Counting wildly ramified quartic extensions with prescribed discriminant and Galois closure group
本文针对2进数域上具有指定判别式赋值与Galois闭包群的完全分歧四次扩张建立计数公式，并据此改进Serre质量公式，为数域算术统计提供工具。
2024-01-20 math.NT
Enumerative Galois theory for cubics and quartics
证明了存在$O_\varepsilon(H^{1.5+\varepsilon})$一次、三次多项式，其Galois群为$A_3$，且其整系数绝对值有界于$H$.我们还证明了$D_4$四次曲线的数量级为$H^2 (\log H)^2$，$A_4$、$V_4$、$C_4$的相应计数为$O(H^{2.91})$、$O(H^2 \log H)$、$O(H^2 \log H)$。我们的工作建立了不可约的非$S_3$三次多项式比可约多项式少，同样在四次设置：这些是前两个解决的情况下，1936年猜想由范德瓦尔登。
2020-08-05 math.NT
An infinite family of pairs of distinct quartic Galois CM-fields with the same discriminant and regulator
Gakushuin University（学习院大学）；Meijo University（名城大学）
本文构造了无限多个具有相同判别式和调节数的虚二元四次域和虚循环四次域的配对，并给出了具有相同判别式、调节数和类数的示例。
2026-01-12 math.NT
The shapes of Galois quartic fields
我们确定所有度$4$数域是伽罗瓦的形状。这些存在于四个无限族中，取决于伽罗瓦群和场的驯服与狂野的分支。在$V_4$的情况下，每个家庭是一个二维空间的正交格子，我们表明，形状是均匀分布的，在正规化的意义上，在这些空间的判别式走向无穷大（相对于自然措施）。我们还表明，形状是一个完整的不变量在某些自然家庭的$V_4$ -四次域。对于$C_4$ -四次域，每个族都是一个一维的四边形格空间，并且形状构成了这些空间中的离散点子集。在这种情况下，我们证明了具有给定形状的字段的数量的渐近性。
2019-08-11 math.NT
Binary quartic forms with bounded invariants and small Galois groups
本文研究了伽罗瓦群同构于八阶二面体群的一个子群的整数和不可约二元四次型。我们首先表明，所有这些形式的集合是一个联盟的家庭索引的整数二进制二次型$f(x,y)$的非零判别式。然后，我们将列举与固定的$f(x,y)$相关联的所有这些形式的$\operatorname{GL}_2(\mathbb{Z})$等价类。
2018-11-10 math.NT
Twisted Siegel-Weil formulas for $\mathrm{GL}_2$ over non-Galois quartic CM fields
Technische Universität Darmstadt（达姆施塔特工业大学）
研究非伽罗瓦四次CM域上\(\mathrm{GL}_2\)的扭曲西格尔 - 韦伊公式，通过联系扭曲西塔积分与赫克积分的土居 - 永野提升，证明雅克比 - 朗兰兹对应基变换是同构，还得出博切尔兹形式扭曲CM值相关结论。
2026-07-21 math.NT
Bertrand's and Rodriguez Villegas' Conjecture for real quartic Galois extensions of the rationals
本文研究有理数全实四次扩张单位外平方中元素的 1-范数下界问题，并在 Galois 扩张条件下将 Costa–Friedman 的 0.802 界改进为 1.134。
2025-10-21 math.NT
Monogenic Quartic Polynomials and Their Galois Groups
本文借助 Kappe–Warren 的四次 Galois 群分类，为除循环群外的各类可能 Galois 群构造生成互异四次域的无限单参数单生四次多项式族，并讨论未解决的循环情形。
2024-04-16 math.NT
Lower bounds for counting $A_4$-quartic fields
针对 Malle 猜想，本文给出了伽罗瓦群为 $A_4$ 的四次域计数下界，与猜想匹配。
2025-10-06 math.NT
Monogenic Reciprocal Quartic Polynomials And Their Galois Groups
本文针对互反四次整系数多项式，在两种参数情形下，确定了所有具有给定伽罗瓦群的单源多项式。
2025-02-24 math.NT
Enumerating Galois extensions of number fields
本文研究数域伽罗瓦扩张的计数问题，通过给出具有给定伽罗瓦群且判别式有界的扩张数量的新上界，得到了判别式不超过X的伽罗瓦扩张数量的渐近公式，改进了Ellenberg和Venkatesh的已有结果。
2024-06-06 math.GR math.NT
Explicit calculation of the mod 4 Galois representation associated with the Fermat quartic
我们使用显式方法研究费马四次方程的雅可比簇上的4-扭点。借助于计算机代数系统，我们明确地给出了四扭点群的一个基。我们计算了伽罗瓦作用量，证明了模4的伽罗瓦表示的象同构于8阶的二面体群。作为应用，我们计算了第8阶分圆域上Fermat四次曲线的雅可比簇的Mordell-Weil群.我们确定所有的点上的费马四次定义在二次扩张的第8分圆域。因此，我们完成了1960年Faddeev的工作。
2019-09-29 math.AG math.NT
Exceptional Quartics are Ubiquitous
本文构造性地证明了例外四次数域的普遍存在性：既有无穷多个包含给定实二次域的例外四次域，也有无穷多个不含二次子域的例外四次域，并进一步推广到所有大于4的次数。
2023-10-28 math.NT
A family of cyclic quartic fields with explicit fundamental units
本文构造了一类具有循环伽罗瓦群的四次多项式，并证明了这类多项式的根是基本单位或生成指数为5的子群。
2017-09-21 math.NT
Comparing the density of D_4 and S_4 quartic extensions of number fields
当按判别式排序时，已知Q上约83%的四次域具有伽罗瓦群S_4，而其余17%的四次域具有伽罗瓦群D_4.我们在一般数域F上研究这些比例。我们发现，100%的二次数域的D_4扩张比S_4扩张多，且D_4扩张与S_4扩张的个数之比任意偏向于D_4扩张.在GRH下，我们给出了一般数域的一个下界。
2021-05-12 math.NT
Calculating power integral bases in some quartic fields corresponding to monogenic families of polynomials
本研究针对J. Harrington、L. Jones及P. Voutier提出的单基因四次多项式族，刻画其生成数域中幂整基的全部生成元，补充了相关单基因数域的幂整基生成元研究。
2024-09-15 math.NT
Plane quartic twists of X(5,3)
给定Q的绝对伽罗瓦群在PGL（2，3）上的一个奇表示和一个正整数N，存在定义在Q上的一条扭模曲线，它的有理点将实现该表示的N次二次Q-曲线分类.本文给出了在亏格三N=5的情况下，该曲线的显式平面四次模型的方法。
2005-01-28 math.NT
An improved error term for counting $D_4$-quartic fields
本文改进了Cohen等人关于D₄-四次域计数公式的误差项，将其从原有结果提升至O(X^{5/8+ε})，并将类似结论推广到任意基域上的四次二面体扩张。
2024-05-04 math.NT
On Greenberg's generalized conjecture for imaginary quartic fields
对于代数数域$K$和素数$p$，设$\widetilde{K}/K$是最大多重$\mathbb{Z}_p$ -扩张. Greenberg的广义猜想（GGC）预言了$\widetilde{K}$的极大非分歧交换pro-$p$扩张的Galois群在完备群环$\mathbb{Z}_p[\![\mathop{\mathrm{Gal}}\nolimits(\widetilde{K}/K)]\!]$上是伪零的.我们证明了GGC对某些包含虚二次域和某些素数的虚四次域成立。
2020-01-31 math.NT
The number of quartic $D_4$-fields ordered by conductor
我们考虑4度数域族，其在$\mathbb{Q}$上的正规闭包具有同构于$D_4$的伽罗瓦群，即正方形的对称性。对于任何这样的场$L$，可以将对应的2维不可约伽罗瓦表示的Artin导体与像$D_4$相关联。我们确定了这种按导体序的四次$D_4$ -场的渐近数，并计算了作为质量公式的首项，验证了Kedlaya和Wood的渐近性.此外，我们能够施加任何局部分裂条件在任何有限数量的素数（有时，在无限数量的素数），因此，我们也计算的渐近数的阶4元素的类组和窄类组的二次域有序的判别。传统上，有两种方法来计算四次域，使用算术不变理论结合几何的数字技术，并应用库默尔理论与L-函数方法。这两种策略都不符合$D_4$ -场的情况下，由导体排序，因为计数包含一个二次子域与大的判别式的四次字段是困难的。然而，当排序的导体，我们利用额外的代数结构所产生的外部自同构的$D_4$结合上述两种方法，以获得准确的渐近。
2017-04-06 math.NT
Klein Quartic Curve and its Modularity
本文通过将克莱因四次曲线实现为 7 次费马曲线的商来计算其局部 Zeta 函数，并借助伽罗瓦表示给出相应的模形式。
2025-04-05 math.NT
Quartic points on the Fermat quintic
本文研究了方程$x^5+y^5+z^5=0$的Fermat曲线$F_5/\mathbb{Q}$上$4$在$\mathbb{Q}$上的次数代数点. 1997年，Klassen和Tzerlaut给出了这些点的几何描述。利用他们的结果，以及Bruin的工作，丢番图方程的签名$(5,5,2)$，我们在这里给出了一个代数描述这些点。特别是，我们证明了只有一个伽罗瓦扩展的$\mathbb{Q}$的程度$4$产生的领域的定义的一个非平凡点的$F_5$。
2017-06-12 math.NT
Twists of the Burkhardt Quartic Threefold
研究了特征不同于2，3，5的非代数闭基域上的三重Burkhardt四次曲线的扭曲.我们证明了它们都允许四次模型在射影四维空间中存在。我们确定了一个伽罗瓦上同调的障碍，措施，如果一个给定的扭曲是双有理的模空间的阿贝尔簇。这种障碍对这些品种的有理点有影响。结果，我们看到所有可能的3-水平结构都可以通过阿贝尔曲面实现，而库默尔3-水平结构在群理论上可能是可容许的，但在某些基域上可能是不可实现的。我们给出了一个二元函数域上的Burkhardt四次曲线的例子，其去奇异化完全没有有理点。我们的方法是基于表示论的Sp（4，3），伽罗瓦上同调，和经典的代数几何的Burkhardt四次。
2022-08-23 math.AG math.NT
Monogenic Cyclic Quartic Trinomials
本文证明了恰好存在三个形如 $x^4+bx^2+d$ 且 Galois 群为四阶循环群的单生成三项式。
2024-04-27 math.NT
On Splitting Types, Discriminant Bounds, and Conclusive Tests for the Galois Group
利用数域正规扩张的伽罗瓦群的作用，我们推广和对称了代数和代数数论中关于素理想的分裂类型、多项式模素数的因子分解类型和多项式的伽罗瓦群的循环类型的各种基本陈述.一个显著的例子是从库默-戴德金定理中删除了所有人为的约束，该定理涉及分裂和因子分解模式。最后，给出了一个初等证明，证明了整系数一元不可约多项式的分裂域的判别式有一个可计算的系数上界.这一结果与Lagarias等人的结果相结合，表明，测试多项式的周期类型的伽罗瓦群是决定性的。特别是，整系数的一元不可约三次群、四次群和五次群的伽罗瓦群可以在许多步骤中完全确定（尽管不一定在一生中）。
2018-07-05 math.NT
Characterizing monogenic trinomials $\boldsymbol{x^{12}+ax^6+b}$ according to their Galois groups
Shippensburg University（希平斯堡大学）
研究单基因三元多项式 $x^{12}+ax^6+b$ 的伽罗瓦群特征，给出不同伽罗瓦群下的具体描述，扩展了对幂组合四次和六次三元多项式单基因性的研究。
2026-04-20 math.NT
Rank gain of Jacobians over finite Galois extensions
设$\mathcal{X}$是定义在数域$K$上的亏格为$g>0$的黎曼曲面，该数域是$\mathbb{P}^1_K$的度$d$ -覆盖.本文证明了存在无穷多个线性不交度$d$ -扩张$L/K$，在这些扩张上$\mathcal{X}$的Jacobian获得秩.在0，1和$\infty$是唯一的分支点的情况下，并且存在$\mathcal{X}$的自同构$σ$循环置换这些分支点，我们得到了$\mathcal{X}/σ$的雅可比矩阵的相同结果。特别地，如果$\mathcal{X}$是克莱因四次曲线，则该构造提供了在$\mathbb{Q}$的无限多次$7$ -扩展上获得秩的椭圆曲线。作为一个应用，我们证明了存在无穷多个椭圆曲线，这些曲线在$\mathbb{Q}$的无穷多个循环三次扩展上获得秩。
2016-12-09 math.NT
Three-Torsion Subgroups and Wild Conductor Exponents of Plane Quartics
本文提出算法，通过三次曲线与方程组描述并计算平面四次曲线雅可比簇的3-挠子群，并利用其伽罗瓦结构计算局部野导子指数。
2025-10-10 math.NT
$7$-adic Galois representations of elliptic curves over the rationals via Kummer descent
University of Massachusetts Amherst（马萨诸塞大学阿默斯特分校）；Amherst College（阿默斯特学院）
本文通过 Kummer 下降证明了两个亏格 9 的模曲线无非 CM 有理点，从而完成了非 CM 椭圆曲线 $7$-adic Galois 像的分类，其关键依赖于指数为 7 的费马大定理。
2026-10-06 math.NT
The density of discriminants of quintic rings and fields
我们确定，渐近，五次域的数量有界判别式。具体地说，我们证明了具有绝对判别式至多X的五次域的渐近数是一个常数乘以X。与四次域的情形相比，我们还证明了当密度为100%的五次域按绝对判别式排序时，具有全伽罗瓦群$S_5$的伽罗瓦闭包。这些结果的类似物也证明了五次域的订单。最后，我们给出了解释的各种常数出现在这些定理的局部质量的五次环和领域。
2010-05-31 math.NT
The local-global property for bitangents of plane quartics
研究了整体域上光滑四次线的二重切线的算法。借助于计算机代数系统，利用Elsenhans-Jahnel关于二重切逆Galois问题的结果，证明了在特征不同于$2$的任何整体域上，存在光滑四次曲线，它们在每个局部域上都有二重切，但在整体域上没有二重切.我们给出了一个算法来明确地找到这样的四次曲线，并给出了一个例子在$\mathbb{Q}$。我们还讨论了一个类似的问题，对称行列式表示。本文是第一作者于2019年3月在JSIAM JANT算法数论研讨会上的演讲总结。细节将出现在其他地方。
2020-04-20 math.AG math.NT
5-Class towers of cyclic quartic fields arising from quintic reflection
设zeta 5是一个本原五次单位单位根，d<>1是一个不能被5整除的二次基本判别式。对于5-对偶循环四次域M=Q（（zeta 5-zeta 5 ^-1）*d^1/2），研究了M的第二个Hilbert 5类域M（5，2）的伽罗瓦群G（5，2）M=Gal（M（5，2）/M）同构型的可能性，当5-类群Cl_5（M）是秩为2的初等双环时。通常，M的最大非分歧pro-5-扩张M（5，无穷大）已经与M（5，2）重合.当G（5，2）M的阶数小于或等于5^5时，确定了M的5级塔的精确长度ell 5（M）.理论结果得到了所有83个，分别为93个，在0<d<10^4，分别为-2 10 ^5 <d<0的情况下的实际计算的支持。
2019-09-08 math.NT
Malle's Conjecture for Galois octic fields over $\mathbb Q$
本文计算了按绝对判别式排序时 Galois 群同构于 $D_4$ 的八次数域的渐近数量，验证了 Malle 强猜想，并证明其比例常数满足 Malle--Bhargava 原理。
2025-05-30 math.NT
HT90 and "simplest" number fields
标准公式（1）导致HT 90的证明，但是需要证明$θ$的存在，使得$α\ne 0$，使得$β=α/σ(α)$。相反，我们强加条件（M），即取$θ=1$得到$α=0$。利用$n=3$，我们恢复了Shanks最简单的三次场。“最简单”的3至6度数域、华盛顿的循环四次域和$\Q(\cos(π/4m))$的某类全实循环扩张都有定义多项式，其零点满足\eqref{e:M}。进一步研究$n=4$的（M），得到了具有“一般”伽罗瓦群$_{8}T_{11}$的二参数八次多项式族的初等代数构造.强加一个额外的代数条件，这些octics产生一个新的家庭循环四次扩张。这个族包括“最简单的”四次域和华盛顿的循环四次域作为特例。当参数为数域中的代数整数时，我们得到了更详细的结果。特别是，我们确定了一些特殊的单位，包括例外序列的3个单位，并给出了他们的一些性质。
2012-07-25 math.NT
Relative Ideal Classes of Arbitrary Order
我们适应一个已知的技术搜索理想类的任意顺序，然后将其应用到三个家庭的数域。我们证明了循环六次数域族中有无穷多个域包含一个相对理想类的阶为$r,$，其中$r$是一个正整数互素的程度的扩展。然后，我们表明，同样适用于一个家庭的循环四次数域。虽然该技术传统上应用于伽罗瓦扩展，我们展示了它可能是如何适应处理一个家庭的非伽罗瓦立方数字段，并证明了这个家庭包含无限多个领域的理想类的任意顺序互素到三。
2022-06-24 math.NT
Galois groups of integer polynomials with prescribed coefficients
本文研究固定部分系数的整数多项式伽罗瓦群，证明当自由系数足够多时，非对称群例外计数为H^{s-1}阶，结合原始群筛与稀疏Hermite插值，并处理低次端点情形。
2026-09-28 math.NT
Progress Towards Counting D_5 Quintic Fields
设$N(5,D_5,X)$是Galois闭包具有伽罗瓦群$D_5$且判别式以$X$为界的五次数域的个数.根据Malle的一个猜想，我们期望对于某个常数$C$，$N(5,D_5,X) \sim C X^{1/2}$.最有名的上限是$N(5,D_5,X)\ll X^{3/4 + ε}$，我们表明，这可以提高计数点上的一定品种定义的规范方程，计算机计算给出了有力的证据，这个数字是$\ll X^{2/3}$。最后，我们展示了如何这样的范数方程可以是有益的，通过重新解释早期的证明黄上界$A_4$四次领域在一个类似的范数方程。
2011-11-06 math.NT
On counting totally imaginary number fields
该研究定义了CM型与TR型全虚数域，得出四次全虚数域中两类的占比，还依据伽罗瓦群及复共轭位置完成了六次全虚数域的类型分类。
2024-01-29 math.NT
Monogenic trinomials of the form $x^4+ax^3+d$ and their Galois groups
本文研究形如 $x^4+ax^3+d$ 的单生成整系数多项式的伽罗瓦群，给出仅依赖 $a$ 和 $d$ 的判别条件，并刻画 $G=D_4$ 与 $G=A_4$ 的情形，扩展了先前四次多项式的工作。
2024-11-09 math.NT
Genus 2 Curves with Complex Multiplication
亏格2曲线在密码学中对于基于离散对数和基于配对的系统都是有用的，但是需要一种方法来计算亏格2曲线，使得雅可比矩阵具有给定数量的点。目前，所有已知的方法都涉及通过计算它们的三个Igusa类多项式来用复乘构造亏格2曲线。这些多项式具有有理系数，并且需要大量的计算和精度来计算。通过对多项式系数的分解子的更精确的理解，可以改进这些算法的计算量和复杂度分析。本文的主要目的是给出亏格为2的曲线的Igusa类多项式的CM乘子在一个本原四次CM域上的一个界。本文综述了Igusa关于亏格为2的曲线的模空间的结果以及利用它们的Igusa不变量构造亏格为2的曲线的方法。我们还给出了一个完整的表征减少类型的CM阿贝尔曲面，双二次，循环，和非伽罗瓦四次CM领域，并为任何类型的总理分解的总理，包括分歧素。主要结果的证明方法涉及到研究四次CM域嵌入到四元数上的矩阵代数中的问题和引用晶体形变理论的技巧。
2010-03-24 math.NT
Gaussian Integers, Rings, Finite Fields, and the Magic Square of Squares
我们证明了3乘3的幻方的平方问题等价于解决四次多项式与某些因式分解的限制在一个阿贝尔扩展的有理数。我们分析了一个特殊的情况下，其中所述扩展被假定为高斯整数，从而产生一个新的搜索法。此外，本文还分析了有限域和Z/nZ形式的环上的幻方，给出了能构造幻方的幻方的环和有限域的枚举图。代码可用。
2019-08-12 math.NT math.RA
Examples of CM curves of genus two defined over the reflex field
在“Proving that a genus 2 curve has complex multiplication“中，van Wamelen列出了在$\mathbf{Q}$上具有复乘（CM）的亏格2的19条曲线。对于这19条曲线中的每一条，CM场都是$\mathbf{Q}$上的循环伽罗瓦。非伽罗瓦四次CM-域的一般情况没有出现在这个列表中，因为在这种情况下定义的域总是包含一个实二次域，称为反射域的实二次子域。我们扩展范Wamelen的列表，包括曲线的亏格2定义在这个实二次域。因此，我们的列表包含亏格2的CM曲线的最小“通用”示例。我们解释我们的方法来获得这个列表，包括一个新的高度减少算法的任意超椭圆曲线完全实数域。与Van Wamelen不同的是，我们还给出了我们的列表的证明，这是通过我们对Igusa类多项式的Lauter和Viray的分母界的实现而实现的。
2015-08-24 math.NT
Modular Elliptic Curves over the Field of Twelfth Roots of Unity
本文对GL（2）的自守形式空间进行了广泛的研究，GL（2）的权为2，水平为N，N是由十二次方单位根生成的四次CM域的整数环中的理想。本文通过计算模N的上三角形矩阵的同余子群的群上同调，以及该空间所允许的相应的Hecke作用来进行研究。结合这Hecke数据与Faltings-Serre方法证明等价的伽罗瓦表示，我们能够提供第一个已知的例子，模块化椭圆曲线在这个领域。
2015-05-07 math.NT
On 7-adic Galois representations for elliptic curves over $\mathbb{Q}$
本文研究7进制伽罗瓦表示的分类，证明模曲线X_{ns}^+(49)无非CM有理点，并将其归结为求解一般费马方程和确定单个平面四次曲线的有理点。
2026-03-05 math.AG math.NT
Étale algebras and the Kummer theory of finite Galois modules
本文填补了$H^1$与域扩张对应中未被记录的组合与Galois理论细节空白，以étale代数视角阐明了$H^1$在三次、四次代数参数化及局部域Tate配对计算中的应用。
2025-06-12 math.NT math.RA
Towards a generalization of the van der Waerden's conjecture for Sn-polynomials with integral coefficients over a fixed number field extension
范德瓦尔登猜想指出，次数为$n$的一元整数多项式$f(X)$的集合$\mathscr{P}_{n,N}^0(\mathbb{Q})$，具有高度$\le N$使得分裂域$K_f/\mathbb{Q}$的伽罗瓦群$G_{K_f/\mathbb{Q}}$是全对称群，其阶为$|\mathscr{P}_{n,N}^0(\mathbb{Q})|=(2N)^n+O_n(N^{n-1})$为$N\rightarrow+\infty$。这个猜想以前已经被范德瓦尔登、周和迪特曼证明过。随后，Bhargava为$n\ge6$证明了这一点。本文推广了次数$d$的固定有限扩张$K/\mathbb{Q}$的代数整数环$\mathcal{O}_K$中系数多项式的结果，对于$n$和$d$的某些值.
2022-12-22 math.NT
Statistics for biquadratic covers of the projective line over finite fields
研究了当曲线在模空间的不可约分支中变化时，作为$\mathbb{P}^{1}_{\mathbb{F}_{q}}$的四次非循环覆盖的亏格$g$曲线的Frobenius自同态的迹的分布.证明了当$q$固定时，Frobenius迹的极限分布等于$q + 1$独立随机离散变量之和.我们还表明，当这两个$g$和$q$去无穷大，规范化的轨迹有一个标准的复高斯分布。最后，我们将这些计算推广到一般情况下的任意覆盖的$\mathbb{P}^{1}_{\mathbb{F}_{q}}$与伽罗瓦群同构的$r$副本的$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$。对于$r = 1$，我们恢复了已知的超椭圆情况。我们还包括一个附录，由Alina Bucur给出这些分布的启发式。
2015-10-20 math.NT
Ranks of elliptic curves with prescribed torsion over number fields
研究了2、3、4阶数域上椭圆曲线的Mordell-Weil群的结构。证明了若$T$是群，则二次域上所有具有扭子群$T$的椭圆曲线的类要么为空，要么包含秩为0的曲线和正秩的曲线.我们证明了一个类似的，但稍弱的三次和四次领域的结果。另一方面，我们找到一个群$T$和一个四次域$K$，使得在具有挠子群$T$的$K$上的椭圆曲线中，存在正秩曲线，但不存在秩~0的曲线。我们发现的例子椭圆曲线的正秩和给定的挠在许多以前未知的情况下。我们还证明了所有的椭圆曲线在二次域上的一个点的阶数为13或18和所有的椭圆曲线在四次域上的一个点的阶数为22是同构的伽罗瓦共轭之一，并通过一个现象，我们称之为\emph{false complex multiplication}，有偶数秩。最后，我们讨论了与有限域上的椭圆曲线的关系以及在整数分解中的应用。
2011-12-31 math.AG math.NT
Algebraic cycles on Hilbert modular fourfolds and poles of L-functions
本文证明了一类Hilbert模四重环X的Tate（和Hodge）猜想，X的连通分支是SL（2，O_K）的上半平面与同余子群Γ的四重积的算术同积，其中O_K表示四次Galois全实数域K的整数环.对于\Q的阿贝尔扩张，验证了相应L函数的极点阶数与期望的关系.还表明是存在的同调非平凡循环的余维2，这不是交叉的因子。
2003-10-11 math.AG math.NT
Rational points on the non-split Cartan modular curve of level 27 and quadratic Chabauty over number fields
本文针对27级非分裂Cartan子群正规化子这一3进伽罗瓦像分类的唯一遗留问题，发展数域上模曲线的二次Chabauty方法，结合局部高度分析确定相关模曲线有理点，完成非复乘椭圆曲线3进伽罗瓦像分类。
2025-01-14 math.AG math.NT
The arithmetic of critical values II: critical elliptic curves
ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）
本文作为《临界值的算术》系列第二章，通过伽罗瓦理论直接证明双覆叠 $E_f$ 存在 3-同源，推导塞尔默伴随定理并给出相关应用与新雅可比簇例子。
2026-10-19 math.AG math.NT
The finitude of tamely ramified pro-$p$ extensions of number fields with cyclic $p$-class groups
本文研究了 $p$-类群循环的数域在单个非 $p$-进素理想外不分歧的极大 pro-$p$ 扩张的 Galois 群的有限性，并证明了在生成元秩为 2 时该群对大多数素理想有限。
2024-02-13 math.NT
Monogenic cyclic trinomials of the form $x^4+cx+d$
本文证明了不存在形如 $x^4+cx+d$ 的单生成循环三项式，并结合先前研究确定了仅有的三个单生成循环四次三项式。
2024-11-15 math.NT
Growth of torsion groups of elliptic curves upon base change
研究数域上椭圆曲线的挠率如何随基的变化而增长，特别证明了挠率增长的各种必要条件。对于数域$F$，我们证明了对于一个数域$F$的大集合，如果其在$F$上的正规闭包的Galois群具有某些性质，则对于定义在$F$上的所有椭圆曲线$E$，$E(L)_{tors}=E(F)_{tors}$成立.我们的方法在研究可能的扭转群$E(K)_{tors}$中特别有用，其中$K$是一个数域，$E$是定义在$\mathbb Q$上的椭圆曲线的基变化。假设$E$是椭圆曲线在$\mathbb Q$上的基变化，用于抽象的其余部分。我们证明了$E(K)_{tors}=E(\mathbb Q)_{tors}$的所有椭圆曲线$E$定义在$\mathbb Q$和所有数域$K$度$d$，其中$d$是不能整除的一个总理$\leq 7$。利用这一事实，我们确定了素数度$p\geq 7$的数域$K$上所有可能的扭群$E(K)_{tors}$。我们确定所有可能的程度$[\mathbb Q(P):\mathbb Q]$，其中$P$是一个点的素数阶$p$的所有$p$，使$p\not\equiv 8 \pmod 9$或$\left( \frac{-D}{p}\right)=1$的任何$D\in \{1,2,7,11,19,43,67,163\}$ ;这是真实的一组密度$\frac{1535}{1536}$的所有素数，特别是所有$p…
2019-02-01 math.NT
