arXiv 2404.054872024-04-16math.NT

单生四次多项式及其 Galois 群

Monogenic Quartic Polynomials and Their Galois Groups

Joshua Harrington, Lenny Jones

发表信息：: Bull. Aust. Math. Soc. 111 (2025) 244-259
DOI：: 10.1017/S000497272400073X

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AI总结：

本文借助 Kappe–Warren 的四次 Galois 群分类，为除循环群外的各类可能 Galois 群构造生成互异四次域的无限单参数单生四次多项式族，并讨论未解决的循环情形。

摘要：

若次数为 N 的首一多项式 $f(x)\in{\mathbb Z}[x]$ 在 $\mathbb Q$ 上不可约，并且当 $f(\theta)=0$ 时，$\{1,\theta,\theta^2,\ldots,\theta^{N-1}\}$ 构成 $\mathbb Q(\theta)$ 的整数环的一组基，则称该多项式为单生的。本文利用 Kappe 和 Warren 关于四次多项式 Galois 群的分类，研究是否存在具有指定 Galois 群的无限多个单生四次多项式，并且该集合中的每个成员都生成不同的四次域。除循环情形外，我们为每一个可能的 Galois 群给出了这样的无限单参数族。我们相信这些例子是新的，并通过证明它们不同于现有文献中的其他无限族来为这一观点提供证据。最后，我们用单独一节讨论我们认为仍未解决的循环情形。

英文摘要：

A monic polynomial $f(x)\in {\mathbb Z}[x]$ of degree $N$ is called monogenic if $f(x)$ is irreducible over ${\mathbb Q}$ and $\{1,θ,θ^2,\ldots ,θ^{N-1}\}$ is a basis for the ring of integers of ${\mathbb Q}(θ)$, where $f(θ)=0$. In this article, we use the classification of the Galois groups of quartic polynomials, due to Kappe and Warren, to investigate the existence of infinite collections of monogenic quartic polynomials having a prescribed Galois group, such that each member of the collection generates a distinct quartic field. With the exception of the cyclic case, we provide such an infinite single-parameter collection for each possible Galois group. We believe these examples are new, and we provide evidence to support this belief by showing that they are distinct from other infinite collections in the current literature. Finally, we devote a separate section to a discussion concerning, what we believe to be, the still-unresolved cyclic case.

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AI总结：

摘要：

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