On Brouwer's Laplacian conjecture
Princeton University（普林斯顿大学）
本文证明了Brouwer的Laplacian猜想，该猜想断言图Laplacian的最大k个特征值之和不超过边数加C(k+1,2)，并建立了该猜想与Grone-Merris-Bai定理的等价性。
2026-06-11 math.CO
More on the full Brouwer Laplacian spectrum conjecture
本文给出完整 Brouwer Laplacian 谱猜想的简洁表述，证明其对完全分裂图的两类生成子图及 c=0,1,2 的 c-循环图成立，并探讨其 Nordhaus–Gaddum 型问题。
2025-03-14 math.CO
Brouwer's conjecture holds asymptotically almost surely
我们证明了，对于随机图序列，当顶点数趋于无穷大时，Brouwer猜想的概率趋于1。令人惊讶的是，发现类似的陈述也适用于可能具有负权重的加权图。对于顶点数固定的图，这个结果意味着存在常数$C>0$和$n_{0}$，使得如果$n\geq n_{0}$，则在所有顶点数为$n$的$2^{n \choose 2}$图中，至少有$\left(1-\exp\left(-Cn\right)\right)2^{n \choose 2}$图满足Brouwer猜想.
2019-06-12 math.CO
Proofs of two conjectures on generalizations of Brouwer's Laplacian conjecture
School of Mathematics and Statistics, Nanjing University of Science and Technology（南京理工大学数学与统计学院）；School of Mathematics, Nanjing University（南京大学数学系）
研究关于布劳威尔拉普拉斯猜想扩展的两个猜想，利用布劳威尔拉普拉斯不等式证明了Lew提出的两个关于最大拉普拉斯特征值之和上界的猜想。
2026-07-14 math.CO
Proof of Brouwers Conjecture (BC) for all graphs with number of vertices n > n_0 assuming that BC holds for n< n_0 for some n_0
在假设小图满足Brouwers猜想的前提下，证明了所有顶点数大于某个固定阈值n_0的图也满足该猜想。
2025-04-22 math.CO
A proof of Haemers' toughness conjecture
Division of Mathematical Sciences Nanyang Technological University（南洋理工大学数学科学部）
本文证明了连通图的韧性下界与拉普拉斯特征值的关系，提出韧性下界为μ₂/(μ_n-δ)。
2026-05-15 math.CO
The Equality Cases For the Laplacian Conjecture of Brouwer
School of Mathematical Sciences, MOE-LSC, SHL-MAC, Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学数学科学学院）
研究布劳威尔拉普拉斯猜想，通过证明特定条件下等式成立的充要条件是图为团数为\(k + 1\)的阈值图，证实了相关猜想。
2026-08-11 math.CO
Spectral threshold dominance, Brouwer's conjecture and maximality of Laplacian energy
图的拉普拉斯能量是图的拉普拉斯矩阵的特征值到图的平均度的距离之和。对于阈值图，证明了在$n$节点和$m$边上的所有图的最大Laplacian能量.我们证明了猜想持有的性质，对于每个$k$有一个阈值图上的相同数量的节点和边缘的总和的$k$最大拉普拉斯特征值超过了图的$k$最大拉普拉斯特征值的图。我们称这样的图为谱阈值支配图。这些图包括分裂图和余图，谱阈值优势通过不交并和取补来保持。我们猜想所有的图都是谱阈值控制的。这个猜想原来是等价于布劳威尔的猜想有关的限制总和的$k$最大的拉普拉斯特征值。
2016-04-26 math.CO
On the Brouwer-type Conjecture for Signless Laplacian Eigenvalues of Graphs
School of Mathematical Sciences, Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学数学科学学院）；Shanghai Innovation Institute（上海创新研究院）
本文证明了关于图的无符号拉普拉斯特征值之和的Brouwer型猜想，并刻画了等号成立的条件，方法上对分裂图与非分裂图分别采用块矩阵性质和谱子结构。
2026-09-28 math.CO
Constraints on Brouwer's Laplacian Spectrum Conjecture
Brouwer猜想指出，对于任何图$G$，$k$的最大（组合）拉普拉斯特征值之和至多为$|E(G)| + \binom{k+1}{2}$，$1 \leq k \leq n$。我们提出了几个相互关联的结果建立Brouwer猜想$\text{BC}_k(G)$的广泛的图$G$和参数$k$。特别地，我们证明了：（1）当$k \geq 11$时，$\text{BC}_k(G)$对低荫度图成立，特别是对平面$G$成立;（2）当度序列的方差不是很高时，$\text{BC}_k(G)$成立，推广了以前关于$G$正则或随机的结果;（3）$\text{BC}_k(G)$为真，如果$G$属于遗传谱有界类并且$k$作为$k$的函数足够大，特别是二分图的$k \geq \sqrt{32n}$;（4）$\text{BC}_k(G)$成立，除非$G$与分裂图具有边编辑距离$< k \sqrt{2n} = O(n^{3/2})$;（5）没有$G$违反所述上界超过$O(n^{5/4})$，二分图的$G$违反所述上界不超过$O(n)$ ;以及（6）$\text{BC}_k(G)$对长度为$O(n^{3/4})$的区间之外的所有$k$成立。此外，我们提出了一个令人惊讶的否定结果：渐近几乎必然地，一个均匀的随机符号完全图违反了$Ω(n)$的约束界。
2020-03-06 math.CO
A Conjectural Brouwer Inequality for Higher-Dimensional Laplacian Spectra
我们提出了一个推广的Brouwer的代数家庭的不等式-一个流行的家庭的不等式在谱图论中的边界的拉普拉斯特征值的部分和的图形-的情况下，抽象的单纯复形的任何尺寸。我们证明了这一系列的不等式持有移位单纯复形，推广阈值图，并给出更严格的界限（线性的复杂的尺寸）单纯树。我们证明了猜想持有的第一，第二，最后部分和所有单纯复形，推广了许多已知的证明图的情况下，单纯复形。我们还证明了对于维数至少为t且匹配数大于$t$的单纯复形，该猜想对第t个部分和成立.回到图的特殊情况下，我们扩大一个已知的证明表明，布劳威尔猜想成立与平等的第t个部分和，其中t是最大团大小的图减去一（或，等价地，锥顶点的数量）。在此过程中，我们开发的机械可能会进一步深入了解相关的长期存在的问题。
2019-07-17 math.CO
A maximum matching based refinement of Brouwers conjecture
IIT Bhubaneswar（印度理工学院布巴内斯瓦尔分校）
本文通过匹配数改进Brouwer猜想的成立范围，证明当k不超过匹配数一半时猜想成立，并应用于完美匹配图，同时给出基于补图的等价验证条件。
2026-09-14 math.CO
Vizing's 2-factor Conjecture Involving Toughness and Maximum Degree Conditions
设$G$是简单图，$Δ(G)$和$χ'(G)$分别表示$G$的最大度和色指数. Vizing证明是$χ'(G)=Δ(G)$或$Δ(G)+1$。如果对$G$的每个真子图$H$，$χ'(G)=Δ+1$和$χ'(H)<χ'(G)$都成立，则称$G$是$Δ$ -临界的. 1968年，Vizing证明了如果$G$是一个$Δ$ -临界图，那么$G$有一个2-因子.设$G$是$n$ -顶点$Δ$ -临界图.证明了如果$Δ(G)\ge n/2$，则$G$有2-因子;如果$Δ(G)\ge 2n/3+12$，则$G$有一个哈密顿循环，因此有2-因子。众所周知，每一个至少有三个顶点的2-坚韧图都有一个2-因子。我们研究了在给定韧性和最大度的条件下，$Δ$临界图中2-因子的存在性。特别地，我们证明了如果$G$是一个$n$ -顶点$Δ$ -临界图，其韧性至少为3/2，最大度至少为$n/3$，则$G$有一个2-因子.此外，我们开发了新的技术，证明存在的2-因子的图。
2017-09-05 math.CO
Toughness in regular graphs from eigenvalues
School of Mathematics and Statistics, Zhengzhou University（郑州大学数学与统计学院）；School of Finance and Business, Shanghai Normal University（上海师范大学金融商学院）
本文通过特征值分析，证明了连通正则图的 toughness 与特征值之间的关系，并给出了相关上界和构造，强化了已有结论。
2025-12-12 math.CO
A Proof of Atanassov's Conjecture and Other Generalizations of Sperner's Lemma
给出了Atanassov猜想的一个简单证明。阿塔纳索夫猜想是Sperner引理的推广，Sperner引理已被用于证明Brouwer不动点定理，以及其他不动点定理。Atanassov猜想的证明是基于映射的Brouwer度，并且是非常初等的。它比原来的证明简单得多的猜想，并提供了一些洞察性质的猜想。最后给出了一个类似于原Sperner引理的新定理。
2018-05-22 math.CO
Toughness Bounds for Fractional Hamiltonicity and Resistance Positivity
Louisiana State University（路易斯安那州立大学）
本文通过构造非哈密顿弦生成超图，结合弦图的哈密顿性定理，证明10-韧性图为分数哈密顿图，进而证实Devriendt关于10-韧性图为电阻正图的猜想，同时构造出韧性接近3/2的非电阻非负图。
2026-09-04 math.CO
Hamiltonian cycles in 7-tough $(P_3\cup 2P_1)$-free graphs
不完全图$G$的韧性是最大实数$t$，使得对于$G$的每个割集$S$，$|S|$与$G-S$的分量数之比至少为$t$，并且完全图的韧性被定义为$\infty$。确定给定图的韧性是NP困难的。Chvátal的韧性猜想，指出存在一个常数$t_0$，使得任何韧性至少为$t_0$的图都是Hamilton的，对于一般图仍然是开放的。一个图称为无$(P_3\cup 2P_1)$的，如果它不包含任何同构于$P_3\cup 2P_1$的导出子图，即$P_3$与两个孤立点的不交并.本文证明了Chvátal关于无$(P_3\cup 2P_1)$图的坚韧性猜想，证明了至少有三个顶点的无7-坚韧$(P_3\cup 2P_1)$图是Hamilton图.
2021-07-18 math.CO
Remarks on the Brouwer Conjecture
本文证明了当顶点数不小于最大顶点度数平方的4倍时，Brouwer猜想对所有图成立，并指出图的猜想可推出 quiver 的猜想。
2025-08-13 cs.DM math.CO
Characterizing the equality case in Brouwer's inequality for Laplacian eigenvalues
School of Mathematics & Center for Applied Mathematics of Guangxi, Guangxi University（广西大学数学与广西应用数学中心）
研究刻画拉普拉斯特征值的布劳威尔不等式中等式情形，核心方法是依赖科塔里和图多塞的投影方法，主要贡献是得出等式成立当且仅当图为团数为\(k + 1\)的阈值图，为完整布劳威尔猜想提供完整解决方案。
2026-07-21 math.CO
Triangle-Free Graphs of Toughness Approaching Two Without a 2-Factor
Auburn University（奥本大学）
本文证实了Bauer等人1996年的猜想，构造出坚韧度趋近于2且不含2-因子的无三角形图，说明存在2-因子的阈值2在无三角形图类中仍为最优界限。
2026-08-17 math.CO
On a conjecture of Brouwer involving the connectivity of strongly regular graphs
本文研究了Andries E. Brouwer于1996年提出的关于强正则图的最小顶点数的一个概念，该图的顶点数的去除使图断开为非单点分量。我们表明，强正则图构造的共极空间和更一般的空间称为$Δ$ -空间是反例布劳威尔猜想。使用J.I. Hall关于有限约化余极空间的刻画，我们发现三角图$T(m)$，域$\mathbb{F}_q$上的辛图$Sp(2r,q)$（对于任何$q$素幂），以及域$\mathbb{F}_2$上由双曲型二次图$O^{+}(2r,2)$和椭圆型二次图$O^{-}(2r,2)$分别构造的强正则图都是Brouwer猜想的反例.对于这些图中的每一个，我们精确地确定了顶点的最小数量，其删除断开图成非单例组件。虽然我们不知道一个类似的霍尔的特征定理$Δ$ -空间，我们证明了补充的点图的某些有限广义四边形的点图的$Δ$ -空间，从而产生其他反例布劳威尔猜想。本文证明了Brouwer猜想对许多强正则图族都成立，包括会议图、广义四边形$GQ(q,q)$图、格图、拉丁方图、最小特征值为-2的强正则图（三角图除外）和顶点数不超过30的本原强正则图，除少数情况外.我们离开作为一个开放的问题，确定最好的一般下界的最小尺寸的一个断开的顶点集的强正则图，其删除断开的图形成非单例组件。
2012-01-11 cs.DM math.CO
Every $2k$-connected $(P_2\cup kP_1)$-free graph with toughness greater than one is hamiltonian-connected
针对 Shi–Shan Hamilton 性猜想已获证实的背景，本文证明更强结论：韧度大于一的 $2k$-连通 $(P_2\cup kP_1)$-无关图必为 Hamilton 连通。
2025-03-17 math.CO
On a distance Laplacian analog of Brouwer's conjecture for several classes of graphs
College of Information Science and Technology, Jinan University（信息科学与技术学院，暨南大学）
本文证明了Zhou等人提出的距离拉普拉斯矩阵特征值部分和的Brouwer猜想对于直径有界图、直径2图（除少数例外）和最大度接近n的图成立。
2026-06-05 math.CO
l-connectivity, l-edge-connectivity and spectral radius of graphs
本文研究了简单图的l-连通性、l-边连通性与谱半径之间的联系，并探讨了有向图及边版本的类似问题，是对正则图基于第二大绝对特征值下界研究的拓展。
2023-09-11 math.CO
A partial proof of the Brouwer's conjecture
本文针对Brouwer猜想（图的k个最大Laplacian特征值之和不超过m+组合数）给出部分证明，在特定边数和顶点数范围及k区间内验证其成立，并推广至更一般条件。
2024-12-17 math.CO math.SP
An approximate version of Brouwer's Laplacian conjecture
Faculty of Mathematics, Technion Israel Institute of Technology（以色列理工学院数学系）
本文提出了一种改进的Brouwer拉普拉斯猜想近似版本，通过研究拉普拉斯矩阵的特征值和图的结构，得出了关于εₖ(G)的更精确上界，并验证了在特定图条件下该上界的紧性。
2026-01-24 math.CO
A strengthening of a degree sequence condition for Hamiltonicity in tough graphs
本文推广Chvátal的经典结果，验证了Hoàng提出的哈密顿性度序列猜想在所有t≥4的t-坚韧图中成立，证明基于此前建立的t≥4的坚韧度闭包引理，同时指出该引理在t=1时不成立。
2025-03-18 math.CO
Properties of minimally $t$-tough graphs
一个图$G$是最小$t$ -tough的，如果$G$的韧性是$t$，并且从$G$删除任何边都会降低韧性。Kriesell证明了对每一个极小$1$ -坚韧图，最小度$δ(G)=2$ .我们证明了在每一个极小$1$ -坚韧图$δ(G)\le\frac{n+2}{3}$中.证明了极小$1$ -坚韧无爪图是圈。另一方面，我们证明了对于每个$t \in \mathbb{Q}$，任何图都可以作为诱导子图嵌入到极小$t$ -坚韧图中。
2017-08-11 math.CO
On a lower bound for the Laplacian eigenvalues of a graph
若$μ_m$和$d_m$分别表示图的第$m$个最大拉普拉斯特征值和第$m$个最大顶点度，则有$μ_m \geqslant d_m-m+2$ .这个不等式在2007年由郭文贵提出，并在2008年由Brouwer和Haemers证明。布劳威尔和海默斯给出了几个例子，图实现平等，但一个完整的特征没有给出。本文研究满足$μ_m = d_m-m+2$的图的特征问题。特别地，我们给出了具有$μ_m = d_m-m+2 \leqslant 1$的图的完全分类。
2017-07-26 math.CO
On minimally 1-tough $(K_1\cup P_4)$-free graphs
School of Mathematics and Statistics, Shandong Normal University（山东师范大学数学与统计学院）
研究极小\(1 -\)坚韧的无\((K_1\cup P_4)\)图，通过刻画其结构，证明了无\((K_1\cup P_4)\)的\(1 -\)坚韧图是哈密顿图的猜想，以及极小\(1 -\)坚韧图有\(2 -\)度顶点的Kriesell猜想对该类图成立。
2026-07-09 math.CO
Toughness and the existence of tree-connected $\{f,f+k\}$-factors
设$G$是一个图，$f$是$V(G)$上满足$2m\le f\le b$的正整数值函数，其中$b$和$m$是两个正整数，且满足$b\ge 4m^2$ .在本文中，我们表明，如果$G$是$b^2$ -tough和$|V(G)|\ge b^2$，那么它有一个$m$ -树连通因子$H$，使得对于每个顶点$v$，$$d_H(v)\in \{f(v), f(v)+1\}.$$接下来，我们推广了这个结果，给出了一个强硬的图有一个树连通因子$H$，使得对于每个顶点$v$，$d_H(v)\in \{f(v), f(v)+k\}$。作为应用，我们证明了每一个阶至少为$b+1$且具有$ab|V(G)|$的$64b(b-a)^2$ -坚韧图$G$甚至允许一个度在$\{a,b\}$集合中的连通因子，其中$a$和$b$是两个具有$2\le a< b < \frac{6}{5}a$的整数.此外，我们证明了每一个$16$ -坚韧图$G$的顺序至少为3承认$2$ -连接的因素，其程度在于在集合$\{2,3\}$，如果$G$有一个$2$ -因素的围长至少为5。这个结果证实了Chvátal（1973）提出的一个长期猜想的一个较弱版本。
2022-05-22 math.CO
The minimum degree of minimally $t$-tough graphs
一个图$ G $是最小$ t $ -坚韧的，如果$ G $的韧性是$ t $，并且从$ G $删除任何边都会降低其韧性。Katona等人证明了极小$ t $ -坚韧图的最小度是$ \lceil 2t\rceil $，并给出了\cite{Katona, Gyula}中极小$ t $ -坚韧图的最小度的上界.本文证明了具有围长$ g\geq 5 $的极小1-坚韧图$ G $的最小度至多为$ \lfloor\frac{n}{g+1}\rfloor+g-1$，具有围长$ 4 $的极小$ 1 $ -坚韧图的最小度至多为$ \frac{n+6}{4}$ .我们还证明了极小$\frac{3}2$ -坚韧无爪图的最小度是$ 3 $。
2022-06-18 math.CO
Hamiltonian cycles in tough $(P_2\cup P_3)$-free graphs
设$t>0$为实数，$G$为图.如果对于$G$的每个割集$S$，$|S|$与$G-S$的分量数之比至少为$t$，则我们说$G$是$t$ -tough的。确定任意图的韧性是一个NP-难问题。Chvátal的韧性猜想，即存在一个常数$t_0$使得每个至少有三个顶点的$t_0$ -坚韧图是Hamilton图，在一般情况下仍然是开的.一个图称为$(P_2\cup P_3)$ -free，如果它不包含任何同构于$P_2\cup P_3$的导出子图，$P_2\cup P_3$是两个顶点不相交的2阶和3阶路的并集。本文证明了至少有三个顶点的15-tough无$(P_2\cup P_3)$图是Hamilton图。
2019-01-08 math.CO
A proof of the maximum Laplacian energy conjecture for connected graphs via a sharp eigenvalue-sum bound
通过证明一个尖锐的拉普拉斯特征值求和界，解决了关于连通图最大拉普拉斯能量的猜想，并确定了唯一极值图。
2026-09-09 math.CO
On the existence of minimally tough graphs having large minimum degrees
本文构造最小度接近三倍韧度的非正则无爪最小 t-韧度图，推翻平面图及线图情形下的推广 Kriesel 猜想，并补充相关度上界结果。
2025-05-13 math.CO
Convex functions on graphs: Sum of the eigenvalues
设$G$是一个具有拉普拉斯矩阵$L(G)$的简单图，$e(G)$是$G$的边数。Brouwer的一个猜想和Grone和Merris的一个猜想指出，$G$的$k$最大拉普拉斯特征值之和最多分别是$e(G)+\binom{k+1}{2}$和$\sum_{i=1}^{k}d_{i}^{*}$，其中$(d_{i}^{*})_{i}$是度序列$(d_i)_{i}$的共轭。我们将这些图推广到加权图和对称矩阵。此外，在其他结果中，我们表明，在一定的假设下，凹上界的对称实矩阵的凸函数是等价的凹上界的$(0,1)$矩阵的凸函数。
2018-09-12 math.CO
A new characterization of the dual polar graphs
本文给出了对偶极图的一个新的刻画，推广了Brouwer和Wilbrink关于正则近多边形的工作.此外，作为我们的表征的结果，我们证实了作者的一个猜想的最小特征值在最$-k/2$，其中$k$是距离正则图的价，在$c_2 \geq3$和$a_1 =1$的情况下，非二分距离正则图。
2017-11-17 math.CO
On the eigenvalues of Grassmann graphs, Bilinear forms graphs and Hermitian forms graphs
最近，Brouwer，Cioabbirth，Ihringer和McGinnis得到了一些新的结果，涉及到各种图的结合方案的特征值，并提出了一些与Grassmann图，双线性型图和Hermitian型图的特征值有关的定理.在本文中，我们证明了他们的一些结构。
2021-02-19 cs.DM math.CO
On the minimum degree of minimally $ t $-tough, claw-free graphs
本文研究极小 $ t $-坚韧无爪图的最小度，针对 $ t\geq 2 $ 情形给出了最小度的上界，推进了 Katona 等人的猜想。
2023-11-15 math.CO
On Distribution of Laplacian Eigenvalues of Graphs
本文主要研究了图的Laplacian矩阵、归一化Laplacian矩阵、无符号Laplacian矩阵和距离无符号Laplacian矩阵的特征值。在第一章中，我们对谱图理论做了一个简单的介绍，并给出了一些定义。第四章$2$讨论了图$ k $的最大拉普拉斯特征值$ S_{k}(G) $和问题以及Brouwer猜想。我们得到了几类图的$ S_{k}(G) $的上界，并用它们来验证Brouwer猜想。此外，我们证明了更一般的类图的布劳威尔猜想。在$3$章中，我们研究了图的拉普拉斯特征值和树的拉普拉斯能量猜想。证明了直径为$ 4 $的树的Laplacian能量猜想。此外，我们证明了这一猜想的所有树有最多$ \frac{9n}{25}-2 $非悬挂顶点。同时，我们还得到了$ n $阶树猜想为真的充分条件。在第$4$章中，我们确定了正则图的并图的正规化Laplacian谱，并得到了一些著名图的谱。作为联合并的结果，我们得到了有限循环群的幂图的归一化拉普拉斯谱。在第二章PDMATHAMV中，我们给出了有限交换环上正则图和零因子图的距离无符号Laplacian谱。同时，我们还得到了广义距离矩阵的谱半径的界。进一步，我们得到了二部图和二部树的广义距离能量。证明了在所有连通二部图中，完全二部图具有最小广义距离能量。此外，对于$ α\in \big(0, \frac{2n}{3n-2}\big) $，我们…
2021-07-19 math.CO math.GR math.RA
Spectral conditions of pancyclicity for t-tough graphs
本研究围绕图韧性与循环结构的关系，针对t∈{1;2;3}的t-坚韧图，从边数、谱半径和无符号拉普拉斯谱半径角度证实了Bondy提出的哈密顿条件可推泛圈性的元猜想。
2024-06-24 cs.DM math.CO
Long Cycles in 2-Connected Tough Graphs
Auburn University（奥本大学）
本文证实了Broersma等人关于2-连通坚韧图周长下界的猜想，证明其周长至少为对数阶，方法结合Win的生成树定理与树深度界。
2026-09-14 math.CO
A proof of the Ryser-Brualdi-Stein conjecture for large even $n$
本文证明了对足够大的偶数 $n$，每个 $n$ 阶拉丁方都含有 $n-1$ 个单元格的横截线，从而解决了 Ryser-Brualdi-Stein 猜想的大偶数情形，并将方法应用于 Steiner 三元系匹配问题，证明了 Brouwer 1981 年猜想。
2023-10-30 math.CO
New bounds for Ryser's conjecture and related problems
$n$阶的拉丁方是填充有$n$符号的$n \times n$阵列，使得每个符号在每行或每列中仅出现一次，并且横截是不共享相同行、列或符号的单元的集合。对拉丁方的研究可以追溯到200多年前欧拉的工作。这一领域最著名的开放问题之一是60年代Ryser-Brualdi-Stein提出的一个猜想，该猜想认为每个$n\times n$阶的拉丁方都包含一个$n-1$阶的横截。本文证明了$n-O(\log{n}/\log{\log{n}})$阶断面的存在性，改进了Hatami和Shor关于$n-O(\log^2n)$阶断面的著名界.我们的方法（不同于Hatami-Shor的方法）是相当普遍的，并给出了其他几个应用程序。我们得到了一个新的下界40岁的猜想Brouwer的最大匹配Steiner三元系，表明每一个这样的系统的顺序$n$是保证有一个匹配的大小$n/3-O(\log{n}/\log{\log{n}})$。这实质上改进了Alon、Kim和Spencer的具有$n^{1/2+o(1)}$阶误差项的当前最佳结果。最后，我们还表明，$O(n\log{n}/\log{\log{n}})$许多符号在拉丁数组足以保证一个完整的横向，提高以前已知的界$n^{2-\varepsilon}$。证明以一种新的方式结合半随机方法与强大的扩展性能的边缘着色伪随机图显示存在的彩虹匹配覆盖所有，但$O(\log n/\…
2020-05-25 math.CO
Partition density, star arboricity, and sums of Laplacian eigenvalues of graphs
该研究提出图的划分密度概念，通过分析满足划分密度小于k的图的星森林分解性质，证明了Brouwer关于图拉普拉斯前k个特征值和上界猜想的弱版本，并给出了含最大匹配数的另一上界。
2024-10-06 math.CO
Constructions of minimally $t$-tough regular graphs
本文构造了奇数阶4-正则图和阶为3k+1的6-正则图族，证明存在其他最小t-坚韧正则图不满足广义Kriesell猜想，从而肯定回答了Zheng和Sun提出的问题。
2024-12-17 math.CO
On the connectivity of graphs in association schemes
设$(X,\mathcal{R})$是一个交换结合方案，$Γ=(X,R\cup R^\top)$是一个连通无向图，其中$R\in \mathcal{R}$ . Godsil（分别为，Brouwer）证实了边连通度（分别，$Γ$的顶点连通性）等于其化合价。在本文中，我们证明了删除任何顶点的邻域留下最多一个非单例组件。两个顶点$a,b\in X$在$Γ$中被称为“孪生”，如果它们有相同的邻域：$Γ(a)=Γ(b)$。我们的特点双胞胎在多项式关联计划，并表明，在没有双胞胎，删除任何顶点和它的邻居在$Γ$的结果在一个连通图。使用此工具和其他工具，我们找到了$Γ$的连通性的下界，特别是在$Γ$直径为2的情况下。在这些结果的应用中，我们发现，在对称结合方案中，唯一允许大小为2的不连通集的连通关系是那些普通的多边形。
2017-09-21 math.CO
Hamiltonicity of $1$-tough $(P_2\cup kP_1)$-free graphs
给定一个图$H$，如果$G$不包含作为导出子图的$H$，则图$G$是无$H$的.对于正实数$t$，称一个非完全图$G$是$t$ -tough的，如果对$G$的每个点割$S$，$|S|$与$G-S$的分支数之比至少为$t$ .一个完整的图被称为$t$ -tough，对于任何$t>0$都是如此。Chvátal的坚韧性猜想，指出存在一个常数$t_0$使得每个至少有三个顶点的$t_0$ -坚韧图是Hamilton的，一般来说仍然是开放的。Chvátal和Erdös \cite{CE}证明了，对任意整数$k\ge 1$，每个至少有三个顶点的$\max\{2,k\}$ -连通无$(k+1)P_1$图是Hamilton图.根据Chvátal-Erdös定理，Shi和Shan证明了对任意整数$k\ge 4$，每个至少有三个顶点的$4$ -tough $2k$ -connected $(P_2\cup kP_1)$ -free图都是Hamilton图，并提出了对任意整数$k\ge 1$，任意$1$ -tough $2k$ -connected $(P_2\cup kP_1)$ -free图都是Hamilton图的猜想.在本文中，我们证实了这个猜想，并进一步证明，如果$k\ge 3$，那么条件“$2k$ -连通”可以减弱为“$2(k-1)$ -连通”。作为直接结果，对于任何整数$k\ge 3$，每个$…
2023-03-20 math.CO
Thinning and sprinkling: from robust sampling to almost Hamiltonicity
ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）
本文提出稀疏化-喷洒技术，证明坚韧图等图类的随机子图保持鲁棒性，并据此构造几乎哈密顿圈，解决Chvátal和Lovász的长期猜想。
2026-09-25 math.CO
Sharp Bounds on the Eigenvalues of Kikuchi Graphs and Applications to Quantum Max Cut
NYU（纽约大学）；Princeton（普林斯顿大学）；Stanford（斯坦福大学）
本文证明了Kikuchi图的拉普拉斯矩阵最大特征值上限为m+k，解决了四个猜想，并应用于量子最大割和XY哈密顿量的近似比计算。
2026-11-05 cs.DS math.CO quant-ph
Extending a result of Carlitz and McConnel to polynomials which are not permutations
本文研究有限域多项式图像方向集落入乘法子群并零时的结构猜想，通过证明方向商集大小小于 $q-°f+2$ 可推出置换性，从而验证 Sziklai 猜想。
2024-09-06 math.CO math.NT
