Isogenies for point counting on genus two hyperelliptic curves with maximal real multiplication
Schoof的经典算法允许在多项式时间内对有限域上的椭圆曲线进行点计数。该算法随后由Atkin改进，使用模块多项式的因式分解，并由Elkies使用显式同构理论。移动到亏格2曲线的雅可比行列式，点计数的当前技术状态是Schoof算法的推广。虽然我们目前缺少的工具，我们需要推广埃尔基的方法属2，最近马丁代尔和米利奥计算类似的模块多项式属2曲线的雅可比矩阵有真正的乘法极大序模的小判别。在这篇文章中，我们证明了Atkin风格的结果与实乘极大序模的亏格-2雅可比，以期使用这些新的模多项式，以提高点计数算法的实用性，这些曲线。
2017-04-19 cs.CR math.NT
Fast, uniform, and compact scalar multiplication for elliptic curves and genus 2 Jacobians with applications to signature schemes
我们给出了一个通用的框架，均匀的，恒定时间的一维和二维标量乘法算法的椭圆曲线和Jacobian的属2曲线，通过投影到x线或库默尔表面，在那里我们可以利用更快，更均匀的伪乘法，恢复正确的“签署”输出回曲线或Jacobian。这将L{ó}pez和Dahab、Okeya和Sakurai、Brier和Joye的工作扩展到亏格2，也扩展到二维标量乘法。我们的研究结果表明，许多现有的快速伪乘法实现（迄今为止仅限于Diffie-Hellman密钥交换中的应用）可以包装简单，高效的前和后计算，产生竞争力的全标量乘法算法，准备用于更一般的基于离散余弦变换的密码系统，包括签名方案。这对于亏格2是特别有趣的，其中库默尔曲面可以胜过可比的椭圆曲线系统。作为一个例子，我们构造了一个由Kummer曲面算法驱动的Schnorr签名方案的实例。
2015-10-22 cs.CR math.NT
Generic models for genus 2 curves with real multiplication
本文针对 Q 上带实乘法的亏格2曲线，借助 P² 上二次曲线束极小化算法，新增12种通用模型并覆盖 D<40，同时简化 D<100 的相关 Mestre 二次曲线方程。
2024-03-05 math.AG math.NT
Easy scalar decompositions for efficient scalar multiplication on elliptic curves and genus 2 Jacobians
基于标量分解的椭圆曲线标量乘法算法，包括Gallant-Lambert-Vanstone（GLV）和Galbraith-Lin-Scott（GLS）乘法，以及高维和高亏格的构造，其第一步是产生包含自同态特征值的整数格的短基.基向量越短，分解的标量系数越短，并且得到的标量乘法越快。通常情况下，特征值的知识允许我们写下一个长基，然后我们使用欧几里德算法，高斯约简，LLL，甚至更专门的算法来约简。在这项工作中，我们使用有关二次环的基本事实，立即写下一个简短的基础上的格的GLV，GLS，GLV+GLS，和Q-曲线结构的椭圆曲线，并为亏格2实乘结构。我们并不认为这代表了标量乘法中的一个重要优化，因为格约简步骤总是一个离线的预先计算-但它确实让我们更好地了解标量分解的结构。在任何情况下，使用现成的短基总是比计算新的短基更方便。
2013-10-19 cs.CR math.NT
Moduli for rational genus 2 curves with real multiplication for discriminant 5
本文针对判别式5的实乘法情形，给出了有理亏格2曲线对应的希尔伯特模曲面有理点的简单通用刻画，并提供了Weierstrass模型及二次型化简技术。
2022-06-12 math.AG math.NT
Counting points on genus-3 hyperelliptic curves with explicit real multiplication
我们提出了一个Las Vegas概率算法来计算定义在有限域$\mathbb F_q$上的亏格-3超椭圆曲线的zeta函数，并在全实三次域中用一阶$\mathbb Z[η]$进行显式实数乘法。我们的主要结果表明，该算法需要一个预期数量的$\widetilde O((\log q)^6)$位操作，在$\widetilde O()$中的常数取决于环$\mathbb Z[η]$和多项式的次数表示的自同态$η$。作为概念验证，我们计算在64位素域上定义的曲线的zeta函数，并通过$\mathbb Z[2\cos(2π/7)]$进行显式实数乘法。
2018-09-20 cs.SC math.AG math.NT
Reduction types of CM curves
该研究聚焦雅可比簇具复乘法的低亏格曲线约化性质，分类了椭圆曲线的Kodaira约化类型，探究了亏格2曲线的Namikawa Ueno类型，并给出局部域上复乘阿贝尔簇挠子群的界。
2024-05-22 math.NT
Bad Reduction of Genus Two Curves with complex multiplication
Technische Universität Darmstadt（达姆施塔特工业大学）；University of Wisconsin Madison（威斯康星大学麦迪逊分校）；Renmin University of China（中国人民大学）
本文研究具有双二次CM域复乘的亏格二曲线，通过正交Shimura簇上的CM环显式描述其雅可比簇，推导稳定坏约化素数的上界并证明其存在性。
2026-10-30 math.AG math.NT
Counting points on some genus zero Shimura curves
本文利用零维 Shimura 曲线上有界高度点的计数，研究数域 $K$ 上具潜在四元数乘法的阿贝尔曲面数量。
2025-07-29 math.NT
Examples of CM curves of genus two defined over the reflex field
在“Proving that a genus 2 curve has complex multiplication“中，van Wamelen列出了在$\mathbf{Q}$上具有复乘（CM）的亏格2的19条曲线。对于这19条曲线中的每一条，CM场都是$\mathbf{Q}$上的循环伽罗瓦。非伽罗瓦四次CM-域的一般情况没有出现在这个列表中，因为在这种情况下定义的域总是包含一个实二次域，称为反射域的实二次子域。我们扩展范Wamelen的列表，包括曲线的亏格2定义在这个实二次域。因此，我们的列表包含亏格2的CM曲线的最小“通用”示例。我们解释我们的方法来获得这个列表，包括一个新的高度减少算法的任意超椭圆曲线完全实数域。与Van Wamelen不同的是，我们还给出了我们的列表的证明，这是通过我们对Igusa类多项式的Lauter和Viray的分母界的实现而实现的。
2015-08-24 math.NT
Selmer Groups of Elliptic Curves with Complex Multiplication
本文给出了关于椭圆曲线上具有复乘的Selmer群的Iwasawa模结构的一些结果。
2009-10-08 math.NT
The Sato-Tate conjecture for a Picard curve with Complex Multiplication
设C/Q为仿射模型y^3=x^4-x给出的亏格为3的Picard曲线。本文计算了C的Sato-Tate群，证明了C的广义Sato-Tate猜想，并计算了C的归一化局部因子的极限分布的统计矩.
2014-10-01 math.NT
Elliptic curves with complex multiplication and $Λ$-structures
本论文主要探讨具有复乘的椭圆曲线与Lambda结构之间的关系。我们的主要结果是证明了具有复乘的椭圆曲线的模栈和具有复乘的泛椭圆曲线都具有Lambda结构，并且结构态射是Lambda态射.这意味着具有复乘的椭圆曲线可以被正则地提升到基的Witt向量（这些是大的全局Witt向量）。我们还表明，椭圆曲线与复乘的志村型恰恰是那些承认λ结构，这些椭圆曲线承认全球极小模型的一大类。在此基础上，我们详细研究了任意基上具有复乘的椭圆曲线族，给出了与局部域和虚二次域相关的互易映射的新的推导，构造了具有复乘的椭圆曲线的模栈的一个新的平坦的、仿射的和准光滑的刚性化，并展示了完美Lambda格式与周期之间的关系，$p$ -adic和analytic。
2017-10-24 math.NT
Modular elliptic directions with complex multiplication (with an application to Gross's elliptic curves)
对于S_2（Gamma_1（N））中的每个带复乘的正规化新形式f，研究了阿贝尔簇A_f的椭圆曲线C的模参数化.我们应用当C是Gross的椭圆曲线A（p）时得到的结果。
2008-10-23 math.NT
Complex Multiplication Tests for Elliptic Curves
本文研究了定义在给定数域上的椭圆曲线是否有复乘的问题。我们研究了两个多项式时间算法，一个随机的和其他确定性。随机化算法可以适于产生曲线的自同态环的判别式。
2004-09-26 math.NT
Geometric primality tests using curves of genus 1 & 2
我们回顾和推广了一些几何技术背后的确定性素性测试的一些整数序列使用曲线的亏格1有限环。随后，我们开发了一个类似的素性测试使用的雅可比矩阵的亏格2曲线。
2017-10-13 math.NT
Counting points on hyperelliptic curves with explicit real multiplication in arbitrary genus
给出了一个概率Las Vegas算法，用于计算定义在$\mathbb F_q$上的亏格- $g$超椭圆曲线的局部zeta函数，该曲线在度- $g$全实数域上用显式实数乘（RM）乘以阶数$\Z[η]$.它基于Schoof和Pila的方法，在一个更有利的情况下，我们可以将$\ell$ -挠分解为自同态的$g$核，如Gaudry，Kohel和Smith在亏格2中介绍的那样。为了处理这些内核在任何属，我们采用的技术，作者，Gaudry和Spaenlehauer介绍了模型的$\ell$ -扭转结构多项式系统。将这种技术应用于核，我们得到的系统要小得多，求解它们的复杂性也要小得多。我们的主要结果是存在一个常数$c>0$，使得对于任何固定的$g$，随着$q$的增长，该算法具有期望的时间和空间复杂度$O((\log q)^{c})$，并且特征足够大。我们证明了$c\le 9$，并猜想这个结果对$c=7$也成立.
2019-10-15 cs.SC math.AG math.NT
Shimura curves of genus at most two
本文列举了亏格不超过两个的所有Shimura曲线X^D_0（N）。
2010-11-07 math.NT
Computation on Elliptic Curves with Complex Multiplication
给出了1-13度数域上具有复乘的椭圆曲线的可能扭子群的完整列表。此外，我们描述了用于计算这些扭子群的算法及其实现。
2013-11-12 math.NT
Computer search for curves with many points among abelian covers of genus 2 curves
利用类域理论，我们将有限域上的每一条曲线C及其除子类群的每一个子群G联系起来，得到C的非分歧阿贝尔覆盖，其亏格由G的指数决定。通过列出小亏格的曲线的类群，可以得到具有多个点的曲线的例子;我们对基数为5，7，9，11，13和16的域上的亏格2的所有曲线都这样做，为具有多个点的曲线表提供新的条目（www.manYPoints.org）。
2011-06-25 math.NT
Extending Elliptic Curve Chabauty to higher genus curves
将“椭圆曲线Chabauty”方法推广到高亏格曲线及其Jacobian。这种方法有时可以与覆盖技术和修改版本的Mordell-Weil筛结合使用，以提供一个完整的解决方案，以确定代数曲线$Y$的有理点集的问题。
2011-11-23 math.NT
Distortion maps for genus two curves
失真映射是基于配对的密码学的有用工具。与椭圆曲线相比，亏格g > 1的超椭圆曲线的情形更为复杂，因为全挠子群的秩为2g。本文证明了亏格g>1的超奇异曲线的畸变映射总是存在的，并构造了亏格2的畸变映射（嵌入度分别为4，5，6，12）.
2006-11-15 math.NT
Mahler measure of polynomials defining genus 2 and 3 curves
本文研究了500多个亏格为2和亏格为3的倒数多项式曲线族的Mahler测度。数值上我们发现这些多项式的Mahler测度与$L$ -函数的特殊值之间的关系。我们还发现了100多个身份之间的马勒措施，涉及不同的家庭的多项式定义属2和属3曲线。进一步研究了亏格为2的几类非互易多项式的Mahler测度，并通过数值计算找到了这几类非互易多项式的Mahler测度与椭圆曲线的$L$ -函数的特殊值之间的关系.我们还发现这些非互易家庭和回火多项式定义属1曲线的马勒措施之间的身份。我们将通过考虑由这些多项式定义的曲线的$K_2$中的某些元素的推进和拉回，并将Beilinson猜想应用于曲线的$K_2$来解释这些关系。我们证明了亏格2和亏格3曲线族的$K_2$中存在两个和三个显式线性无关元。
2019-10-24 math.NT
Frobenius lifts and elliptic curves with complex multiplication
利用Frobenius提升的交换族给出了Shimura型椭圆曲线的一个新的刻画，并加强了束类域的一个旧的主理想定理.这两个结果相结合产生的存在性的整体极小模型的椭圆曲线的Shimura型，推广的结果格罗斯。一路上，我们还证明了一些小的，但新的结果，椭圆曲线与复乘。
2020-11-06 math.NT
Infinitely many hyperelliptic curves of small genus and small fixed rank, and of any genus and rank two
Max Planck Institute for Mathematics（马克斯·普朗克数学研究所）
本文证明了对于任何数域K和固定亏格g≥2，存在无穷多个非同构的亏格为g的双曲曲线，其雅可比曲线的秩为0、1或2。
2026-04-21 math.NT
Uniqueness of low genus optimal curves over F_2
一条定义在有限域F_q上的亏格为g的射影光滑绝对不可约代数曲线X称为最优的，如果对F_q上的每一条亏格为g的曲线Y都有$\#Y(F_q)\le \#X(F_q)$ .本文证明了F_2上$g\le 5$存在唯一的最优亏格g曲线。当g=6时，恰好有两个，当g=7时，至少有两个。
2010-05-25 math.NT
The maximum number of rational points for a genus 4 curve over F_7 is 24
本文证明了有限域F_7上的光滑、射影、绝对不可约亏格为4的曲线的最大可能有理点个数为24。已知F_7上亏格为4的曲线最多可以有25个点。在本文中，我们证明了这样的曲线可以有至多24。另一方面，我们给出了F_7上亏格为4的曲线有24个点的一个显式例子。
2010-05-25 math.NT
Period and index of genus one curves over number fields
曲线的周期是Galois-不变因子类的最小正次数。该指数是有理因子的最小正度。我们构造了给定数域上具有指定周期和指数的亏格为1的曲线的例子。
2008-10-31 math.NT
Legendre polynomials and complex multiplication, II: class numbers of quadratic fields and genus 2 supersingular polynomials
该文研究亏格2的两类超奇异多项式在有限域上的因式分解，用二次变换结合勒让德多项式、类方程性质及已有结果，证明其一次因式个数由虚二次域类数刻画，部分核心结论由人工智能首次发现。
2026-09-01 math.NT
The CM class number one problem for curves of genus $2$
椭圆曲线的CM类数一问题要求求出所有定义在有理数上的具有非平凡自同态环的椭圆曲线。对于亏格2曲线，问题是确定定义在反射场上的亏格$2$的所有CM曲线。我们解决了这个问题，表明在Bouyer和Streng [LMS J. COMPUT.数学，18（1）：507{538，2015}已完成。
2018-06-13 math.NT
Some genus 3 curves with many points
利用一类显式的平面四次曲线，证明了特征为3的有限域上存在亏格为3的曲线，且该曲线的有理点的个数与Hasse-Weil-Serre上界的距离不超过一定.我们还提供了一个内在的特性，所谓的勒让德椭圆曲线。
2002-01-16 math.NT
Triangular modular curves of low genus
三角形模曲线是由上半平面的同余子群与双曲三角形群的同余子群所产生的模曲线的推广。这些曲线也自然地作为具有单值$\text{PGL}_2(\mathbb{F}_q)$或$\text{PSL}_2(\mathbb{F}_q)$的Belyi映射的源而出现。提出了一种计算Borel型三角模曲线的方法，并对素数水平和小亏格的Borel型三角模线进行了计数。
2022-09-30 math.NT
$E_8$ and the average size of the 3-Selmer group of the Jacobian of a pointed genus-2 curve
证明了亏格为2的曲线的3-Selmer群的平均尺寸为4。
2020-09-16 math.NT
A framework for deterministic primality proving using elliptic curves with complex multiplication
我们提供了一个框架，用于使用椭圆曲线和复乘来确定性准二次时间中位于特殊序列中的整数的素性或复合性。我们用它来寻找大素数，包括目前已知的最大素数，其素数性无法用经典方法证明。
2014-10-11 math.NT
Power residues of Fourier coefficients of elliptic curves with complex multiplication
固定m >= 1，设E是Q上的椭圆曲线，具有复乘。我们用公式表示素数p（与1模m全等）的密度，其中E的第p个傅里叶系数是模p的m次幂;这些密度通常不同于1/m的朴素期望。我们还证明了我们的代数m除以单位根的数目躺在CM域E;最涉及的情况是m=4和复乘Q（i）。
2006-04-03 math.NT
On different expressions for invariants of hyperelliptic curves of genus 3
本文给出亏格为3的超椭圆曲线的不同不变量之间的一个通项公式，特别是Tsuyumine和Shioda不变量之间的通项公式.这需要得到Shioda不变量的模表达式，即，例如，用于证明CM亏格3超椭圆曲线的数值计算方程的正确性。另一方面，我们还得到了用定义超椭圆曲线的方程的根的差描述的Shioda不变量，它在研究曲线的约化类型方面有应用。在其雅可比矩阵满足一定条件的情况下，给出亏格为3的超椭圆曲线坏约化类型的判定准则。
2019-07-12 math.NT
Tate Safarevich groups of elliptic curves with complex multiplication
我们证明了${\Bbb Q}_p/{\Bbb Z}_p$在${\Bbb Q}$上具有复数乘法的椭圆曲线$E$的Tate-Shafarevich群中的拷贝数至多为$2p - g$，其中$g$是$E({\Bbb Q})$的秩，并且对于所有足够大的好的普通素数$p$。
2009-01-24 math.NT
On the 2-part of the Birch-Swinnerton-Dyer conjecture for elliptic curves with complex multiplication
给定Q上椭圆曲线E的复乘在2处有好约化，研究了一类二次扭转的L值在1处的代数部分的2-adic赋值.特别是，我们证明了一个下界，这个估值的玉川数的形式预测的猜想的桦树和Swinnerton-Dyer。
2013-04-06 math.NT
Rational and isolated quadratic points on hyperelliptic curves of rank 0 and small genus
本文提出一种利用Kummer簇上Mordell-Weil群像来计算秩0超椭圆曲线有理点和孤立二次点的方法，并用Magma实现，在大量曲线上验证。
2025-09-24 math.NT
Twists of non-hyperelliptic curves of genus 3
在本文中，我们显式计算方程的所有光滑平面四次曲线定义在一个数域k上的扭曲。由于平面四次曲线是亏格为3的非超椭圆曲线，我们可以应用作者在前一篇文章中提出的方法。本文的出发点是Henn对具有非平凡自同构群直到C-同构的平面四次曲线的分类。
2016-04-08 math.NT
On genus one curves violating the local-global principle
对于任何不包含$\QQ(i),$的数域，我们给出一个显式构造来证明存在一条定义在该数域上的椭圆曲线，使得其Shafarevich-Tate群是非平凡的。
2022-03-02 math.NT
On the average number of rational points on curves of genus 2
基于计算证据，我们用方程y ^2 = f（x）>的系数的大小来表示亏格为2的曲线上的有理点在有理数上的分布。
2009-02-24 math.NT
Hypergeometric Properties of Genus 3 Generalized Legendre Curves
受Manin的一个结果的启发，研究了亏格为3的广义Legendre曲线的Frobenius迹与某些周期积分的关系.我们表明，这两个属性可以计算的“匹配”的经典和有限域超几何函数，这种现象也被观察到在椭圆曲线和许多高维品种。
2017-05-05 math.NT
Embedding Degree of Hyperelliptic Curves with Complex Multiplication
考虑有限域上亏格为2的曲线的雅可比矩阵，它具有复乘。本文证明了如果Jacobian的l-Sylow子群不是循环的，则Jacobian关于l的嵌入度为1。
2007-05-10 math.AG math.NT
p-torsion of Genus Two Curves Over Prime Fields of Characteristic p
考虑定义在特征为p的素域上具有复乘的超椭圆亏格2曲线的雅可比矩阵。本文证明了Jacobian的p-Sylow子群是平凡的或p阶的。
2007-05-24 math.AG math.NT
On abelian surfaces with potential quaternionic multiplication
域K上的阿贝尔曲面A有势四元数乘法，如果A的几何自同态环End_ \bar K（A）是不定有理除四元数代数中的一个阶.在这个简短的说明中，我们研究了这些曲面的自同态环的可能结构，我们提供了明确的例子，雅可比曲线的亏格2，这表明我们的结果是尖锐的。
2004-09-20 math.AG math.NT
On the Prym variety of genus 3 covers of genus 1 curves
本文针对亏格1曲线的非超椭圆亏格3覆盖，构造显式亏格2曲线，使雅可比簇同源于原曲线与覆盖曲线的雅可比簇乘积，推广了Nils Bruin的结果。
2018-03-15 math.AG math.NT
Non-elliptic Shimura curves of genus one
本文给出了由约化判别式D的不定四元数代数产生的具有Gamma 0（N）-水平结构的非椭圆亏格Shimura曲线X 0（D，N）的显式模型，以及它们的Atkin-Lehner等价式.此外，我们还讨论和推广了Jordan博士论文中关于Shimura曲线上具有复乘的点的工作。
2008-04-25 math.AG math.NT
Two-coverings of Jacobians of curves of genus two
我们找到了特征不同于2的任意基域上亏格为2的Jacobian的两个覆盖的显式方程。
2009-05-08 math.AG math.NT
p-adic L-functions and Selmer varieties associated to elliptic curves with complex multiplication
我们展示了如何非零的p-adic L函数控制的尺寸Selmer品种与补充的原点在一个椭圆曲线CM。作为推论，我们得到了Siegel定理在这类曲线上的π_1-证明.
2007-10-28 math.AG math.NT
Optimal curves of genus 1,2 and 3
本文讨论了有限域上亏格为1，2，3的曲线的最大点数问题
2011-01-31 math.AG math.NT
Genus one half stacky curves violating the local-global principle
对任意数域，我们证明了存在亏格为1/2的Stacky曲线，它定义在其整数环上，违反了整点的局部-整体原理。
2022-03-11 math.AG math.NT
A database of nonhyperelliptic genus 3 curves over Q
我们报告的建设数据库的非超椭圆亏格3曲线在Q的小判别。
2018-10-24 math.AG math.NT
A census of all genus 4 curves over the field with 2 elements
我们解释了我们如何计算方程的所有属4曲线定义的领域与2个元素，直到同构，和一些数据，我们得到的。我们也给出了描述的好模型的属4曲线的特征2字段，在超椭圆的情况下，三角形的情况下。
2020-07-15 math.AG math.NT
