Ramsey equivalence of $K_n$ and $K_n+K_{n-1}$ for multiple colours
在2015年，Bloom和Liebenau证明了$K_n$和$K_n+K_{n-1}$对于所有$n\geq 3$都具有相同的$2$图（$n=3$除外）。下面我们给出一个简单的证明，证明了对于所有的$n, r\geq 3$，$K_n$和$K_n+K_{n-1}$具有相同的$r$图.
2017-09-14 math.CO
The $m$-bipartite Ramsey number $BR_m(H_1,H_2)$
在图$G$的$(G^1,G^2)$染色中，$G$的每条边都在$G^1$或$G^2$中。对于两个二部图$H_1$和$H_2$，二部Ramsey数$BR(H_1, H_2)$是最小整数$b\geq 1$，使得对于完全二部图$K_{b,b}$的每个$(G^1, G^2)$着色，都导致$H_1\subseteq G^1$或$H_2\subseteq G^2$。作为另一种观点，对于二部图$H_1$和$H_2$以及正整数$m$，$H_1$和$H_2$的$m$ -二部Ramsey数$BR_m(H_1, H_2)$是最小整数$n$，使得$K_{m,n}$的每个子图$G$导致$H_1\subseteq G$或$H_2\subseteq \overline{G}$。迄今为止，已有几篇文章计算了$m$ -二部Ramsey数$BR_m(K_{2,2}, K_{2,2})$的大小、$m$ -二部Ramsey数$BR_m(K_{2,2}, K_{3,3})$的大小和$m$ -二部Ramsey数$BR_m(K_{3,3}, K_{3,3})$的大小.在本文中，我们确定的精确值$BR_m(K_{2,2}, K_{4,4})$为每个$m\geq 2$。
2022-02-10 math.CO
Multipartite Ramsey numbers of complete bipartite graphs arising from algebraic combinatorial structures
针对已有方法受限于Hadamard矩阵阶数条件导致的多部拉姆齐数研究遗留问题，该研究引入猜想任意阶存在的$[α]$-Hadamard矩阵推广前人结果，确定了特定完全二部图的两类多部拉姆齐数。
2023-07-19 math.CO
All partitions have small parts - Gallai-Ramsey numbers of bipartite graphs
Gallai染色是边着色的完全图，其中不存在彩虹三角形。在这样的彩色完全图，我们考虑拉姆齐型问题，寻找指定的单色图。在这项工作中，我们考虑单色二部图，因为已知的数字增长速度比非二部图。主要结果表明，它足以只考虑$3$ -染色，有一个特殊的划分的顶点。利用这个工具，我们找到了几个锐数，并推测了所有二部图的锐值。特别地，我们确定了所有二部图的Gallai-Ramsey数，并开始了线性森林的研究。
2017-10-28 math.CO
Degree bipartite Ramsey numbers
令$H\xrightarrow{s} G$表示由$s$颜色对$H$的任何边着色包含单色$G$。将次数Ramsey数$r_Δ(G;s)$定义为$\min\{Δ(H):H\xrightarrow{s} G\}$，将次数二分Ramsey数$br_Δ(G;s)$定义为$\min\{Δ(H):H\xrightarrow{s} G\; \mbox{and} \;χ(H)=2\}$。本文证明了当$m$固定时，$r_Δ(K_{m,n};s)$对$n$是线性的.我们还确定了$br_Δ(G;s)$，其中$G$是树，包括星和路，和完全二部图。
2019-08-31 math.CO
Density theorems for bipartite graphs and related Ramsey-type results
本文给出了几个密度型定理，这些定理说明了如何在正密度图中找到稀疏二部图的一个副本。我们的结果为图拉姆齐理论中的经典问题提供了几个新的界，改进和推广了众多研究者早期的结果。证明结合概率参数与一些组合的想法。此外，这些技巧还可以用来研究具有禁止诱导子图的图的性质，拓扑图中的边交模式，以及得到其他几个Ramsey型命题。
2007-11-11 math.CO
Hedgehogs are not colour blind
我们证明了一类$3$ -一致超图的性质：它们的$2$ -色Ramsey数以顶点数的多项式增长，而它们的$4$ -色Ramsey数以指数增长.这是第一个例子一类超图的拉姆齐数表现出强烈的依赖于颜色的数量。
2015-11-02 math.CO
The bipartite $K_{2,2}$-free process and bipartite Ramsey number $b(2, t)$
二分拉姆齐数$b(s,t)$是最小整数$n$，使得$K_{n,n}$的每个蓝-红边着色包含蓝色$K_{s,s}$或红色$K_{t,t}$。在二分$K_{2,2}$ -free过程中，我们从顶点集$X\cup Y$上的一个空图开始，$|X|=|Y|=n$ .在每一步，在不形成$K_{2,2}$的限制下，从$X\times Y$添加随机边缘。重复此步骤，直到不能添加更多边。在这篇文章中，我们分析了这个过程，并表明，由此产生的图见证了$b(2,t) =Ω\left(t^{3/2}/\log t \right)$，从而提高了最知名的下限。
2018-08-06 math.CO
Asymptotic Size Ramsey Results for Bipartite Graphs
研究了涉及二部图的Ramsey数的大小.证明了如果每个禁止图是固定的或随n增长（以某种一致的方式），则其极值函数具有线性渐近性。相应的斜率可以作为某个混合整数规划的最小值来获得。应用Farkas引理，我们解决了完全二部图的MIP，特别是回答了Erdos，Faudree，Rousseau和Schelp（1978）的一个问题，他们要求在固定s和大n的情况下（K_{s,n}，K_{s,n}）的大小Ramsey数的渐近性。
2001-08-27 math.CO
Monochromatic tree covers and Ramsey numbers for set-coloured graphs
我们考虑一个概括的经典拉姆齐理论设置的设置，其中每个边缘的基础主机图是彩色的{ \em集}的颜色（而不是只有一种颜色）。我们给出了单色树覆盖在这种设置下，无论是一个基本的完全图，和一个基本的完全二部图的界限。我们还讨论了一个概括的拉姆齐数，我们的设置，并提出了一些其他的新方向。我们对完全图中树覆盖的研究结果表明，对于$k$ -交$r$ -部$r$ -一致超图，Ryser猜想的一个更强的版本成立：它们的横截最多为$r-k$ .（Király等人也得到了类似的结果，见下文）。然而，我们也表明，绑定$r-k$是不是最好的可能在一般情况下。
2018-05-28 math.CO
The bipartite Ramsey number $br(C_{2n}, C_{2m})$
给定二部图$H_1$，\dots，$H_k$，二部Ramsey数$br(H_1,\dots, H_k)$是最小整数$N$，使得完全二部图$K_{N, N}$的任何$k$ -边染色包含一个单色$H_i$，$i$为$1\le i\le k$ .关于圈的二部Ramsey数的渐近值已有相当多的结果。对于精确值，Zhang-Sun \cite{Zhangs}测定$br(C_4, C_{2n})$，Zhang-Sun-Wu \cite{Zhangsw}测定$br(C_6, C_{2n})$，Gholami-Rowshan \cite{GR}测定$br(C_8, C_{2n})$。本文解决了其余所有情形，并给出了所有$n\ge m\ge 5$的$br(C_{2n}, C_{2m})$的精确值，从而回答了Bucić-Letzter-Sudakov \cite{BLS}，Gholami-Rowshan \cite{GR}，Zhang-Sun \cite{Zhangs}，Zhang-Sun-Wu \cite{Zhangsw}所关心的一个问题.
2023-01-30 math.CO
Calculating Ramsey numbers by partitioning coloured graphs
本文证明了关于分块着色完全图的一个新结果，并利用它精确地确定了某些Ramsey数。我们证明的划分定理是：当k至少为1时，在一个完全图的边着色为红色和蓝色的图中，有可能用k条不相交的红色路覆盖所有的顶点，并且有可能用一个不相交的蓝色平衡完全（k+1）-部图覆盖所有的顶点。当着色为红色连通时，我们证明了一个更强的结果--有可能用k条红色路覆盖所有顶点，并且有可能得到一个蓝色平衡的完全（k+2）-部图。利用这些结果，我们确定的Ramsey数的一条路上的n个顶点，与平衡的完全k-部图，在每一个部分有m个顶点，当m-1是可除的n-1。这推广了Erdos的一个结果，他证明了m=1的情况。我们还确定了Ramsey数的路径上的n个顶点与权力的路径上的n个顶点。这解决了Allen、Brightwell和Skokan的一个猜想。
2013-09-16 math.CO
The size-Ramsey number of powers of bounded degree trees
给定一个正整数$s$，图$H$的$s$ -颜色大小-拉姆齐数是最小的整数$m$，使得存在具有$m$边的图$G$，其性质是，在$E(G)$与$s$颜色的任何着色中，存在$H$的单色副本。证明了对任意正整数$k$和$s$，任意$n$ -顶点有界度树的$k$次幂的$s$ -颜色大小-Ramsey数在$n$中是线性的.作为推论，我们得到了$n$中树宽和度都有界的$n$ -顶点图的$s$ -颜色大小Ramsey数是线性的，这回答了Kamčev，Liebenau，Wood和Yepremyan提出的一个问题[The size Ramsey number of graphs with bounded treewide，arXiv：1906.09185（2019）]。
2019-07-12 math.CO
On the structural growth of bipartite Ramsey numbers
School of Mathematical Sciences, and Institute of Mathematics and Interdisciplinary Sciences, Tianjin Normal University（天津师范大学数学科学学院、数学与交叉科学研究院）
本文研究了双图Ramsey数的结构依赖增长现象，给出了双图Ramsey数的下界和上界，揭示了稠密双图无法保持线性Ramsey大小的结论。
2026-04-28 math.CO
Zarankiewicz Numbers and Bipartite Ramsey Numbers
Zarankiewicz数$z(b;s)$是不包含$K_{s,s}$作为子图的$K_{b,b}$的子图的最大大小。双色二分Ramsey数$b(s,t)$是最小整数$b$，使得用两种颜色对$K_{b,b}$的边的任何着色包含第一颜色的$K_{s,s}$或第二颜色的$K_{t,t}$。在这项工作中，我们设计和利用的计算方法的边界和计算Zarankiewicz数。利用它，我们得到了$3 \le s \le 6$的$z(b;s)$的几个新的值和界.我们的方法和关于$z(b;s)$的新知识使我们改进了Goddard，Henning和Oellermann在2000年得到的关于二分Ramsey数的一些结果.特别是，我们计算最小的先前未知的二分拉姆齐数，$b(2,5)=17$。证明了直到同构存在唯一的$2$ -染色，证明了下界$16<b(2,5)$ .我们还发现$b(2,2,3)$，$17 \le b(2,2,3) \le 18$，这是目前最小的开放情况下，双二分Ramsey数的紧界。
2016-04-05 math.CO
A lower bound for set-colouring Ramsey numbers
集合着色Ramsey数$R_{r,s}(k)$被定义为最小$n$，使得如果完全图$K_n$的每条边被分配来自$\{1,\ldots,r\}$的一组$s$颜色，则其中一种颜色包含大小为$k$的单色团。格$s = 1$是通常的$r$ -色拉姆齐数，而格$s = r - 1$是由埃尔德什、哈伊纳尔和拉多在1965年研究的，埃尔德什和塞梅雷迪在1972年研究的。关于一般$s$的第一个有意义的结果是最近才由Conlon、Fox、He、Mubayi、Suk和Verstraëte获得的，他们表明如果$s/r$与$0$和$1$有界，则$R_{r,s}(k) = 2^{Θ(kr)}$。然而，在范围$s = r - o(r)$中，它们的上界和下界显著偏离。在本说明中，我们引入了一个新的（随机）着色，并使用它来确定$R_{r,s}(k)$的指数，基本上所有的$r$，$s$和$k$的多对数因子。
2023-01-17 math.CO
An improved method for recursively computing upper bounds for two-colour Ramsey numbers
双色Ramsey数$R(m,n)$是最小自然数$p$，使得任何$p$阶图必须包含大小为$m$的团或大小为$n$的独立集。我们展示了一种方法，用于计算上界$R(m,n)$递归，使用已知的上界的$R(\cdot,\cdot)$与较低的值，至少一个参数。我们还给出了一个例子，说明如何使用这种方法来改进文献中可用的几个最知名的边界（但由于即将开展的工作，这些边界很快就会过时）。
2018-04-01 math.CO
Anti-Ramsey numbers of small graphs
对于一个图$G$和一个整数$n\geq|V(G)|$，反拉姆齐数$AR(n,G$）被定义为最小整数$r$，使得在$K_n$的任何边着色中至少有$r$颜色，存在$G$的多色副本，即$G$的一个副本，其边具有不同的颜色。在本文中，我们确定了所有图的反Ramsey数最多有四个边。
2013-10-16 math.CO
On Ramsey-type problems for paths and cycles with few colour changes
London School of Economics（伦敦政治经济学院）；Technische Universität Hamburg（汉堡工业大学）
受1967年Gerencser和Gyárfás关于路径双色拉姆齐数结论启发，研究3边着色完全图中颜色变化少的路径和圈，引入新参数，给出路径和偶圈的相关拉姆齐型参数结果。
2026-07-07 math.CO
The $m$-bipartite Ramsey number of the $K_{2,2}$ versus $K_{6,6}$
给定二部图$G_1, \ldots, G_n$，二部Ramsey数$BR(G_1,\ldots, G_n)$是最后一个整数$b$，使得任何边着色为$1,2,\ldots,n$的完全二部图$K_{b,b}$包含某个$G_i$（$1\leq i\leq n$）的副本，其中$G_i$的所有边都着色为$i$。作为二部Ramsey数的另一种观点，对于给定的二部图$G_1, \ldots, G_n$和正整数$m$，$m$ -二部Ramsey数$BR_m(G_1, \ldots, G_n)$被定义为最小整数$b$，使得任何具有颜色$1,2,\ldots,n$的边的完全二部图$K_{m,b}$包含某个$G_i$（$1\leq i\leq n$）的副本，其中$G_i$的所有边都具有颜色$i$。$BR_m(G_1, G_2)$的大小，其中$G_1=K_{2,2}$和$G_2\in \{K_{3,3}, K_{4,4}\}$用于每个$m$和$BR_m(K_{3,3}, K_{3,3})$和$BR_m(K_{2,2}, K_{5,5})$的大小用于$m$的特殊值，已经在几篇文章中确定到现在。在这篇文章中，我们计算了一些$m\geq 2$的$BR_m(K_{2,2}, K_{6,6})$的大小。
2022-02-26 math.CO
Turán Colourings in Off-Diagonal Ramsey Multiplicity
本研究将Fox和Wigderson关于由带临界边的连通非3-可着色图加悬挂边构成的图类的Ramsey重数常数由Turán着色达到的结果，推广到涉及两图红、蓝副本加权和最小化的非对角Ramsey重数常数变体。
2024-01-30 math.CO
A note on the grid Ramsey problem
格子拉姆齐数$ G(r) $是最小的数$ n $，使得格子图$Γ_{n,n} := K_n \times K_n$的每一个边用$r$颜色着色都导出一个矩形，其平行边接收相同的颜色。我们展示了$ G(r) \leq r^{\binom{r+1}{2}} - \left( 1/4 - o(1) \right) r^{\binom{r}{2}+1} $，稍微改进了目前最知名的上界由于Gyárfás。
2017-09-27 math.CO
A canonical Ramsey theorem for exactly $m$-coloured complete subgraphs
给定一个图的边着色有一组$m$颜色，如果每种颜色都被使用，我们说这个图是（精确）$m$ -着色的.我们考虑$\mathbb{N}$上完全图的边着色问题，证明了对于任意自然数$m$，都可以找到一个$m$着色的完全子图，或者存在一个以两种标准方式之一着色的无限子集$X \subset \mathbb{N}$：着色在$X$上是内射的，或者在$X$中存在一个可区分的顶点$v$，使得$X \setminus \lbrace v \rbrace$是$1$ -$v$和$X \setminus \lbrace v \rbrace$之间的每个边缘都有不同的颜色（都与$X \setminus \lbrace v \rbrace$上使用的颜色不同）。这回答了Stacey和Weidl在1999年提出的一个问题。我们开发的技术，也使我们能够解决一些进一步的问题，找到$m$着色完全子图的着色与许多颜色。
2016-09-06 math.CO
The bipartite Ramsey numbers $BR(C_8, C_{2n})$
本文研究二部 Ramsey 数，针对任意二部图定义多色二部 Ramsey 数，并给出了当 $n\geq2$ 时 $BR(C_8,C_{2n})$ 的精确值。
2024-01-03 math.CO
Directed Ramsey number for trees
本文研究了有向图的Ramsey型问题。我们首先考虑$H$的$k$ -颜色定向的Ramsey数，记为$\overrightarrow{R}(H,k)$，这是最小的$n$，对于它，$n$顶点上的每个$k$ -边色竞赛图包含$H$的单色副本。我们证明了对于任何有向树$T$，都有$ \overrightarrow{R}(T,k) \le c_k|T|^k$.这是一个概括的一个类似的结果直接路径Chvátal和Gyárfás和Lehel，并回答了一个问题Yuster。一般情况下，它紧到一个常数因子。我们还考虑了$H$的$k$ -颜色有向拉姆齐数$\overleftrightarrow{R}(H,k)$，它的定义如上，但是，而不是着色比赛，我们的颜色顺序$n$的完全有向图。在这里，我们表明，$ \overleftrightarrow{R}(T,k) \le c_k|T|^{k-1}$为任何定向树$T$，这是再次紧到一个常数的因素，它概括了一个结果威廉姆森和Gyárfás和Lehel谁确定的$2$ -颜色定向拉姆齐数的有向路径。
2018-12-10 math.CO
An Anti-Ramsey Problem Concerning Complete Bipartite Graphs
考虑正整数的四元组$(a,b,m,n)$与$a\leq b$和$m\leq n$使得完全二部图$K_{m,n}$的任意正常边染色包含彩虹$K_{a,b}$子图.我们证明，任何这样的四元与$a\leq m$和$n>(a^2-a+1)(b-1)$满足这一性质。我们还证明了四重$(2,3,3,6)$满足这一性质。我们以一个猜想结束。
2015-06-25 math.CO
A class of Ramsey-extremal hypergraphs
在1991年，McKay和Radziszowski证明了，尽管一个13-集合的每个3-子集被赋予两种颜色中的一种，但存在某个4-子集，其四个3-子集具有相同的颜色。超过25年后，这仍然是唯一的非平凡经典拉姆齐数已知的超图。本文给出了12-集的3-子集的所有极值染色，并给出了它们的一些性质。利用这个目录，我们回答了Dudek，Fleur，Mubayi和Rödl关于超图的size-Ramsey数的一个问题.
2016-08-28 math.CO
On the minimum degree of minimal Ramsey graphs for multiple colours
对于图H，记为G \rightarrow（H）_r，如果G的边的每一个r-着色都包含H的一个单色副本，则称G是r-Ramsey图.称图G为r-Ramsey-minimal（H），如果它是r-Ramsey（H），但G的任意真子图都不具有此性质.设s_r（H）表示G在所有对H为r-Ramsey-极小的图G上的最小度。参数s_2的研究是由伯尔、埃尔德什和洛瓦兹在1976年开始的，当时他们证明了对于团s_2（K_k）=（k-1）^2。本文研究了s_r（K_k）对r的依赖性，证明了在k为常数的条件下，s_r（K_k）= r^2 polylog r.我们还给出了s_r（K_k）的一个上界，它是关于r和k的多项式，并且我们确定了s_r（K_3）的log r因子。
2015-02-10 math.CO
Another view of Bipartite Ramsey numbers
对于二部图$G$和$H$以及正整数$m$，$G$和$H$的$m$ -二部Ramsey数$BR_m(G, H)$是最小整数$n$，使得$K_{m,n}$的每个红-蓝着色都导致红色$G$或蓝色$H$。毕振明、Gary Chartrand和Ping Zhang在\cite{bi2018another}中对所有正整数$m$当$G= K_{2,2}$和$H \in \{K_{2,3}, K_{3,3}\}$，特别是在一个长而硬的论证中，他们证明了$BR_5(K_{2,2}, K_{3,3}) = BR_6(K_{2,2}, K_{3,3}) = 12$和$BR_7(K_{2,2}, K_{3,3}) = BR_8(K_{2,2}, K_{3,3}) = 9$。在本文中，我们通过简短的论证来确定每个$m\geq 1$的$BR_m(K_{2,2}, K_{3,3})$的确切值。
2022-01-30 math.CO
Chromatic number is Ramsey distinguishing
一个图$G$是图$H$的Ramsey，如果图$G$的边的每一个着色都包含$H$的一个单色拷贝.两个图$H_1$和$H_2$是Ramsey等价的，如果任何图$G$对于$H_1$是Ramsey当且仅当它对于$H_2$是Ramsey.如果$s(H_1)\neq s(H_2)$暗示$H_1$和$H_2$不是Ramsey等价的，则图参数$s$是Ramsey可区分的。本文证明了色数是一个Ramsey判别参数。我们还扩展到多色的情况下，并使用类似的想法，找到另一个图形参数，这是拉姆齐区分。
2022-03-09 math.CO
On minimal Ramsey graphs and Ramsey equivalence in multiple colours
对于一个整数$q\ge 2$，一个图$G$称为$q$-Ramsey，如果$G$的边的每个$q$ -着色都包含$H$的一个单色拷贝.如果$G$是$H$的$q$ -Ramsey，但没有$G$的真子图具有此性质，则称$G$是$H$的$q$ -Ramsey-极小.推广了Burr，Nešethabil和Rödl在1977年的一个声明，我们证明了，对于$q\ge 3$，如果$G$是一个图，对于某个图$H$不是$q$ -Ramsey，那么对于$H$，$G$作为导出子图包含在无穷多个$q$ -Ramsey-极小图中，只要$H$是$3$ -连通或同构于三角形.对于这样的$H$，以下是一些后果。(1)对于$2\le r< q$，$H$的每一个$r$ -Ramsey-极小图都包含在无限个$H$的$q$ -Ramsey-极小图中作为导出子图. (2)对于每个$q\ge 3$，存在最大度、亏格和色数都任意大的$H$的$q$ -Ramsey-极小图. (3)集合$\{{\cal M}_q(H) : H \text{ is 3-connected or } K_3\}$形成关于子集关系的反链，其中${\cal M}_q(H)$表示对于$H$是$q$ -Ramsey最小的所有图的集合。我们还解决了这对图满足${\cal M}_q(H_1)={\cal M}_q(H_2)$的问题，在这种情况下，$H_1$和$H_2…
2020-03-24 math.CO
Cuboids are canonically Ramsey
University of Cambridge（剑桥大学）
本文证明所有立方体都是典范的拉姆齐，通过构造适当的点集，证明任意着色下总存在单色或彩虹立方体副本。
2026-03-26 math.CO
3-colored asymmetric bipartite Ramsey number of connected matchings and cycles
令$k,l,m$为整数，并且$r(k,l,m)$为最小整数$N$，使得对于$K_{N,N}$的任何红-蓝-绿着色，在组件中存在大小至少为$k$的红色匹配，或者在组件中存在大小至少为$l$的蓝色匹配，或者在组件中存在大小至少为$m$的绿色匹配。本文完全确定了$r(k,l,m)$的精确值。应用一种技术起源于Zuuczak，应用Szemerédi的正则引理，以减少问题的存在，显示一个单色的循环，以显示存在的单色匹配的一个组件，我们获得了3色不对称的二分拉姆齐数的循环渐近。
2018-09-18 math.CO
A natural generalisation in graph Ramsey theory
本文研究了图$G_r$的一个性质：$E(G_r)$的每一个用$r+1$着色的图都允许一个用至多$r$颜色的图$H$的拷贝.对于$1\le r\le e(H)$，这种图自然出现在合成$2$ -彩色Ramsey图$G_1\longrightarrow H$的中间步骤. (The Ramsey型数的概念是由Erdös，Hajnal和Rado在1965年提出的，随后由Erdös和Szemerédi在1972年研究）。对于$H=K_n$，我们证明了从一个$G_{r+1}$构造一个$G_{r}$的结果，并建立了Ramsey-无穷性。从结构的角度来看，我们将类的最小的$G_r$的情况下，当$H$是放松的图形属性包含一个周期，然后我们用它来实现建设性的描述，证明减少和扩展定理。
2017-10-19 math.CO
Sharper Zarankiewicz and Diagonal Bipartite Ramsey Bounds
University of Illinois Chicago（伊利诺伊大学芝加哥分校）
证明二分图边稠密时存在完全二分子图的更优界，改进 Zarankiewicz 与对角二分 Ramsey 数上界至 $O(2^t)$，方法由 GPT-6 Astra 发现。
2026-09-29 math.CO
Multicolour Ramsey Numbers of Odd Cycles
证明了对任意正整数$r$，存在一个整数$k$和$K_{2^{k}+1}$的边的$k$ -着色，且不存在长度小于$r$的单色奇循环.这使得Erdés和Graham的一个问题的进展，并回答了Chung的一个问题。我们使用这些着色给新的下界$k$ -彩色拉姆齐数的奇循环，并证明，所有奇$r$和所有$k$足够大，存在一个常数$ε= ε(r) > 0$，使$R_{k}(C_{r}) > (r-1)(2+ε)^{k-1}$。
2017-01-16 math.CO
Odd-Ramsey numbers of complete bipartite graphs
本文研究完全二部图的奇拉姆齐数，完整解决生成完全二部图族的对应问题，证明其与线性二元码最大维数问题等价，借助编码理论结果得到渐近紧界，并给出非生成完全二部子图的奇拉姆齐数界。
2024-10-08 math.CO
Bipartite cuts in Ramsey-Turán style
University of Illinois Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）；Institute for Basic Science (IBS)（韩国基础科学研究院）；Iowa State University（爱荷华州立大学）
研究无 K5 且独立数次线性的 n 顶点图，证明通过移除至多 n^2(1/18+o(1)) 条边可使其成为二分图，常数 1/18 最优，方法涉及边加权 Turán 定理扩展和旗代数。
2026-06-19 math.CO
Improved lower bound on an Euclidean Ramsey problem
本文证明了K（C_n）的任意双色着色必包含一个单色平面K_4子图，其中n >= N^*，其中6 <= N^* <= N，N是Graham数。这个界限后来被改进为11 <= N^* <= N。在本文中，它被改进为13 <= N^* <= N。
2008-11-06 math.CO
Multicoloured Ramsey numbers of the path of length four
令$P_t$表示$t$顶点上的路径。$P_t$的$r$着色Ramsey数，记为$R_r(P_t)$，是最小整数$n$，使得只要对$n$顶点上的完全图赋予$r$边着色，就存在$P_t$的单色副本.在本文中，我们确定了$R_r(P_5)$，它近似于$3r$。
2021-08-14 math.CO
On Multicolour Ramsey Numbers and Subset-Colouring of Hypergraphs
本文改进了多色超图Ramsey数的已知下界，并研究了使超图中大超边非单色的子集着色问题，基于色数给出了所需颜色数的上下界。
2021-03-23 math.CO
Size-Ramsey numbers of powers of hypergraph trees and long subdivisions
超图$H$的$s$ -色大小-Ramsey数是指每一个$s$ -边着色都包含一个$H$的单色副本的超图$G$中的最小边数。我们证明了对于每个固定的$r, s, t$，$n$顶点上的$r$ -均匀紧路的$t$ -幂的$s$ -颜色大小-拉姆齐数在$n$中是线性的，从而回答了Dudek，La Fleur，Mubayi和Rödl（2017）的问题。事实上，我们证明了一个更强的结果，使我们能够推断，权力的有界度超图树和权力的有界度超图的“长细分”的大小拉姆齐数是线性的顶点数。这扩展和强烈概括了最近的结果的线性大小拉姆齐数的权力有界度树和长期细分的有界度图。
2021-04-16 math.CO
Some upper bounds on ordinal-valued Ramsey numbers for colourings of pairs
我们研究拉姆齐定理对和两个颜色的背景下，理论的$α$ -大集介绍Ketonen和Solovay。证明了来自$ω^{300n}$ -大集的对的任何$2$ -着色都存在$ω^n$ -大齐次集.我们解释了这个界限的形式化版本是如何给出一个更直接的证明，并加强了Patey和Yokoyama [Adv. Math. 330（2018），1034- 1070]的最近结果，该结果指出拉姆齐关于对和两种颜色的定理是$\forallΣ^0_2$ -保守的，超过了公理理论$\mathsf{RCA}_0$（递归理解）。
2018-11-09 math.CO math.LO
Bipartite Ramsey numbers of large cycles
对于整数$r\geq 2$和二部图$H_i$，其中$1\leq i\leq r$，二部Ramsey数$br(H_1,H_2,\ldots,H_r)$是最小整数$N$，使得完全二部图$K_{N,N}$的任何$r$ -边染色包含与$H_i$在颜色$i$上同构的单色子图，对于某些$i$，$1\leq i\leq r$。我们发现，对于$α_1,α_2>0$，$br(C_{2\lfloor α_1 n\rfloor},C_{2\lfloor α_2 n\rfloor})=(α_1+α_2+o(1))n$。我们还表明，如果$r\geq 3, α_1,α_2>0, α_{j+2}\geq [(j+2)!-1]\sum^{j+1}_{i=1} α_i$为$j=1,2,\ldots,r-2$，那么$br(C_{2\lfloor α_1 n\rfloor},C_{2\lfloor α_2 n\rfloor},\ldots,C_{2\lfloor α_r n\rfloor})=(\sum^r_{j=1} α_j+o(1))n.$为$ξ>0$和足够大的$n$，让$G$是一个二分图，二分$\{V_1,V_2\}$，$|V_1|=|V_2|=N$，其中$N=(2+8ξ)n$。证明了如果$δ(G)>(\frac{7}{8}+9ξ)N$，则$G$的任何$2$ -边着色都包含$C_{2n}$的单色拷贝.
2018-08-31 math.CO
Sharp thresholds for Ramsey properties of strictly balanced nearly bipartite graphs
对于一个给定的图$F$，我们考虑具有$F$的Ramsey性质的（有限）图$G$族，即具有如下性质的图$G$的集合：$G$的边的每一个双着色产生$F$的单色副本。对于$F$是一个三角形，Friedgut，Rödl，Rucibrski和Tetali（2004）建立了随机图中Ramsey性质的尖锐阈值。我们得到了这个结果的一个简单的证明，它扩展到更一般的一类图$F$，包括所有的周期。这个证明是基于Friedgut（1999）的锐阈值准则，以及最近由Saxton和Mesason，Balogh，Morris和Samotij开发的超图中独立集的容器方法。这个证明建立在Friedgut等人最近的一些工作上，他们为范德瓦尔登定理建立了一个类似的结果。
2016-11-29 math.CO
Size-Ramsey numbers of tight paths
本文证明了固定均匀度和颜色数下，紧路径的尺寸-拉姆齐数关于顶点数呈线性增长，解决了 Dudek 等人提出的公开问题。
2025-07-02 math.CO
The (t-1)-chromatic Ramsey number for paths
确定一个固定图的Ramsey数的经典问题的以下放松已经首先由Erdos，Hajnal和Rado在50多年前提出。给定一个图$G$和一个整数$t \geq 2$，确定最小数目$N$，使得在$N$顶点上的任何$t$着色的完全图中，存在一个仅使用某些$t-1$颜色的边的$G$的副本.当$G$是路径时，我们精确地确定答案。
2021-06-26 math.CO
Graph classes with linear Ramsey numbers
一类图$X$的Ramsey数$R_X(p,q)$是最小$n$，使得$X$中的每个至少有$n$顶点的图要么有一个大小为$p$的团，要么有一个大小为$q$的独立集.我们说Ramsey数在$X$中是线性的，如果存在一个常数$k$使得对所有$p,q$都有$R_{X}(p,q) \leq k(p+q)$.本文猜想，如果$X$是由多个禁止诱导子图定义的遗传类，则$X$中的Ramsey数是线性的当且仅当$X$不包含森林、不交的团并及其补图.我们证明了这个猜想的“只有当”的一部分，并验证了“如果”的一部分，为各种类。我们也适用于二分拉姆齐数的线性度的概念，并揭示了一些相似之处和差异的二分和非二分的情况。
2020-12-04 math.CO
Ramsey numbers of multiple copies of a graph and the random Ramsey theorem
HUN-REN Alfréd Rényi Institute of Mathematics（HUN-REN 阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）；Iowa State University（爱荷华州立大学）；University of Birmingham（伯明翰大学）
本文研究了随机环境下Burr-Erdős-Spencer定理的扩展，通过证明一个随机版本的定理，推广了Rödl和Ruciński的随机Ramsey定理。
2026-07-07 math.CO
Sharp thresholds for Ramsey properties
Weizmann Institute of Science（魏茨曼科学研究所）；Tel Aviv University（特拉维夫大学）；Universität Hamburg（汉堡大学）
本文提出了一种统一框架，用于确定Ramsey性质在随机图和算术设定中的精确阈值条件。
2022-07-28 math.CO
Multicolor bipartite Ramsey number of double stars
本文研究了双星$S(n,m)$的多色二部Ramsey数，通过在二部设定中应用Turán论证，证明了在$k=2$且$n\ge m$或$k\ge3$且$n\ge 2m$条件下，该Ramsey数等于$kn+1$。
2024-03-28 math.CO
On the Multi-coloured Ramsey Numbers of Cycles
对于图$L$和整数$k\geq 2$，$R_k(L)$表示最小整数$N$，对于该最小整数$N$，对于完全图$K_N$的任何边由$k$颜色着色，存在颜色$i$，对于该颜色$i$，相应的颜色类包含$L$作为子图。Bondy和Erdans证明了对$n$顶点上的奇数圈$C_n$，有$$R_k(C_n) = 2^{k-1}(n-1)+1 \text{for $n>3$.}$$.他们证明了当$k=2$时的情形，并给出了一个上界$R_k(C_n)\leq (k+2)!n$ .最近，这一猜想已被验证$k=3$，如果$n$是大的。本文证明了对任意整数$k\geq 4$，$$R_k(C_n)\leq k2^kn+o(n), \text{as $n\to\infty$.}$$当$n$为偶数时，永祺，元生，冯秉喜给出了一个构造，证明了$R_k(C_n)\geq (k-1)n-2k+4.$。本文证明了若$n$为偶数，则$$R_k(C_n)\leq kn+o(n), \text{as $n\to\infty$.}$$
2010-08-24 math.CO
Tower Gaps in Multicolour Ramsey Numbers
本文通过构造一族超图并推广 Erdős--Hajnal 逐步提升引理，首次证明了广义拉姆齐数 r_k(t;q,p) 在 2-着色与 q-着色之间存在任意大的塔高度间隔，解决了 Conlon、Fox 和 Rödl 提出的问题。
2023-09-01 math.CO
Bipartite and Euclidean Gallai-Ramsey Theory
本文研究二部图与欧几里得空间的两类Gallai-Ramsey问题，证明二部图情形答案关于色数线性并给出s=2时的精确界，还通过图着色与空间着色的对应得到一类构型的欧氏Gallai-Ramsey数新上界。
2024-10-10 math.CO
