An improved upper bound for the multicolour Ramsey number of odd cycles
该研究推导出长度为$2\ell+1$的奇环的$k$色Ramsey数的改进上界$(4\ell)^k \cdot k^{k/\ell}$，证明了Fox的猜想，实现了自1973年以来该问题指数项的首次超绝对常数因子改进。
2025-10-20 math.CO
On the Ramsey Numbers of Odd-Linked Double Stars
链接双星$S_c(n,m)$，其中$n \geq m \geq 0$，是由两个星$K_{1,n}$和$K_{1,m}$的并集组成的图，其中$c$顶点上的路径连接中心。它的拉姆齐数$r(S_c(n,m))$是最小的整数$r$，使得$K_r$的边的每个$2$ -着色都允许单色$S_c(n,m)$。本文研究了当$c$为奇数时联双星的Ramsey数。特别是，我们建立的$r(S_c(n,m))$的值的界限，并确定$r(S_c(n,m))$的精确值，如果$n \geq c$，或如果$n \leq \lfloor \frac{c}{2} \rfloor - 2$和$m = 2$。
2021-10-15 math.CO
Odd Ramsey numbers of multipartite graphs and hypergraphs
本文研究多部图与超图的奇 Ramsey 数，推广已有结果并确定两类结构的渐近值，其中超图情形属首次。
2025-07-25 math.CO
Ramsey numbers of trees versus odd cycles
Burr，Erdés，Faudree，Rousseau和Schelp首先研究了树的Ramsey数与奇圈的关系，证明了对于所有奇$m \ge 3$和$n \ge 756m^{10}$，都有$R(T_n, C_m) = 2n - 1$，其中$T_n$是具有$n$顶点的树，$C_m$是长度为$m$的奇圈。他们建议研究最小正整数$n_0(m)$，使得该结果对所有$n \ge n_0(m)$都成立，作为$m$的函数。本文证明了$n_0(m)$至多是线性的。特别地，我们证明了$R(T_n, C_m) = 2n - 1$对所有奇数$m \ge 3$和$n \ge 50m$都是.结合Faudree，Lawrence，Parsons和Schelp的结果，得出$n_0(m)$有界于两个线性函数之间，从而确定$n_0(m)$为常数因子。
2019-11-18 math.CO
New results on the odd- and unique-Ramsey numbers
National Taiwan University（国立台湾大学）
本文研究了奇数Ramsey数和唯一Ramsey数，证明了对于特定图类，奇数Ramsey数的下界及唯一Ramsey数的下界，揭示了两者间的多项式差距。
2026-10-14 math.CO
Odd-Ramsey numbers of complete bipartite graphs
本文研究完全二部图的奇拉姆齐数，完整解决生成完全二部图族的对应问题，证明其与线性二元码最大维数问题等价，借助编码理论结果得到渐近紧界，并给出非生成完全二部子图的奇拉姆齐数界。
2024-10-08 math.CO
Gallai-Ramsey number of odd cycles with chords
Gallai染色是指没有彩虹三角形的完全图的边的染色，Gallai $k$-染色是指使用最多$k$颜色的Gallai染色。对于整数$k\geq 1$，给定图$H$的Gallai-Ramsey数$GR_k(H)$是最小正整数$N$，使得完全图$K_N$的每个Gallai-$k$-着色包含$H$的单色副本。令$C_m$表示$m\ge4$顶点上的圈，令$Θ_m$表示通过添加连接两个不连续顶点的附加边而从$C_m$获得的图族。我们证明了对于所有的$k\geq 1$和$n\geq 3$，都有$GR_k(Θ_{2n+1})=n\cdot 2^k+1$.这意味着$GR_k(C_{2n+1})=n\cdot 2^k+1$均为$k\geq 1$和$n\geq 3$。我们的结果给出了至少五个顶点上所有奇圈的Gallai-Ramsey数的统一证明。
2020-09-16 math.CO
Ramsey Numbers of Odd Cycles Versus Larger Even Wheels
广义Ramsey数$R(G_1, G_2)$是最小的正整数$N$，使得完全图$K_N$的边的任何红-蓝着色要么包含$G_1$的红色副本，要么包含$G_2$的蓝色副本。令$C_m$表示长度为$m$的循环，并且$W_n$表示具有$n+1$顶点的轮。在2014年，Zhang、Zhang和Chen确定了奇数轮与较大轮的许多拉姆齐数$R(C_{2k+1}, W_{n})$，但没有确定$n = 2j$是偶数和$k<j<3k/2$的特殊情况。他们推测，对于$j$和$k$的这些值，$R(C_{2k+1}, W_{2j})=4j+1$。2015年，Sanhueza-Matamala渐近地证实了这一猜想，证明了$R(C_{2k+1}, W_{2j}) \le 4j+334$。在本文中，我们证明了张，张和陈的猜想几乎所有的情况下，其余的。特别是，我们证明了$R(C_{2k+1},W_{2j})=4j+1$，如果$j-k \ge 251$，$k<j<3k/2$，和$j \ge 212299$。
2018-01-10 math.CO
Multicolor Ramsey numbers of odd cycles are superexponential
该研究对 OpenAI 关于三角形多色拉姆齐数的递归构造作出修改，证明固定奇环的多色拉姆齐数呈超指数增长，相关证明由 ChatGPT 5.6 Pro/Sol 自主完成。
2026-09-09 math.CO
Ramsey-Turán numbers for intersecting odd cliques
给定一个图$H$和一个函数$f:\mathbb{Z}^+ \longrightarrow \mathbb{Z}^+ $，$H$和$f$的Ramsey-Turán数，记为$RT(n, H, f(n))$，是一个图$G$在$n$顶点上所能拥有的最大边数，它不包含作为子图的$H$，也不包含一组$f(n)$独立顶点。令$r$为正整数。1969年，Erdos和Sós证明了$RT(n,K_{2r+1},o(n))=\frac{n^2}{2}(1-\frac{1}{r})+o(n^2)$。设$F_k(2r+1)$表示由完全图$K_{2r+1}$的$k$拷贝恰好共享一个顶点组成的图。在本文中，我们表明，$RT(n,F_k(2r+1),o(n))=\frac{n^2}{2}(1-\frac{1}{r})+o(n^2)$，这是相同的幅度与$RT(n, K_{2r+1}, o(n))$。
2020-09-14 math.CO
The Ramsey Number for Tree Versus Wheel with Odd Order
Chen等人（2004）强有力地证明了R（Tn，Wm）=2n-1，如果Tn的最大次数很小，m是偶数。与猜想相关的是，有趣的是知道对于哪棵树Tn，我们有R（Tn，Wm）> 2n-1。本文证明了树Tn的Ramsey数R（Tn，W8）的最大度至少为n-3，即对几乎所有的树Tn，R（Tn，W8）> 2n-1.我们还证明了如果Tn的最大次数很大，则R（Tn，Wm）是m和n的函数.最后，通过给出最大度小的条件，改进了Chen等人的猜想。对于最大度大且m为偶数的树Tn，R（Tn，Wm）一般也是未知的。本文对最大度至少为n-3的n阶树Tn，确定了Ramsey数R（Tn，W ~ 8）.
2019-12-12 math.CO
Ramsey multiplicity and extremal colorings for odd cycles
School of Mathematics, Nanjing University（南京大学数学学院）；School of Mathematics and Statistics, Nanjing University of Science and Technology（南京理工大学数学与统计学院）
本文证实了关于奇圈阈值Ramsey重数的猜想，确定$m(C_k)=(k-1)!/2$，并刻画了$K_{2k-1}$的所有极值着色，为第二个确定$m(H)$的图族。
2026-09-18 math.CO
The Ramsey threshold for trees versus odd cycles
Center for Discrete Mathematics, Fuzhou University（福州大学离散数学中心）；School of Mathematics and Statistics, Yancheng Teachers University（盐城师范学院数学与统计学院）
该研究解决了Burr等人提出的树与奇环的拉姆齐阈值问题，确定足够大奇数m对应的f(m)=⌈(2m−1)/3⌉，证实了Huang等人的相关猜想。
2026-09-09 math.CO
Online size Ramsey numbers: Odd cycles vs connected graphs
给定两个图族$\mathcal H_1$和$\mathcal H_2$，在$K_\mathbb{N}$的边集上进行一个大小Ramsey对策.在每一轮中，Builder选择一条边，Painter将其涂成红色或蓝色。Builder正在尝试强制Painter尽快从$\mathcal H_1$创建图形的红色副本或从$\mathcal H_2$创建图形的蓝色副本。在线（大小）拉姆齐数$\tilde{r}(\mathcal H_1,\mathcal H_2)$是游戏中最小的回合数，前提是建筑师和画家最佳地发挥作用。本文证明了：如果$\mathcal H_1$是所有奇圈的族，$\mathcal H_2$是$n$的顶点和$m$的边上的所有连通图的族，则$\tilde{r}(\mathcal H_1,\mathcal H_2)\ge φn + m-2φ+1$，其中$φ$是黄金比例，对于$n\ge 3$，$m\le (n-1)^2/4$，我们有$\tilde{r}(\mathcal H_1,\mathcal H_2)\le n+2m+O(\sqrt{m-n+1})$ .我们还表明，$\tilde{r}(C_3,P_n)\le 3n-4$的$n\ge 3$。因此，我们为每个$n\ge 3$得到$2.6n-3\le \tilde{r}(C_3,P_n)\le 3n-4$。
2022-11-01 math.CO
An exact Ramsey number of large bipartite graphs versus odd wheel
Homi Bhabha National Institute (HBNI)（霍米·巴巴国立研究所）
本文确定了大二分图$\mathbb{K}_{2,n}$与奇轮图$W_m$的精确拉姆齐数为$3n+4$，并证明了其$W_m$-goodness。
2026-01-16 math.CO
Cycles are strongly Ramsey-unsaturated
我们称一个图H为Ramsey-不饱和的，如果在H的补图中存在一条边，使得H的Ramsey数r（H）在将其添加到H时不改变。这个概念是由Balister、Lehel和Schelp提出的，他们还证明了循环（除了$C_4$）是拉姆齐-不饱和的，并且证明了，此外，人们可以添加任何弦而不改变循环$C_n$的拉姆齐数，除非n是偶数，并且添加弦会创建一个奇数循环。我们证明了这一猜想的大循环显示一个更强的声明：如果一个图H是通过增加一个线性的弦数到一个循环$C_n$，那么$r(H)=r(C_n)$，只要H的最大程度是有界的，H是二部（偶数n）或几乎二部（奇数n），n是大的。这促使我们称循环为强拉姆齐-不饱和循环。我们的证明使用正则性方法。
2012-03-10 math.CO
Anti-Ramsey Number of Intersecting Odd Cycles
School of Mathematics and Statistics, and Hubei Key Lab–Math. Sci.,Central China Normal University（华中师范大学数学与统计学院及湖北省数学科学重点实验室）
本文确定了相交奇圈（由三角形和长度至少5的奇圈共享一个公共顶点构成）的anti-Ramsey数的精确值，推广了Liu等人关于仅含三角形情形的结果，适用于所有足够大的$n$。
2026-09-29 math.CO
Improved Upper Bounds for Gallai-Ramsey Numbers of Odd Cycles
完全图的Gallai染色是一种边染色，使得没有三角形的所有边都是不同的颜色。Gallai $k$-着色是使用$k$颜色的Gallai着色。给定一个整数$k\ge1$和一个图$H$，Gallai-Ramsey数$GR_k(H)$是最小正整数$n$，使得完全图$K_n$的每一个Gallai $k$-染色都包含$H$的单色副本。Gyárfás，Sárközy，SebIgnand Selkow在2010年证明了如果$H$不是二分的，则$GR_k (H) $在$k$中是指数的;如果$H$是二分的但不是星的，则在$k$中是线性的;当$H$是星的时候，则是常数（不依赖于$k$）。因此，$GR_k(H)$比经典的Ramsey数$R_k(H)$表现得更好。然而，找到$GR_k (H)$的精确值绝非易事，即使$|V(H)|$很小。本文首先改进了已有的奇圈Gallai-Ramsey数的上界，证明了对于所有的$k \ge 3$和$n \ge 8$，$GR_k(C_{2n+1}) \le (n\ln n) \cdot 2^k -(k+1)n+1$.然后，我们证明了$GR_k( C_{13})= 6\cdot 2^k+1$和$GR_k( C_{15})= 7\cdot 2^k+1$的所有$k\ge1$。
2018-08-29 math.CO
A note on multicolor Ramsey number of small odd cycles versus a large clique
令$R_k(H;K_m)$为最小数$N$，使得$K_{N}$的边的每一个具有$k+1$颜色的着色对于某些$1\leqslant i\leqslant k$具有颜色$i$中的单色$H$，或者具有颜色$k+1$中的单色$K_{m}$。在这篇短文中，我们分别研究了当$H$为$C_5$或$C_7$时，$R_k(H;K_m)$的下界。我们证明了对于固定的正整数$k$和$m\rightarrow\infty$，\begin{equation*} R_{k}(C_5;K_m)=Ω(m^{\frac{3k}{8}+1}/(\log{m})^{\frac{3k}{8}+1}), \end{equation*}和\begin{equation*} R_{k}(C_7;K_m)=Ω(m^{\frac{2k}{9}+1}/(\log{m})^{\frac{2k}{9}+1}), \end{equation*}是完全的.这些稍微改善了以前已知的下限$R_{k}(C_{2\ell+1};K_m)=Ω(m^{\frac{k}{2\ell-1}+1}/(\log m)^{k+\frac{2k}{2\ell-1}})$获得的阿隆和Rödl。证明是基于随机块结构和随机爆破参数。
2021-10-19 math.CO
Monochromatic graph decompositions inspired by anti-Ramsey theory and the odd-coloring problem
本研究针对受反拉姆齐理论与奇着色启发的极值边着色问题，定义函数f(n,G|F)，给出三类关键结果：存在常数保证特定着色下G拷贝的存在性、奇图类下f(n,Kₖ|F)的渐近形式，以及小图在多奇/偶约束图族下f(n,G|F)的精确值。
2024-08-08 math.CO
Locally bipartite subgraphs via multicolor Ramsey numbers
Department of Mathematics, ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院数学系）
该研究针对Erdős-Hajnal猜想，改进了$f_4(k)$的上界，还证明了奇数$g\ge5$时对应函数$h_g(k)$的增长性，证实了Mohar和Wu2018年的相关猜想。
2026-09-09 math.CO
Gallai-Ramsey numbers of $C_9$ with multiple colors
研究了Gallai着色中的Ramsey型问题。给定一个图$G$和一个整数$k\ge1$，Gallai-Ramsey数$gr_k(K_3,G)$是最小正整数$n$，使得完全图的边在$n$顶点上的每个$k$-染色包含彩虹三角形或$G$的单色副本。结果表明，$gr_k(K_3, G)$比经典的Ramsey数$r_k(G)$表现得更好。然而，找到$gr_k (K_3, G)$的精确值绝非易事。本文证明了对所有的$k\ge1$，都有$gr_k(K_3, C_9)= 4\cdot 2^k+1$.这一新结果为1973年Bondy和Erdans提出的三重奇循环猜想的第一个公开例子提供了部分证据。我们的技术在很大程度上依赖于结构的结果Gallai的边着色完全图没有彩虹三角形。我们相信，我们开发的方法可以用来确定$gr_k(K_3, C_n)$的奇数$n\ge11$的确切值。
2017-09-30 math.CO
On path-quasar Ramsey numbers
设$G_1$和$G_2$是两个给定的图。Ramsey数$R(G_1,G_2)$是最小整数$r$，使得对于$r$顶点上的每个图$G$，$G$包含$G_1$或$\overline{G}$包含$G_2$。Parsons给出了确定$R(P_n,K_{1,m})$值的递归公式，其中$P_n$是$n$顶点上的路，$K_{1,m}$是$m+1$顶点上的星.本文首先给出了路星Ramsey数的一个显式公式。其次，我们研究了Ramsey数$R(P_n,K_1\vee F_m)$，其中$F_m$是$m$顶点上的线性森林。我们确定的情况下$m\leq n$和$m\geq 2n$，以及$F_m$没有奇数分量的情况下，$R(P_n,K_1\vee F_m)$的确切值。此外，我们给出了$n+1\leq m\leq 2n-1$和$F_m$至少有一个奇分支的情况下的下界和上界。
2014-01-15 math.CO
Three-color Ramsey number of an odd cycle versus bipartite graphs with small bandwidth
一个图$\mathcal{H}=(W,E_\mathcal{H})$被称为具有{ \em带宽}至多$b$，如果存在$W$作为$w_1,w_2,\dots,w_n$的标记，使得对于每条边$w_iw_j\in E_\mathcal{H}$，$|i-j|\leq b$。我们称$\mathcal{H}$是一个{ \em平衡$(β,Δ)$ -图}，如果它是一个带宽至多为$β|W|$，最大度至多为$Δ$的二部图，并且它也有一个适当的2-着色$χ:W\rightarrow[2]$，使得$||χ^{-1}(1)|-|χ^{-1}(2)||\leqβ|χ^{-1}(2)|$ .本文证明了对每个$γ>0$和每个自然数$Δ$，存在一个常数$β>0$，使得对$n$上的平衡$(β,Δ)$ -图$\mathcal{H}$，对所有充分大的奇$n$，都有$$R(\mathcal{H}, \mathcal{H}, C_n) \leq (3+γ)n$$.对于几类图，上界是尖锐的。令$θ_{n,t}$是由长度为$n$的$t$内部不相交路径组成的图，所有路径共享相同的端点。作为推论，对于每个固定的$t\geq 1$，$R(θ_{n, t},θ_{n, t}, C_{nt+λ})=(3t+o(1))n,$，其中如果$nt$是奇数，则为$λ=0$，如果$nt$是偶数，则为$λ=1$。特别是，我们有$R(C_{2n},C_{2…
2022-03-15 math.CO
Ramsey-finiteness for graph pairs: A complete solution to the Burr-Erdős-Faudree-Schelp conjectures
School of Mathematics and Statistics, Qinghai Normal University（青海师范大学数学与统计学院）
本文证明了两个1981年的猜想，探讨了图对的Ramsey有限性，并反驳了Burr的更强猜想，同时重新表述了Faudree的定理。
2026-04-19 math.CO
Multicolor Gallai-Ramsey numbers of $C_9$ and $C_{11}$
Gallai着色是指不含彩虹三角形的完全图的边的着色，而Gallai $k$ -着色是指使用$k$颜色的Gallai着色。研究了Gallai着色中的Ramsey型问题。给定一个整数$k\ge1$和一个图$H$，Gallai-Ramsey数$GR_k(H)$是最小正整数$n$，使得完全图在$n$顶点上的每一个Gallai-$k$-染色都包含一个$H$的单色拷贝.结果表明，$GR_k(H)$比经典的Ramsey数$R_k(H)$表现得更好。然而，找到$GR_k (H)$的精确值绝非易事。本文研究奇圈的Gallai-Ramsey数。我们证明了对于$n\in\{4,5\}$和所有的$k\ge1$，$GR_k(C_{2n+1})= n\cdot 2^k+1$。这一新结果为1973年Bondy和Erdans提出的三奇循环猜想的前两个公开例子提供了部分证据。我们的技术在很大程度上依赖于结构的结果Gallai的Gallai着色的完全图。我们相信我们开发的方法可用于确定所有$n\ge6$的$GR_k(C_{2n+1})$的精确值。
2018-03-30 math.CO
A study of two Ramsey numbers involving odd cycles
本文研究涉及奇圈的拉姆齐数，改进了书图与圈拉姆齐数的界，并确定了完全二分图与奇圈拉姆齐数的精确值，证明其具有拉姆齐好性。
2025-04-24 math.CO
On the restricted size Ramsey number for a pair of cycles
对于图$H_1,H_2$ × $r^*(H_1,H_2)$，我们表示图$G$在$r(H_1,H_2)$顶点上的最小边数，使得$G\to (H_1,H_2)$。我们证明了对于每对自然数$k,n$，$k\le n$，其中$k$是奇数，$n$足够大，我们有$$r^*(C_n,C_k)=\lceil (n+1)(2n-1)/2\rceil \,.$$
2022-08-17 math.CO
Asymptotically optimal Ramsey goodness of sparse graphs versus odd cycles and paths
Center for Discrete Mathematics, Fuzhou University（福州大学离散数学中心）
本文研究稀疏图与奇数环和路径的渐近最优Ramsey良性，证明了对于奇数环n=Ω(k)足够，路径n=Ω(k^2)或附加条件n=Ω(k)。
2025-12-29 math.CO
Ramsey properties of randomly perturbed dense graphs
研究了在给定的稠密图上添加随机边的随机图模型的Ramsey性质。具体来说，我们确定上界的功能$p=p(n)$，确保任何密集图$G_n$ a.a.s. $G_n\cup G(n,p)$的边的每一个2-着色都允许完全图$K_r$的单色拷贝。当$r\geq 5$为奇数时，这些边界是渐近尖锐的;当$r\geq 4$为偶数时，这些边界几乎是尖锐的。我们的证明利用最近的结果的阈值不对称拉姆齐性质的$G(n,p)$和方法的依赖随机选择。
2019-02-06 math.CO
Multicolor Size-Ramsey Number of Cycles
给定一个正整数$ r $，图$ H $的$ r $ -颜色大小-拉姆齐数，记为$ \hat{R}(H, r) $，是最小整数$ m $，对于该整数，存在一个具有$ m $边的图$ G $，使得在具有$ r $颜色的$ G $的任何边着色中，$G$包含$ H $的单色副本。Haxell、Kohayakawa和Kubuczak证明，对于某个常数$ c_r $，一个循环$ C_n $的大小-Ramsey数在$ n $中是线性的，即$ \hat{R}(C_n, r) \leq c_rn $。然而，他们的证明是基于Szemerédi的正则性引理，因此没有具体的常数$ c_r $是已知的。Javadi，Khoeini，Omidi和Pokrovskiy给出了这个结果的另一种证明，避免了使用正则性引理。事实上，他们证明了，如果$ n $是偶数，则$ c_r $在$ r $中是指数的，如果$ n $是奇数，则$ c_r $在$ r $中是双指数的。\noindent本文改进了有界的$c_r$，证明了当$n$为偶数时，$c_r$在$r$中是多项式的，当$n$为奇数时，$c_r$在$r$中是指数的.我们还证明，在后一种情况下，它不能被改进为$r$中的多项式界。更精确地说，我们证明了存在一些正常数$c_1,c_2$，使得对于每个偶数$n$，我们有$c_1r^2n\leq \hat{R}(C_n,r)\le…
2021-06-30 math.CO
On small Mixed Pattern Ramsey numbers
我们称任何完全图的最小阶数，使得对于任何边用$k$颜色着色都不可能避免单色或彩虹三角形，即混合Ramsey数。对于任何图$H$，如果我们考虑在上面的定义中排除$k$的条件，我们产生一个\emph{Mixed Pattern Ramsey number}，记为$M_k(H)$。对于所有着色的$4$ -圈和所有着色的$4$ -团，我们根据$k$确定这个函数。我们还发现的界限$M_k(H)$时$H$是一个单色奇数周期，或足够大的$k$的明星。我们提出几个未决问题。
2014-03-15 math.CO
On the Ramsey numbers of wheels, cycles, and stars
Miami University（迈阿密大学）
本文研究了轮图、环图和星图的Ramsey数，改进了偶轮图的Ramsey数上下界，并给出了奇轮图的更优上界。
2026-04-17 math.CO
Stability and Ramsey numbers for cycles and wheels
我们研究了完全图的红蓝边着色的结构，对于奇数$n$，没有$n$ -圈$C_n$的副本为红色，也没有$n$ -轮$W_n = C_n \ast K_1$的副本为蓝色。我们的第一个主要结果是，在任何这样的着色，删除最多两个顶点，我们得到一个顶点划分的$G$成三个集，使边缘内的分区类是红色的，和分区类之间的边缘是蓝色的。作为第二个结果，我们得到了$r(C_{2k+1},W_{2j})$的Ramsey数的界为$k < j$整数，这渐近确认的值$4j+1$，因为它是由张等人证明。
2015-01-30 math.CO
New upper bound for the Ramsey number of odd cycles
School of Mathematics, Nanjing University（南京大学数学系）
本文针对固定$\ell\geq2$且$k$足够大的情况，给出了奇圈拉姆齐数$R_k(C_{2\ell+1})$的新上界，大幅改进了Axenovich等人和Miyazaki等人的已有结果。
2026-08-04 math.CO
Online Ramsey numbers: Long versus short cycles
在线拉姆齐游戏是发挥建设者和画家之间的无限板$K_{\mathbb N}$。在每一轮中，生成器选择一条边，然后绘制器将其着色为红色或蓝色。两者都知道目标图$H_1$和$H_2$。Builder的目标是尽快在$K_{\mathbb N}$中创建$H_1$的红色副本或$H_2$的蓝色副本，Painter试图阻止它。在线Ramsey数$\tilde{r}(H_1,H_2)$是Builder获胜的最小回合数。我们研究$\tilde{r}(C_k,C_n)$，其中$k$是固定的，而$n$是大的。我们证明了，如果$k$是偶数，则对于绝对常数$c$有$\tilde{r}(C_k,C_n)=2n+\mathcal O(k)$，而如果$k$是奇数，则有$\tilde{r}(C_k,C_n)\le 3n+o(n)$。
2023-03-27 math.CO
On the Ramsey number of a graph obtained by attaching a pendant to a path with length 1 modulo 4
King’s College London（伦敦国王学院）
研究通过在特定路径上附加悬垂边得到的图Tₙ的拉姆齐数，利用其顶点集和边集的特性，证明了在n ∈ [1]₄时，R(Tₙ,Tₙ)等于(3n + 1)/2。
2026-08-21 math.CO
Threshold Ramsey multiplicity for paths and even cycles
图$H$的Ramsey数$r(H)$是使得完全图$K_n$的边的任意二染色包含$H$的单色副本的最小整数$n$。虽然这个定义只要求$H$的一个单色副本，但通常情况下，完全图的$r(H)$顶点上的每个两边着色都包含$H$的许多单色副本。在$K_{r(H)}$的所有两种着色上的这种拷贝的最小数目将被称为$H$的阈值拉姆齐多重性。解决一个问题的Harary和普林斯，谁是第一个系统地研究这个数量，我们表明，有一个积极的常数$c$，使阈值拉姆齐多重路径或甚至循环$k$顶点至少是$(ck)^k$。这个界限紧到常数$c$。我们证明了一个类似的结果奇数周期的配套文件。
2022-08-07 math.CO
Ramsey upper density of infinite graph factors
拉姆齐理论上密度问题的研究是由Erdens和Galvin于1993年开始的。本文研究了以下问题：给定一个固定的有限图$F$，$F$的最大值是多少，使得$\mathbb{N}$上的完全图的每一个2-边染色都包含一个单色无限$F$ -因子，其顶点集至少具有上密度$λ$？在这里，我们证明了这个问题的一个新的下界。对于$F$的某些选择，包括集团和奇循环，这个新的界是尖锐的，因为它匹配旧的上界。对于$F$是三角形的特殊情况，我们也给出了一个明确的下界$1-\frac{1}{\sqrt{7}}=0.62203\dots$，改进了以前的最佳界3/5。
2020-10-26 math.CO
The Ramsey number of mixed-parity cycles II
用$R(G_1, G_2, G_3)$表示最小整数$N$，使得对于某个$i\in{1,2,3}$，完全图的边在$N$顶点上的任何三色着色都包含用颜色$i$着色的图$G_i$的单色副本。在一系列的三个文件，这是第二个，我们考虑的情况下，$G_1, G_2$和$G_3$是循环的混合奇偶校验。在这里和前面的文章中，我们考虑$R(C_n,C_m,C_{\ell})$，其中$n$和$m$是偶数，而$\ell$是奇数。Figaj和Duczak确定了这种情况下的一个渐近结果，我们对此进行了改进，以给出一个精确的结果。我们证明了$n,m$和$\ell$足够大的$R(C_n,C_m,C_\ell)=\max\{2n+m-3, n+2m-3, \tfrac{1}{2} n +\tfrac{1}{2} m + \ell - 2\}$。这个结果的证明主要包含在本系列的第一篇论文中，然而，在最长循环长度为奇数的情况下，我们需要一个额外的技术结果，其证明占了本文的大部分。
2015-08-28 math.CO
Ramsey numbers of $5$-uniform loose cycles
Gyárfás等人确定了$\mathcal{C}^k_n$的对角Ramsey数的渐近值，$R(\mathcal{C}^k_n,\mathcal{C}^k_n),$对Haxell等人的$k=3$产生了相同的结果。最近，完全确定了3-一致松弛路和圈的Ramsey数的精确值。这些结果是动机推测，对于每一个$n\geq m\geq 3$和$k\geq 3,$ $$R(\mathcal{C}^k_n,\mathcal{C}^k_m)=(k-1)n+\lfloor\frac{m-1}{2}\rfloor,$$所提到的Omidi等人。最近，它表明，这一猜想是真实的$n=m\geq 2$和$k\geq 7$和$k=4$时，$n>m$或$n=m$是奇数。在这里，我们调查这个猜想$k=5$和证明，它持有$k=5$和足够大的$n$。
2018-06-14 math.CO
Conditions on Ramsey non-equivalence
给定一个图H，如果在图G的每一条边的双色着色中都有一个H的单色副本，则称图G是H的Ramsey图。如果两个图G，H具有相同的Ramsey图集，则称它们为Ramsey等价图. Fox等人[J. Combin. Theory Ser. B 109（2014），120 - 133]询问是否存在两个非同构的连通图是Ramsey等价的。他们证明了一个团不是Ramsey等价于任何其他的连通图。Nesetril等人的结果表明，任何两个具有不同团数的图[Combinatorica 1（2）（1981），199 - 202]或具有不同奇围长的图[Comment.卡罗琳大学数学系。20（3）（1979），565 - 582]不是Ramsey等价的。这些是我们所知道的唯一能够在上述意义上"区分"两个图的结构图参数。本文对Fox等人的问题给出了否定的回答，并进一步证明了对于广泛的图类，色数是一个可区分的参数。此外，本文还证明了所有的星和路以及顶点数不超过5的所有连通图与任何其它的连通图都不是Ramsey等价的.另外，如果两个连通图属于一类特殊的树或具有连通约化性质的图，则它们不是Ramsey等价图。
2015-03-24 math.CO
The Ramsey number of mixed-parity cycles I
用$R(G_1, G_2, G_3)$表示最小整数$N$，使得对于某个$i\in{1,2,3}$，完全图的边在$N$顶点上的任何三色着色都包含用颜色$i$着色的图$G_i$的单色副本。在一系列的三个文件，其中这是第一，我们考虑的情况下，$G_1, G_2$和$G_3$是循环的混合奇偶校验。具体来说，在本文和后续论文中，我们考虑$R(C_n,C_m,C_{\ell})$，其中$n$和$m$是偶数，而$\ell$是奇数。Figaj和Duczak确定了这种情况下的一个渐近结果，我们对此进行了改进，以给出一个精确的结果。我们证明了$n,m$和$\ell$足够大的$R(C_n,C_m,C_\ell)=\max\{2n+m-3, n+2m-3, \tfrac{1}{2} n +\tfrac{1}{2} m + \ell - 2\}$。在最长圈为偶数长的情况下，本文的证明是完备的。然而，在最长的循环是奇数长度的情况下，我们需要一个额外的技术结果，其证明构成了随后的论文的大部分。
2015-08-28 math.CO
Diagonal Ramsey numbers for wheels
Qinghai Normal University（青海师范大学）；Keio University（庆应义塾大学）
本文研究了轮图的对角Ramsey数，改进了之前的结果，给出了更精确的上下界，并提供了关于k着色Ramsey数的递归界。
2026-05-21 math.CO
On off-diagonal hypergraph Ramsey numbers
研究固定3-一致超图H与完全3-一致超图K_n^{(3)}的拉姆齐数增长速率，证明对奇环链接及多数紧环有下界2^{Ω_H(n log n)}，并构造线性超图H使其拉姆齐数为超多项式，首次分离r(H,K_n^{(3)})与r(H,K_{n,n,n}^{(3)})。
2024-04-02 math.CO
The Ramsey-Turán problem for cliques
VeraT.索斯要求确定一个给定的整数$t\ge 3$和一个给定的正实数$δ$的渐近极大边密度$f_t(δ)$，一个$n$ -顶点图可以提供它既不包含一个完整的图形$K_t$，也不是一个独立集大小$δn$。基于Fox，Loh和Zhao最近的工作[The critical window for the classical Ramsey-Turán problem，Combinatorica 35（2015），435-476]，我们证明了如果$δ$足够小（在某种意义上取决于$t$），则\[ f_t(δ)= \begin{cases} \frac{3t-10}{3t-4}+δ-δ^2 & \text{ if $t$ is even,} \cr \frac{t-3}{t-1}+δ& \text{ if $t$ is odd.} \end{cases} \]
2018-05-04 math.CO
Explicit tough Ramsey graphs
一个图G是t-坚韧的，如果它的任何诱导子图的连通分支x > 1，都是从G中删除至少tx个顶点得到的. Chvatal证明了存在一个绝对常数t_0，使得每个t_0-tough图都是泛圈图. Bauer，van den Heuvel和Schmeichel通过对每个实t_0构造一个t_0-tough triangular free图来证明了这个猜想是错误的。对每个q为奇数的有限域F_q，我们考虑与F_q上的有限欧几里德平面和有限上半平面有关的图.这些图已经受到了严重的关注，因为它们已经被证明是Ramanujan（或渐近Ramanujan）大q。我们将证明，对于无穷多个q，这些图提供进一步的反例Chvatal的猜想。它们也为Ramsey数R（3，k）提供了一个很好的构造性下界.
2008-07-17 math.CO
A generalised Ramsey--Turán problem for matchings
本文证明了关于匹配的广义 Ramsey--Turán 定理，通过显式构造和基于 Gallai--Edmonds 分解的复杂压缩算法，确定了在特定边着色条件下图中完全子图的最大数量。
2025-09-12 math.CO
Ramsey numbers of $4$-uniform loose cycles
Gyárfás，Sárközy和Szemerédi证明了一个$k$ -均匀松弛圈$\mathcal{C}^k_n$的$2$ -色Ramsey数$R(\mathcal{C}^k_n,\mathcal{C}^k_n)$是渐近的$\frac{1}{2}(2k-1)n,$，它产生了与Haxell等人关于$k=3$的结果相同的结果。最近，作者证明了这个猜想对$n=m\geq 2$和$k\geq 8$是正确的。本文证明了当$n>m$或$n=m$为奇数时，该猜想对$k=4$成立。当$n=m$为偶数时，我们证明了$R(\mathcal{C}^4_n,\mathcal{C}^4_n)$介于两个值之间，差为1。
2016-06-12 math.CO
The Ramsey number of mixed-parity cycles III
用$R(G_1, G_2, G_3)$表示最小整数$N$，使得对于某个$i\in{1,2,3}$，完全图的边在$N$顶点上的任何三色着色都包含用颜色$i$着色的图$G_i$的单色副本。在一系列的三个文件，其中这是第三个，我们考虑的情况下，$G_1, G_2$和$G_3$是循环的混合奇偶校验。具体来说，在本文中，我们考虑$R(C_n,C_m,C_{\ell})$，其中$n$是偶数，$m$和$\ell$是奇数。Figaj和Duczak确定了这种情况下的一个渐近结果，我们对此进行了改进，以给出一个精确的结果。我们证明了$n,m$和$\ell$足够大的$R(C_n,C_m,C_\ell)=\max\{4n-3, n+2m-3, n+2\ell-3\}$。
2015-08-28 math.CO
Multicolor Ramsey Number for Double Stars
University of Central Florida（中佛罗里达大学）；Harvard University（哈佛大学）
本文研究了双星图的多色拉姆齐数，证明了在特定条件下其值为kn+m+2，并探讨了列表拉姆齐数的相关问题。
2026-02-11 math.CO
Ramsey equivalence for asymmetric pairs of graphs
一个图$F$对于一对图$(G,H)$是Ramsey的，如果$F$的任何边的红色/蓝色着色产生一个所有边都着色为红色的$G$的副本或一个所有边都着色为蓝色的$H$的副本。如果两对图具有相同的Ramsey图集，则称这两对图是Ramsey等价的。对称设置，即$G=H$案例，受到了相当大的关注。这导致了一个悬而未决的问题，即是否存在连通图$G$和$G'$，使得$(G,G)$和$(G',G')$是Ramsey等价的。我们在这个问题的非对称版本上取得了进展，并确定了几个非平凡的拉姆齐等价对连通图的家庭。某些星对提供了第一个，虽然微不足道，拉姆齐等价对连通图的例子。我们的第一个结果描述了所有的Ramsey等价星对。本文的其余部分集中在形式为$(T,K_t)$的对上，其中$T$是树，$K_t$是完全图。我们表明，如果$T$属于某个家庭的树，包括所有的非平凡的明星，那么$(T,K_t)$是拉姆齐等价于家庭对的形式$(T,H)$，其中$H$是从$K_t$附加不相交的小集团到它的一些顶点。此外，我们确定，$(T,H)$是拉姆齐等价于$(T,K_t)$，$H$必须大致具有这种形式。另一方面，我们证明了许多其他树$T$，包括所有奇直径树，$(T,K_t)$是不等价于任何这样的对，甚至不对$(T, K_t\cdot K_2)$，其中$K_t\cdot K_2$是一个完全图$K_t$与一个单一的边缘连接。
2022-06-08 math.CO
Gallai-Ramsey number of even cycles with chords
对于图$H$和整数$k\ge1$，$k$ -色Ramsey数$R_k(H)$是最小整数$N$，使得完全图$K_N$的边的每一个$k$ -着色都包含$H$的单色副本.令$C_m$表示$m\ge4$顶点上的圈，令$Θ_m$表示通过添加连接两个不连续顶点的附加边而从$C_m$获得的图族。不同于Ramsey数的奇循环，很少有人知道$R_k(C_{2n})$的一般行为，除了$R_k(C_{2n})\ge (n-1)k+n+k-1$的所有$k\ge2$和$n\ge2$。本文研究了具有弦的偶数圈在Gallai染色下的Ramsey数，其中Gallai染色是指不含彩虹三角形的完全图的边的染色。对于整数$k\geq 1$，图$H$的Gallai-Ramsey数$GR_k(H)$是最小正整数$N$，使得完全图$K_N$的每个Gallai-$k$-着色包含$H$的单色副本。证明了对于所有的$k\geq 2$和$n\geq 3$，都有$GR_k(Θ_{2n})=(n-1)k+n+1$.这意味着$GR_k(C_{2n})=(n-1)k+n+1$均为$k\geq 2$和$n\geq 3$。我们的结果给出了至少四个顶点上的所有偶数圈的Gallai-Ramsey数的统一证明。
2020-09-16 math.CO
Size Ramsey numbers of stars versus cliques
两个图$ G $和$ H $的Ramsey数$ \hat{r}(G,H) $是最小整数$ m $，使得在$ m $的边上存在图$ F $，并且$ F $的边的每个红-蓝着色产生$ G $的红色副本或$ H $的蓝色副本。在$ 1981 $中，Erdens观察到了$\hat{r}(K_{1,k},K_{3})\leq \binom{2k+1}{2}-\binom{k}{2}$，并证明了$ \hat{r}(K_{1,k},K_{3}) $上相应的上界是尖锐的。在$ 1983 $中，Faudree和Sheehan将这个猜想扩展如下：\hat{r}（K_{1,k}，K_{n}）= \left \{ {lr} \binom{k(n-1)+1}{2} - \binom{k}{2} & ~k \geq n~ \text{or} ~ k~ \text{odd}。\binom{k(n-1)+1}{2} -k（n-1）/2和\text{otherwise}。\right。他们证明了$ k=2 $的情况。在$ 2001 $，Pikhurko表明，这一猜想是不正确的$ n=3 $和$ k\geq 5 $，反驳上述猜想的Erdos。这里我们证明了Faudree和Sheehan对给定的$ k\geq 2 $和$ n\geq k^{3}+2k^{2}+2k $的猜想。
2016-09-13 math.CO
