Turán Colourings in Off-Diagonal Ramsey Multiplicity
本研究将Fox和Wigderson关于由带临界边的连通非3-可着色图加悬挂边构成的图类的Ramsey重数常数由Turán着色达到的结果，推广到涉及两图红、蓝副本加权和最小化的非对角Ramsey重数常数变体。
2024-01-30 math.CO
A lower bound for set-colouring Ramsey numbers
集合着色Ramsey数$R_{r,s}(k)$被定义为最小$n$，使得如果完全图$K_n$的每条边被分配来自$\{1,\ldots,r\}$的一组$s$颜色，则其中一种颜色包含大小为$k$的单色团。格$s = 1$是通常的$r$ -色拉姆齐数，而格$s = r - 1$是由埃尔德什、哈伊纳尔和拉多在1965年研究的，埃尔德什和塞梅雷迪在1972年研究的。关于一般$s$的第一个有意义的结果是最近才由Conlon、Fox、He、Mubayi、Suk和Verstraëte获得的，他们表明如果$s/r$与$0$和$1$有界，则$R_{r,s}(k) = 2^{Θ(kr)}$。然而，在范围$s = r - o(r)$中，它们的上界和下界显著偏离。在本说明中，我们引入了一个新的（随机）着色，并使用它来确定$R_{r,s}(k)$的指数，基本上所有的$r$，$s$和$k$的多对数因子。
2023-01-17 math.CO
A New Method that can Generate Ramsey Colourings for Eight and Thirteen Colours
本文提出FBF方法，为8色和13色完全图边着色生成Ramsey着色，并构造了与已有着色非同构的新着色。
2026-09-24 cs.DM math.CO
On Multicolour Ramsey Numbers and Subset-Colouring of Hypergraphs
本文改进了多色超图Ramsey数的已知下界，并研究了使超图中大超边非单色的子集着色问题，基于色数给出了所需颜色数的上下界。
2021-03-23 math.CO
Rainbow Ramsey simple structures
一个关系结构$\mathrm{R}$是{ \em rainbow Ramsey}，如果对于$\mathrm{R}$的每个有限诱导子结构$\mathrm{C}$和$\mathrm{C}$的每个具有可数种颜色的副本的每个着色，使得对于固定的$k$，每个颜色最多使用$k$次，存在$\mathrm{R}$的副本$\mathrm{R}^\ast$，使得$\mathrm{R^\ast}$中的$\mathrm{C}$的副本最多使用每个颜色一次。我们表明，某些超同质的二元关系结构，例如雷达图，是彩虹拉姆齐。通过紧性，这意味着对于所有有限图$\mathrm{B}$和$\mathrm{C}$和$k \in ω$，存在图$\mathrm{A}$，使得对于$\mathrm{A}$中的$\mathrm{C}$的副本的每个着色，使得每个颜色最多使用$k$次，存在$\mathrm{A}$中的$\mathrm{B}$的副本$\mathrm{B}^\ast$，使得$\mathrm{B^\ast}$中的$\mathrm{C}$的副本最多使用每个颜色一次。
2014-11-24 math.CO math.LO
A Ramsey Characterisation of Eventually Periodic Words
对于字母表$X$上的有限字$X^*$的给定着色，如果每个$u_i$是相同的颜色，则字母表$X$上的无限字$x$的因式分解$x = u_1 u_2 \cdots$被称为“单色的”。Wojcik和Zamboni证明，这个词$x$是周期性的，当且仅当每一个有限着色的$X^*$有一个单色因式分解的$x$。另一方面，从拉姆齐定理得出，对于\textit{any}字$x$，对于$X^*$的每个有限着色，存在具有单色因子分解的$x$的后缀。如果每个单词$u_{k_1} u_{k_2} \cdots u_{k_n}$，其中$k_1 < \cdots < k_n$是相同的颜色，则因子分解$x = u_1 u_2 \cdots$被称为“超单色”。本文的目的是证明一个词$x$最终是周期的当且仅当对于$X^*$的每个有限着色都有一个后缀$x$具有超单色因子分解。我们的主要工具是一个拉姆齐结果交替和可能是独立的利益。
2022-06-10 math.CO
Uniform n-place functions on T\subseteq ds(α)
本文将Erdos-Rado定理推广到良基树类。我们定义了类rs（infty）^{< aleph_0}（序数递减序列的有限序列）与aleph_0等价类的等价关系，并对n< omega定义了rs（infty）^{< aleph_0}的mu色着色的n端一致性概念.然后我们证明了对于每个序数alpha，n< omega和基数mu，存在一个序数lambda，使得对于T=rs（lambda）^{< aleph_0}的任何带有mu颜色的着色c，T包含与rs（alpha）同构的S，使得c rest S^{< aleph_0}是n端一致的。对于定义域T^n的c，这等价于找到同构于rs（alpha）的S子集T，使得c upharpoonright S^{n}仅依赖于所定义关系的等价类，因此特别是T->（rs（alpha））^ n_{mu, aleph_0}。我们还得出了一个结论，着色的n-元组从一个分散的线性秩序。
2009-06-17 math.CO math.LO
Multicolour Ramsey Numbers of Odd Cycles
证明了对任意正整数$r$，存在一个整数$k$和$K_{2^{k}+1}$的边的$k$ -着色，且不存在长度小于$r$的单色奇循环.这使得Erdés和Graham的一个问题的进展，并回答了Chung的一个问题。我们使用这些着色给新的下界$k$ -彩色拉姆齐数的奇循环，并证明，所有奇$r$和所有$k$足够大，存在一个常数$ε= ε(r) > 0$，使$R_{k}(C_{r}) > (r-1)(2+ε)^{k-1}$。
2017-01-16 math.CO
Exponential Patterns in Arithmetic Ramsey Theory
我们证明了对于自然数的每一个有限着色都存在$a,b >1$使得三元组$\{a,b,a^b\}$是单色的。我们继续展示了一个更丰富的一类涉及指数的模式的分区规律性。例如，作为我们的主要定理的推论，我们表明，对于每一个$n \in \mathbb{N}$和每一个有限着色的自然数，我们可以找到一个单色集，包括整数$x_1,\ldots,x_n >1$ ;所有产品的不同$x_i$ ;和所有“指数组成”的不同$x_i$尊重秩序$x_1,\ldots,x_n$。特别地，对于自然数的每一个有限着色，都可以找到$\{ a,b,ab,a^b \}$形式的单色四元组，其中$a,b>1$。
2016-10-20 math.CO
A canonical Ramsey theorem for exactly $m$-coloured complete subgraphs
给定一个图的边着色有一组$m$颜色，如果每种颜色都被使用，我们说这个图是（精确）$m$ -着色的.我们考虑$\mathbb{N}$上完全图的边着色问题，证明了对于任意自然数$m$，都可以找到一个$m$着色的完全子图，或者存在一个以两种标准方式之一着色的无限子集$X \subset \mathbb{N}$：着色在$X$上是内射的，或者在$X$中存在一个可区分的顶点$v$，使得$X \setminus \lbrace v \rbrace$是$1$ -$v$和$X \setminus \lbrace v \rbrace$之间的每个边缘都有不同的颜色（都与$X \setminus \lbrace v \rbrace$上使用的颜色不同）。这回答了Stacey和Weidl在1999年提出的一个问题。我们开发的技术，也使我们能够解决一些进一步的问题，找到$m$着色完全子图的着色与许多颜色。
2016-09-06 math.CO
Polynomial Schur's theorem
我们解决了$\{x,y,z:x+y=p(z)\}$的Ramsey问题，对于$\mathbb{Z}$上的所有多项式$p$。特别是，我们将所有多项式是$2$ -拉姆齐，也就是说，这些$p(z)$，使任何$2$ -着色的$\mathbb{N}$包含无限多个单色解决方案的$x+y=p(z)$。对于非$2$ -Ramsey多项式，我们证明了$\mathbb{N}$的所有非$2$ -Ramsey的$2$ -着色，揭示了某些整除障碍是$x+y=p(z)$的$2$ -Ramsey性的唯一障碍.
2023-01-07 math.CO math.NT
On some multicolour Ramsey properties of random graphs
图$F$的大小Ramsey数$\hat{R}(F)$是最小整数$m$，使得在$m$边上存在图$G$，并且$G$的边的任何两种颜色的着色产生$F$的单色副本。本文首先研究了$n$顶点上的路$P_n$的大小Ramsey数。特别是，我们表明，$5n/2-15/2 \le \hat{R}(P_n) \le 74n$ $n$足够大。(The上界使用随机$d$ -正则图的扩展属性。这改进了先前Bollobás的下限$\hat{R}(P_n) \ge (1+\sqrt{2})n-O(1)$和Letzter的上限$\hat{R}(P_n) \le 91n$。接下来我们用$pn \to \infty$研究边着色随机图$G(n,p)$中的长单色路。设$α> 0$是一个任意小的常数。最近，Letzter表明，a.a.s.\ $G(n,p)$的任何$2$边着色产生长度为$(2/3-α)n$的单色路径，这是最佳的。推广这一结果，我们表明，a.a.s.\ $G(n,p)$的任何$3$ -边缘着色产生长度为$(1/2-α)n$的单色路径，这也是最佳的。在一般情况下，我们证明，对于$r\ge 4$ a.a.s.\ $G(n,p)$的任何$r$ -边缘着色产生长度为$(1/r-α)n$的单色路径。我们还考虑了一个相关的问题，并表明，对于任何$r \ge 2$，a.a.s.\ $G(n,p)$的任何$r$ -边着色产…
2016-01-11 math.CO
Ramsey numbers of trails and circuits
我们证明了完全图$K_n$的边的每一个双染色都包含一个长度至少为$2n^2/9 +o(n^2)$的单色迹或圈，这是渐近最佳可能的。
2022-04-05 math.CO
Thresholds for constrained Ramsey and anti-Ramsey problems
本文确定了受限Ramsey和反Ramsey问题的阈值，解决了当H1为星图且H2非森林时的受限Ramsey性质，并将反Ramsey的0-陈述归结为着色条件以求得特定图族的阈值。
2025-03-25 math.CO
The Ramsey number of books
我们证明了在完全图$K_N$的边的每一个双着色中，都存在一个单色$K_k$，它至少可以以$(1 + o_k(1))2^{-k}N$的方式扩展为单色$K_{k+1}$ .这个结果是渐近最佳可能的，正如可以通过考虑随机着色所看到的。等价地，定义本书$B_n^{(k)}$是由$n$的$K_{k+1}$的副本都共享一个共同的$K_k$的图，我们表明，拉姆齐数$r(B_n^{(k)}) = 2^k n + o_k(n)$。在这种形式下，我们的结果回答了Erdés，Faudree，Rousseau和Schelp的一个问题，并建立了一个渐近的版本的猜想。
2019-10-23 math.CO
Minimal Ramsey graphs for cyclicity
我们研究图形的属性，每一个边着色承认一个单色的循环（其长度可以自由地取决于着色），并描述这些图是最小的这个属性。我们发现，在这个类中的每一个成员递归地减少到一个基本图$K_5-e$或$K_4\vee K_4$（两个副本的$K_4$确定在一个边缘），这意味着任意的$n$顶点图与$e(G)\geq 2n-1$必须包含其中之一作为一个未成年人。我们还描述了三个明确的建设管理的反向过程。作为一个应用，我们能够建立Ramsey无限性的三个可能的色子类$χ=2, 3, 4$，类内的最大程度的无界性，以及Ramsey分离性的周期的家庭长度$\leq l$从它的任何适当的子家庭。
2018-07-31 math.CO
The strength of Ramsey's theorem for $α$-large sets
Sapienza University of Rome（罗马智慧大学）；University of Udine（乌迪内大学）；Cardinal Stefan Wyszynski University（红衣主教斯特凡·维辛斯基大学）
本文研究了Ramsey定理对有限颜色的特定自然数子集的反向数学强度，通过分析RT!α_k原理，揭示了可数不可分解的Γ0以下序数与自然Ramsey型定理之间的细粒度分类。
2026-03-25 math.CO math.LO
Ramsey games near the critical threshold
Rödl和Rucibrski的一个著名结果指出，对于任何图$H$，存在一个常数$C$，使得如果$p \geq C n^{- 1/m_2(H)}$，则随机图$G_{n,p}$是a.a.s.。$H$ -Ramsey，即其边的任何$2$ -着色都包含$H$的单色副本。除了一些简单的例外，相应的$0$ -语句也成立，即存在$c>0$使得每当$p\leq cn^{-1/m_2(H)}$随机图$G_{n,p}$是a.a.s.不是$H$ -拉姆齐。我们表明，在这个阈值附近，即使当$G_{n,p}$不是$H$ -Ramsey，它往往是非常接近被$H$ -Ramsey。更精确地说，我们证明了对任意常数$c > 0$和任意严格$2$ -平衡图$H$，如果$p \geq c n^{-1/m_2(H)}$，则随机图$G_{n,p}$ a.a.s.具有以下属性：在添加$ω(1)$额外随机边缘后，没有$H$单色副本的每个$2$ -边缘着色都不能扩展为无$H$的着色。这推广了Friedgut，Kohayakawa，Rödl，Rucienski和Tetali的结果，他们在2002年证明了三角形的相同陈述，并解决了这些作者提出的问题。我们还推广了他们的一个结果的三色的情况下，并表明，这些定理不需要成立时，$H$是严格的$2$平衡。
2020-10-27 math.CO
Ramsey-type numbers involving graphs and hypergraphs with large girth
一个问题的Erdans问，如果每一对正整数$r$和$k$，存在一个图$H$有$\textrm{girth}(H)=k$和性质，即每个$r$ -着色的边缘$H$产生一个单色循环$C_k$。第三作者和Rucibrski证实了这种图表的存在。我们考虑相关的数值问题，确定最小的这样的图与此属性。我们发现，对于整数$r$和$k$，存在一个图$H$上$R^{10k^2} k^{15k^3}$顶点（其中$R = R(C_k;r)$是$r$ -颜色拉姆齐数的循环$C_k$）有$\textrm{girth}(H)=k$和拉姆齐性质，每个$r$ -着色的$E(H)$产生一个单色$C_k$。两个相关的数值问题，关于等差数列在集和团图也被认为是。
2016-04-18 math.CO
Exact Ramsey numbers of odd cycles via nonlinear optimisation
对于图$G$，$k$ -色拉姆齐数$R_k(G)$是最小整数$N$，使得完全图$K_N$的边的每个$k$ -色包含$G$的单色副本.令$C_n$表示$n$顶点上的圈。我们表明，固定$k\geq2$和$n$奇数和足够大，\[ R_k(C_n)=2^{k-1}(n-1)+1. \]这解决了一个猜想的邦迪和Erdabins [J. Combin。日Ser. B \textbf{14}（1973），46- 54]。证明是分析的性质，其中的第一步是使用规律性的方法，将这个问题在拉姆齐理论的一个非线性优化。这使我们能够证明一个稳定型的概括上述和建立一个令人惊讶的对应极端$k$ -着色这个问题和完美匹配的$k$ -维超立方体$Q_k$。
2016-08-19 math.CO
A general framework for hypergraph colouring
洛瓦兹局部引理是证明组合对象存在性的一种强有力的概率技术。它对于着色图和最大度有界的超图特别有用。本文提出了一个着色超图的一般定理，在许多情况下，匹配或略有改进的使用Lovász局部引理得到的界限。此外，该定理直接表明，有指数许多染色。初等和自包含的证明受到Rosenfeld [2020]最近关于非重复着色的结果的启发。我们应用我们的一般定理的设置正常超图着色，正常图着色，独立断面，星着色，非重复着色，节俭着色，Ramsey数下界，并为$k$ -SAT。
2021-04-13 math.CO
Improved lower bound on an Euclidean Ramsey problem
本文证明了K（C_n）的任意双色着色必包含一个单色平面K_4子图，其中n >= N^*，其中6 <= N^* <= N，N是Graham数。这个界限后来被改进为11 <= N^* <= N。在本文中，它被改进为13 <= N^* <= N。
2008-11-06 math.CO
Calculating Ramsey numbers by partitioning coloured graphs
本文证明了关于分块着色完全图的一个新结果，并利用它精确地确定了某些Ramsey数。我们证明的划分定理是：当k至少为1时，在一个完全图的边着色为红色和蓝色的图中，有可能用k条不相交的红色路覆盖所有的顶点，并且有可能用一个不相交的蓝色平衡完全（k+1）-部图覆盖所有的顶点。当着色为红色连通时，我们证明了一个更强的结果--有可能用k条红色路覆盖所有顶点，并且有可能得到一个蓝色平衡的完全（k+2）-部图。利用这些结果，我们确定的Ramsey数的一条路上的n个顶点，与平衡的完全k-部图，在每一个部分有m个顶点，当m-1是可除的n-1。这推广了Erdos的一个结果，他证明了m=1的情况。我们还确定了Ramsey数的路径上的n个顶点与权力的路径上的n个顶点。这解决了Allen、Brightwell和Skokan的一个猜想。
2013-09-16 math.CO
An algorithmic framework for obtaining lower bounds for random Ramsey problems
在本文中，我们介绍了一个一般的框架，证明下界的各种拉姆齐型问题的随机设置。主要的想法是从算法的角度来看问题：我们的目标是提供一个算法，找到所需的着色与高概率。我们的框架允许减少随机（超）图的边缘概率$p$是否存在一个有限的图形，形成一个障碍的确定性问题，是否拉姆齐属性在手持有的概率问题。在本文的第二部分，我们应用这个框架来处理和解决各种开放的问题。特别地，我们将Bohman，Frieze，Pikhurko和Smyth（2010）关于随机图中有界反Ramsey问题的结果扩展到$2$颜色和超图团的情况。作为推论，这证明了Friedgut，Rödl和Schacht（2010）的结果的匹配下界，并且独立地，Conlon和Gowers（2014+）对于团的超图的经典Ramsey问题。最后，我们给出了Kohayakawa，Konstadinyang和Mota~（2014）在团和圈的情况下引入的反Ramsey问题的适当着色版本的匹配下界。
2014-08-22 math.CO
Two-round Ramsey games on random graphs
Tel Aviv University（特拉维夫大学）；Universitat Politècnica de Catalunya (UPC)（加泰罗尼亚理工大学）
研究随机图中拉姆齐性质阈值的尖锐性，分析两轮博弈中扩展无三角形着色的临界密度，发现当p跨越n^{-3/5}时阈值q发生多项式跳跃。
2026-06-23 math.CO
Big Ramsey Degrees of Countable Ordinals
本文研究可数序数的大拉姆齐度，直接证明了 $T(a,ζ)=2^a$，并确定了所有小于 $ω^ω$ 的序数 $α$ 及所有 $a\in N$ 的 $T(a,α)$ 精确值。
2025-09-24 math.CO
Multicoloured Ramsey numbers of the path of length four
令$P_t$表示$t$顶点上的路径。$P_t$的$r$着色Ramsey数，记为$R_r(P_t)$，是最小整数$n$，使得只要对$n$顶点上的完全图赋予$r$边着色，就存在$P_t$的单色副本.在本文中，我们确定了$R_r(P_5)$，它近似于$3r$。
2021-08-14 math.CO
Three-colour bipartite Ramsey number for graphs with small bandwidth
本文估计了具有小带宽和有界最大度的平衡二部图$H$的$3$ -色二部Ramsey数.更确切地说，我们表明，$N$的最小值，使在任何$3$ -边缘着色的$K_{N,N}$有一个单色的$H$的副本是最多$\big(3/2+o(1)\big)|V(H)|$。特别地，我们确定了平衡网格图的$3$ -色二部Ramsey数。
2018-04-06 math.CO
A note on the grid Ramsey problem
格子拉姆齐数$ G(r) $是最小的数$ n $，使得格子图$Γ_{n,n} := K_n \times K_n$的每一个边用$r$颜色着色都导出一个矩形，其平行边接收相同的颜色。我们展示了$ G(r) \leq r^{\binom{r+1}{2}} - \left( 1/4 - o(1) \right) r^{\binom{r}{2}+1} $，稍微改进了目前最知名的上界由于Gyárfás。
2017-09-27 math.CO
On the Ramsey multiplicity of complete graphs
我们证明了，对于$n$大，必须存在至少\[\frac{n^t}{C^{(1+o(1))t^2}}\]单色$K_t$ s在任何两个着色的边缘的$K_n$，其中$C \approx 2.18$是一个明确定义的常数。旧下界，由于Erdos的\cite{E62}，并基于拉姆齐定理的标准界限，是\[\frac{n^t}{4^{(1+o(1))t^2}}.\]
2007-11-30 math.CO
Anti-Ramsey numbers of small graphs
对于一个图$G$和一个整数$n\geq|V(G)|$，反拉姆齐数$AR(n,G$）被定义为最小整数$r$，使得在$K_n$的任何边着色中至少有$r$颜色，存在$G$的多色副本，即$G$的一个副本，其边具有不同的颜色。在本文中，我们确定了所有图的反Ramsey数最多有四个边。
2013-10-16 math.CO
The adjacent Hindman's theorem and the $\mathbb Z$-Ramsey's theorem
Escuela Superior de Física y Matemáticas Instituto Politécnico Nacional（国立理工学院高等物理与数学学院）；Departamento de Matemáticas, Centro de Investigación y Estudios Avanzados（高级研究中心数学系）
本文研究了平移不变对色的Ramsey定理与相邻Hindman定理的等价性，并探讨了其高维扩展。
2026-02-24 math.CO math.LO
On the closed Ramsey numbers $R^{cl}(ω+n,3)$
本文对可数序数对的拓扑划分关系进行了研究，证明了：对所有整数$n \geq 3$，\begin{align*} R^{cl}(ω+n,3) &\geq ω^2 \cdot n + ω\cdot (R(n,3)-n)+n\\ R^{cl}(ω+n,3) &\leq ω^2 \cdot n + ω\cdot (R(2n-3,3)+1)+1 \end{align*}，其中$R^{cl}(\cdot,\cdot)$和$R(\cdot,\cdot)$分别表示闭Ramsey数和经典Ramsey数.我们还建立了以下渐近较弱的上界\[ R^{cl}(ω+n,3) \leq ω^2 \cdot n + ω\cdot (n^2-4)+1\]消除使用拉姆齐数。这些结果改进了以前已知的上界和下界。
2020-05-19 math.CO math.LO
A Ramsey theorem for the reals
本文在 ZFC 中证明：对实数对的任意有限着色，存在与有理数同胚的集合至多用两种颜色，并推广至一大类拓扑空间。
2024-05-28 math.CO math.GN math.LO
Structural Reductions for Monochromatic Matchings and Ramsey Tilings
Institute for Basic Science（基础科学研究院）；Saint Petersburg State University（圣彼得堡国立大学）；Nanjing University（南京大学）
提出一种无拓扑的结构框架，通过超图正则性、LP对偶和凸几何压缩，渐近证明Alon-Frankl-Lovász定理，并解决完全宿主多色Ramsey平铺问题，得到有效可计算的渐近常数。
2026-08-24 math.CO
List Ramsey numbers
本文介绍了经典Ramsey数的列表着色扩张。我们研究两个拉姆齐数相等时，以及一般情况下，它们之间可以相距多远。我们发现图序列，其中两个是平等的，他们是远离。对于$\ell$ -一致集团，我们证明了列表Ramsey数是有界的，而众所周知，Ramsey数是超指数的，因为一致性至少为$3$ .这与图的情况形成了很大的对比，在图的情况下，我们甚至不能决定集团的平等问题。
2020-08-12 math.CO
The list-Ramsey threshold for families of graphs
本文对Rödl-Ruciński定理进行双重推广，证明图族列表着色版本的拉姆齐性质与经典拉姆齐性质阈值相同，扩展到有限图族并证实Kohayakawa-Kreuter猜想特例，还给出Rödl-Ruciński定理0-陈述的简短自包含证明。
2024-11-21 math.CO
Recent developments in graph Ramsey theory
给定一个图$H$，拉姆齐数$r(H)$是最小的自然数$N$，使得$K_N$的边的任何两种颜色包含$H$的单色副本。自1930年以来，这些数字的存在就已为人所知，但它们的数量行为仍然没有得到很好的理解。即便如此，最近在极值组合学的许多进展的推动下，对拉姆齐数及其变体的研究取得了很大进展。在本调查中，我们将描述其中的一些进展。
2015-05-10 math.CO
The Ramsey number of dense graphs
图H的Ramsey数r（H）是使得在K_n的边的任意二着色中存在H的单色副本的最小数n。研究了具有t个顶点和密度\r的图H的Ramsey数，证明了r（H）\leq 2^{c \sqrt{\r} \log（2/ \r）t}.我们还研究了一些相关的问题，如最大度为\r t的t阶图的Ramsey数和随机图在\mathcal{G}（t，\r）中的Ramsey数，即t阶图的每条边都以概率\r被独立选择.
2009-07-15 math.CO
A class of Ramsey-extremal hypergraphs
在1991年，McKay和Radziszowski证明了，尽管一个13-集合的每个3-子集被赋予两种颜色中的一种，但存在某个4-子集，其四个3-子集具有相同的颜色。超过25年后，这仍然是唯一的非平凡经典拉姆齐数已知的超图。本文给出了12-集的3-子集的所有极值染色，并给出了它们的一些性质。利用这个目录，我们回答了Dudek，Fleur，Mubayi和Rödl关于超图的size-Ramsey数的一个问题.
2016-08-28 math.CO
The tripartite Ramsey number for trees
我们证明了对所有n>0，存在c>0和n_0，使得对所有n>n_0，下列成立.对于$K_{n,n,n}$的边的任意两种着色，一种颜色包含所有阶为t<（3-n）n/2且最大度至多为n^c的树T的副本。这证实了Schelp的一个猜想。
2009-04-22 math.CO
A canonical Ramsey theorem for even cycles in random graphs
University of Ljubljana（卢布尔雅那大学）；Universidade de São Paulo（圣保罗大学）；Universitat Politècnica de Catalunya（加泰罗尼亚理工大学）
本文证明，当边概率 p 足够大时，随机图 G(n,p) 几乎必然满足：任意边染色都包含具有单色、彩虹或字典序三种典范模式的偶环 C_{2k}，并确定了该性质的阈值（至多相差一个对数因子）。
2026-06-23 math.CO
A canonical Ramsey theorem with list constraints in random (hyper-)graphs
Faculty of Mathematics and Physics, University of Ljubljana（卢布尔雅那大学数学物理学院）
该研究确定了在随机k-图中，受列表约束的颜色着色下继承典型拉姆齐性质的阈值，并应用于偶数环的典型拉姆齐性质研究。
2026-02-09 math.CO
Decay-Ramsey Sequences
University College London（伦敦大学学院）；PUC-Rio（天主教里约热内卢大学）；London School of Economics（伦敦政治经济学院）
本文研究衰减-拉姆齐序列的判定问题，定义了$\boldsymbol{a}$-有界着色与衰减-拉姆齐序列的概念，给出相关初步结果。
2026-10-14 math.CO
Turán theorems for unavoidable patterns
我们证明了Bollobás和Fox和Sudakov提出的两个相关Ramsey问题的Turán型定理。首先，对于$t \ge 3$，我们证明了$n$顶点上的完全图的任何两种着色是$δ$ -远不是单色的，当$δ\gg n^{-1/t}$时，包含\emph{unavoidable $t$-colouring}，其中不可避免的$t$ -着色是$2t$阶的团的任何两种着色，其中一种颜色形成一个$t$阶的团或两个不相交的$t$阶的团。接下来，对于$ t\ge 3$，我们证明了当$δ\gg n^{-1/\lceil t/2 \rceil}$时，$n$顶点上的任何$δ$ -远离传递的竞赛图都包含\emph{unavoidable $t$-tournament}，其中不可避免的$t$ -竞赛图是通过将三角形的每个顶点替换为阶为$t$的传递竞赛图而获得的循环三角形的爆破。在一个关于二分图兰数的著名猜想的条件下，这两个结果都可以精确到隐含常数，从而确定了相应的非对角拉姆齐数的数量级。
2019-07-01 math.CO
Schreier Sets in Ramsey Theory
我们表明，拉姆齐理论，域目前设想，以保证存在的大型齐次集的分区上的k元组的话（为每一个自然数k）在有限的字母表，可以扩展到一个分区上的Schreier型集的话（每一个可数序数）。事实上，我们建立了一个扩展的划分定理的卡尔森关于词和（更一般）划分定理的Furstenberg-Katznelson关于组合子空间的一组字（产生从k元组的话，任何固定的自然数k）到一个划分定理的组合子空间（产生从Schreier型集的字的顺序任何固定的可数序数）。进一步，我们得到了Carlson无穷Nash-Williams型的加强（和Ellentuck类型）划分定理关于可变字的无穷序列的一个定理，其中可变字的一个无穷序列和字的所有有限序列的二进制划分，其中一个组件是，此外，一棵树，被假定，结论是给定序列的无限约简的所有Schreier型有限约简具有由划分的树分量的Cantor-Bendixson序数指数确定的行为，落在该指数之上的树分量中，落在其下面的补数中。
2005-10-05 math.CO
Note on the multicolour size-Ramsey number for paths
图$F$的大小拉姆齐数$\hat{R}(F,r)$是最小整数$m$，使得在$m$边上存在图$G$，并且具有以下性质：$G$的边的任何着色都具有$r$颜色，产生$F$的单色副本。本文给出了Krivelevich最近结果的另一种证明，即$\hat{R}(P_n,r) = O((\log r)r^2 n)$ .这个上界几乎是最优的，因为也已知$\hat{R}(P_n,r) = Ω(r^2 n)$。
2018-06-23 math.CO
Study of Exoo's Lower Bound for Ramsey number $R(5,5)$
我们回顾了Exoo在1989年的论文，该论文证明了Ramsey数$R(5,5)$的一个下界是$43$ .我们提供了一种有效的方法来验证论文中的主张，增加了详细的证据。特别是，我们用简洁的论点取代了对计算机验证的引用。利用我们对这些证明背后的洞察力的理解，我们也能够分析图形构造的变化，以获得例如$K_{43}$的着色，其中只有很少的单色$K_5$。
2023-03-25 math.CO
A note on edge-colourings avoiding rainbow K_4 and monochromatic K_m
研究了完全图K_n的边着色的最大颜色数maxR（n，K_m，K_r），使得K_n在m个顶点上没有单色完全子图，在r个顶点上没有彩虹完全子图.改进了Axenovich和Iverson的一个上界，证明了对所有m >= 3，maxR（n，K_m，K_4）<= n^{3/2} \sqrt{2m}.进一步讨论了基于有限射影平面的关联图来提高它们的maxR（n，K_4，K_4）下界的可能途径.
2009-02-10 math.CO
The multicolour size-Ramsey number of powers of paths
给定一个正整数$s$，一个图$G$是一个图$H$的$s$-Ramsey，记为$G\rightarrow (H)_s$，如果$G$的边的每一个$s$ -着色都包含$H$的单色拷贝.定义图$H$的$s$ -颜色大小-Ramsey数${\hat{r}}_s(H)$为${\hat{r}}_s(H)=\min\{|E(G)|\colon G\rightarrow (H)_s\}$ .证明了对所有正整数$k$和$s$，都有${\hat{r}}_s(P_n^k)=O(n)$，其中$P_n^k$是$n$ -顶点路$P_n$的$k$次幂.
2018-11-02 math.CO
Ramsey properties of randomly perturbed dense graphs
研究了在给定的稠密图上添加随机边的随机图模型的Ramsey性质。具体来说，我们确定上界的功能$p=p(n)$，确保任何密集图$G_n$ a.a.s. $G_n\cup G(n,p)$的边的每一个2-着色都允许完全图$K_r$的单色拷贝。当$r\geq 5$为奇数时，这些边界是渐近尖锐的;当$r\geq 4$为偶数时，这些边界几乎是尖锐的。我们的证明利用最近的结果的阈值不对称拉姆齐性质的$G(n,p)$和方法的依赖随机选择。
2019-02-06 math.CO
Counting monochromatic copies of K_4: a new lower bound for the Ramsey multiplicity problem
用k_4（n）表示K_4的边的2-着色中K_4的最小单色拷贝数，设c_4：= lim k_4（n）/ \binom{n}{4} .到目前为止，最著名的界限是由格里森给出的，他证明了c_4 < 1/33 \approx 0.0303，而Giraud证明了c_4 > 1/46 \approx 0.0217。本文证明了新的下界c_4 > 204603019 / 7112448000 > 0.0287。
2012-07-19 math.CO
Qualitative representations of chromatic algebras
传统的关于完全图边着色的Ramsey理论研究都是围绕着避免某些构型展开的。出于定性推理领域中出现的考虑，我们探讨边着色，除了禁止某些三角形配置也需要其他人在场。这些条件本身具有天然的组合性，但也对应于某些非结合关系代数的定性表示性，我们称之为色性。
2022-01-09 cs.DM math.CO math.LO
Canonical colourings in random graphs
本研究将确定性场景下的Erdős-Rado规范着色定理推广到随机图环境，证明当ℓ≥4时，随机图规范着色性质的阈值与Rödl-Ruciński拉姆齐阈值一致，核心贡献为借助Conlon-Gowers迁移原理完成1-命题证明。
2025-07-30 math.CO
