Most Laplacian eigenvalues of a tree are small
我们表明，拉普拉斯特征值的数量大于平均度的树有$n$顶点是最多$\lfloor\frac{n}{2} \rfloor$。
2020-08-04 math.CO
'On the signless Laplacian spectra of $k$-trees'-- CORRIGENDUM
本文用一种新的正确的方法确定了具有前三个最大无符号Laplacian指标的$n$ -顶点$k$ -树。
2015-07-22 math.CO
Spectral properties of the deformed Laplacian matrix of trees and H-join graphs
本文研究了树和H-连接图的变形拉普拉斯矩阵的谱性质，推导了树的特征值定位结果，并计算了H-连接图的谱。
2025-12-03 math.CO
Eigenvalue monotonicity of $q$-Laplacians of trees along a poset
令$T$是$n$顶点上的树，具有$q$ -拉普拉斯$L_{T}^{q}$。设$GTS_n$是顶点为$n$的无标号树集合上的广义树移位偏序集.我们证明了对所有的$q \in R$，在$GTS_n$上增加具有如下效应：$L_{T}^{q}$的谱半径和次小特征值增加，而$L_{T}^{q}$的最小特征值减小.这些推广了拉普拉斯算子特征值的已知结果。作为推论，我们得到了树的$q,t$ -Laplacian特征值和指数距离矩阵的一些结果。
2018-02-26 math.CO
New conjectures on algebraic connectivity and the Laplacian spread of graphs
我们猜想一个新的下界的代数连通度，涉及到在一个图中的顶点的高偏心率的数目。我们证明，这个下界意味着加强的拉普拉斯传播猜想。我们讨论进一步的猜想，也加强了拉普拉斯扩散猜想，其中包括一个猜想为单图和一个猜想为加权图。
2022-01-11 math.CO
Laplacian Immanantal polynomials and the GTS poset on Trees
设$T$是$n$顶点上具有Laplacian $L_T$的树，$GTS_n$是$n$顶点上未标号树集合上的广义树移位偏序集.当我们沿着偏序集$GTS_n$向上时，已知$L_T$的特征多项式的系数的不等式。本文将这些不等式推广到$T$的$q$ -Laplacian $L^q_T$和所有内在多项式的系数.
2018-02-27 math.CO
A note on the distance and distance signless Laplacian spectral radius of complements of trees
该研究通过分析广义树移位操作对树补图三类谱半径的增大作用，修正了既有相关定理证明中的歧义。
2023-06-08 math.CO
Monotonicity properties of certain Laplacian eigenvectors associated with trees
Nath和Paul（线性代数应用，460（2014），97 -110）已经表明，路径的最大距离拉普拉斯特征值是简单的，并且对应的特征向量具有与Fiedler向量类似的性质。我们给出了另一个证明，在这个过程中建立了一个更一般的结果。可以肯定的是，任何一棵树都有类似的现象。
2014-11-02 math.CO
Characterizing the second smallest eigenvalue of the normalized Laplacian of a tree
本文证明了图的正规拉普拉斯算子λ 1的调和本征函数在图的铰接点上的单调性定理。本文给出了图的正规拉普拉斯矩阵的Perron分量的定义，并给出了它的次小特征值的刻画。
2013-06-10 math.CO
On a conjecture involving Laplacian eigenvalues of trees
受经典树算法的启发，我们在1995年设计了一个自底向上的$O(n)$算法来计算树的邻接矩阵的行列式$A$。在2010年，发现了一种$O(n)$算法，用于构造与$A + xI_n$全等的对角矩阵，$x \in \mathbb{R}$，使得人们能够容易地计算任何间隔中的特征值的数量。该算法的一个变体允许计算树中的拉普拉斯特征值。我们猜想，对于任何树$T$的顺序$n \geq 2$，至少有一半的拉普拉斯特征值小于$\bar{d} = 2 - \frac{2}{n}$，它的平均顶点度。
2017-11-08 math.CO
Laplacian Estrada index of trees
设$G$是一个顶点数为$n$的单图，$μ_1 \geqslant μ_2 \geqslant...\geqslant μ_{n - 1} \geqslant μ_n = 0$是它的Laplacian矩阵的特征值.定义图$G$的Laplacian Estrada指标为$LEE (G) = \sum\limits_{i = 1}^n e^{μ_i}$ .利用线图的Estrada指标与Laplacian Estrada指标之间的最近联系，证明了在$n$顶点上的树中，路$P_n$具有最小值，而星$S_n$具有最大值$LEE$.此外，我们找到了唯一的树，第二个最大的拉普拉斯埃斯特拉达指数。
2011-06-15 math.CO
Laplacian Coefficient, Matching Polynomial and Incidence Energy of of Trees with Described Maximum Degree
设$\mathcal{L}(T,λ)=\sum_{k=0}^n(-1)^{k}c_{k}(T)λ^{n-k}$是树$T$的拉普拉斯矩阵的特征多项式。研究了系数序列$(c_0, \cdots, c_n)$的母函数的一些性质，这些性质与$T$的除树匹配多项式有关.这些结果，反过来，被用来表征所有的极值树具有最小的拉普拉斯系数生成函数和最小的关联能量的树所描述的最大程度，分别。
2015-12-04 math.CO
An Analog of Matrix Tree Theorem for Signless Laplacians
图的生成树是指在所有顶点上具有最少边数的连通子图。利用矩阵树定理给出了图$G$的生成树的个数，它是由图$G$的拉普拉斯矩阵的主子式表示的.我们显示了一个类似的组合解释的主子式的无符号拉普拉斯$Q$。我们还证明了$G$中的奇圈数小于或等于$\frac{\det(Q)}{4}$，其中等式成立当且仅当$G$是二部图或奇单圈图.
2018-05-12 math.CO
Cellular spanning trees and Laplacians of cubical complexes
本文证明了一个矩阵树定理，它用胞腔拉普拉斯算子的特征值来表示胞腔复形的生成树，推广了以前关于单纯复形的结果。作为应用，我们得到显式的生成树枚举数和拉普拉斯特征值的立方体，后者是整数。我们证明了一个加权版本的特征值公式，提供证据的猜想加权枚举的立方生成树。引入移位性的一个三次类比，得到移位三次复形的Laplacian特征值的一个递推公式，特别地，这些特征值也是整数。最后，我们恢复Adin的计数的生成树的一个完整的彩色单纯复形的细胞矩阵树定理与Kook，Reiner和Stanton的结果。
2010-05-05 math.CO
Gluing Formula for the Pseudo-Determinant of Graph Laplacian and Applications to Counting of Spanning Trees
本文针对简单有限图建立拉普拉斯伪行列式的胶合公式，结合质量拉普拉斯行列式胶合公式与微扰理论技术，将其应用推导生成树与有根生成森林数量的胶合公式。
2026-08-28 math.CO
Laplacian spectral characterization of some double starlike trees
一棵树如果恰好有两个顶点的度大于大于2，则称为双星状树。令$H(p,n,q)$表示通过将$p$悬垂顶点附加到路径$P_n$的一个悬垂顶点并且将$q$悬垂顶点附加到$P_n$的另一个悬垂顶点而获得的双星状树。本文证明了$H(p,n,q)$是由它的Laplacian谱决定的。
2013-10-30 math.CO
Spectral threshold dominance, Brouwer's conjecture and maximality of Laplacian energy
图的拉普拉斯能量是图的拉普拉斯矩阵的特征值到图的平均度的距离之和。对于阈值图，证明了在$n$节点和$m$边上的所有图的最大Laplacian能量.我们证明了猜想持有的性质，对于每个$k$有一个阈值图上的相同数量的节点和边缘的总和的$k$最大拉普拉斯特征值超过了图的$k$最大拉普拉斯特征值的图。我们称这样的图为谱阈值支配图。这些图包括分裂图和余图，谱阈值优势通过不交并和取补来保持。我们猜想所有的图都是谱阈值控制的。这个猜想原来是等价于布劳威尔的猜想有关的限制总和的$k$最大的拉普拉斯特征值。
2016-04-26 math.CO
Largest Laplacian Eigenvalue and Degree Sequences of Trees
我们研究了在给定度序列的所有树中，具有最大最大特征值的树的结构。我们表明，在这样一个极值树的度序列是非增加的顶点，是由广度优先搜索获得的顺序。这种结构是唯一确定的同构。我们还表明，在这样的类树的最大特征值是严格单调的优化。
2008-04-17 math.CO
More on the normalized Laplacian Estrada index
设$G$是阶为$N$的单图. $G$的归一化拉普拉斯埃斯特拉达指数被定义为$NEE(G)=\sum_{i=1}^Ne^{λ_i}$，其中$λ_1,λ_2,\cdots,λ_N$是$G$的归一化拉普拉斯特征值。本文给出了一般图的$NEE$的一个紧下界。我们还计算了一类树状分形的$NEE$，其中包括一些经典的化学树作为特殊情况。结果表明，$NEE$的规模与分形的阶数呈线性关系，符合连通二部图的最佳可能下界。
2014-01-07 math.CO math.SP
Multiplicity of 1 in Laplacian Spectra of trees
本文解释了树的Laplacian谱中1的重数，证明了在正规树的情况下，Faria不等式变为一个等式，得到了在任意一棵没有2度顶点的树中，Faria等式成立，Laplacian谱中1的重数等于树的星度。因此，我们介绍了一个组合的程序计算的多重性1。在证明这个结果的过程中，我们将引入许多关于1的重数不变的图上的变换。我们还介绍了一个不等式0的重数在邻接图谱的图，并再次介绍了一个程序来计算这种重数的情况下，树。
2014-02-05 math.CO
Laplacian eigenvalue distribution, diameter and domination number of trees
对于具有控制数$γ$的图$G$，Hedetniemi，Jacobs和Trevisan [European Journal of Combinatorics 53（2016）66-71]证明了$m_{G}[0,1)\leq γ$，其中$m_{G}[0,1)$表示$G$在区间$[0,1)$中的拉普拉斯特征值的数量。设$T$是直径为$d$的树。在本文中，我们表明，$m_{T}[0,1)\geq (d+1)/3$。然而，这样的下界对于一般的图是错误的。所有达到下界的树都是完全特征化的。此外，对于树$T$，我们建立了Laplacian特征值，直径和控制数之间的关系，通过显示$T$的控制数等于$(d+1)/3$当且仅当它恰好有$(d+1)/3$ Laplacian特征值小于1。作为应用，它还提供了一种新型的树，它显示了由于Hedetniemi，Jacobs和Trevisan不等式的尖锐性。
2022-12-10 math.CO
The Smith normal form of Laplacian matrices of simplicial annuli and high dimensional trees
Banco de México（墨西哥银行）；Facultad de Ciencias Universidad Nacional Autónoma de México（墨西哥国立自治大学理学院）；Cinvestav（墨西哥国立理工学院先进研究中心）；Facultad de Economía, Universidad Autónoma de San Luis Potosí（圣路易斯波托西自治大学经济学院）；Worcester Polytechnic Institute（伍斯特理工学院）
研究单纯复形拉普拉斯矩阵的史密斯标准型，通过建立邻接图沙堆群与该标准型的关系，计算单纯环面和\(k -\)树的相关标准型，经数值实验可视化其区分\(k -\)树的效果，并指出相关矩阵在拉普拉斯矩阵中的应用。
2026-07-28 math.CO
Spanning tree enumeration via triangular rank-one perturbations of graph Laplacians
我们提出了新的简短证明已知的生成树枚举公式的阈值和费勒斯图，通过证明这种图的拉普拉斯矩阵允许三角秩一扰动。然后，我们刻画了一组图的拉普拉斯矩阵承认三角秩1扰动的一类特殊的2-阈值图，介绍了洪，Kloks，和Villaamil。我们的工作介绍了（1）一个新的特征的特殊2-阈值图，推广了阈值图的特征的孤立和控制顶点，和（2）生成树计数公式的特殊2-阈值图，减少到上述公式的阈值和费勒斯图。我们考虑未加权和加权生成树枚举。
2021-03-25 math.CO
A linear algebraic proof of the Laplacian spread conjecture
School of Mathematics, Nanjing University（南京大学数学学院）
研究拉普拉斯谱展猜想，即\(\alpha(G)+\alpha(\overline{G}) \geq 1\)，核心方法是线性代数，主要贡献是给出更简洁的新证明。
2026-07-07 math.CO
Laplacian Spectrum and Domination in Trees
本文研究树中最小支配集大小与拉普拉斯矩阵在[0,1)内特征值个数之比，证明该比值小于4/3并构造无穷树族说明界的最优性，同时对非叶顶点度数受限的树给出更精细上界。
2025-11-08 math.CO math.SP
Trees with Matrix Weights: Laplacian Matrix and Characteristic-like Vertices
已知对于边权为正的树，通过Perron值和Perron分支，有另一种特征顶点的刻画。此外，具有正边权的树的代数连通度可以用Perron值来表示。在这篇文章中，我们考虑在其边缘上具有矩阵权重的树。更确切地说，我们感兴趣的树与以下类别的矩阵边权重：1。正定矩阵权，2.具有正对角元素的下（或上）三角形矩阵权重。对于具有上述矩阵边权重的树，我们定义Perron值和Perron分支。此外，我们已经证明了存在的顶点满足性质类似于性质的特征顶点的树与积极的边权重的Perron值和Perron分支，我们称这样的顶点特征样顶点。在这种情况下，Laplacian矩阵的特征值是非负的，我们得到了Laplacian矩阵的第一个非零特征值的Perron值的下界。此外，我们还计算了一棵树的拉普拉斯矩阵的Moore-Penrose逆的非奇异矩阵的权重在其边缘。
2022-03-17 math.CO
The signless Laplacian spectral radius of graphs without trees
设$Q(G)=D(G)+A(G)$是阶单图$n$的无符号拉普拉斯矩阵，其中$D(G)$和$A(G)$分别是$G$的度对角矩阵和邻接矩阵.本文给出了无树的$G$的无符号谱半径的一个精确上界，并刻画了所有达到该上界的极图，它可以看作是著名的Erdens-Sós猜想的谱极版本.
2022-09-07 math.CO
Characteristics polynomial of normalized Laplacian for trees
在这里，我们找到了树的归一化拉普拉斯算子的特征多项式。该多项式的系数由用于匹配的高阶广义Randić指数表示，其值取决于树的结构。我们还找到了星状树和双星状树$H_m(p,q)$的这些指标的表达式。此外，我们还证明了两个相同直径的共谱$H_m(p,q)$是同构的。
2015-09-17 cs.DM math.CO
On Brouwer's Laplacian conjecture
Princeton University（普林斯顿大学）
本文证明了Brouwer的Laplacian猜想，该猜想断言图Laplacian的最大k个特征值之和不超过边数加C(k+1,2)，并建立了该猜想与Grone-Merris-Bai定理的等价性。
2026-06-11 math.CO
Matrix tree theorem for the net Laplacian matrix of a signed graph
对于具有邻接矩阵$A$和净度矩阵$D^{\pm}$的简单符号图$G$，净拉普拉斯矩阵是$L^{\pm}=D^{\pm}-A$。我们引入了一个新的有向关联矩阵$N^{\pm}$，它可以跟踪符号以及$G$的每条边的方向。也叫$L^{\pm}=N^{\pm}(N^{\pm})^T$。利用这种分解，我们找到了由$L^{\pm}$的主子式表示的$G$的正生成树和负生成树的个数，推广了无符号图的矩阵树定理。我们提出了类似的结果，无符号网拉普拉斯矩阵$Q^{\pm}=D^{\pm}+A$随着其行列式的组合公式。
2023-01-30 math.CO
Proofs of two conjectures on generalizations of Brouwer's Laplacian conjecture
School of Mathematics and Statistics, Nanjing University of Science and Technology（南京理工大学数学与统计学院）；School of Mathematics, Nanjing University（南京大学数学系）
研究关于布劳威尔拉普拉斯猜想扩展的两个猜想，利用布劳威尔拉普拉斯不等式证明了Lew提出的两个关于最大拉普拉斯特征值之和上界的猜想。
2026-07-14 math.CO
On two conjectures on sum of the powers of signless Laplacian eigenvalues of a graph
设$G$是单图，$Q(G)$是$G$的无符号拉普拉斯矩阵.令$S_α(G)$为$Q(G)$的非零特征值的$α$次幂之和。本文证明了尤和杨关于二部图和有界连通图之间的$S_α(G)$极值的两个定理是错误的。
2014-08-04 math.CO
On the ordering of trees by the Laplacian coefficients
我们推广了[X. D.张X- P. Lv，Y.- H. Chen，\textit{Ordering trees by the Laplacian coefficients}，Linear Algebra Appl.（2009），doi：10.1016/j.laa.2009.04.018]关于具有给定直径的树的偏序。对于两个$n$ -顶点树$T_1$和$T_2$，如果$c_k (T_1) \leqslant c_k (T_2)$对所有拉普拉斯系数$c_k$，$k = 0, 1, ..., n$成立，我们说$T_1$被$T_2$支配，并写为$T_1 \preceq_c T_2$ .我们证明了在具有固定直径$d$的$n$顶点树中，毛虫$C_{n, d}$具有最小的拉普拉斯系数$c_k$，$k = 0, 1,..., n$。$\leqslant 18$顶点上的树的不可比对的数量，以及其他两个偏序树的例子，最近提出的Mohar无限家庭。对于每一个整数$n$，我们构造一个长度为$\frac{n^2}{4}$的$n$ -顶点树的链$\{T_i\}_{i = 0}^m$，使得对于所有$i = 0, 1,..., m - 1$，$T_0 \cong S_n$，$T_m \cong P_n$和$T_i \preceq_c T_{i + 1}$.此外，通过悬挂路长的优控制不等式，建立了星形树的偏序的刻画…
2011-04-21 math.CO
On distance and Laplacian matrices of trees with matrix weights
简单连通图$G$的\emph{distance matrix}是$D(G)=(d_{ij})$，其中$d_{ij}$是$G$中顶点$i$和$j$之间的距离。我们考虑一个在$n$顶点上的加权树$T$，其边权是相同大小的方阵。顶点$i$和$j$之间的距离$d_{ij}$是从$i$到$j$的唯一路径中的边的权重矩阵之和。本文利用矩阵加权Laplacian矩阵的秩给出了树的一个特征，然后给出了带权的距离矩阵$D$可逆的充要条件以及$D$的逆矩阵存在的条件.本文还研究了矩阵加权树的距离矩阵与Laplacian矩阵、g-逆和特征值的关系。
2017-10-27 math.CO
Proof of a conjecture on `plateaux' phenomenon of graph Laplacian eigenvalues
设$G$是一个单图. $G$的悬垂路径是这样的路径，使得其端顶点之一具有度$1$，另一端具有度$\ge3$，并且所有内部顶点具有度$2$。令$p_k(G)$为$G$的长度为$k$的悬垂路的数目，并且$q_k(G)$为具有度$\ge3$的顶点的数目，这些顶点是长度为$k$的悬垂路的端点。受树突树特征化问题的启发，N. Saito和E. Woei证明了任何图$G$都有一些Laplacian特征值，其重数至少为$p_k(G)-q_k(G)$ .我们证明了一个更一般的结果，拉普拉斯和无符号拉普拉斯特征值的猜想如下。
2016-04-07 math.CO
Another Proof of Oscar Rojo's Theorems
本文利用平衡树的对称性和Laplacian的特征函数，给出了Oscar Rojo关于平衡树上Laplacian的图谱定理的另一个证明.
2010-11-15 math.CO math.SP
Proof of a conjecture on distribution of Laplacian eigenvalues and diameter, and beyond
本文证明了一个关于连通图拉普拉斯特征值在区间[n-d+2,n]内个数不超过n-d的猜想，并完整刻画了达到边界的图，揭示了谱与经典参数的联系。
2023-06-20 math.CO
A majorization bound for the eigenvalues of some graph Laplacians
证明了图的Laplacian谱是由图的共轭度序列控制的。在本文中，我们证明了这一优势保持一类图，包括树。我们还表明，这一猜想的推广到图的Dirichlet边界条件是等价于原来的猜想。
2004-11-07 math.CO
The Laplacian $S_{n,n}$ conjecture is true
Mount Allison University（蒙特艾利森大学）
本文证明了拉普拉斯 $S_{n,n}$ 猜想在所有剩余情形下成立，即不存在具有特定拉普拉斯谱的简单图，填补了此前证明的空白。
2026-09-24 math.CO
Bilinear matrix equation characterizes Laplacian and distance matrices of weighted trees
由代数图论可知，若$L$是某棵树$G$的拉普拉斯矩阵，其顶点度序列为$\mathbf{d}=(d_1, ..., d_n)^\top$，$D$是它的距离矩阵，则有$LD+2I=(2\cdot\mathbf{1}-\mathbf{d})\mathbf{1}^\top$，其中$\mathbf{1}$是全一列向量.我们证明了如果这个矩阵恒等式对某个具有度序列$\mathbf{d}$的图$G$的拉普拉斯矩阵和某个矩阵$D$成立，则$G$本质上是一棵树，而$D$是它的距离矩阵.这个结果立即推广到加权图。如果矩阵$D$是对称的，则该矩阵单位元的下三角部分是冗余的并且可以被省略。因此，$L$、$D$和$\mathbf{d}$中的上述双线性矩阵方程根据树的拉普拉斯矩阵和距离矩阵来表征树。应用极值图论（特别是拓扑指数优化和最优树问题）和道路拓扑设计进行了讨论。
2021-01-22 cs.DM math.CO
The normalized Laplacian, degree-Kirchhoff index and spanning trees of graphs derived from the strong prism of linear polyomino chain
设$B_n$是具有$n$正方形的线性多角链。设$B_n^2$是线性多角链与$n$平方的强棱柱所得到的图，即$K_2$与$B_n$的强积.本文给出了$B^2_n$的度Kirchhoff指标和生成树个数的显式表达式。此外，有趣的是发现$B^2_n$的度-Kirchhoff指数几乎是其Gutman指数的八分之一。
2020-08-17 math.CO
On Distribution of Laplacian Eigenvalues of Graphs
本文主要研究了图的Laplacian矩阵、归一化Laplacian矩阵、无符号Laplacian矩阵和距离无符号Laplacian矩阵的特征值。在第一章中，我们对谱图理论做了一个简单的介绍，并给出了一些定义。第四章$2$讨论了图$ k $的最大拉普拉斯特征值$ S_{k}(G) $和问题以及Brouwer猜想。我们得到了几类图的$ S_{k}(G) $的上界，并用它们来验证Brouwer猜想。此外，我们证明了更一般的类图的布劳威尔猜想。在$3$章中，我们研究了图的拉普拉斯特征值和树的拉普拉斯能量猜想。证明了直径为$ 4 $的树的Laplacian能量猜想。此外，我们证明了这一猜想的所有树有最多$ \frac{9n}{25}-2 $非悬挂顶点。同时，我们还得到了$ n $阶树猜想为真的充分条件。在第$4$章中，我们确定了正则图的并图的正规化Laplacian谱，并得到了一些著名图的谱。作为联合并的结果，我们得到了有限循环群的幂图的归一化拉普拉斯谱。在第二章PDMATHAMV中，我们给出了有限交换环上正则图和零因子图的距离无符号Laplacian谱。同时，我们还得到了广义距离矩阵的谱半径的界。进一步，我们得到了二部图和二部树的广义距离能量。证明了在所有连通二部图中，完全二部图具有最小广义距离能量。此外，对于$ α\in \big(0, \frac{2n}{3n-2}\big) $，我们…
2021-07-19 math.CO math.GR math.RA
On a conjecture for the signless Laplacian spectral radius of cacti with given matching number
一个连通图$G$是一个仙人掌，如果它的任何两个圈最多有一个公共顶点。设$\ell_n^m$是$n$顶点上的仙人掌的集合，其匹配数为$m.$ S. C。Li和M. J. Zhang用$n=2m$确定了$\ell_n^m$中所有仙人掌中具有最大无符号拉普拉斯谱半径的唯一图.在本文中，我们刻画的情况下$n\geq 2m+1$。这证实了Li和Zhang（S.C. Li，M. J. Zhang，On the signless Laplacian index of Cacti with a given number of pendant vetices，线性代数应用436，2012，4400--4411）.进一步，我们刻画了在$n$顶点上所有仙人掌中具有最大无符号拉普拉斯谱半径的唯一图.
2015-11-21 math.CO
The Equality Cases For the Laplacian Conjecture of Brouwer
School of Mathematical Sciences, MOE-LSC, SHL-MAC, Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学数学科学学院）
研究布劳威尔拉普拉斯猜想，通过证明特定条件下等式成立的充要条件是图为团数为\(k + 1\)的阈值图，证实了相关猜想。
2026-08-11 math.CO
The Laplacian energy of random graphs
Gutman {\it等人}引入了简单图$G$的能量$\En(G)$和Laplacian能量$\EnL(G)$的概念，并进一步提出了一个猜想：对每个图$G$，$\En(G)$不大于$\EnL(G)$.不幸的是，该猜想被证明是不正确的，因为刘{\it et al.}和Stevanović {\it et al.}构建反例。然而，因此{\it et al.}验证了关于二部图的猜想。本文给出了随机图的Laplacian能量的上下界，并证明了这个猜想对几乎所有的图都成立。
2009-10-10 math.CO
On the Brouwer-type Conjecture for Signless Laplacian Eigenvalues of Graphs
School of Mathematical Sciences, Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学数学科学学院）；Shanghai Innovation Institute（上海创新研究院）
本文证明了关于图的无符号拉普拉斯特征值之和的Brouwer型猜想，并刻画了等号成立的条件，方法上对分裂图与非分裂图分别采用块矩阵性质和谱子结构。
2026-09-28 math.CO
Spanning trees and signless Laplacian spectral radius in graphs
本文研究连通图中生成树的叶度与无符号拉普拉斯谱半径的关系，给出保证存在叶度至多为 $k$ 的生成树的谱半径充分条件，并构造极值图证明所得界均为紧。
2024-06-11 math.CO
On a conjecture for the signless Laplacian eigenvalues
设$G$是一个具有$n$顶点和$e(G)$边的简单图，$q_1(G)\geq q_2(G)\geq\cdots\geq q_n(G)\geq0$是$G.$的无符号Laplacian特征值。设$S_k^+(G)=\sum_{i=1}^{k}q_i(G),$，其中$k=1, 2, \ldots, n.$ F. Ashraf等人证明了$S_k^+(G)\leq e(G)+\binom{k+1}{2}$对$k=1, 2, \ldots, n.$的猜想。本文给出了$S_k^+(G),$的各种上界，并证明了这个猜想对下列情形成立：具有足够大$k,$的连通图，当$k\neq 3.$
2013-06-01 math.CO
On Laplacian like energy of trees
设$G$是一个简单无向$n$ -顶点图，其Laplacian矩阵$L(G)$的特征多项式为$\det (λI - L (G))=\sum_{k = 0}^n (-1)^k c_k λ^{n - k}$ .图的类拉普拉斯能量是新近提出的图不变量，定义为图的拉普拉斯特征值的平方根之和。对于二部图，类拉普拉斯能量与最近定义的图的入射能量$IE (G)$一致。在[D. Stevanovi c，\textit{Laplacian--like energy of trees}，MATCH Commun.数学。计算。61（2009），407- 417.]本文引入了一种基于Laplacian系数的图的偏序。指出了原证明的错误，并以Laplacian Estrada指数为例说明了错误。进一步，我们找到了以$n$阶对称多项式的导数为元素的Jacobian矩阵的逆矩阵，并给出了以下事实的一个初等证明：设$G$和$H$是两个$n$ -顶点图，如果对于拉普拉斯系数，$c_k (G) \leqslant c_k (H)$对$k = 1, 2, ..., n - 1$成立，则$LEL (G) \leqslant LEL (H)$ .此外，我们推广了这一定理，并提供了一个必要条件的函数满足偏序基于拉普拉斯系数。
2011-03-24 math.CA math.CO
An endpoint exception to a conjectured equality characterization for Laplacian eigenvalue products
本文构造了八个顶点的反例，反驳了关于拉普拉斯特征值乘积的猜想等式刻画，这些反例出现在端点$k=3n/4$并扩展至无限族，但不影响原猜想的数值不等式。
2026-09-16 math.CO
On the Laplacian spread of digraphs
在这篇文章中，我们扩展的概念的拉普拉斯蔓延到简单的有向图（有向图）使用限制的数值域。首先，我们提供了几个家庭的有向图的拉普拉斯传播值。然后，我们证明了尖锐的上界的拉普拉斯蔓延的多边形和平衡有向图。特别地，我们证明了平衡有向图的拉普拉斯扩散界的有效性等价于简单无向图的拉普拉斯扩散猜想，该猜想于2011年提出并于2021年得到证明。此外，我们还证明了权介于$0$和$1$之间的加权平衡有向图的一个等价命题。最后，我们陈述了几个由经验数据驱动的开放式模型。
2022-06-30 math.CO
Edge-grafting theorems on permanents of the Laplacian matrices of graphs and their applications
研究了具有最小Laplacian永久式的$n$顶点上的树和单圈图.本文利用边嫁接变换，确定了具有第二和第三小Laplacian积和式的给定二分划的$n$ -顶点树.同样地，给出了具有第一、第二和第三小Laplacian永久式的给定二分划的$n$ -顶点二部单圈图的刻画.从而确定了具有第一、第二和第三小Laplacian永久式的$n$ -顶点二部单圈图。
2012-06-20 math.CO
Counterexamples to a Conjecture on Laplacian Ratios of Trees
Indian Institute of Technology Indore（印度理工学院印多尔分校）
本文通过构造无限族反例，推翻了关于树的拉普拉斯比最大值的猜想，研究了树的拉普拉斯矩阵永久与顶点度数乘积的比值问题。
2026-05-13 cs.DM math.CO
Generalized Matrix polynomials of Tree Laplacians indexed by Symmetric functions and the GTS poset
本文利用任意对称函数定义矩阵的广义矩阵函数，并将树拉普拉斯矩阵多项式系数在GTS偏序集上的不等式从Schur函数推广到单项式和被遗忘对称函数情形。
2019-12-06 math.CO
