将 Carlitz 和 McConnel 的结果推广到非置换多项式
Extending a result of Carlitz and McConnel to polynomials which are not permutations
AI总结：
本文研究有限域多项式图像方向集落入乘法子群并零时的结构猜想，通过证明方向商集大小小于 $q-°f+2$ 可推出置换性，从而验证 Sziklai 猜想。
摘要：
令 $D$ 表示由多项式 $f\in\mathbb{F}_q[x]$ 的图像所确定的方向集合，其中 $q$ 是素数 $p$ 的幂。如果 $D$ 包含在 $\mathbb{F}_q^\times$ 的一个乘法子群 $M$ 中，那么根据 Carlitz 和 McConnel 的结果，可得对某个 $k\in\mathbb{N}$，有 $f(x)=ax^{p^k}+b$。当然，如果 $D\subseteq M$，则 $0\notin D$，因此 $f$ 是一个置换。如果假设较弱的条件 $D\subseteq M\cup\{0\}$，那么 $f$ 不一定是置换，但 Sziklai 猜想在这种情况下仍有 $f(x)=ax^{p^k}+b$。当 $q$ 为奇数且 $M$ 的指数为偶数时，Ball、Blokhuis、Brouwer、Storme 和 Szőnyi 的结果结合 McGuire 和 Göloğlu 的结果证明了该猜想。假设 $°f\geq1$。我们证明，如果 $D^{-1}D=\{d^{-1}d':d\in D\setminus\{0\},\\,d'\in D\}$ 的大小小于 $q-°f+2$，那么 $f$ 是 $\mathbb{F}_q$ 的一个置换。我们利用这一结果验证了 Sziklai 的猜想。
英文摘要：
Let $D$ denote the set of directions determined by the graph of a polynomial $f$ of $\mathbb{F}_q[x]$, where $q$ is a power of the prime $p$. If $D$ is contained in a multiplicative subgroup $M$ of $\mathbb{F}_q^\times$, then by a result of Carlitz and McConnel it follows that $f(x)=ax^{p^k}+b$ for some $k\in \mathbb{N}$. Of course, if $D\subseteq M$, then $0\notin D$ and hence $f$ is a permutation. If we assume the weaker condition $D\subseteq M \cup \{0\}$, then $f$ is not necessarily a permutation, but Sziklai conjectured that $f(x)=ax^{p^k}+b$ follows also in this case. When $q$ is odd, and the index of $M$ is even, then a result of Ball, Blokhuis, Brouwer, Storme and Sz\H onyi combined with a result of McGuire and Göloğlu proves the conjecture. Assume $°f\geq 1$. We prove that if the size of $D^{-1}D=\{d^{-1}d' : d\in D\setminus \{0\},\, d'\in D\}$ is less than $q-°f+2$, then $f$ is a permutation of $\mathbb{F}_q$. We use this result to verify the conjecture of Sziklai.
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