Linking number and Milnor invariants
Jean-Baptiste Meilhan
这是对环绕数及其高阶推广Milnor不变量的定义和性质的简明概述。
This is a concise overview of the definitions and properties of the linking number and its higher-order generalization, Milnor invariants.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Variations of Milnor's triple linking number
拓扑聚合物有各种各样的拓扑型，它们用图来表示。然而，琼斯多项式，我们很难计算它;计算时间相对于交叉数呈指数增长。最简单的Vassiliev不变量是环绕数，因此我们将寻求下一个简单的Vassiliev不变量是Milnor三元环绕数。本文给出了Milnor型Vassiliev不变量的简单Gauss图公式。这些都是非挠值的，而无基点的Milnor三元组环绕数通常是挠值的。
Milnor's triple linking number and Gauss diagram formulas of 3-bouquet graphs
在本文中，我们引入了两个函数，使得减法对应于Milnor的三重环绕数，加法得到了$3$ -分支环的一个新的整数环同伦不变量.我们还发现了一系列的整数值不变量来自四项的总和等于米尔诺尔的三重环绕数。我们应用这个结构给出了$3$ -花束图的不变量。
A geometric interpretation of Milnor's triple linking numbers
Milnor的三重环绕数的一个链接在3球的几何解释的塞弗特表面的组件的链接的交叉点的模式。当两两环绕数为零时，将已知的公式推广为三重点的代数计数。
A representation of Milnor's triple linking number by chord diagrams and doodle invariants
本文借鉴二阶纽结不变量的分解思路，证明二阶的Milnor三重环绕数可表示为特定弦图计数与doodle不变量的组合，给出了该环绕数的新表示形式。
On the indeterminacy of Milnor's triple linking number
在20世纪50年代米尔诺尔定义了一个家庭的高阶不变量推广的环绕数。即使是第一个这些新的不变量，三重环绕数，已收到和富有成效的研究，因为它的成立。在$L$具有消失的成对链接数的情况下，该三重环绕数给出整数值不变量。当环绕数不为零时，这个不变量只能以它们的最大公因数为模来定义。在最近的工作戴维斯-内格尔-奥森-鲍威尔产生一个单一的不变称为总三重环绕数细化的三重环绕数和采取价值观在一个阿贝尔群称为总米尔诺商。他们提出的例子，这个商是非平凡的，即使没有个人的三重环绕数的定义。因此，总三元环绕数比经典三元环绕数携带更多的信息。本文的目标是计算这个组，并表明，当$L$是一个链接的至少六个组件，它是非平凡的。因此，这个总的三重环绕数携带每个$(n\ge 6)$ -分量链路的信息，即使经典的三重环绕数经常不携带信息。
Tree invariants and Milnor linking numbers with indeterminacy
本文关注的树不变量的字符串链接，介绍了Kravchenko和Polyak和密切相关的经典米尔诺尔环绕数也被称为$\barμ$ -不变量。我们证明，类似的$\barμ$ -不变，某些剩余类的树不变产生链接同伦不变量的封闭链接。证明是箭头示意性的，并通过某些树堆叠操作提供了对不确定性的更多几何洞察。此外，我们表明，树不变量的不确定性是一致的，与原来的米尔诺尔的不确定性。为了实用的目的，我们还提供了一个递归的过程来计算树不变量的箭头多项式。
Polyak-Viro type formula for the Milnor triple linking number of link diagrams with multiple-crossings
本文提出一个适用于多重交叉链环图的 Polyak-Viro 型公式，用于计算 Milnor 三重链接数，其证明基于 Brooks-Komendarczyk 思想，但通过显式计算 Y-图构型空间积分，拓展了原公式的适用范围。
Milnor's triple linking numbers and derivatives of genus three knots
代数切片结$K$的衍生物是不相交地嵌入$K$的Seifert表面中的定向连接，使得其同调类形成$K$的代谢物$H$的基础。我们发现，对于一个属三代数切片结$K$，集$\{ \barμ_{\{γ_1,γ_2,γ_3\}}(123) - \barμ_{\{γ'_1,γ'_2,γ'_3\}}(123)| \{γ_1,γ_2,γ_3\}$和$\{γ'_1,γ'_2,γ'_3\}$是衍生物的$K$与代谢$H\}$包含$n\cdot \mathbb{Z}$，其中$n$是由塞弗特形式的$K$和代谢$H$。作为一个推论，我们表明，它是可以实现任何整数作为一个Milnor的三重环绕数的衍生物的unknot在一个固定的塞弗特表面与一个固定的代谢。此外，我们还证明了一个纽结（它是三个亏格一个代数切片纽结的连通和）至少有一个具有非零Milnor三重环绕数的导数。
Triple linking numbers and Heegaard Floer homology
我们建立了Milnor不变量与Heegaard弗洛尔同调之间的一些新的关系。这包括一个公式的Milnor三重环绕数从链接Floer复杂的，检测结果的Whitehead链接和Borromean环，和结构特性的$d$ -不变量的手术在某些代数分裂的链接。
An invariant of embeddings of 3-manifolds in 6-manifolds and Milnor's triple linking number
给出了三元组（W，V，e）的有理值不变量s（W，V，e）的一个简单的公理化定义，其中W是一个（光滑，定向，闭）6-流形，V是W的一个3-子流形，e是V的补的满足一定条件的第二有理上同调类.该定义是根据这种三元组的协边和4-流形的签名来定义的。当W = S^6且V是光滑嵌入的3-球面，且e/2是V的塞弗特曲面的Poincare对偶时，该不变量与（S^6，V）的-8倍Haefliger嵌入不变量一致。我们的定义恢复了一个更一般的不变量，由于Takase，并包含一个新的定义米尔诺尔的三重环绕数代数分裂3分量链接在R^3，这是接近的一个微扰级数展开的陈-西蒙斯理论的链接在R^3。
Finite Type Link Homotopy Invariants II: Milnor's $\barμ$-invariants
我们定义了一个概念的有限型不变量的链接与一个固定的链接矩阵。我们表明，米尔诺的三重链接同伦不变量是一个有限型不变量，1型，在这个意义上。我们还推广的方法Milnor的高阶同伦不变量，并表明，他们也是，在某种意义上，有限型。最后，我们将我们的方法与另一种在链接类中定义有限类型不变量的方法进行比较。
The Milnor degree of a three-manifold
3-流形的米尔诺尔度是一个不变量，它记录了3-球面中任何可以被冲到流形上的链接的最大简单性。研究了挠连接形式、基本群的幂零群、Massey乘积和量子不变量等条件下的3-流形的不变性，证明了具有任意Milnor度和第一贝蒂数的3-流形的存在性.一路上，它表明，数量M（k，r）的线性无关Milnor不变量的程度k，区分r-分量链接的3-球的较低程度的不变量消失，是积极的，除了在经典已知的情况下（当r = 1，当r = 2，k = 2，4或6）。
Milnor invariants of covering links
我们认为某些覆盖链的Milnor不变量是R. Hartley和K.村杉复盖环的Milnor不变量集是环的配边不变量，该不变量可以区分一些与普通Milnor不变量重合的环。此外，对于Brunnian链路$L$，$L$的第一非零Milnor不变量模$2$同余于覆盖链路的Milnor不变量之和。因此，“迭代”覆盖链路的环绕数之和给出了$L$模$2$的第一个非零Milnor不变量。
Milnor-Orr invariants from the Kontsevich invariant
作为纽结理论中的幂零研究，我们主要研究Milnor、Orr和Kontsevich的不变量。我们证明了度$ k $的Orr不变量等价于度$< 2k $的Kontsevich不变量的树约简。此外，我们将看到Orr不变量和Milnor不变量之间的密切关系，并讨论计算这些不变量的方法
Combinatorial approach to Milnor invariants of welded links
对于一个经典的链接，米尔诺尔定义了一个家庭的同痕不变量，称为米尔诺尔$\overlineμ$ -不变量。最近，Chrisman通过拓扑方法将Milnor $\overlineμ$ -不变量推广到焊接连接。本文的目的是表明，米尔诺尔$\overlineμ$ -不变量可以扩展到焊接环节的组合方法。证明包含一个替代证明的不变性的原始$\overlineμ$ -不变量的经典链接。
Milnor invariants of length $2k+2$ for links with vanishing Milnor invariants of length $\leq k$
J. - B. Meilhan和第二作者证明了，如果所有长度为$\leq k$的Milnor $\barμ$ -不变量都为零，则任何长度在3和$2k+1$之间的Milnor $\barμ$ -不变量都可以表示为由链分量的某个带和得到的结点的HOMFLYPT多项式的组合.他们还表明，他们的公式不适用于长度$2k+2$。本文通过增加修正项，改进了他们的公式，给出了长度为$2k+2$的$\barμ$ -不变量.修正项可以由由长度$k+1$的$\barμ$ -不变量确定的节点的HOMFLYPT多项式的组合给出。特别地，对于任何4-分量链路，长度为4的$\barμ$ -不变量由我们的公式给出，因为所有长度为1的$\barμ$ -不变量都消失了。
Milnor's Isotopy Invariants and Generalized Link Homotopy
人们早就知道，没有重复指标的Milnor不变量是链接同伦的不变量。证明了具有重标的Milnor不变量不仅是合痕不变量，而且是自C_k移动不变量。自C_k-move是链接同伦在一定k次clasper运算基础上的自然推广，它提供了链接同伦类的过滤。
Milnor's invariants for knots and links in closed orientable 3-manifolds
该研究将原本针对三维球面$S^3$中链环的Milnor $\bar{\boldsymbol{\nu}}$-不变量推广到一般闭可定向3-流形的纽结与链环场景，证明其为拓扑协边不变量，统一并拓展了三维下的各类Milnor不变量。
The Milnor triple-linking number of string links by cut-and-paste topology
Bott和Taubes通过在节点空间上沿着丛的纤维积分微分形式构造了节点不变量，推广了高斯连接积分。他们的技术后来被用于在高维欧几里得空间的纽结和链环空间中构造实上同调类。在以前的工作中，我们构造上同调类的结空间与任意系数通过集成通过Pontrjagin-Thom建设。我们进行了类似的建设空间的字符串链接，但与细化配置空间粘在一起，根据组合的重量系统。这种粘合有点类似于Kuperberg和Thurston的工作。我们使用一个公式的梅勒重量系统的米尔诺不变量，因此，我们恢复的米尔诺三重环绕数字符串链接，这是在某种意义上最简单的有趣的例子，一类通过这种胶合细化我们以前的方法。在这个过程中，我们发现了一个描述这个三元组的环绕数作为一个“度”的映射从6-球的产品的三个2-球。
Pontryagin invariants and integral formulas for Milnor's triple linking number
对于3-球面中的每个三分量链，我们关联了一个从3-环面到2-球面的几何自然特征映射，并证明了将链分类为链同伦的成对链接数和Milnor三元环绕数对应于将其特征映射分类为同伦的Pontryagin不变量.这可以被看作是一个熟悉的事实，即在3-空间中的两个组件链接的环绕数是它的相关高斯映射从2-环面到2-球面的程度的自然扩张。当两两联结数均为零时，给出了一个类似于两两环绕数的高斯积分的三重环绕数的积分公式.这个公式中的被积函数在几何上是自然的，因为它在3-球面的保持方向的刚性运动下是不变的，而积分本身可以被看作是3-环面上相关向量场的螺旋度。
A relation between Milnor's $μ$-invariants and HOMFLYPT polynomials
Polyak证明了任何长度为3的Milnor $\overlineμ$ -不变量都可以表示为由链节分量的某些带和得到的节点的Conway多项式的组合。另一方面，Habegger和Lin证明了Milnor不变量也是字符串链接的不变量，称为$μ$ -不变量。我们表明，任何米尔诺尔的$μ$ -不变量的长度$\leq k+2$可以表示为一个组合的HOMFLYPT多项式的结从字符串链接通过一些操作，如果所有的$μ$ -不变量的长度$\leq k$消失。此外，在没有任何零假设的情况下，通过Conway多项式和环绕数的组合给出了长度为$3$的$μ$ -不变量.
Skein relations for Milnor's mu-invariants
由Milnor提出的链接同伦理论是纽结理论的重要组成部分，其中Milnor的μ-bar-不变量是链接同伦不变量的基本集合。纽结和链环不变量的绞结关系在纽结理论的最新发展中起着至关重要的作用。然而，虽然亚历山大和琼斯不变量的串关系已经知道了很长一段时间，但米尔诺的穆巴不变量的类似处理却不见了。我们填补了这一空白，推导出简单的绞链关系的链接同伦μ-不变量的字符串链接。
Milnor Invariants --From classical links to surface-links, and beyond--
本文是作者日语解释性文章的英文翻译，将从自身研究视角阐释米尔诺不变量，涉及经典链环到曲面链环等内容。
Self delta-equivalence for links whose Milnor's isotopy invariants vanish
对于$n$ -分量链路$L$，为每个多索引$I=i_1i_2...i_m (i_j\in\n)$定义Milnor的同伦不变量。这里$m$被称为长度。令$r(I)$表示任何索引出现的最大次数。已知具有$r=1$的Milnor不变量是链同伦不变量. N. Habegger和X. S.林证明了两个弦链是链同伦的当且仅当它们的Milnor不变量与$r=1$重合。这给了我们一个链接在$S^3$是链接同伦到一个平凡的链接当且仅当所有米尔诺尔不变量的链接与$r=1$消失。虽然具有$r=2$的Milnor不变量不是环同伦不变量，但T. Fleming和作者证明了具有$r\leq 2$的Milnor不变量是自$Δ$等价不变量.本文给出了$S^3$中长度为$\leq 2n-1$和$r\leq 2$的Milnor不变量为零的$n$ -分支环集的自$Δ$ -等价分类.作为一个推论，我们有一个链接是自我$Δ$ -等价于一个平凡的链接当且仅当所有米尔诺尔不变量的链接与$r\leq 2$消失。这是其Milnor不变量与$\leq 2$一起消失的链路的几何表征。在我们的证明的主要成分是哈比罗的扣理论。我们也给出了另一个证明的链接同伦分类的字符串链接使用clasper理论。
A diagrammatical characterization of Milnor invariants
本文的目的是给出一个数学特征的信息所给出的Milnor不变量的链接和字符串链接。更准确地说，我们描述了当两个字符串链接具有相等的长度的米尔诺尔不变量$\leq q$，当一个链接具有平凡的长度的米尔诺尔不变量$\leq q$。这将通过使用焊接纽结理论来完成，包括箭头演算和$w_q$的概念--由J-B引入的一致性。Meilhan和A.安原这些结果将与直到$C_q$的链接分类进行比较--由J. Conant，R. Schneiderman和P. Teichner。
Milnor invariants and the HOMFLYPT polynomial
我们给出的公式表示Milnor不变量的一个n-分量链接L在3-球面的HOMFLYPT多项式如下。如果对于任意长度不超过k的序列J，Milnor不变量\bar μ_J（L）为零，则任意长度在3和2k+1之间的Milnor \bar μ-不变量\bar μ_I（L）可以表示为通过某些带和运算从链路获得的节点的HOMFLYPT多项式的组合。特别地，“第一非零”Milnor不变量总是可以表示为这样的线性组合。
Milnor invariants, $2n$-moves and $V^{n}$-moves for welded string links
在以前的论文中，作者证明了Milnor链接同伦模$n$不变量分类经典字符串链接到$2n$ -移动和链接同伦。作为焊接的情况下的类似物，在米尔诺不变量方面，我们在这里给出两个分类的焊接字符串链接到$2n$ -移动和自交叉虚拟化，和高达$V^{n}$ -移动和自交叉虚拟化，分别。
Goussarov-Habiro theory for string links and the Milnor-Johnson correspondence
研究了同调球中框架弦链的Goussarov-Habiro有限型不变量理论。它们的度1不变量的计算：他们是由米尔诺尔的三重环绕数，模2减少的Sato-Levine不变量，Arf和Rochlin的$μ$不变。这些不变量被认为是自然相关的不变量的同源缸通过所谓的米尔诺尔-约翰逊对应：特别是，一个类似的Birman-Craggs同态字符串链接计算。研究了它与Vassiliev理论的关系。
Milnor invariants and edge-homotopy classification of clover links
给定一个三叶草链接，我们通过使用三叶草链接的盘/带表面来构造底部缠结。由于Milnor数已经为底部缠结定义，我们将三叶草链接的Milnor数定义为底部缠结的Milnor数，并表明对于三叶草链接，如果长度为k或更小的Milnor数为零，则长度为2k+1或更小的Milnor数是明确定义的。证明了两个长度为k或小于k的Milnor数为零的三叶草链等价于边同伦和$C_{2k+1}$ -等价当且仅当长度为2k+1或小于2k +1的Milnor数相等.特别是，我们给出了一个边同伦分类的3-三叶草链接的长度为3或更少的Milnor数。
Solvability of concordance groups and Milnor invariants
本文利用Milnor不变量证明2-弦环链的协调群不可解，进而证明强可逆纽结的等变协调群不可解，回答了Kuzbary的猜想。
The Milnor $\barμ$ invariants and nanophrases
两个链环图是链环同伦的，如果一个可以通过一系列的Reidemeister移动和自交叉变化转化为另一个。米尔诺尔介绍了不变量下链接同伦称为$\barμ$。Turaev引入的纳米短语概括了链接。在本文中，我们将链接同伦的概念扩展到纳米短语。我们还将$\barμ$推广到对应于虚拟链接的那些纳米短语的集合。
k-reduced groups and Milnor invariants
我们的特点，在一个代数和图解的方式，米尔诺尔字符串链接不变量索引的序列，任何索引出现在最$k$倍，任何固定的$k\ge 1$。的代数特征给出了在所谓的$k$ -约化自由群上的类Artin作用方面;图形特征使用焊接纽结理论的语言。链接的情况下也解决了。
The boundary of the Milnor fibre and a linking invariant of finitely determined germs
本文证明有限决定全纯芽的Milnor纤维边界是拓扑不变量，并建立其粘合系数与链环不变量L的对应，进而用交叉帽数和三重点数表达该关系。
Link concordances as surfaces in 4-space and the 4-dimensional Milnor invariants
在$3$ --空间中固定两个协调环，研究它们之间所有嵌入协调环的集合，作为$4$ --空间中的打结环.当考虑到表面一致性或链接同伦时，从链接$L$到其自身的一致性的集合$\mathcal{C}(L)$形成一个群。为了研究这些群，我们定义了$\mathcal{C}(L)$的Milnor型不变量，这些不变量是以$L$的Milnor不变量给出的某种不确定性为模定义的整数。我们特别表明，对于一个切片链接$L$，这些不变量分类$\mathcal{C}(L)$链接同伦。
Whitehead double and Milnor invariants
我们考虑的操作的Whitehead双上的一个组件的链接，并研究在此操作下的Milnor不变量的行为。我们证明了这个操作把一个长度< k的Milnor不变量都为零的链路变成一个长度< 2k的Milnor不变量为零的链路，并且我们提供了第一个非零不变量的公式。因此，我们通过怀特黑德双重运算得到了与链接同伦和自Delta等价概念相关的语句。利用我们的结果，我们证明了一个Brunnian链L是链同伦的当且仅当一个链L的一个单一的组件Whitehed加倍是自δ-等价的unlink。
Finite type invariants and Milnor invariants for Brunnian links
3-球面中的环L称为Brunnian环，如果L的每个真子环都是平凡的.在前一篇文章中，第一作者证明了对任意Goussarov-Vassiliev有限型不变量的Brunnian环的限制是平凡的。本文的目的是研究第一个非平凡的情况。我们将证明2n次不变量对（n+1）分量Brunnian环的限制可以表示为长度为n+1的Milnor环-同伦不变量上的二次型。
The effect of mutation on link concordance, 3-manifolds and the Milnor invariants
我们研究了变异对链接协调和3-流形的影响。我们证明了正突变下，与同源边界链的子链一致的链的集合是不封闭的。我们发现，突变不保持同调配边类的3-流形。一个重要的结果是存在具有相同量子SU（2）-不变量但不同调协边的三维流形。这些结果是通过研究突变对Milnor不变量或等效Massey乘积的影响而获得的。
The Milnor invariants of clover links
J. P. Levine引入了三叶草链接来研究链接的Milnor不变量的不确定性。结果表明，对于三叶草链，如果长度至多为$k$的Milnor数为零，则长度至多为$2k+1$的Milnor数是定义良好的;如果长度为$k+1$的Milnor数为零，则长度至少为$2k+2$的Milnor数不是定义良好的.对于三叶草链接$c$与米尔诺尔数的长度最多$k$消失，我们表明，米尔诺尔数$μ_c(I)$序列$I$是定义良好的最大共同devisor的$μ_{c}(J)'s$，其中$J$是一个子序列的$I$通过删除至少$k+1$指数。此外，如果$I$是长度为$2k+2$的非重复序列，则明确给出了$μ_c(I)$的可能范围。作为应用，我们给出了$4$ -三叶草链的边同伦分类。
Smoothly slice boundary links whose derivative links have nonvanishing Milnor invariants
我们给出了一个三分量光滑切片边界链的例子，其每个分量具有亏格1的Seifert曲面，使得边界链Seifert形式的任何代谢物由Seifert曲面上的3条曲线表示，这些曲线形成具有非零Milnor三重环绕数的链。我们也给了一个概括的m-组件的链接和更高的Milnor不变量。我们证明了我们的例子是丝带和所有的丝带链接的边界切片。
Milnor Invariants for Spatial Graphs
自20世纪50年代Milnor提出链接同伦以来，它一直是纽结理论的一个活跃研究领域。我们在空间图上引入了一种新的等价关系，称为分量同伦，它在经典情况下归结为链接同伦。与以往的尝试，在推广链接同伦空间图，我们的新关系允许类似的一些标准链接同伦的结果和不变量。特别地，我们可以在分量同伦下为空间图定义一种类型的Milnor群，这个群决定了空间图是否是可分裂的。更令人惊讶的是，我们还将证明，空间图是否可分裂成分量同伦仅取决于其中包含的链接的链接同伦类，还将产生关系的数值不变量。
Milnor and finite type invariants of plat-closures
我们证明了对于$n$ -分量、$n$ -桥链和正整数$m$，以下是真的：如果$L$的列位于链群的下中心序列的$(m+2)$ -th项中，则$L$的所有有限型阶$\leq m$不变量与$n$ -分量解链的不变量相同.
HL-homotopy of handlebody-links and Milnor's invariants
在$S^3$中，一个链体-链是链体嵌入的不交并，HL-同伦是链体-链上由自交叉变化产生的等价关系.第二作者和Ryo Nikkuni利用双连通体环的环绕数对双连通体环的HL-同伦类集进行了完全分类。本文利用Milnor的链-同伦不变量，构造了一般把手体-链的HL-同伦类的一族不变量。此外，我们还给出了几乎平凡环的HL-同伦类集与模某些一般线性作用的张量积空间之间的一个双射，特别是对于3-或更多分量环的情形.通过这种双射，我们构造HL-同伦类的可比不变量。
Milnor Invariants and Twisted Whitney Towers
本文描述了经典连杆的第一非零Milnor不变量与扭曲Whitney塔的相交不变量之间的关系。这是4球中的某个2-复合体，由3球中的给定链接所包围的浸没盘与许多惠特尼盘的“层”一起构建。相交不变量是4球中两个浸没盘之间的相交数的高阶推广，众所周知，它给出了边界上链路的环绕数，它测量了惠特尼盘和限定给定链路的盘之间的相交，以及测量惠特尼盘的扭曲（框架障碍）的信息。这种解释米尔诺不变量作为高阶交叉不变量起着关键作用的分类框架和扭曲的惠特尼塔过滤链接一致性（如本文所述）。在这里，我们将展示如何实现高阶Arf不变量，这也发挥了作用的分类，并得出新的几何特征的链接消失米尔诺不变量的长度小于或等于2k。
The (n)-solvable filtration of the link concordance group and Milnor's invariants
建立了关于链协调类集合的（n）-可解滤子F_n^m和弦链协调群的（n）-可解滤子的几个新结果。我们首先在以M_L为界的4-流形上建立了Milnor不变量与环L之间的关系，并给出了一定的限制。利用这个关系，我们可以将链环（或弦链环）的（n）-可解性与其Milnor不变量联系起来。具体地说，我们证明了如果一个链接是（n）-可解的，那么它的米尔诺尔不变量消失的长度为2^{n+2}-1。以前，关于过滤的“另一半”，即F_{n.5} μ m/ F_{n+1} μ m，没有已知的结果。我们建立了Bing加倍算子对（n）-可解性的影响，并利用这一点，我们证明了F_{n.5} ^m/ F_{n+1} ^m对于具有足够多分量的链接（和字符串链接）是非平凡的。此外，我们还证明了这些同分群包含一个无限循环子群。我们还证明了链环和弦链环模（1）-可解性是一个非交换群。我们表明，我们可以与其他过滤Milnor的不变量。我们证明了如果一个链环是n-正的，那么它的Milnor不变量也将在长度为2^{n+2}-1时为零。最后，证明了链接协调类集的Grope滤子G_n^m与（n）-可解滤子G_n^m是不同的。
Boundary Dehn twists on Milnor fibers and Family Bauer--Furuta invariants
本文利用映射环面的 family relative Bauer–Furuta 不变量，证明特定 Brieskorn Milnor 纤维上的边界 Dehn 扭转在给定数论条件下是相对于边界的奇异微分同胚。
Milnor-type invariants for surface-links and cut-diagrams
将Milnor链环不变量推广到4-空间中的曲面链（可能带边界），通过引入切割图（Gauss图的二维类比）构造群并提取Milnor型不变量，证明其为同痕不变量和链同伦不变量，并给出实现与分类结果。
Lifting Milnor Invariants for 3-Component Links
本文定义了三分支链环L的整数值不变量序列γ^k(L)，证明其在协边和弱协边下不变，并提升了某些Milnor不变量，通过引入Kojima-Yamasaki η-不变量的三分支类比h(L)来建立该结果，应用包括当指定分支的Alexander多项式平凡时的弱协边分类，以及刻画在B^4中边界连续嵌入圆盘且补空间基本群为ℤ的纽结。
Milnor invariants via unipotent Magnus embeddings
我们重新配置的Milnor不变量的链接的中心群扩展和幂单的Magnus嵌入。我们还开发了一个图形计算的不变量和计算的第一个非零不变量的米尔诺链接和其他几个链接。此外，我们改进了原来的Milnor不变量的更高的程度。
A geometric proof of the Milnor conjecture
给出了正纽结的Seifert亏格等于其切片亏格的几何证明。一个组合不变量，给出了一个下界的切片属，制定了任意的结。讨论了该不变量的性质和应用。
Link-homotopy Invariants of Finite Type
一个显式多项式中的环绕数$l_{ij}$和米尔诺尔的三重环绕数$μ(rst)$六个组件链接被证明是一个定义良好的有限型链接-同伦不变量。这就解决了B提出的一个问题。Mellor和D.瑟斯顿我们的建设的一个扩展也产生了一个有限型链接不变的检测可逆性的一些链接。
The Kervaire-Milnor invariant in the stable classification of spin 4-manifolds
本文证明稳定分类中出现的余维二Arf不变量可由$π_2(M)$上的Kervaire–Milnor不变量计算，从而得到具有2维基本群的spin 4维流形的新稳定分类。
Links with trivial Alexander module and nontrivial Milnor invariants
修复了小的印刷错误。Cochran用非环的Alexander模和一些非零Milnor不变量构造了许多环，用自由群中的不变量作为输入，用环的模作为不变量.我们提出了一个不同的和构造上完整的结构，它使用了clasper手术的基本属性，和一个不同的不变量，LMO不变量的树部分。我们的方法还构造平凡的高亚历山大模块和非平凡的Milnor不变量的链接。
Transfinite Milnor invariants for 3-manifolds
在他1957年的论文中，约翰·米尔诺引入了链接不变量，它测量链接的顶点相对于链接群的下中心序列的同伦类。因此，这些不变量决定了链环群的下中心序列分量。这项工作推动了数十年的研究，影响深远。米尔诺的原始问题之一仍然没有解决：提取类似的不变量从超限下中心序列的链接组。我们重新制定和延长米尔诺的不变量在更广泛的设置3-流形，他原来的不变量作为特殊情况。我们提出了一个解决方案，米尔诺的问题，一般3-流形组，发展超限不变量理论和实现非平凡值。
Milnor numbers, Spanning Trees, and the Alexander-Conway Polynomial
本文从有限型（Vassiliev）不变量的角度研究了Alexander-Conway多项式$\nabla_L$与Milnor高阶环的环绕数之间的关系.本文给出了m-分支链L的第一非零系数$\nabla_L$的一个公式，当L的Milnor数$μ_{i_1... i_p}$对$p\le n$为零时，L的第一非零系数为零.我们将这个系数表示为L的Milnor数的多项式。根据n的奇偶性是奇数还是偶数，这个多项式中的项对应于某些图中的生成树，或者对应于某些3-图分解成成对的生成树。我们的结果补充了Traldi和Levine用几何方法得到的行列式公式。
Clasper Concordance, Whitney towers and repeating Milnor invariants
本文证明链环在 4-球中界定度为 k 的 Whitney 塔等价于与平凡链环 $C_k$-一致，并利用重复扭曲 Whitney 塔分类了扭曲自 $C_k$-一致性，基于 Milnor 和 Arf 不变量。
The universal sl_2 invariant and Milnor invariants
弦链环的泛sl_2不变量对链环的有色Jones多项式具有普适性，并且取值于sl_2的量化包络代数的h-adic完备张量幂中.在本文中，我们展示了普遍的sl_2不变量和Milnor不变量，这是推广的环绕数的经典不变量之间的显式关系，提供了一些新的拓扑洞察量子不变量。更确切地说，我们定义了一个减少的普遍sl_2不变量，并显示它是如何被捕获的Milnor和谐不变量。我们还展示了如何更强的减少对应于Milnor链接-同伦不变量。作为一个副产品，我们给出了明确的判据一致下的不变性和链接同伦的普遍sl_2不变量，特别是sliceness。我们的结果还提供了部分结构的普遍sl_2不变的重量系统仍然未知。
When do links admit homeomorphic C-complexes?
任何两个纽结都允许保持方向的同胚塞弗特曲面，这可以通过稳定化来证明。有一种塞弗特曲面的推广，称为C-复合体。在本文中，我们问两个链接时，将承认方向保持同胚C-复形。在2-分量链接的情况下，我们发现，成对的环绕数提供了一个完整的障碍。在具有3个或更多个分量且成对环绕数为零的链的情况下，米尔诺尔的三重环绕数提供了完全的阻碍。
Borromean surgery formula for the Casson invariant
已知每个有向整同调3-球面都可以由S^3通过一个有限序列的Borromean变换得到。我们给出了一个明确的公式的卡森不变的变化下，这样的手术移动。该公式涉及简单的经典不变量，即框架，环绕数和Milnor的三重环绕数。还提供了针对n个独立博罗米恩手术的更一般的声明，其中涉及手术链接的某些环绕数中的额外三次表达式。
Milnor's concordance invariants for knots on surfaces
在$3$球$S^3$中的链路的Milnor $\barμ$不变量在与边界链路一致的任何链路上消失。特别地，它们在$S^3$中的任何纽结上都是平凡的。这里我们考虑加厚曲面$Σ\times [0,1]$中的节点，其中$Σ$是闭合的和定向的。我们构造新的协调不变量，通过适应陈米尔诺理论的链接在$S^3$的一个虚拟的结群的扩展。一个关键的成分是巴尔-纳坦$\textit{Zh}$地图，它允许几何解释的集团扩展。群扩张本身最初由Silver-Williams定义。我们扩展的$\barμ$ -不变量阻碍了加厚曲面中同调平凡节点的一致性。我们使用它们给出了具有平凡拉斯穆森不变量、分次亏格、仿射指数（或蠕动）多项式和广义亚历山大多项式的非切片虚拟结的新例子。此外，我们完成了切片状态分类的所有虚拟节点多达5个经典的交叉点，并减少到4个（92800）的虚拟节点的数量多达6个经典的交叉点具有未知的切片状态。我们的主要应用是Turaev的协调组$\mathscr{VC}$的长结的表面上。Boden和Nagel证明了$S^3$中经典纽结的协调群$\mathscr{C}$嵌入到$\mathscr{VC}$的中心。在对比经典的结和谐组，我们表明$\mathscr{VC}$是不是阿贝尔，回答Turaev提出的问题。
Diassociative algebras and Milnor's invariants for tangles
我们扩展Milnor的μ-不变量的链接同伦有序（经典或虚拟）缠结。用高斯图中的计数树给出了μ-不变量的简单组合公式。在Reidemeister移动下的不变性对应于Loday双结合代数的公理。缠结与双结合代数的关系用相应运算的态射来表示。
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