4\times 4$矩阵，其$(i+1),(j+1)-$第th项是形式为$x\equiv g^k \pmod p$的$\mathbb Z_p$的元素$x$的数目，其中对于$i,j=0,1,2,3$，$k\equiv i \pmod 4$和$\lfloor 4x/p \rfloor = j$。我们表明，$M$是一个拉丁方，提供的条目在第一行是不同的，$M$基本上是独立的$g$的选择。作为应用，我们证明了四次剩余在$\mathbb Z$中的和是$\frac{p}5(M_{11}+2M_{12}+3M_{13}+4M_{14})$ .
A class number problem for imaginary cyclic number fields of 2-power degrees
本文将M. K. Ram关于虚循环四次数域类数不等于特定素数的结论，大幅推广至2的幂次阶非二次虚循环数域且类数非素数的情形。
Sequences of consecutive squares on quartic elliptic curves
设$C: y^2=ax^4+bx^2+c$是定义在$\mathbb Q$上的椭圆曲线。一个有理点集$(x_i,y_i) \in C(\mathbb Q)$，$i=1,2,\cdots,$称为一个连续的正方形序列，如果对于某些$u\in \mathbb Q$，有$x_i= (u + i)^2$，$i=1,2,\cdots$.利用Mestre的思想，我们构造了无穷多条长度至少为$6$的连续平方序列的椭圆曲线$C$。这6个有理点是相互独立的。然后，我们加强这一结果证明，对于一个固定的$6$长期序列的连续平方，有无穷多个椭圆曲线$C$与后者的序列形成的$x$ -坐标的六个合理的点在$C(\mathbb Q)$。
Low degree extensions with Cyclic class group
本文证明了阿贝尔四次域及某些类数为2的双二次域中存在欧几里得理想类，并探讨了特定三次和二次扩张中的相关性质。
Hilbert 2-Class Fields and 2-Descent
给出了一类复二次数域的非分歧循环八度扩张的构造。二元二次型用于这一建设也出现在理论的2下降佩尔二次曲线和椭圆曲线，以及在明确描述循环四次扩张。
Squares in arithmetic progression over certain non-primitive quartic number fields
本文研究了特定非原始四次数字段上等差数列中的平方问题，通过特征化二次扩张Q(√D)上的非常数平方等差数列来探讨相关数论性质。
Index, Prime Ideal Factorization in simplest Quartic Fields and counting their discriminants
考虑由不可约四次多项式$$x^4-mx^3-6x^2+mx+1,$$定义的最简单四次数域$\mathbb{K}_m$，其中$m$遍历正有理整数，使得$m^2+16$的奇数部分是无平方的.本文研究了最简四次数域$\mathbb{K}_m$中的公共指标因子$I(\mathbb K_m)$，并明确地确定了任意素数的素理想分解.另一方面，我们建立了具有判别式$\leq x$和给定指标的最简四次域个数的渐近公式。
A family of pairs of imaginary cyclic fields of degree $(p-1)/2$ with both class numbers divisible by $p$
本文构造了一类新的无限族的虚循环域对的度$(p-1)/2$显式地与两个类数可除由一个给定的素数$p$。为了证明，我们使用了$\mathbb Q(\sqrt{p})$的基本单位，参数四次多项式的某些根单位，Kummer理论，Gauss和Jacobi和，线性递归序列，Weil猜想的一个推论和Lenstra的一个结果，Lenstra是Artin猜想关于原根的推广.我们的结果是基于著名的Scholz关于二次域对$\mathbb Q(\sqrt{D})$和$\mathbb Q (\sqrt{-3D})$的结果.
Relations in the 2-Class Group of Quadratic Number Fields
我们构建了一个家庭的理想代表理想类的二次数域，并表明，他们的理想类之间的关系是由某些循环四次扩张的有理数。
Binary quartic forms with vanishing $J$-invariant
得到了$J$ -不变量为零且Hessian与可约或正定二元二次型的平方成正比的整数系数不可约二元四次型的$\operatorname{GL}_2(\mathbb{Z})$ -等价类个数的渐近公式.这些结果给出了一种情况下，其中一个是能够计数积分轨道内的一个相对开放的实轨道的各种下，至少三度的群作用关闭。
Matrices over maximal orders in cyclic division algebras over Q as sums of squares and cubes
本文研究有理数域上奇素数次循环除代数中极大序上的矩阵，证明在特定条件下，任意阶数大于等于2的矩阵可表示为平方和与立方和，推广了已有结果。
A family of monogenic $S_4$ quartic fields arising from elliptic curves
我们考虑椭圆曲线的部分挠场（由除多项式的根生成的场）。通过分析椭圆曲线的约简性质，应用Montes算法，得到了整数环的信息。特别地，对于某些单参数非CM椭圆曲线族的部分$3$ -挠场，我们描述了一个幂基。证明了由$T^4 - 6T^2 - αT - 3$给出的四次$S_4$场的单参数族对于$α\in \mathbb{Z}$使得$α\pm 8$是无平方的，是单演的.
Value-distribution of quartic Hecke $L$-functions
设置$K=\mathbb{Q}(i)$，并假设$c\in \mathbb{Z}[i]$是一个无平方的代数整数，其中有$c\equiv 1 \imod{\langle16\rangle}$。令$L(s,χ_{c})$表示与四次剩余特征标模$c$相关联的Hecke $L$ -函数。对于$σ>1/2$，我们证明了一个渐近分布函数$F_σ$的值的对数\begin{equation*} L_c(s)= L(s,χ_c)L(s,\overlineχ_{c}), \end{equation*}作为$c$变化。此外，$F_σ$的特征函数被明确地表示为$\mathbb{Z}[i]$的素理想上的乘积。
On the 2-rank and 4-rank of the class group of some real pure quartic number fields
设$K=\mathbb{Q}(\sqrt[4]{pd^{2}})$是实纯四次数域，$k=\mathbb{Q}(\sqrt{p})$是实二次子域，其中$p\equiv 5\pmod 8$是素数，$d$是与$p$互质的无奇平方整数.本文根据$d$的素因子在$\mathbb{Q}(\sqrt{p})$中分解或保持惰性的个数，计算$K$的子群的$2$秩$r_2(K)$，从而导出满足$r_2(K)=2$的$d$的形式.在最后一种情况下，也给出了$K$类群的$4$秩.
Geometric generalizations of the square sieve, with an application to cyclic covers
我们提出了一个一般问题：给定全局域$K$上的射影概形$\mathbb{Y}$和$\mathbb{X}$，以及从$\mathbb{Y}$到$\mathbb{X}$的有限次$K$ -态射$η$，在高度至多为$B$的$\mathbb{X}(K)$中有多少点在$\mathbb{Y}(K)$中的$η$下有原像？这个问题的灵感来自于一个著名的猜想塞尔的数量上限的点的有界高度上的一个不可约的投影品种定义在一个数域。当$K=\mathbb{F}_q(T)$和$\mathbb{Y}$是$\mathbb{X}=\mathbb{P}_{K}^n$的素数度循环覆盖时，我们给出了一般问题的非平凡答案.我们的工具是一个新的几何筛，它概括了多项式筛的几何设置在全球功能领域。
The geometry of the moduli Space of non-cyclic biquadratic field extensions
本文研究了双二次扩张的非$2$特征的初等交换闭包的存在性.我们发现它对任何非循环扩张都存在。我们利用它来获得这类扩展的分类同构通过下降。这使我们能够描述几何的模空间在群论方面。我们还提供了两个家庭的多项式的两个参数，可以描述任何四次扩张。
Calculating all elements of minimal index in the infinite parametric family of simplest quartic fields
判定一个数域是否是单齐的，即它是否允许幂整基，是代数数论中的一个经典问题。在无限参数数域中考虑这个问题特别有趣。本文考虑由多项式$P_t(x)=x^4-tx^3-6x^2+tx+1$的根$ξ$生成的最简四次域$K$的无限参变量族，假定$t>0$，$t\neq 3$和$t^2+16$没有奇平方因子.除了幂整基的生成元外，我们还计算了这个族中所有域的最小指数和最小指数的所有元素。
The Arithmetic Geometry of Square-Sided Heron Triangles
本文研究了具有三个完全平方边的海伦三角形的等价条件，并通过代数曲线的有理点来确定其有限性，同时给出了具有两个完全平方边的海伦三角形的完整刻画及参数解族，证明了存在无限多个原始海伦三角形。
Two classes of number fields with a non-principal Euclidean ideal
本文引入了两类全实四次数域，一类是双二次扩张，一类是循环扩张，每一类都有一个非主欧氏理想。推广了Graves证明数域$\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{35})$有非主欧氏理想的技巧。
The finitude of tamely ramified pro-$p$ extensions of number fields with cyclic $p$-class groups
本文研究了 $p$-类群循环的数域在单个非 $p$-进素理想外不分歧的极大 pro-$p$ 扩张的 Galois 群的有限性，并证明了在生成元秩为 2 时该群对大多数素理想有限。
Quartic reductions and elliptic obstructions for perfect Euler bricks
本文探讨了完美欧拉砖问题等价于是否存在互质整数a,b,m,n使两个表达式同时为完全平方数，并通过四次方简化和椭圆障碍物分析，验证了参数至10^3时无解。
Fuglede's Conjecture on Cyclic Groups of Square-Free Order: The Case of Rapidly Growing Prime Factors
本文建立归纳论证，证明无穷序列无平方因子阶循环群上的Fuglede猜想，对所有这类群证明了tile-to-spectral方向，对素因子快速增长的群证明了spectral-tiling方向，填补了此前无任意多不同因子的循环群猜想成立的空白。
Quadratic fields with cyclic 2-class groups
对任意整数$k\ge 1$，我们证明了存在无穷多个复二次域，其2类群是$2^k$阶循环的.证明结合了圆的方法与代数标准的复二次理想类是一个广场。
Relative Ideal Classes of Arbitrary Order
我们适应一个已知的技术搜索理想类的任意顺序，然后将其应用到三个家庭的数域。我们证明了循环六次数域族中有无穷多个域包含一个相对理想类的阶为$r,$，其中$r$是一个正整数互素的程度的扩展。然后，我们表明，同样适用于一个家庭的循环四次数域。虽然该技术传统上应用于伽罗瓦扩展，我们展示了它可能是如何适应处理一个家庭的非伽罗瓦立方数字段，并证明了这个家庭包含无限多个领域的理想类的任意顺序互素到三。
Density of rational points on diagonal quartic surfaces
设a，b，c，d是乘积为平方的非零有理数，设V是PP^3中由ax^4+by^4+cz^4+dw^4=0定义的对角四次曲面。我们证明了如果V包含一个有理点，且该有理点不位于V上的48条直线中的任何一条上，也不位于任何一个坐标平面上，则V上的有理点的集合在Zebraki拓扑和实解析拓扑中都稠密.
The number of quartic $D_4$-fields ordered by conductor
我们考虑4度数域族，其在$\mathbb{Q}$上的正规闭包具有同构于$D_4$的伽罗瓦群，即正方形的对称性。对于任何这样的场$L$，可以将对应的2维不可约伽罗瓦表示的Artin导体与像$D_4$相关联。我们确定了这种按导体序的四次$D_4$ -场的渐近数，并计算了作为质量公式的首项，验证了Kedlaya和Wood的渐近性.此外，我们能够施加任何局部分裂条件在任何有限数量的素数（有时，在无限数量的素数），因此，我们也计算的渐近数的阶4元素的类组和窄类组的二次域有序的判别。传统上，有两种方法来计算四次域，使用算术不变理论结合几何的数字技术，并应用库默尔理论与L-函数方法。这两种策略都不符合$D_4$ -场的情况下，由导体排序，因为计数包含一个二次子域与大的判别式的四次字段是困难的。然而，当排序的导体，我们利用额外的代数结构所产生的外部自同构的$D_4$结合上述两种方法，以获得准确的渐近。
Two Families of Monogenic $S_4$ Quartic Number Fields
考虑积分多项式$f_{a,b}(x)=x^4+ax+b$和$g_{c,d}(x)=x^4+cx^3+d$。假设$f_{a,b}(x)$和$g_{c,d}(x)$是不可约的，$b\mid a$，并且整数$b$、$d$、$256d-27c^4$和$\dfrac{256b^3-27a^4}{\gcd(256b^3,27a^4)}$都是无平方的。使用蒙特斯算法，我们证明了根的$f_{a,b}(x)$或$g_{c,d}(x)$定义了一个单演扩展的$\mathbb{Q}$，并作为一个发电机的幂整数环的积分基础。事实上，我们对稍微更一般的家庭表现出单一性。此外，我们得到的多项式生成单演$S_4$领域内的家庭$f_{b,b}(x)$和$g_{1,d}(x)$的密度下界。
Counting points on smooth plane quartics
本文提出了在素数p模下对光滑平面四次曲线X进行点计数的高效算法，涵盖两种定义场景，提供两种不同时空复杂度的方法且实践中更快，还首次实现非$\mathbb P^1$循环覆盖曲线的平均多项式时间算法，可覆盖亏格$g\le3$的曲线。
On the Field Isomorphism Problem for the Family of Simplest Quartic Fields
研究最简四次域族中分裂域的同构问题，利用递推序列中的平方数及 Cohn 的结果，证明在特定条件下与给定分裂域相同的不同参数至多一个，并联系椭圆曲线。
On Sidon sets with squares, cubes and quartics in short intervals
本文研究了短区间内含平方、立方和四次方的Sidon集，证明了相关方程在特定范围内的无解性和存在性。
Genus 2 Curves with Complex Multiplication
亏格2曲线在密码学中对于基于离散对数和基于配对的系统都是有用的，但是需要一种方法来计算亏格2曲线，使得雅可比矩阵具有给定数量的点。目前，所有已知的方法都涉及通过计算它们的三个Igusa类多项式来用复乘构造亏格2曲线。这些多项式具有有理系数，并且需要大量的计算和精度来计算。通过对多项式系数的分解子的更精确的理解，可以改进这些算法的计算量和复杂度分析。本文的主要目的是给出亏格为2的曲线的Igusa类多项式的CM乘子在一个本原四次CM域上的一个界。本文综述了Igusa关于亏格为2的曲线的模空间的结果以及利用它们的Igusa不变量构造亏格为2的曲线的方法。我们还给出了一个完整的表征减少类型的CM阿贝尔曲面，双二次，循环，和非伽罗瓦四次CM领域，并为任何类型的总理分解的总理，包括分歧素。主要结果的证明方法涉及到研究四次CM域嵌入到四元数上的矩阵代数中的问题和引用晶体形变理论的技巧。
Gaussian Integers, Rings, Finite Fields, and the Magic Square of Squares
我们证明了3乘3的幻方的平方问题等价于解决四次多项式与某些因式分解的限制在一个阿贝尔扩展的有理数。我们分析了一个特殊的情况下，其中所述扩展被假定为高斯整数，从而产生一个新的搜索法。此外，本文还分析了有限域和Z/nZ形式的环上的幻方，给出了能构造幻方的幻方的环和有限域的枚举图。代码可用。
Sums of squares of polynomials with rational coefficients
我们构造一族显式多项式f的有理系数是多项式的平方和的实数，但不是在有理数。是否存在这样的例子是一个开放的问题最初提出的斯特姆费尔斯。我们还研究了表示的f的平方和的有理函数与合理的系数。在三元四次曲线的情况下，我们证明了我们的反例Sturmfels的问题是唯一的。
The $a$-numbers of non-hyperelliptic curves of genus 3 with cyclic automorphism group of order 6
本文研究了具有阶为6循环自同构群的亏格3非超椭圆曲线，给出了其同构的充分必要条件，并利用高斯超几何级数描述Hasse-Witt矩阵，确定了可能的$a$-数及达到最大$a$-数的同构类数量。
Some new canonical forms for polynomials
给出了$\cc$上形式的一些新的正则表示.例如，一般的二元四次型可以写成二次型的平方加上线性型的四次幂。$(x_1,...,x_n)$中的一般三次型可以唯一地写为线性型$\ell_{ij}(x_i,...,x_j)$，$1 \le i \le j \le n$的三次之和。一般的三元四次型是二次型的平方与线性型的三个四次幂之和。这些方法是经典的和初等的。
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