拉普拉斯展形猜想等价陈述的勘误
Corrigendum to the equivalent statement of the Laplacian Spread Conjecture
AI总结：
本文对拉普拉斯展形猜想的等价陈述进行勘误，将充要条件中的不等式下界从2修正为1，并据此将平衡有向图的拉普拉斯展形上界从 n-1 修正为 n-1/2。
摘要：
对于图 $G$，令 $α(G)$ 表示其第二小拉普拉斯特征值。拉普拉斯展形猜想断言 $α(G)+α(\overline{G}) \geq 1$，其中 $\overline{G}$ 是 $G$ 的补图。本文修正了两个结论：第一，$α(G) + α(\overline{G}) \geq 1$ 的充要条件是 $\parallel \bigtriangledown_{x} - \bigtriangledown_{y} \parallel^{2} \geq 1$，而非文献 \cite{BS} 中所证明的 $\parallel \bigtriangledown_{x} - \bigtriangledown_{y} \parallel^{2} \geq 2$，正如我们的研究所展示的。第二，我们证明平衡有向图 $Γ$ 的拉普拉斯展形满足 $LS(Γ) \leq n - \frac{1}{2}$，而非文献 \cite{BCEHK} 中的 $LS(Γ) \leq n - 1$，因为不等式 $\parallel \bigtriangledown_{x} - \bigtriangledown_{y} \parallel^{2} \geq 2$ 并不成立。
英文摘要：
For a graph $G,$ let $α(G)$ denote its second smallest Laplacian eigenvalue. The Laplacian Spread Conjecture states that $α(G)+α(\overline{G}) \geq 1,$ where $\overline{G}$ is the complement of $G.$ In this paper, we have corrected two conclusions: First, the necessary and sufficient condition for $α(G) + α(\overline{G}) \geq 1$ is $\parallel \bigtriangledown_{x} - \bigtriangledown_{y} \parallel^{2} \geq 1$ rather than $\parallel \bigtriangledown_{x} - \bigtriangledown_{y} \parallel^{2} \geq 2$ which has been proved in \cite{BS} as demonstrated in our study. Second, we show that the Laplacian spread of balanced digraph $Γ$ satisfies $LS(Γ) \leq n - \frac{1}{2}$ but not $LS(Γ) \leq n - 1$ in \cite{BCEHK}, since inequality $\parallel \bigtriangledown_{x} - \bigtriangledown_{y} \parallel^{2} \geq 2$ does not hold.
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