更精细的 Zarankiewicz 与对角二分 Ramsey 界
Sharper Zarankiewicz and Diagonal Bipartite Ramsey Bounds
- University of Illinois Chicago（伊利诺伊大学芝加哥分校）
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AI总结：
证明二分图边稠密时存在完全二分子图的更优界，改进 Zarankiewicz 与对角二分 Ramsey 数上界至 $O(2^t)$，方法由 GPT-6 Astra 发现。
AI中文摘要：
我们证明存在一个绝对正常数 $c$，使得每个每部分有 $N$ 个顶点且边数至少为 $N^2/2$ 的二分图，在 $N\ge c\\, 2^{t}$ 时必包含一个完全二分图 $K_{t,t}$。这改进了经典的 Kővári-Sós-Turán 界，该界要求 $N$ 的量级为 $t\\,2^t$。作为推论，对角二分 Ramsey 数有上界 $b(t,t)=O(2^t)$，改进了 Conlon 先前的最佳上界 $b(t,t) = O(2^t\\, \log t )$。该证明由 GPT-6 Astra 发现，此方法可能具有进一步的应用。
英文摘要：
We prove that there is an absolute positive constant $c$ such that every bipartite graph with $N$ vertices in each part and at least $N^2/2$ edges contains a complete bipartite graph $K_{t,t}$ whenever $N\ge c\, 2^{t}$. This improves the classical Kővári-Sós-Turán bound requiring $N$ of order $t\,2^t $. As a consequence, the diagonal bipartite Ramsey number has upper bound $b(t,t)=O(2^t)$, improving the previous best bound $b(t,t) = O(2^t\, \log t )$ due to Conlon. The proof was found by GPT-6 Astra, and the method will probably have further applications.
