Curves of genus 2 with sqrt2 multiplication
本文给出了亏格为2的曲线族，其Jacobian的$\sqrt2$乘被Rosati对合固定，并在此基础上得到了几个结果，包括曲线的Jacobian与四元数乘曲线的Jacobian的同构性.
1999-11-23 math.NT
Determining the primes of bad reduction of CM curves of genus 3
在本文中，我们介绍了一个新的问题，称为同构嵌入问题（IEP）。这个问题的解的存在性与亏格$3$的CM曲线的坏约化的素数有关，并且我们可以在没有解的情况下检测到潜在的好约化。我们提出了一种算法，用于计算的解决方案的IEP和运行的算法，通过不同的家庭的曲线。我们能够证明某些特定曲线在某些素数下的约化类型，这些素数是[LLLR 21]中的开放情况。
2022-12-28 math.NT
The Mordell-Weil rank of the Jacobian of a curve of genus 2 with multiplication by a square root of 2
我们提出了一种方法来计算的Mordell-Weil秩的雅可比曲线的亏格2乘以2的平方根，基于下降通过isogenies度2，并将其应用到一个家庭的曲线。
1999-06-15 math.NT
Bad reduction of genus $2$ curves with CM jacobian varieties
我们证明了一个数域上的亏格$2$曲线，如果其雅可比矩阵是复乘，则在某个素数处通常会有稳定的坏约化。我们证明了这一点，通过计算的雅可比在两种不同的方式的法尔亭高度。首先，我们使用一个公式由Colmez和Obus特定的CM的情况下，有效的CM字段是一个阿贝尔扩展的有理数。该公式将高度和$L$函数的对数导数联系起来。第二个公式涉及到的高度分解成局部条款的基础上的超椭圆模型。我们使用Igusa，刘，斋藤的结果表明，在有限的地方，在我们的分解措施的贡献稳定的坏约化的曲线和次凸性边界的Michel和Venkatesh与张处理无限的地方的等分布结果。
2015-06-08 math.NT
Counting Points on Genus 2 Curves with Real Multiplication
我们提出了一个加速的Schoof型点计数算法的曲线亏格2配备了一个有效的可计算的实乘自同态。新算法将大特征有限域（\F_{q}）上亏格2点计数的复杂度从（\widetilde{O}（\log^8 q））降低到（\widetilde{O}（\log^5 q））.使用我们的算法，我们计算一个256位的素数阶雅可比矩阵，适用于加密应用，也是一个1024位雅可比矩阵的顺序。
2011-06-03 math.NT
On Sato--Tate distributions, extremal traces, and real multiplication in genus 2
垂直Sato-Tate曲线给出了曲线族的预期迹分布。我们开发的精确表达式的分布相关的程度$4$表示的$\mathrm{USp}(4)$，$\mathrm{SU}(2)\times\mathrm{SU}(2)$和$\mathrm{SU}(2)$在附近的端点的Weil界。因此，我们得到定性的区别所产生的一般属- $2$曲线和属- $2$曲线与实或四元数乘法的极值轨迹。特别是，我们显示，在一个特定的意义上，在何种程度上曲线与真正的乘法占主导地位的贡献极值轨迹。
2020-12-19 math.NT
Counting points on genus-3 hyperelliptic curves with explicit real multiplication
我们提出了一个Las Vegas概率算法来计算定义在有限域$\mathbb F_q$上的亏格-3超椭圆曲线的zeta函数，并在全实三次域中用一阶$\mathbb Z[η]$进行显式实数乘法。我们的主要结果表明，该算法需要一个预期数量的$\widetilde O((\log q)^6)$位操作，在$\widetilde O()$中的常数取决于环$\mathbb Z[η]$和多项式的次数表示的自同态$η$。作为概念验证，我们计算在64位素域上定义的曲线的zeta函数，并通过$\mathbb Z[2\cos(2π/7)]$进行显式实数乘法。
2018-09-20 cs.SC math.AG math.NT
Asymptotically bad towers of function fields
本文研究了证明完满域上函数域的某些塔的亏格为无限的一般条件。我们表明，许多已知的例子塔无限亏格是这些条件的特殊情况。
2014-02-25 math.NT
Counting points on hyperelliptic curves with explicit real multiplication in arbitrary genus
给出了一个概率Las Vegas算法，用于计算定义在$\mathbb F_q$上的亏格- $g$超椭圆曲线的局部zeta函数，该曲线在度- $g$全实数域上用显式实数乘（RM）乘以阶数$\Z[η]$.它基于Schoof和Pila的方法，在一个更有利的情况下，我们可以将$\ell$ -挠分解为自同态的$g$核，如Gaudry，Kohel和Smith在亏格2中介绍的那样。为了处理这些内核在任何属，我们采用的技术，作者，Gaudry和Spaenlehauer介绍了模型的$\ell$ -扭转结构多项式系统。将这种技术应用于核，我们得到的系统要小得多，求解它们的复杂性也要小得多。我们的主要结果是存在一个常数$c>0$，使得对于任何固定的$g$，随着$q$的增长，该算法具有期望的时间和空间复杂度$O((\log q)^{c})$，并且特征足够大。我们证明了$c\le 9$，并猜想这个结果对$c=7$也成立.
2019-10-15 cs.SC math.AG math.NT
Isogenies for point counting on genus two hyperelliptic curves with maximal real multiplication
Schoof的经典算法允许在多项式时间内对有限域上的椭圆曲线进行点计数。该算法随后由Atkin改进，使用模块多项式的因式分解，并由Elkies使用显式同构理论。移动到亏格2曲线的雅可比行列式，点计数的当前技术状态是Schoof算法的推广。虽然我们目前缺少的工具，我们需要推广埃尔基的方法属2，最近马丁代尔和米利奥计算类似的模块多项式属2曲线的雅可比矩阵有真正的乘法极大序模的小判别。在这篇文章中，我们证明了Atkin风格的结果与实乘极大序模的亏格-2雅可比，以期使用这些新的模多项式，以提高点计数算法的实用性，这些曲线。
2017-04-19 cs.CR math.NT
Fast, uniform, and compact scalar multiplication for elliptic curves and genus 2 Jacobians with applications to signature schemes
我们给出了一个通用的框架，均匀的，恒定时间的一维和二维标量乘法算法的椭圆曲线和Jacobian的属2曲线，通过投影到x线或库默尔表面，在那里我们可以利用更快，更均匀的伪乘法，恢复正确的“签署”输出回曲线或Jacobian。这将L{ó}pez和Dahab、Okeya和Sakurai、Brier和Joye的工作扩展到亏格2，也扩展到二维标量乘法。我们的研究结果表明，许多现有的快速伪乘法实现（迄今为止仅限于Diffie-Hellman密钥交换中的应用）可以包装简单，高效的前和后计算，产生竞争力的全标量乘法算法，准备用于更一般的基于离散余弦变换的密码系统，包括签名方案。这对于亏格2是特别有趣的，其中库默尔曲面可以胜过可比的椭圆曲线系统。作为一个例子，我们构造了一个由Kummer曲面算法驱动的Schnorr签名方案的实例。
2015-10-22 cs.CR math.NT
Embedding Degree of Hyperelliptic Curves with Complex Multiplication
考虑有限域上亏格为2的曲线的雅可比矩阵，它具有复乘。本文证明了如果Jacobian的l-Sylow子群不是循环的，则Jacobian关于l的嵌入度为1。
2007-05-10 math.AG math.NT
p-torsion of Genus Two Curves Over Prime Fields of Characteristic p
考虑定义在特征为p的素域上具有复乘的超椭圆亏格2曲线的雅可比矩阵。本文证明了Jacobian的p-Sylow子群是平凡的或p阶的。
2007-05-24 math.AG math.NT
Genus 2 Curves with Complex Multiplication
亏格2曲线在密码学中对于基于离散对数和基于配对的系统都是有用的，但是需要一种方法来计算亏格2曲线，使得雅可比矩阵具有给定数量的点。目前，所有已知的方法都涉及通过计算它们的三个Igusa类多项式来用复乘构造亏格2曲线。这些多项式具有有理系数，并且需要大量的计算和精度来计算。通过对多项式系数的分解子的更精确的理解，可以改进这些算法的计算量和复杂度分析。本文的主要目的是给出亏格为2的曲线的Igusa类多项式的CM乘子在一个本原四次CM域上的一个界。本文综述了Igusa关于亏格为2的曲线的模空间的结果以及利用它们的Igusa不变量构造亏格为2的曲线的方法。我们还给出了一个完整的表征减少类型的CM阿贝尔曲面，双二次，循环，和非伽罗瓦四次CM领域，并为任何类型的总理分解的总理，包括分歧素。主要结果的证明方法涉及到研究四次CM域嵌入到四元数上的矩阵代数中的问题和引用晶体形变理论的技巧。
2010-03-24 math.NT
Easy scalar decompositions for efficient scalar multiplication on elliptic curves and genus 2 Jacobians
基于标量分解的椭圆曲线标量乘法算法，包括Gallant-Lambert-Vanstone（GLV）和Galbraith-Lin-Scott（GLS）乘法，以及高维和高亏格的构造，其第一步是产生包含自同态特征值的整数格的短基.基向量越短，分解的标量系数越短，并且得到的标量乘法越快。通常情况下，特征值的知识允许我们写下一个长基，然后我们使用欧几里德算法，高斯约简，LLL，甚至更专门的算法来约简。在这项工作中，我们使用有关二次环的基本事实，立即写下一个简短的基础上的格的GLV，GLS，GLV+GLS，和Q-曲线结构的椭圆曲线，并为亏格2实乘结构。我们并不认为这代表了标量乘法中的一个重要优化，因为格约简步骤总是一个离线的预先计算-但它确实让我们更好地了解标量分解的结构。在任何情况下，使用现成的短基总是比计算新的短基更方便。
2013-10-19 cs.CR math.NT
The Chabauty-Coleman bound at a prime of bad reduction
本文将亏格g>1的曲线上有理点个数的Chabauty-Coleman界的改进形式推广到坏约化的情形。
2010-03-29 math.NT
The Chabauty-Coleman bound at a prime of bad reduction and clifford bounds for geometric rank functions
设X是亏格g ≥ 2的数域K上的曲线，$\pp$是O_K在非分歧有理素数p> 2 r上的素数，J是X的Jacobian，r=秩J（K），$\scrX$是X在$\pp$上的正则真模型.设r<g。我们证明了#X（K）<=# \scrX（F_{\pp}）+2r，将改进的Chabauty-Coleman界推广到坏约化的情形.新的技术见解是隔离变量的经典秩的一个因子的曲线更适合奇异曲线和满足克利福德定理。
2013-01-25 math.AG math.NT
On abelian surfaces with potential quaternionic multiplication
域K上的阿贝尔曲面A有势四元数乘法，如果A的几何自同态环End_ \bar K（A）是不定有理除四元数代数中的一个阶.在这个简短的说明中，我们研究了这些曲面的自同态环的可能结构，我们提供了明确的例子，雅可比曲线的亏格2，这表明我们的结果是尖锐的。
2004-09-20 math.AG math.NT
The Geometric Bogomolov Conjecture for Small Genus Curves
博戈莫洛夫猜想是关于定义在整体域上的光滑完备曲线上的小高度代数点的有限性陈述。证明了特征为零的函数域上亏格至多为4的曲线的Bogomolov猜想的一个有效形式。我们恢复了已知的结果亏格2曲线，并在许多情况下，改进了已知的亏格3曲线的界限。对于亏格为4且约化坏约化的曲线，该猜想以前未被证明。
2009-07-13 math.AG math.NT
Non-elliptic Shimura curves of genus one
本文给出了由约化判别式D的不定四元数代数产生的具有Gamma 0（N）-水平结构的非椭圆亏格Shimura曲线X 0（D，N）的显式模型，以及它们的Atkin-Lehner等价式.此外，我们还讨论和推广了Jordan博士论文中关于Shimura曲线上具有复乘的点的工作。
2008-04-25 math.AG math.NT
Genus 2 curves with bad reduction at one odd prime
本文研究了由 $y^2=xh(x)$ 描述的亏格2曲线，证明了当 $h(x)$ 可约时绝对判别式为奇素数的曲线仅有两族，并在 $h(x)$ 不可约时给出了显式曲线族示例。
2023-08-02 math.NT
Primes dividing invariants of CM Picard curves
给出亏格为3的Picard曲线的不变量的分解子与复乘的素数的一个界。与早期的边界在亏格2和3，我们的界限是基于不坏约化曲线，但在一个非常明确的类型的好约化。这种方法同时产生一个简化的证明，和更清晰的界限。事实上，与之前所有亏格3的界不同，我们的界足够尖锐，可以用于Picard曲线的显式构造。
2018-09-17 math.AG math.NT
Computing isogenies from modular equations in genus two
提出一种算法，利用模方程和显式Kodaira-Spencer同构，在特征足够大且曲线足够一般的条件下，显式计算亏格2曲线上Jacobian的l-同源或循环核同源。
2024-12-23 math.AG math.NT
Constructing Picard curves with complex multiplication using the Chinese Remainder Theorem
给出了一种构造有限域上Picard曲线的新算法。这在密码学中具有重要的应用，因为亏格3的曲线允许比椭圆曲线更小的密钥大小。对于含有单位立方根的六次CM-域$K$，定义并计算了一类模小素数多项式，然后利用孙子剩余定理构造了有理数上的类多项式.我们也给出了一些例子。
2018-07-17 math.AG math.NT
Principally polarized squares of elliptic curves with field of moduli equal to Q
我们给出了$\overline{\mathbb{Q}}$上13条亏格为2的曲线的方程，其中模型在$\mathbb{Q}$上，其非极化雅可比行列式同构于椭圆曲线的平方，并通过极大序模进行复乘。如果广义黎曼假设是真的，就没有这样的曲线的进一步的例子。在广义黎曼假设下，证明了在具有模域$\mathbb{Q}$的$\overline{\mathbb{Q}}$上存在46条亏格为2的曲线，其Jacobian同构于具有极大序模的复乘的椭圆曲线的平方.
2018-06-12 math.AG math.NT
Atkin--Lehner Quotients of Modular Curves at Primes of Bad Reduction
本文构造了模曲线 $X_0(N)$ 的 Atkin--Lehner 商在坏约化素数处的半稳定模型，并给出特殊纤维的显式描述与亏格公式。
2026-10-01 math.AG math.NT
Primes in the denominators of Igusa Class Polynomials
本说明的目的是建议一个类似的属2曲线的一部分格罗斯和Zagier的工作椭圆曲线。实验上，对于CM为四次CM域K的亏格为2的曲线，似乎除Igusa类多项式的判别式的子的素数都具有以下性质：1）它们以d为界，d是K的判别式的绝对值; 2）它们除d-x^2，对于某个整数x，其平方小于d。第3节给出了一个稍强的条件。这类素数是亏格2曲线的坏约化素数和亏格2曲线的雅可比矩阵的超奇约化素数。
2003-01-21 math.AG math.NT
Reduction types of CM curves
该研究聚焦雅可比簇具复乘法的低亏格曲线约化性质，分类了椭圆曲线的Kodaira约化类型，探究了亏格2曲线的Namikawa Ueno类型，并给出局部域上复乘阿贝尔簇挠子群的界。
2024-05-22 math.NT
Counting points on some genus zero Shimura curves
本文利用零维 Shimura 曲线上有界高度点的计数，研究数域 $K$ 上具潜在四元数乘法的阿贝尔曲面数量。
2025-07-29 math.NT
Genus-five hyperelliptic or trigonal curves with many rational points in characteristic three
数$N_9(5)$，即$5$亏格的$\mathbb{F}_9$上曲线上的$\mathbb{F}_9$ -有理点的最大数是未知的，但已知$32 \le N_9(5)\le 35$。本文列举了$\mathbb{F}_3$上具有多个$\mathbb{F}_9$ -有理点（和$\mathbb{F}_3$ -有理点）的超椭圆曲线和三角曲线，特别是这些曲线的$\mathbb{F}_9$ -有理点的最大数目为$30$ .工藤原下研究了非超椭圆和非三角的情况，他们发现了一个新的例子，曲线（超过$\mathbb{F}_3$）的亏格5，达到$32$，并证明了没有例子达到超过$32$，在六次平面曲线与温和的奇异性。我们从本文的主要结果得出结论，我们需要搜索六次模型（即，非超椭圆和非三角形），以便找到具有至少$33$ $\mathbb{F}_9$ -有理点的$\mathbb{F}_3$上的亏格五曲线。
2022-04-14 math.AG math.NT
Constructing genus 3 hyperelliptic Jacobians with CM
给定一个六次CM域$K$，通过对它们的Rosenhain不变量的逼近，给出了一个求定义在$\mathbb{C}$上的所有亏格为3的超椭圆曲线的显式方法，这些曲线的Jacobian是简单的，并且与该域的极大序模有复乘.在翁的工作的基础上，我们给出了一个算法，该算法在完全的一般性，任何CM六次域$K$，并计算极小多项式的Rosenhain不变量的雅可比矩阵的任何周期。该算法通过求Rosenhain极小多项式模$p$的根，可以在有限域$\mathbb{F}_p$上生成亏格为3的超椭圆曲线.
2016-06-01 math.AG math.NT
On the Frey-Mazur conjecture over low genus curves
Frey-Mazur猜想指出，$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线由其对$p\geq 17$的$p$ -挠伽罗瓦表示确定到等距.我们研究了这个猜想的几何模拟，并表明，从Isobel类的“假椭圆曲线“--阿贝尔表面与四元数乘法--他们的$p$ -扭转伽罗瓦表示是一对一的功能领域的小亏格复杂曲线足够大的$p$相对于属。
2015-11-17 math.AG math.DG math.NT
Explicit computations of Serre's obstruction for genus 3 curves and application to optimal curves
设k是一个特征不同于2的域。对于k上不可分解的三重主极化阿贝尔（A，a）成为k上的雅可比矩阵可能存在障碍。它可以根据某个西格尔模形式的值的平方根的合理性来计算。我们展示了如何做到这一点明确的主要极化阿贝尔三倍，这是一个椭圆曲线与复乘的三次方。我们用数值结果证明或反驳了亏格为3的某些最优曲线的存在性。
2009-02-19 math.AG math.NT
Examples of CM curves of genus two defined over the reflex field
在“Proving that a genus 2 curve has complex multiplication“中，van Wamelen列出了在$\mathbf{Q}$上具有复乘（CM）的亏格2的19条曲线。对于这19条曲线中的每一条，CM场都是$\mathbf{Q}$上的循环伽罗瓦。非伽罗瓦四次CM-域的一般情况没有出现在这个列表中，因为在这种情况下定义的域总是包含一个实二次域，称为反射域的实二次子域。我们扩展范Wamelen的列表，包括曲线的亏格2定义在这个实二次域。因此，我们的列表包含亏格2的CM曲线的最小“通用”示例。我们解释我们的方法来获得这个列表，包括一个新的高度减少算法的任意超椭圆曲线完全实数域。与Van Wamelen不同的是，我们还给出了我们的列表的证明，这是通过我们对Igusa类多项式的Lauter和Viray的分母界的实现而实现的。
2015-08-24 math.NT
Isogenous hyperelliptic and non-hyperelliptic Jacobians with maximal complex multiplication
我们分析了复乘的雅可比曲线的亏格3，以及由此产生的志村类群和它们的子群对应于伽罗瓦共轭的反射场。我们结合数值方法找到CM场$K$，其中存在超椭圆和非超椭圆曲线，其Jacobian与$\mathbb{Z}_K$有复乘。更准确地说，我们发现所有的六次CM字段$K$在LMFDB中，其中（严格地）存在两种类型的雅可比矩阵CM by $\mathbb{Z}_K$。在LMFDB包含的547，156个六次CM字段中，有14个这样的字段。我们确定相应的曲线的不变量，并在最简单的情况下，我们也给出了一个明确的定义方程。
2022-08-23 math.AG math.NT
The Sato-Tate conjecture for a Picard curve with Complex Multiplication
设C/Q为仿射模型y^3=x^4-x给出的亏格为3的Picard曲线。本文计算了C的Sato-Tate群，证明了C的广义Sato-Tate猜想，并计算了C的归一化局部因子的极限分布的统计矩.
2014-10-01 math.NT
An arithmetic intersection for squares of elliptic curves with complex multiplication
本研究针对雅可比簇同构于复乘椭圆曲线平方的亏格2曲线，证明其稳定模型坏约化素数满足$p \leq d/4$，给出基于精细化Humbert不变量的素数计算方法，结合已有公式算出素数在稳定模型判别式中的指数，并完成d<100的显式计算与验证。
2024-12-11 math.AG math.NT
On different expressions for invariants of hyperelliptic curves of genus 3
本文给出亏格为3的超椭圆曲线的不同不变量之间的一个通项公式，特别是Tsuyumine和Shioda不变量之间的通项公式.这需要得到Shioda不变量的模表达式，即，例如，用于证明CM亏格3超椭圆曲线的数值计算方程的正确性。另一方面，我们还得到了用定义超椭圆曲线的方程的根的差描述的Shioda不变量，它在研究曲线的约化类型方面有应用。在其雅可比矩阵满足一定条件的情况下，给出亏格为3的超椭圆曲线坏约化类型的判定准则。
2019-07-12 math.NT
Constructing genus 2 curves with given refined Humbert invariants
本文提出算法，构造具有给定精细Humbert不变量的genus 2曲线
2026-02-15 math.AG math.NT
The classification of the refined Humbert invariant for curves of genus 2
ENS de Lyon, UMPA, UMR 5669（里昂高等师范学院，UMPA）
本文研究双曲不变量的细化分类，当曲线的雅可比簇与具有复乘性的椭圆曲线积同构时，探讨其几何和算术性质。
2026-04-24 math.AG math.NT
Legendre polynomials and complex multiplication, II: class numbers of quadratic fields and genus 2 supersingular polynomials
该文研究亏格2的两类超奇异多项式在有限域上的因式分解，用二次变换结合勒让德多项式、类方程性质及已有结果，证明其一次因式个数由虚二次域类数刻画，部分核心结论由人工智能首次发现。
2026-09-01 math.NT
Equations defining Jacobians with Real Multiplication
本文研究亏格2曲线雅可比簇具有实乘法的条件，基于Humbert的经典结果，利用Birkenhake-Wilhelm工作与枚举几何，原则上推广至所有判别式，并明确处理若干额外情形。
2025-06-23 math.AG math.NT
Doubly isogenous genus-2 curves with $D_4$-action
我们研究曲线在有限域上的Zeta函数和某些覆盖的Zeta函数的特征。假设C和C'是有限域K上的曲线，具有K-有理基点P和P'，并且令D和D'是乘2映射在其雅可比行列式上的拉回（通过Abel-Jacobi映射）。如果Jac（C）和Jac（C '）在K上是同源的，而Jac（D）和Jac（D'）在K上是同源的，我们说（C，P）和（C '，P'）是 * 双同源的 *。对于亏格为2的曲线，其自同构群包含8阶二面体群，我们证明了双同构曲线的对数大于朴素几何学的预测，并对这一现象给出了解释。
2023-01-26 math.AG math.NT
Modular invariants for genus 3 hyperelliptic curves
在这篇文章中，我们证明了一个类似的定理的Lachaud，Ritzenthaler，和Zykin，这使我们能够连接不变量的二元oc-tics西格尔模形式的亏格3。我们使用这种连接表明，某些模函数，当限制到超椭圆轨迹，假设值的乘积是相关的超椭圆曲线的坏约化素数的权力。我们用显式计算来说明我们的定理。这项工作的动机是研究这些模函数的价值在CM点的西格尔上半空间，其中，如果他们的分解器是已知的，可以用来有效地计算模型（超椭圆，在我们的情况下）曲线CM。
2019-03-08 math.NT
Quadratic Chabauty for modular curves: Algorithms and examples
我们描述了如何二次Chabauty方法可应用于明确确定一组有理点的点上模曲线属$g>1$的雅可比矩阵有Mordell-Weil秩$g$。这扩展了我们以前在13级的分裂Cartan曲线上的工作，并允许我们考虑在坏约化的素数处可能具有很少的已知有理点或非平凡局部高度贡献的模曲线。我们说明了我们的算法与一些例子，我们确定了一组合理的点上的几个模曲线的亏格2和3：这包括Atkin-Lehner等价物$X_0^+(N)$的素数水平$N$，曲线$X_{S_4}(13)$，以及其他一些曲线相关的Mazur的程序B。我们还描述了亏格为6的非分裂Cartan模曲线$X_{\textrm{ns}} ^+ (17)$上有理点的计算。
2023-03-07 math.AG math.NT
Large Cyclic Subgroups of Jacobians of Hyperelliptic Curves
本文给出了由Weng（2003）和Gaudry（2005）描述的复乘方法生成的亏格为2的超椭圆曲线的Jacobian的群阶的因子的条件.例子，这些条件意味着雅可比矩阵有一个大的循环子群，给出。
2007-03-16 math.AG math.NT
The geometric torsion conjecture for abelian varieties with real multiplication
几何挠猜想证明了复拟投射曲线上的阿贝尔簇族的Mordell-Weil群的挠部分关于曲线的亏格是一致有界的。本文在乘法域上统一地证明了关于实乘法的阿贝尔簇的猜想。在固定域的情况下，我们进一步证明了挠率关于基曲线的$\mathit{gonality}$是有界的，这是算术猜想的更接近的模拟。证明是一种混合技术，采用双曲和代数几何的环形紧化的希尔伯特模品种$\overline X(1)$ parametrizing等阿贝尔簇。我们证明了对于任何固定的$d$，只有1000个挠覆盖$\overline X_1(\mathfrak{n})$包含边界外的$d$ -挠曲线.我们进一步表明，这同样适用于整个曲线$\mathbb{C}\rightarrow \overline X_1(\mathfrak{n})$。
2015-04-08 math.AG math.DG math.NT
The Number of Curves of Genus 2 with a Given Refined Humbert Invariant
Queen’s University（女王大学）；ENS de Lyon（里昂师范学院）
本文针对雅可比簇与复乘法椭圆曲线自乘积同源的亏格2曲线，给出了具有等价精细Humbert不变量的同构类数量的显式公式，还建立了相关刻画并给出示例。
2026-08-26 math.AG math.NT
Distribution of the bad part of class groups
本文利用亏格理论与类群不变部分研究 p 整除 Γ 阶时理想类群 p-部分的分布，证明其与 Cohen-Lenstra-Martinet 预测有质的不同。
2025-02-17 math.NT
Fast Jacobian group operations for C_{3,4} curves over a large finite field
设C是大有限域K上亏格为g的任意光滑代数曲线。由于Khuri-Makdisi（数学NT/0409209，出现在Math. Comp.），我们重新审视了C的Jacobian中的快速加法算法。该算法，减少到线性代数的维数为O（g）的向量空间中的|K| g，并渐近需要O（g^{2.376}）域操作使用快速线性代数，被证明是有效的，甚至对某些低亏格曲线。具体来说，我们提供了明确的公式执行的Jacobian的C_{3,4}曲线属3的群法。我们表明，通常情况下，添加两个不同的元素在一个C_{3,4}曲线的雅可比矩阵需要117乘法和2个逆在K，和一个元素可以加倍使用129乘法和2个逆在K。这比以前的方法提高了约20%。
2007-08-22 cs.SC math.AG math.NT
Polarized products of elliptic curves with complex multiplication and field of moduli $\mathbb{Q}$
本文建立了由二次虚域极大序$R$复乘法的椭圆曲线乘积型极化阿贝尔簇范畴与整埃尔米特$R$-格范畴的等价性，并应用该等价枚举了模域为$\boldsymbol{\rm{Q}}$、雅可比同构于上述椭圆曲线乘积的亏格2和3曲线。
2025-02-14 math.NT
Infinite families of pairs of curves over Q with isomorphic Jacobians
我们提出了三个家庭的对几何非同构曲线的雅可比矩阵是同构的另一个作为非极化阿贝尔簇。每个族都由P^1的一个开子集参数化。第一个家庭由对亏格-2曲线，其方程是由简单的表达式中的参数;在这个家庭中的曲线可约雅可比。第二类曲线也由亏格为2的曲线对组成，但一般来说，这类曲线具有绝对简单的雅可比行列式。第三族由亏格3曲线对组成，每对中的一个成员是超椭圆曲线，另一个是平面四次曲线。这些族中的例子表明，一般来说，不可能从Q上亏格为2的曲线的雅可比矩阵判断该曲线是否具有有理点--或者实际上是否具有实点。我们的建设依赖于早期的联合工作与弗兰克Leprevost和比约恩Poonen，并对彼得弯曲的明确描述曲线的属2的雅可比矩阵有真正的乘法由Z[ \sqrt{2} ]。
2003-05-13 math.AG math.NT
The functional equation for L-functions of hyperelliptic curves
我们计算了一大类代数曲线的$L$ -函数，并数值验证了预期的函数方程。我们的计算是基于我们以前的稳定约化的结果来计算局部$L$ -因子和导体指数在素数的坏约化。我们的例子大多是定义在$\mathbb{Q}$上的亏格$g\geq 2$的超椭圆曲线，它们在每个素数$p$处具有半稳定约化。我们也处理一些更一般的例子超椭圆曲线。
2015-04-02 math.AG math.NT
Atkin polynomials for families of abelian varieties with real multiplication
本文通过正交多项式与帕德逼近的关系，研究了具有实乘法的阿贝尔簇族的非普通域几何，并应用超几何恒等式确定了阿特金多项式的递推关系。
2026-01-23 math.AG math.NT
