The $χ$-Ramsey problem for triangle-free graphs
1967年，Erdés提出了在所有无三角形的$n$ -顶点图中求最大色数$f(n)$的问题。Erdés和Hajnal的观察以及Shearer对非对角Ramsey数$R(3, t)$的经典上界表明，$f(n)$至多是$(2 \sqrt{2} + o(1)) \sqrt{n/\log n}$。我们通过一个因子$\sqrt{2}$改进了这个界，并得到了一个紧到常数因子的列表色数上的类似界。一个边界的数量方面的边缘，这是同样紧如下，这些结果证实了一个猜想的Cames范巴滕堡，德Joannis德Verneburg，康，和Pirot。
2022-01-28 math.CO
New bounds on the anti-Ramsey numbers of star graphs
由输入图$G$和模式图$H$构成的反Ramsey数$ar(G,H)$是使$G$中不存在与$H$同构的彩虹子图的$G$存在$k$颜色边染色的最大正整数$k$.（$H$是彩虹，如果它的所有边缘都有不同的颜色）。反拉姆齐数的概念是由Erdös、Simanovitz和Sós在1973年提出的。此后，几位研究人员在组合环境中研究了这一概念。最近，Feng等人纯粹从算法的角度重新研究了模式图$K_{1,t}$（用于$t \geq 3$）的反Ramsey问题，因为它在无线网络干扰建模中的应用。他们把它作为一个最优化问题，最大边$q$着色问题。对于图$G$和整数$q\geq 2$，$G$的边$q$ -着色是将颜色分配给$G$的边，使得入射在顶点上的边最多跨越$q$不同的颜色。最大边$q$ -着色问题寻求最大化图$G$的边$q$ -着色中的颜色数。注意，$G$的边$q$ -着色问题的最优值等于$ar(G,K_{1,q+1})$。本文从组合和算法的角度研究了对每个固定整数$t\geq 3$的反Ramsey星数$ar(G,K_{1,t})$.我们的第一个主要结果给出了$ar(G,K_{1,q+1})$的上界，即顶点数和$G$的最小度。第二个改进了这个结果的情况下，三角形的输入图。对于正整数$t$，令$H_t$表示$G$的具有最大可能边数和最大度$t$的子图。我们的第三个主要结果提出了一个上限$ar(G,…
2023-01-12 cs.DM math.CO
Lower bounds on geometric Ramsey functions
我们继续最近的工作序列研究拉姆齐函数的半代数谓词$\mathbb{R}^d$。$k$上的$k$元半代数谓词$Φ(x_1,\ldots,x_k)$是$k$点$x_1,\ldots,x_k\in\mathbb{R}^d$的$kd$坐标中的多项式方程和不等式的布尔组合。$\mathbb{R}^d$中的点序列$P=(p_1,\ldots,p_n)$称为$Φ$ -齐次，如果$Φ(p_{i_1}, \ldots,p_{i_k})$对所有选择$1\le i_1 < \cdots < i_k\le n$都成立，或者不对任何选择成立。Ramsey函数$R_Φ(n)$是最小的$N$，使得每个长度为$N$的点序列包含长度为$n$的$Φ$ -齐性子序列。Conlon、Fox、Pach、Sudakov和Suk构建了第一个半代数谓词的例子，其中Ramsey函数从下到上被一个任意高度的塔函数所限制：对于每个$k\ge 4$，它们在维度$2^{k-4}$上表现出一个$k$元$Φ$，其中$R_Φ$从下到上被一个高度为$k-1$的塔所限制。我们减少了在他们的建设，获得一个$k$ -ary半代数谓词$Φ$ $\mathbb{R}^{k-3}$与$R_Φ$有界的高度$k-1$塔以下。我们还提供了一个自然的几何拉姆齐型定理与一个大的拉姆齐函数。我们称$\mathbb{R}^d$中的点序列$P$为序型齐次的，如果$P$中的所…
2014-01-07 math.CO
Anticoncentration in Ramsey graphs and a proof of the Erdős-McKay conjecture
本文研究了Ramsey图的边统计量，通过度序列的加性结构二分法结合多种数学工具，精确控制了随机顶点子集中的边数分布，并以此证明了Erdős-McKay猜想。
2024-05-30 math.CO math.PR
New bounds for Ramsey numbers $R(K_k-e,K_l-e)$
令$R(H_1,H_2)$表示图$H_1, H_2$的Ramsey数，并令$J_k$为$K_k{-}e$。我们提出的算法，枚举所有循环和块循环拉姆齐图的不同类型的图，从而获得几个新的下界拉姆齐数，包括：$49 \leq R(K_3,J_{12})$，$36 \leq R(J_4,K_8)$，$43 \leq R(J_4,J_{10})$，$52 \leq R(K_4,J_8)$，$37 \leq R(J_5,J_6)$，$43 \leq R(J_5,K_6)$，$65\leq R(J_5,J_7)$。我们还使用了胶合策略，$R(J_5,J_6)$推导出一个新的上限。结合这两种策略，我们证明了两个Ramsey数的值：$R(J_5,J_6)=37$和$R(J_5,J_7)=65$。我们还证明了$R(J_5,J_7)$的64-顶点极值Ramsey图是唯一的。此外，我们的算法还允许建立新的下界和精确值的拉姆齐数涉及轮图和完全二部图，包括：$R(W_7,W_4) = 21$，$R(W_7,W_7) = 19$，$R(K_{3,4},K_{3,4}) = 25$，和$R(K_{3,5}, K_{3,5})=33$。
2021-07-09 cs.DM math.CO
Packing nearly optimal Ramsey R(3,t) graphs
在1995年，Kim通过构造一个无三角形且独立数不超过C \sqrt{n \log n}的n-顶点图，证明了Ramsey界R（3，t）\ge c t^2/ \log t。通过将完全图K_n近似地分解为这种近似最优Ramsey R（3，t）图的一个packing，我们推广了这个著名的结果，这个结果最好是可能的，直到常数的值。更精确地说，对任意ε>0，我们找到一个n-顶点图G_i的边不交集合（G_i）_i，使得（a）每个G_i是无三角形的，且独立数至多为C_ε \subseteq，（b）所有G_i的并至少包含（1-ε）条\binom{n}{2}边.我们的算法证明通过经由半随机（即，Rodl nibble型）的三角形自由过程的变化。作为应用，我们证明了Fox，Grinshpun，Liebenau，Person和Szabo在拉姆齐理论中的一个猜想（关于Burr，Erdos，Lovasz在1976年引入的一个拉姆齐型参数）.也就是说，用s_r（H）表示H的r-Ramsey极小图的最小度，从而封闭了H=K_3的对数间隙，建立了s_r（K_3）= Θ（r^2 \log r）.
2017-11-16 cs.DM math.CO math.PR
A recursive Lovász theta number for simplex-avoiding sets
我们递归地将Lovász θ数推广到单位球面和欧几里得空间上的几何超图，得到了这些超图的独立比的上界.作为应用，我们在可测集上重新证明了欧氏拉姆齐理论中的一个结果，即每一个$k$ -单形都是指数Ramsey，并改进了已有的指数基的界.
2022-05-24 math.CO math.MG
The Multicolor Size-Ramsey Number of Bipartite Long Subdivisions
Isfahan University of Technology（伊斯法罕理工大学）；Universidade de São Paulo（圣保罗大学）
研究了二分图长细分的多色大小拉姆齐数，通过不同方法改进了相关界。
2026-02-25 math.CO
Effective bounds for induced size-Ramsey numbers of cycles
本文通过新的宿主图构造，将环的诱导 size-Ramsey 数上界从塔型依赖改进为多项式（偶数环）和近最优指数（奇数环），并证明普通 size-Ramsey 数达到最优指数界。
2023-05-12 math.CO
Two extensions of Ramsey's theorem
Ramsey定理，在Erdenses和Szekeres的版本中，指出完全图在{1，2，.，n}包含1/2阶\log n的单色团。在本文中，我们考虑两个研究良好的扩展拉姆齐定理。改进了Rödl的结果，证明了存在一个常数$c>0$，使得\{2，3，.，}上完全图的边的每一个2-着色n\}包含单色团S，对于该单色团S，在所有顶点i \in S上的1/ \log i之和至少为c \log \log \log n。这是紧到常数因子c和回答一个问题的Erdens从1981年。出于模型理论中的一个问题，Väänänen问是否为每一个k有一个n这样，以下举行。对于每一个1，.，k-1，{1，2，.，}上的完全图的边的每一个2-染色n}包含一个单色团a_1<... <a_k with a_{π(1)+1} - a_{π(1)} > a_{π(2)+1} - a_{π(2)} >.> a_{π(k-1)+1} - a_{π(k-1)}。也就是说，我们不仅想要一个单色团，而且连续顶点之间的差必须满足规定的顺序。阿隆和独立的埃尔德什、哈伊纳尔和帕奇肯定地回答了这个问题。Alon进一步证明，真实的增长率应该是k的指数。我们朝着这个猜想取得进展，得到一个上界n是指数的幂k。这改进了Shelah的一个结果，他证明了n在k中至多是双指数。
2013-10-16 cs.DM math.CO
Large cliques and independent sets all over the place
我们研究Erdés和Hajnal在90年代初提出的以下问题。在所有$n$ -顶点图$G$上，$G$的任何$m$顶点都包含一个团和一个大小为$\log n$的独立集的$m$的最小可能值是多少？我们构造的例子表明，$m$是最多$2^{2^{(\log\log n)^{1/2+o(1)}}}$获得一个两倍的子多项式的提高约$\sqrt{n}$的上界来自自然的猜测，随机图。我们的（概率）建设产生了新的例子拉姆齐图，而没有非常大的同质子集包含集团和独立集的大小$\log n$在任何小的顶点子集。在随机图中，这是非常不正确的。我们的证明是基于采用字典式产品和使用随机性之间的相互作用。
2020-08-11 math.CO
Combinatorial and Algorithmic Aspects of Monadic Stability
稠密图类是具有丰富结构和算法性质的稀疏图类，然而，它们甚至不能捕获简单的稠密图类。Monadically stable classes，起源于模型论，概括了无处稠密的类，并在转换下关闭它们，即由着色和简单的一阶解释定义的转换。在这项工作中，我们的目标是扩展一些组合和算法的性质无处密集类单子稳定类的有限图。我们证明了以下结果。- 在单子稳定类中，Ramsey数$R(s,t)$对于某些$δ>0$由$\mathcal{O}(t^{s-1-δ})$从上界，改进了已知的一般图的界$R(s,t)\in \mathcal{O}(t^{s-1}/(\log t)^{s-1})$和已知的$k$ -稳定图当$s\leq k$时的界。- 对于每一个单根稳定类$\mathcal{C}$和每一个整数$r$，存在$δ> 0$，使得每一个包含双圈$K_{t,t}$的$r$ -细分作为子图的图$G \in \mathcal{C}$也包含$K_{t^δ,t^δ}$作为子图.这推广了早期的结果无处密集的图类。- 对于单根稳定图类，我们得到了一个更强的正则引理。- 最后，我们表明，我们可以计算多项式核的幂无处稠密类的独立集和控制集问题。以前，只有固定参数易处理的算法被称为这些问题的权力无处密集类。
2022-06-29 cs.DM cs.LO math.CO
Coloring random graphs online without creating monochromatic subgraphs
考虑以下随机过程：一个二项式随机图$G_{n,p}$的顶点被一个接一个地显示，并且在每一步中，只有由已经显示的顶点诱导的边可见。我们的目标是从固定数量的可用颜色$r$中立即并可替换地为每个顶点分配一个颜色，而不会在此过程中创建某个固定图形$F$的单色副本。我们的第一个主要结果是，对于任何$F$和$r$，这个问题的门限函数由$p_0(F,r,n)=n^{-1/m_1^*(F,r)}$给出，其中$m_1^*(F,r)$表示$F$和$r$的所谓\emph{online vertex-Ramsey density}。这个参数是通过一个纯粹确定性的两人游戏来定义的，在这个游戏中，随机过程被一个对手所取代，这个对手受到从随机设置继承的某些限制。我们的第二个主要结果表明，对于任何$F$和$r$，在线顶点拉姆齐密度$m_1^*(F,r)$是一个可计算的有理数。我们的下限证明是算法的，即，我们得到多项式时间在线算法，成功地着色$G_{n,p}$所需的概率$1-o(1)$为任何$p(n) = o(n^{-1/m_1^*(F,r)})$。
2011-04-27 math.CO math.PR
Rolling backwards can move you forward: on embedding problems in sparse expanders
我们开发了一个通用的嵌入方法的基础上的Friedman-Pippenger树嵌入技术（1987年）和它的算法版本，基本上是由于Aggarwal等人。（1996年），增强了回滚的想法，允许顺序回溯先前执行的嵌入步骤。我们用这种方法得到了以下结果。- 我们证明了有界度图的几何上长的子图的大小-Ramsey数与其顶点数是线性的，解决了Pak（2002）的一个猜想。- 我们给出了一个确定性的，多项式时间的在线算法，用于在扩展图中的给定顶点对之间找到指定长度的顶点不相交路径。我们的结果回答了Alon和Capalbo（2007）的一个问题。我们证明了$d$ -正则图的谱比上的相对弱的界迫使$K_t$的拓扑子式的存在，其中$t=(1-o(1))d$。我们还展示了一个结构，这表明，理论上的最大$t=d+1$不能达到，即使$λ=O(\sqrt{d})$。这回答了Fountoulakis，Kühn和Osthus（2009）的问题。
2021-03-19 math.CO
Algorithmic methods of finite discrete structures. Topological graph drawing (part I)
本文提出基于图顶点旋转的代数方法，解决图的平面性测试与拓扑绘制问题，为非平面图绘制、最大平面子图识别等图论问题提供数学模型。
2024-07-31 cs.DM math.CO
Obstructions to within a few vertices or edges of acyclic
图次定理保证了次序下理想的有限障碍集的存在性。几年前人们就知道，原则上，对于大多数自然的下理想，障碍集可以机械地计算。在本文中，我们描述了一种通用的方法，通过使用有界树宽（或路径宽度）搜索找到障碍。我们说明了这种方法的基础上的两个著名的问题：$k$ -{ \sc反馈顶点集}和$k$ -{ \sc反馈边集}的某些家庭的循环覆盖图的特征。我们的搜索是基于一些算法的策略，通过这些策略可以减轻大常数，包括一个随机化的策略，以获得极小性的证明。
1995-02-14 math.CO
On expectations and variances in the hard-core model on bounded degree graphs
本文在有界度图上研究硬核模型，给出基于顶点度数的占据比例紧下界，并界定独立集大小的方差，进而在无三角形图中推进相关猜想，有望改进 Ramsey 数界并揭示稀疏随机图中的算法障碍。
2025-09-18 cs.DM math.CO
The Lovász Local Lemma: Foundations and Applications
本文系统介绍Lovász局部引理（LLL）及其强化版本，基于无条件概率不等式给出证明，并展示在组合学与图论中的经典应用，包括边不交路径、可满足性、Ramsey数下界等，同时介绍Moser-Tardos算法框架、熵压缩原理、偏斜LLL及簇展开引理。
2026-06-12 math.CO math.PR
