A Conjectural Brouwer Inequality for Higher-Dimensional Laplacian Spectra
我们提出了一个推广的Brouwer的代数家庭的不等式-一个流行的家庭的不等式在谱图论中的边界的拉普拉斯特征值的部分和的图形-的情况下，抽象的单纯复形的任何尺寸。我们证明了这一系列的不等式持有移位单纯复形，推广阈值图，并给出更严格的界限（线性的复杂的尺寸）单纯树。我们证明了猜想持有的第一，第二，最后部分和所有单纯复形，推广了许多已知的证明图的情况下，单纯复形。我们还证明了对于维数至少为t且匹配数大于$t$的单纯复形，该猜想对第t个部分和成立.回到图的特殊情况下，我们扩大一个已知的证明表明，布劳威尔猜想成立与平等的第t个部分和，其中t是最大团大小的图减去一（或，等价地，锥顶点的数量）。在此过程中，我们开发的机械可能会进一步深入了解相关的长期存在的问题。
2019-07-17 math.CO
Characterizing the equality case in Brouwer's inequality for Laplacian eigenvalues
School of Mathematics & Center for Applied Mathematics of Guangxi, Guangxi University（广西大学数学与广西应用数学中心）
研究刻画拉普拉斯特征值的布劳威尔不等式中等式情形，核心方法是依赖科塔里和图多塞的投影方法，主要贡献是得出等式成立当且仅当图为团数为\(k + 1\)的阈值图，为完整布劳威尔猜想提供完整解决方案。
2026-07-21 math.CO
Brouwer's conjecture holds asymptotically almost surely
我们证明了，对于随机图序列，当顶点数趋于无穷大时，Brouwer猜想的概率趋于1。令人惊讶的是，发现类似的陈述也适用于可能具有负权重的加权图。对于顶点数固定的图，这个结果意味着存在常数$C>0$和$n_{0}$，使得如果$n\geq n_{0}$，则在所有顶点数为$n$的$2^{n \choose 2}$图中，至少有$\left(1-\exp\left(-Cn\right)\right)2^{n \choose 2}$图满足Brouwer猜想.
2019-06-12 math.CO
Proof of Brouwers Conjecture (BC) for all graphs with number of vertices n > n_0 assuming that BC holds for n< n_0 for some n_0
在假设小图满足Brouwers猜想的前提下，证明了所有顶点数大于某个固定阈值n_0的图也满足该猜想。
2025-04-22 math.CO
On a distance Laplacian analog of Brouwer's conjecture for several classes of graphs
College of Information Science and Technology, Jinan University（信息科学与技术学院，暨南大学）
本文证明了Zhou等人提出的距离拉普拉斯矩阵特征值部分和的Brouwer猜想对于直径有界图、直径2图（除少数例外）和最大度接近n的图成立。
2026-06-05 math.CO
On a lower bound for the Laplacian eigenvalues of a graph
若$μ_m$和$d_m$分别表示图的第$m$个最大拉普拉斯特征值和第$m$个最大顶点度，则有$μ_m \geqslant d_m-m+2$ .这个不等式在2007年由郭文贵提出，并在2008年由Brouwer和Haemers证明。布劳威尔和海默斯给出了几个例子，图实现平等，但一个完整的特征没有给出。本文研究满足$μ_m = d_m-m+2$的图的特征问题。特别地，我们给出了具有$μ_m = d_m-m+2 \leqslant 1$的图的完全分类。
2017-07-26 math.CO
A proof of Brouwer's toughness conjecture
连通图$G$的韧性$t(G)$被定义为$t(G)=\min\{\frac{|S|}{c(G-S)}\}$，其中在所有真子集$S\subset V(G)$上取最小值，使得$c(G-S)>1$，其中$c(G-S)$表示$G-S$的分量数.用PDMATHAMT表示图的邻接矩阵的第二大绝对特征值。对于任何连通的$d$ -正则图$G$，Alon已经证明了$t(G)>\frac{1}{3}(\frac{d^2}{dλ+λ^2}-1)$，通过它，Alon能够证明对于每个$t$和$g$，存在围长严格大于$g$的$t$ -坚韧图，从而在很强的意义上反驳了Chvátal关于泛圈性的猜想。Brouwer独立地发现了一个更好的边界$t(G)>\frac{d}λ-2$为任何连接$d$ -正则图$G$，而他也证明了下界可以改进为$t(G)\ge \frac{d}λ - 1$。我们证实了这一猜想。
2021-05-15 math.CO
An approximate version of Brouwer's Laplacian conjecture
Faculty of Mathematics, Technion Israel Institute of Technology（以色列理工学院数学系）
本文提出了一种改进的Brouwer拉普拉斯猜想近似版本，通过研究拉普拉斯矩阵的特征值和图的结构，得出了关于εₖ(G)的更精确上界，并验证了在特定图条件下该上界的紧性。
2026-01-24 math.CO
A maximum matching based refinement of Brouwers conjecture
IIT Bhubaneswar（印度理工学院布巴内斯瓦尔分校）
本文通过匹配数改进Brouwer猜想的成立范围，证明当k不超过匹配数一半时猜想成立，并应用于完美匹配图，同时给出基于补图的等价验证条件。
2026-09-14 math.CO
A Matching-Number Refinement of Brouwer's Laplacian Eigenvalue Inequality
School of Mathematics and Information Science, Guangzhou University（广州大学数学与信息科学学院）；School of Mathematics, South China University of Technology（华南理工大学数学学院）
研究有限简单图\(G\)，改进布劳威尔拉普拉斯特征值不等式，证明\(\eps_k(G)\leq k\nu(G)\ (1\leq k\leq n(G)-2)\)，刻画等式成立情况，分析端点范围\(k\geq n(G)-1\)时不等式成立与否的具体情形。
2026-07-09 math.CO
Remarks on the Brouwer Conjecture
本文证明了当顶点数不小于最大顶点度数平方的4倍时，Brouwer猜想对所有图成立，并指出图的猜想可推出 quiver 的猜想。
2025-08-13 cs.DM math.CO
An interlacing property of the signless Laplacian of threshold graphs
该研究证明了阈值图的无符号拉普拉斯矩阵特征值与顶点度数存在交错性质，并以此为基础验证了无符号Brouwer猜想对阈值图成立，给出了前k大特征值和的上界表达式。
2023-08-24 math.CO
On a conjecture of Brouwer involving the connectivity of strongly regular graphs
本文研究了Andries E. Brouwer于1996年提出的关于强正则图的最小顶点数的一个概念，该图的顶点数的去除使图断开为非单点分量。我们表明，强正则图构造的共极空间和更一般的空间称为$Δ$ -空间是反例布劳威尔猜想。使用J.I. Hall关于有限约化余极空间的刻画，我们发现三角图$T(m)$，域$\mathbb{F}_q$上的辛图$Sp(2r,q)$（对于任何$q$素幂），以及域$\mathbb{F}_2$上由双曲型二次图$O^{+}(2r,2)$和椭圆型二次图$O^{-}(2r,2)$分别构造的强正则图都是Brouwer猜想的反例.对于这些图中的每一个，我们精确地确定了顶点的最小数量，其删除断开图成非单例组件。虽然我们不知道一个类似的霍尔的特征定理$Δ$ -空间，我们证明了补充的点图的某些有限广义四边形的点图的$Δ$ -空间，从而产生其他反例布劳威尔猜想。本文证明了Brouwer猜想对许多强正则图族都成立，包括会议图、广义四边形$GQ(q,q)$图、格图、拉丁方图、最小特征值为-2的强正则图（三角图除外）和顶点数不超过30的本原强正则图，除少数情况外.我们离开作为一个开放的问题，确定最好的一般下界的最小尺寸的一个断开的顶点集的强正则图，其删除断开的图形成非单例组件。
2012-01-11 cs.DM math.CO
Graph toughness from Laplacian eigenvalues
图$G=(V,E)$的韧性$t(G)$定义为$t(G)=\min\{\frac{|S|}{c(G-S)}\}$，其中所有$S\subset V$取最小值，使得$G-S$断开，其中$c(G-S)$表示$G-S$的分量数。我们提出了两个紧下界$t(G)$的拉普拉斯特征值和提供强有力的支持，一个更好的界的猜想，如果真的，意味着这两个界限，并改善和推广已知的阿隆，布劳威尔，和第一作者的界限。作为应用，得到了关于Laplacian特征值的完美匹配、因子和游动的几个新结果，从而引出了关于Hamilton性和Laplacian特征值的一个猜想。
2021-04-08 math.CO
A tight lower bound on the matching number of graphs via Laplacian eigenvalues
设$α'$和$μ_i$分别表示具有$n$顶点的非空简单图$G$与其拉普拉斯矩阵的第$i$最小特征值的匹配数.本文证明了一个紧的下界$$α' \ge \min\left\{\Big\lceil\frac{μ_2}{μ_n} (n -1)\Big\rceil,\ \ \Big\lceil\frac{1}{2}(n-1)\Big\rceil \right\}.$$，这个下界加强了Brouwer和Haemers的结果，他们证明了如果$n$是偶的且$2μ_2 \ge μ_n$，则$G$有完美匹配.一个图$G$是因子关键的，如果对于每个顶点$v\in V(G)$，$G-v$都有完美匹配。我们还证明了一个类似于Brouwer和Haemers的结果，证明了如果$n$是奇的，而$2μ_2 \ge μ_n$，则$G$是因子临界的.我们利用Haemers的分离不等式得到了一个有用的引理，这是证明的关键思想。这个引理有它自己的意义，也有其他的应用。特别是，我们证明了类似的结果气球的数量，甚至子图的生成，以及有界度的生成树。
2021-10-17 math.CO
A partial proof of the Brouwer's conjecture
本文针对Brouwer猜想（图的k个最大Laplacian特征值之和不超过m+组合数）给出部分证明，在特定边数和顶点数范围及k区间内验证其成立，并推广至更一般条件。
2024-12-17 math.CO math.SP
On Distribution of Laplacian Eigenvalues of Graphs
本文主要研究了图的Laplacian矩阵、归一化Laplacian矩阵、无符号Laplacian矩阵和距离无符号Laplacian矩阵的特征值。在第一章中，我们对谱图理论做了一个简单的介绍，并给出了一些定义。第四章$2$讨论了图$ k $的最大拉普拉斯特征值$ S_{k}(G) $和问题以及Brouwer猜想。我们得到了几类图的$ S_{k}(G) $的上界，并用它们来验证Brouwer猜想。此外，我们证明了更一般的类图的布劳威尔猜想。在$3$章中，我们研究了图的拉普拉斯特征值和树的拉普拉斯能量猜想。证明了直径为$ 4 $的树的Laplacian能量猜想。此外，我们证明了这一猜想的所有树有最多$ \frac{9n}{25}-2 $非悬挂顶点。同时，我们还得到了$ n $阶树猜想为真的充分条件。在第$4$章中，我们确定了正则图的并图的正规化Laplacian谱，并得到了一些著名图的谱。作为联合并的结果，我们得到了有限循环群的幂图的归一化拉普拉斯谱。在第二章PDMATHAMV中，我们给出了有限交换环上正则图和零因子图的距离无符号Laplacian谱。同时，我们还得到了广义距离矩阵的谱半径的界。进一步，我们得到了二部图和二部树的广义距离能量。证明了在所有连通二部图中，完全二部图具有最小广义距离能量。此外，对于$ α\in \big(0, \frac{2n}{3n-2}\big) $，我们…
2021-07-19 math.CO math.GR math.RA
A proof of the maximum Laplacian energy conjecture for connected graphs via a sharp eigenvalue-sum bound
通过证明一个尖锐的拉普拉斯特征值求和界，解决了关于连通图最大拉普拉斯能量的猜想，并确定了唯一极值图。
2026-09-09 math.CO
The Toughness of Kneser Graphs
图$G$的\textit{toughness} $t(G)$是其连通性的度量，其与哈密尔顿性密切相关。Brouwer证明了连通$\ell$ -正则图韧性的下界$t(G) > \ell / λ- 2$，其中$ λ$是邻接矩阵的最大非平凡特征值。他解释说，这个下界可以改进为$\ell / λ-1$，这个猜想仍然是开放的。布劳威尔还观察到，许多图族（特别是那些在独立数的霍夫曼比范围内达到相等的图族）恰好具有$\ell / λ$韧性。Cioabeland和Wong证实了Brouwer对几个图族的观察，包括Kneser图$K(n,2)$及其补图，但Petersen图$K(5,2)$除外。在本文中，我们推广了这些结果，并确定了Kneser图$K(n,k)$的韧性时，$k\in \{3,4\}$和$n\geq 2k+1$以及$k\geq 5$和足够大的$n$（在$k$方面）。在所有这些情况下，韧性是由一个最大的独立集的补充，我们推测，这是任何$k\geq 5$和$n\geq 2k+1$的情况。
2021-06-28 math.CO
A conjecture on square roots of Laplacian and signless Laplacian eigenvalues of graphs
我们猜想一个图的拉普拉斯特征值的平方根之和不超过它的无符号拉普拉斯特征值的平方根之和。
2009-09-06 math.CO
Degree Majorization and Laplacian Eigenvalue Sums for Simplicial Complexes
Anhui University（安徽大学）；Anhui Jianzhu University（安徽建筑大学）
研究单纯复形，证明其\((r - 1)\)维上拉普拉斯谱由\((r - 1)\)维面的共轭度序列优超并建立布劳威尔型不等式，给出格罗恩 - 梅里斯 - 白定理等高维类似物，还指出杜瓦尔 - 赖纳猜想在\(r \geq 2\)时不成立。
2026-07-24 math.CO
New conjectures on algebraic connectivity and the Laplacian spread of graphs
我们猜想一个新的下界的代数连通度，涉及到在一个图中的顶点的高偏心率的数目。我们证明，这个下界意味着加强的拉普拉斯传播猜想。我们讨论进一步的猜想，也加强了拉普拉斯扩散猜想，其中包括一个猜想为单图和一个猜想为加权图。
2022-01-11 math.CO
Convex functions on graphs: Sum of the eigenvalues
设$G$是一个具有拉普拉斯矩阵$L(G)$的简单图，$e(G)$是$G$的边数。Brouwer的一个猜想和Grone和Merris的一个猜想指出，$G$的$k$最大拉普拉斯特征值之和最多分别是$e(G)+\binom{k+1}{2}$和$\sum_{i=1}^{k}d_{i}^{*}$，其中$(d_{i}^{*})_{i}$是度序列$(d_i)_{i}$的共轭。我们将这些图推广到加权图和对称矩阵。此外，在其他结果中，我们表明，在一定的假设下，凹上界的对称实矩阵的凸函数是等价的凹上界的$(0,1)$矩阵的凸函数。
2018-09-12 math.CO
Toughness and normalized Laplacian eigenvalues of graphs
给定一个连通图$G$，韧性$τ_G$定义为比率$|S|/ω_{G-S}$的最小值，其中$S$的范围是$G$的所有顶点割集，$ω_{G-S}$是从$G$中删除$S$的所有顶点得到的子图$G-S$中连通分支的个数.在本文中，我们提供了韧性$τ_G$的最大程度，最小程度和归一化拉普拉斯特征值的$G$的下界。这可以被视为Brouwer韧性猜想的轻微推广，Gu（2021）证实了这一点。此外，我们给出了达到Gu和Haemers（2022）给出的关于韧性和Laplacian特征值的两个下界的图的特征。
2023-01-08 math.CO math.SP
A linear algebraic proof of the Laplacian spread conjecture
School of Mathematics, Nanjing University（南京大学数学学院）
研究拉普拉斯谱展猜想，即\(\alpha(G)+\alpha(\overline{G}) \geq 1\)，核心方法是线性代数，主要贡献是给出更简洁的新证明。
2026-07-07 math.CO
On two conjectures on sum of the powers of signless Laplacian eigenvalues of a graph
设$G$是单图，$Q(G)$是$G$的无符号拉普拉斯矩阵.令$S_α(G)$为$Q(G)$的非零特征值的$α$次幂之和。本文证明了尤和杨关于二部图和有界连通图之间的$S_α(G)$极值的两个定理是错误的。
2014-08-04 math.CO
Proof of a conjecture on `plateaux' phenomenon of graph Laplacian eigenvalues
设$G$是一个单图. $G$的悬垂路径是这样的路径，使得其端顶点之一具有度$1$，另一端具有度$\ge3$，并且所有内部顶点具有度$2$。令$p_k(G)$为$G$的长度为$k$的悬垂路的数目，并且$q_k(G)$为具有度$\ge3$的顶点的数目，这些顶点是长度为$k$的悬垂路的端点。受树突树特征化问题的启发，N. Saito和E. Woei证明了任何图$G$都有一些Laplacian特征值，其重数至少为$p_k(G)-q_k(G)$ .我们证明了一个更一般的结果，拉普拉斯和无符号拉普拉斯特征值的猜想如下。
2016-04-07 math.CO
On a conjecture involving Laplacian eigenvalues of trees
受经典树算法的启发，我们在1995年设计了一个自底向上的$O(n)$算法来计算树的邻接矩阵的行列式$A$。在2010年，发现了一种$O(n)$算法，用于构造与$A + xI_n$全等的对角矩阵，$x \in \mathbb{R}$，使得人们能够容易地计算任何间隔中的特征值的数量。该算法的一个变体允许计算树中的拉普拉斯特征值。我们猜想，对于任何树$T$的顺序$n \geq 2$，至少有一半的拉普拉斯特征值小于$\bar{d} = 2 - \frac{2}{n}$，它的平均顶点度。
2017-11-08 math.CO
Proof of a conjecture on distribution of Laplacian eigenvalues and diameter, and beyond
本文证明了一个关于连通图拉普拉斯特征值在区间[n-d+2,n]内个数不超过n-d的猜想，并完整刻画了达到边界的图，揭示了谱与经典参数的联系。
2023-06-20 math.CO
A majorization bound for the eigenvalues of some graph Laplacians
证明了图的Laplacian谱是由图的共轭度序列控制的。在本文中，我们证明了这一优势保持一类图，包括树。我们还表明，这一猜想的推广到图的Dirichlet边界条件是等价于原来的猜想。
2004-11-07 math.CO
The Laplacian $S_{n,n}$ conjecture is true
Mount Allison University（蒙特艾利森大学）
本文证明了拉普拉斯 $S_{n,n}$ 猜想在所有剩余情形下成立，即不存在具有特定拉普拉斯谱的简单图，填补了此前证明的空白。
2026-09-24 math.CO
Partition density, star arboricity, and sums of Laplacian eigenvalues of graphs
该研究提出图的划分密度概念，通过分析满足划分密度小于k的图的星森林分解性质，证明了Brouwer关于图拉普拉斯前k个特征值和上界猜想的弱版本，并给出了含最大匹配数的另一上界。
2024-10-06 math.CO
On a conjecture for the signless Laplacian spectral radius of cacti with given matching number
一个连通图$G$是一个仙人掌，如果它的任何两个圈最多有一个公共顶点。设$\ell_n^m$是$n$顶点上的仙人掌的集合，其匹配数为$m.$ S. C。Li和M. J. Zhang用$n=2m$确定了$\ell_n^m$中所有仙人掌中具有最大无符号拉普拉斯谱半径的唯一图.在本文中，我们刻画的情况下$n\geq 2m+1$。这证实了Li和Zhang（S.C. Li，M. J. Zhang，On the signless Laplacian index of Cacti with a given number of pendant vetices，线性代数应用436，2012，4400--4411）.进一步，我们刻画了在$n$顶点上所有仙人掌中具有最大无符号拉普拉斯谱半径的唯一图.
2015-11-21 math.CO
The Laplacian energy of random graphs
Gutman {\it等人}引入了简单图$G$的能量$\En(G)$和Laplacian能量$\EnL(G)$的概念，并进一步提出了一个猜想：对每个图$G$，$\En(G)$不大于$\EnL(G)$.不幸的是，该猜想被证明是不正确的，因为刘{\it et al.}和Stevanović {\it et al.}构建反例。然而，因此{\it et al.}验证了关于二部图的猜想。本文给出了随机图的Laplacian能量的上下界，并证明了这个猜想对几乎所有的图都成立。
2009-10-10 math.CO
On a conjecture for the signless Laplacian eigenvalues
设$G$是一个具有$n$顶点和$e(G)$边的简单图，$q_1(G)\geq q_2(G)\geq\cdots\geq q_n(G)\geq0$是$G.$的无符号Laplacian特征值。设$S_k^+(G)=\sum_{i=1}^{k}q_i(G),$，其中$k=1, 2, \ldots, n.$ F. Ashraf等人证明了$S_k^+(G)\leq e(G)+\binom{k+1}{2}$对$k=1, 2, \ldots, n.$的猜想。本文给出了$S_k^+(G),$的各种上界，并证明了这个猜想对下列情形成立：具有足够大$k,$的连通图，当$k\neq 3.$
2013-06-01 math.CO
An endpoint exception to a conjectured equality characterization for Laplacian eigenvalue products
本文构造了八个顶点的反例，反驳了关于拉普拉斯特征值乘积的猜想等式刻画，这些反例出现在端点$k=3n/4$并扩展至无限族，但不影响原猜想的数值不等式。
2026-09-16 math.CO
On the Laplacian spread of digraphs
在这篇文章中，我们扩展的概念的拉普拉斯蔓延到简单的有向图（有向图）使用限制的数值域。首先，我们提供了几个家庭的有向图的拉普拉斯传播值。然后，我们证明了尖锐的上界的拉普拉斯蔓延的多边形和平衡有向图。特别地，我们证明了平衡有向图的拉普拉斯扩散界的有效性等价于简单无向图的拉普拉斯扩散猜想，该猜想于2011年提出并于2021年得到证明。此外，我们还证明了权介于$0$和$1$之间的加权平衡有向图的一个等价命题。最后，我们陈述了几个由经验数据驱动的开放式模型。
2022-06-30 math.CO
On Spielman's Laplacian Eigenratio Conjecture and Related Problems
University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）；Tsinghua University（清华大学）；Xi’an Jiaotong University（西安交通大学）
本文研究Spielman的拉普拉斯特征比猜想，发现其在不同条件下成立与否，并证明了正则图中更强的界，同时解决了两个相关猜想。
2026-04-20 math.CO
The proof of a conjecture on largest Laplacian and signless Laplacian H-eigenvalues of uniform hypergraphs
设$\mathcal{A(}G\mathcal{)},\mathcal{L(}G\mathcal{)}$和$\mathcal{Q(}% G\mathcal{)}$分别是一致超图$G$的邻接张量、拉普拉斯张量和无符号拉普拉斯张量.用$λ(\mathcal{T})$表示张量$\mathcal{T}$的最大H-特征值。设$H$是一个一致超图，$H^{\prime}$是由$H$通过在每条边中插入一个度为1的新顶点而得到的。证明了$λ(\mathcal{Q(}% H^{\prime}\mathcal{)})\leqλ(\mathcal{Q(}H\mathcal{)}).$用$G^{k}$表示具有最大度$Δ\geq2$的普通图$G$的$k$次幂超图.证明了$\{λ(\mathcal{Q(}% G^{k}\mathcal{)})\}$是一个严格递减序列，这意味着\cite{HuQiShao2013}中胡、齐、邵的猜想4.1成立.证明了当$k$趋于无穷大时，$λ(\mathcal{Q(}G^{k}\mathcal{)})$收敛于$Δ$.将$k$次幂超图$G^{k}$的定义推广为$G^{k,s}.$，并证明了$\mathcal{A(}% G^{k,s}\mathcal{)},$的特征值性质，推广了一些已知结果.文中还介绍了有关$\mathcal{L(}G\mathcal{)}$的一些结果。
2015-06-09 math.CO
Nordhaus--Gaddum type inequalities for Laplacian and signless Laplacian eigenvalues
设$G$是一个顶点数为$n$的图。用$q_1(G)$表示$G$的最大无符号拉普拉斯特征值，用$μ_1(G)\ge\cdots\geμ_{n-1}(G)\geμ_n(G)=0$表示$G$的拉普拉斯特征值.关于图的Laplacian散布的一个猜想是：图的Laplacian散布是$μ_1(G)-μ_{n-1}(G)\le n-1$或等价的图的Laplacian散布是$μ_1(G)+μ_1(\Gb)\le2n-1$ .证明了二部图的猜想。我们还证明了对任何二部图$G$，$μ_1(G)μ_1(\Gb)\le n(n-1)$ . Aouchiche和Hansen [A survey of Nordhaus-Gaddum type relations，Discrete Appl. Math.161（2013），466- 546]证明了对于具有$n$顶点的任何图$G$，$q_1(G)+q_1(\Gb)\le3n-4$和$q_1(G)q_1(\Gb)\le2n(n-2)$，%。通过构造一类图$H_n$证明了前者，并反证了后者，其中$q_1(H_n)q_1(\ov{H_n})$是关于$2.15n^2+O(n)$的.
2014-02-12 math.CO
Sharp Bounds for the Signless Laplacian Spectral Radius in Terms of Clique Number
本文利用团数给出了图的无符号Laplacian谱半径的一个精确的上、下界。此外，还刻画了达到上界和下界的极图。此外，这些结果还反驳了[P. Hansen和C.张文，张文，等.无符号Laplacian指数的定义与性质.线性代数，432（2010）3319-3336]。
2012-09-14 math.CO
The Laplacian spectral ratio of connected graphs
设$G$是一个简单连通的无向图. $G$的Laplacian谱比（$R_L(G)$）定义为图$G$的最大Laplacian特征值与次小Laplacian特征值之商，它与图的结构参数密切相关本文给出了Laplacian谱比的一些界，并讨论了Laplacian谱比的一些性质，如直径、$t$ -tough、完美匹配、平均割密度、可同步性等，这改进了已知的结果。此外，我们还对树的Laplacian谱比猜想的上界给出了反例，并提出了一个新的猜想。
2023-02-21 math.CO
The spectrum and toughness of regular graphs
1995年，Brouwer证明了连通$k$ -正则图$G$的韧性至少为$k/λ-2$，其中$λ$是$G$的非平凡特征值的最大绝对值。布劳威尔指出，人们可以将这个下限改进为$k/λ-1$，并且许多图（特别是在独立数的霍夫曼比范围内达到相等的图）的韧性等于$k/λ$。本文改进了Brouwer的谱界在韧性度较小时的性质，并确定了许多强正则图在Hoffman比界上相等的韧性度的精确值，如格图、三角图、三角图的补图和广义四边形的点图的补图.对于所有这些图的例外的彼得森图，我们确认布劳威尔的直觉，表明韧性等于$k/(-λ_{min})$，其中$λ_{min}$是最小的特征值的邻接矩阵的图形。
2013-12-08 cs.DM math.CO
On the eigenvalues of Grassmann graphs, Bilinear forms graphs and Hermitian forms graphs
最近，Brouwer，Cioabbirth，Ihringer和McGinnis得到了一些新的结果，涉及到各种图的结合方案的特征值，并提出了一些与Grassmann图，双线性型图和Hermitian型图的特征值有关的定理.在本文中，我们证明了他们的一些结构。
2021-02-19 cs.DM math.CO
Corrigendum to the equivalent statement of the Laplacian Spread Conjecture
本文对拉普拉斯展形猜想的等价陈述进行勘误，将充要条件中的不等式下界从2修正为1，并据此将平衡有向图的拉普拉斯展形上界从 n-1 修正为 n-1/2。
2024-11-21 math.CO
A solution to a conjecture on the signless Laplacian spectral radius for $t$-color-critical graphs
Hainan University（海南大学）；Shanghai Normal University（上海师范大学）；Yangtze University（长江大学）
本文证明了关于$t$-色临界图$F$的$n$顶点$F$-自由图中符号拉普拉斯谱半径由$K_{t-1}\vee T_{n-t+1,r}$唯一最大化的猜想，采用Zykov对称化类比与对$n$归纳两种新技术。
2026-10-22 math.CO
Partial characterization of graphs having a single large Laplacian eigenvalue
图$G$的参数$σ(G)$表示大于或等于$G$的平均度的拉普拉斯特征值的数目。在这项工作中，我们解决的问题，这些图$G$具有$σ(G)=1$的特征。我们的猜想是，这些图是星加上（可能是空的）一组孤立的顶点。我们建立了$σ(G)$和$G$的反成分数之间的联系。作为一个副产品，我们提出了一些结果支持的猜想，限制我们的分析，某些类的图。
2017-10-04 math.CO
The Randić index and signless Laplacian spectral radius of graphs
给定一个连通图$G$，Randic指数$R(G)$是$G$的所有边$\{u,v\}$上的$\tfrac{1}{\sqrt{d(u)d(v)}}$的和，其中$d(u)$和$d(v)$分别是顶点$u$和$v$的度。设$q(G)$是$G$和$n=|V(G)|$的无奇异拉普拉斯矩阵的最大特征值。Hansen和Lucas（2010）提出了以下猜想：\[ \frac{q(G)}{R(G)} \leq \begin{cases} \frac{4n-4}{n} & 4 \leq n\leq 12 \frac{n}{\sqrt{n-1}} & n\geq 13 \end{cases} \]具有相等性当且仅当$G=K_{n}$分别用于$4\leq n\leq 12$和$G=S_n$用于$n\geq 13$。Deng，Balachandran，and Ayyaswamy（J. Math. Anal. Appl.2014）对$4 \leq n \leq 11$验证了该猜想。本文完全解决了这个猜想。
2016-01-14 math.CO
On the sum of the first two largest signless Laplacian eigenvalues of a graph
本文证明 Oliveira 等人关于 $n$ 顶点图中加边星形图唯一最小化 $f(G)$ 的猜想，并由此确认 Ashraf 等人提出的 $S_2(G)$ 上界猜想。
2024-06-13 math.CO
On a conjecture of Laplacian energy of trees
设$G$是一个简单图，其顶点为$n$，边为拉普拉斯特征值$μ_1, μ_2, \dots, μ_{n-1},μ_n=0$ .拉普拉斯能量$LE(G)$定义为$LE(G)=\sum_{i=1}^{n}|μ_i-\overline{d}|$，其中$\overline{d}=\frac{2m}{n}$是$G$的平均度。Radenković和Gutman证明了在所有$n$阶树中，路径图$P_n$具有最小的拉普拉斯能量。设$ \mathcal{T}_{n}(d) $是直径为$ d $的$n$阶树族。本文证明了任意树$T\in \mathcal{T}_{n}(4)$的Laplacian能量大于$P_n$的Laplacian能量，从而证明了关于所有直径为$4$的树的Laplacian能量的猜想.我们还证明了猜想的真实性，所有树的非悬垂顶点的数目至多$\frac{9n}{25}-2$。此外，我们给出了一些充分条件的猜想成立的树的顺序$n$。
2021-07-19 math.CO math.SP
Extremal values for the spectral radius of the normalized distance Laplacian
图$G$的归一化距离Laplacian定义为$\mathcal{D}^\mathcal{L}(G)=T(G)^{-1/2}(T(G)-\mathcal{D}(G))T(G)^{-1/2}$，其中$\mathcal{D}(G)$是顶点之间具有成对距离的矩阵，$T(G)$是对角传输矩阵。在这个项目中，我们研究了与这个矩阵相关的最小和最大谱半径，以及实现这些值的图的结构。特别地，我们证明了Reinhart关于完全图是唯一具有最小谱半径的图的猜想，并给出了Reinhart关于哪一个图具有最大谱半径的第二个猜想的部分结果.
2023-02-22 math.CO
Laplacian coefficients of unicyclic graphs with the number of leaves and girth
设$G$是$n$阶图，$\mathcal{L}(G,λ)=\sum_{k=0}^n (-1)^{k}c_{k}(G)λ^{n-k}$是其Laplacian矩阵的特征多项式.由Ilić和Ilić猜想[A. Ilić，M. Ilić，Laplacian coefficients of trees with given number of leaves or vertices of degree two，线性代数及其应用431（2009）2195-2202.]本文研究了所有叶数为$l$的$n$ -顶点单圈图的集合$\mathcal{U}_{n,l}$中所有Laplacian系数最小的极图，其中$\mathcal{U}_{n,l}^g$表示叶数为$l$且围长为$g$的$n$ -顶点单圈图的集合$(\mathcal{U}_{n,l}^g, \preceq)$中极小元的性质。这些结果被用来反驳他们的猜想。此外，还研究了$\mathcal{U}_{n,l}^g$中具有最小类拉普拉斯能量的图。
2013-11-08 math.CO
A counterexample to a conjecture of Wang and Hou on signed graphs
给出了Wang和Hou关于符号图的$k$最大Laplacian特征值和的一个猜想的一个反例.
2018-09-23 math.CO
Counterexamples to a Conjecture on Laplacian Ratios of Trees
Indian Institute of Technology Indore（印度理工学院印多尔分校）
本文通过构造无限族反例，推翻了关于树的拉普拉斯比最大值的猜想，研究了树的拉普拉斯矩阵永久与顶点度数乘积的比值问题。
2026-05-13 cs.DM math.CO
