Infinite Ramsey-minimal graphs for star forests
对于图$F$、$G$和$H$，我们写为$F \to (G,H)$，如果$F$的边的每个红-蓝着色产生$G$的红色副本或$H$的蓝色副本。图$F$称为$(G,H)$ -最小的，如果它是关于这个性质的子图-最小的。Ramsey-极小图的刻画问题是有限图的经典刻画问题。2021年，Barrett和第二作者将这个问题推广到无限图。他们询问哪些对$(G,H)$允许Ramsey最小图，哪些不允许。我们证明，任何一对星森林，使其中至少有一个涉及一个无限星组件承认没有拉姆齐最小图。此外，我们构造了一个拉姆齐最小图的有限星森林与细分图。本文建立在Burr等人1981年关于有限星森林的Ramsey极小图的结果之上。
2021-10-13 math.CO
Further improving of upper bound on a geometric Ramsey problem
本文考虑如下几何Ramsey问题：求最小维数$n$，使得对完全图的边在点$\{\pm 1\}^n$上的任意2-染色，存在4-顶点共面单色团。Graham和Rothschild首先分析了这个问题，他们给出了一个上界：$n\le F(F(F(F(F(F(F(12)))))))$，其中$F(m) = 2\uparrow^m3$。2014年，Lavrov、Lee和Mackey通过给出上界$n< 2\uparrow\uparrow\uparrow 6 < F(5)$极大地改进了这个结果。在本文中，我们重新审视他们的估计和减少上界的$n< 2\uparrow\uparrow\uparrow 5$
2020-04-12 math.CO
Optimizing the CGMS upper bound on Ramsey numbers
University of Waterloo（滑铁卢大学）；Charles University（查理大学）；University of Toronto（多伦多大学）；McGill University（麦吉尔大学）
本文简化了Campos等人关于Ramsey数上界的突破性证明，用归纳陈述替代书算法，优化参数后得到对角Ramsey数上界$R(k,k) \leq (3.8)^{k+o(k)}$，还将非对角Ramsey数上界推广到多色情形。
2026-09-01 math.CO
An adaptive upper bound on the Ramsey numbers $R(3,\dots,3)$
自2002年以来，Ramsey数Rn（3）= R（3，. ..，3）是Rn（3）$\le$ n！对于所有n个$\ge$，（e - 1/6）+1 4。它基于当前估计R 4（3）$\le$ 62。我们在这里展示了对于所有n个$\ge$ 4，R4（3）上的任何趋近如何产生Rn（3）上的改进的上界.例如，对于我们目前的自适应界，假设值R 4（3）= 51意味着Rn（3）$\le$ n！对于所有n个$\ge$，（e - 5/8）+1 4。
2019-12-11 math.CO
An improved method for recursively computing upper bounds for two-colour Ramsey numbers
双色Ramsey数$R(m,n)$是最小自然数$p$，使得任何$p$阶图必须包含大小为$m$的团或大小为$n$的独立集。我们展示了一种方法，用于计算上界$R(m,n)$递归，使用已知的上界的$R(\cdot,\cdot)$与较低的值，至少一个参数。我们还给出了一个例子，说明如何使用这种方法来改进文献中可用的几个最知名的边界（但由于即将开展的工作，这些边界很快就会过时）。
2018-04-01 math.CO
Upper Bounds for Ordered Ramsey Numbers of Small 1-Orderings
图$G$的$k$ -排序将来自集合$\{1,\ldots,|G|\}$的不同的顺序标签分配给$G$中的$k$顶点。给定一个$k$ -序$H$，序Ramsey数$R_<(H)$是最小$n$，使得在点集$\{1, \ldots, n\}$上的完全图的每个边2-染色都包含一个$H$的拷贝，其第10个最小点的$i$要么在$H$中有序标号$i$，要么在$H$中没有序标号.本文首次系统地研究了小图的$1$ -序的有序Ramsey数.对于$4$顶点上的每个连接的$1$ -序$H$，我们提供了$R_<(H)$的上界.另外，对于$n$ -顶点路径$P_n$的每个$1$ -序$H$，我们证明了$R_<(H) \in O(n)$ .最后，我们给出了广义序Ramsey数$R_<(K_n, H)$的一个上界，该上界可应用于任何含有序标号为$1$的点的$k$ -序$H$.
2017-02-07 math.CO
An upper bound for the restricted online Ramsey number
受限制的$(m,n;N)$-在线拉姆齐游戏是两个玩家之间的游戏，建设者和画家。游戏从$N$孤立顶点开始。每回合生成器选取一条边进行构建，绘制器选择该边是红色还是蓝色，生成器的目标是在尽可能少的回合中创建红色$K_m$或蓝色$K_n$。限制在线拉姆齐号码$\tilde{r}(m,n;N)$是建造者需要保证她在限制$(m,n;N)$-在线拉姆齐游戏中获胜的最低回合数。我们表明，如果$N=r(n,n)$，\[ \tilde{r}(n,n;N)\le \binom{N}{2} - Ω(N\log N), \]动机的问题所提出的康伦，福克斯，Grinshpun和他。在无限多个顶点上进行的等价博弈被称为在线拉姆齐博弈。由于在线Ramsey游戏中几乎所有已知的Builder策略最终都减少到受限设置，因此我们预计受限在线Ramsey游戏的进一步进展将在一般情况下得到应用。
2019-06-06 math.CO
Ramsey Theory for Words over an Infinite Alphabet
一个完整的划分理论，ω-定位的字（和ω-字），即定位的字在一个无限的字母表占主导地位的一个固定的增长序列。这一理论加强了经典的卡尔森，Furstenberg-Katznelson，和Bergelson-Blass-Hindman分区理论的话在一个有限的字母。这一理论的后果是强同时扩展的经典Hindman，密立根-泰勒分割定理，和范德瓦尔登定理一般半群，扩展结果的Hindman-施特劳斯和Beiglbock。
2009-04-13 math.CO
Ramsey upper density of infinite graphs
对于一个固定的无限图$H$，我们研究了在$K_{\mathbb{N}}$的边的每一个双染色中，与$H$同构的单色子图的最大密度。这被称为$H$的拉姆齐上密度，由Erdens和Galvin引入。最近，确定了无限路径的Ramsey上密度。在这里，我们发现这个密度的值为所有局部有限图$H$的一个因素为2，回答了一个问题的DeBiasio和McKenney。我们还发现了广泛的一类二部图，包括所有的局部有限森林的确切密度。我们的方法涉及这个问题的解决方案的最优化问题的连续函数。证明了在一定条件下，密度只依赖于$H$的色数、$H$的分支数以及$H$的独立集的扩张比$|N(I)|/|I|$.
2020-03-13 math.CO
An improved upper bound for the multicolour Ramsey number of odd cycles
该研究推导出长度为$2\ell+1$的奇环的$k$色Ramsey数的改进上界$(4\ell)^k \cdot k^{k/\ell}$，证明了Fox的猜想，实现了自1973年以来该问题指数项的首次超绝对常数因子改进。
2025-10-20 math.CO
Three Proofs of the Hypergraph Ramsey Theorem (An exposition)
Ramsey，Erdos-Rado和Conlon-Fox-Sudakov给出了3-超图Ramsey定理的证明，并给出了3-超图Ramsey数的越来越好的上界. Ramsey和Erdos-Rado也证明了a-超图Ramsey定理。Conlon-Fox-Sudakov注意到他们在3-超图Ramsey数上的上界，以及Erdos-Rado的递归（这是Erdos-Rado证明的关键），产生了a-超图Ramsey数的改进边界。我们提出了所有这些证明和状态明确的界限为2色的情况下和C色的情况下。我们给出了一个更详细的分析Conlon-Fox-Sudakov的结构，从而得到一个稍微好一点的界限。
2012-06-19 math.CO
Upper bounds for ordered Ramsey numbers of forests and bounded-degree graphs
University of Toronto（多伦多大学）
本文证明了有序森林和固定有界度图的有序Ramsey数的两个上界，分别回答了Geneson等人的问题并给出了多项式界。
2026-10-01 math.CO
An improved upper bound for the grid Ramsey problem
对于一个正整数$r$，令$G(r)$是最小的$N$，使得只要笛卡儿积$K_N \times K_N$的边是$r$ -着色的，则存在一个矩形，其中两对相对的边接收相同的颜色。在本文中，我们通过证明$G(r) \leq \Big(1 - \frac{1}{128}r^{-2}\Big) r^{\binom{r+1}{2}}$来改进$G(r)$的上界，当$r$足够大时。不像以前的改进，这是基于限制交叉点大小的集合系统的大小的界限，我们的证明是一种形式的quasirandomness参数。
2018-09-25 math.CO
A linear upper bound for zero-sum Ramsey numbers of bounded degree graphs
London School of Economics（伦敦政治经济学院）；Nankai University（南开大学）；University of Oxford（牛津大学）；King’s College London（伦敦国王学院）
本文研究了有限度图G和有限阿贝尔群Γ的零和Ramsey数R(G, Γ)，证明了对于任意n顶点图G和满足|Γ|整除e(G)的有限阿贝尔群Γ，R(G, Γ) ≤ Cn。
2026-05-07 math.CO
New upper bound for multicolor Ramsey numbers
Yokohama National University（Yokohama国立大学）；Qinghai Normal University（青海师范大学）
本研究针对多色Ramsey数上界问题，结合可变阶正系数根滤波器与多色书方法的保留脊细化技术，证明了满足一定参数条件的对角r色图Ramsey数新上界公式。
2026-08-04 math.CO
A new upper bound on the minimum degree of minimal Ramsey graphs
本研究针对Burr等人1976年提出的Ramsey参数$s_r(K_k)$，证明了$s_r(K_{k+1})$的新上界为$O(k^3 r^3 \log^3 k)$，推进了极小Ramsey图最小度的相关理论研究。
2024-07-10 math.CO
A General Upper Bound on Multicolor Ordered Ramsey Numbers
Charles University（查理大学）
本文给出了多色有序拉姆齐数的一般上界，基于区间色数和退化度，扩展了先前结果，并证明对有序匹配几乎紧。
2026-09-24 math.CO
On the geometric Ramsey numbers of trees
本文给出了树的几何Ramsey数的上界.我们证明了$R_c(T_n,H_m)=(n-1)(m-1)+1$如果$T_n$是一个毛毛虫，而$H_m$是一个关于$m$顶点的Hamilton外平面图.此外，如果$T_n$最多有两个非叶顶点，则$R_g(T_n,H_m)=(n-1)(m-1)+1$。我们还证明了$R_c(T_n,H_m)=O(n^2m)$和$R_g(T_n,H_m)=O(n^3m^2)$，如果$T_n$是$n$顶点上的任意树和$H_m$是路径宽度为2的外平面三角剖分。进一步证明了毛毛虫的几何Ramsey数的一个一致多项式上界，并给出了$R_g(T_n)$的一个上界，其中$T_n$是任意树.
2013-11-12 math.CO
A linear upper bound on the zero-sum Ramsey number of forests in $\mathbb{Z}_p$
Instituto de Matemática e Estatística, Universidade de São Paulo（圣保罗大学数学与统计学院）；Colégio Etapa（埃塔帕学院）
本文研究了森林在Z_p中的零和Ramsey数，证明了当森林顶点数满足特定条件时，其零和Ramsey数不超过n+9p-12。
2026-03-19 math.CO
On degree anti-Ramsey numbers
图$H$的度反Ramsey数$AR_d(H)$是最小整数$k$，对于该最小整数，存在最大度至多为$k$的图$G$，使得$G$的任何适当的边着色产生$H$的彩虹拷贝。本文证明了度反Ramsey数的一个一般上界，确定了任意森林的度反Ramsey数的精确值，并证明了任意长度圈的度反Ramsey数的一个上界，该上界最大可能为$2$的乘法因子.我们的证明涉及各种工具，包括经典的结果Bollobás关于交叉相交的家庭和拓扑版本的霍尔定理由于Aharoni，伯杰和Meshulam。
2015-07-27 math.CO
Upper bounds for multicolour Ramsey numbers
University of Oxford（牛津大学）；IMPA（巴西国家纯粹与应用数学研究所）；PUC-Rio（里约热内卢天主教大学）；University of Memphis（孟菲斯大学）；Institute of Mathematics, E
本文给出了多重颜色Ramsey数的指数级上界，改进了Erdős和Szekeres的结果，并为r=2的情况提供了更简短的证明。
2026-01-21 math.CO
An update on multicolor Ramsey lower bounds
IMPA（巴西国家纯数学和应用数学研究所）；Emory University（埃默里大学）
基于球面随机几何图构造，改进了多色Ramsey数的下界，提供了更精确的理论结果。
2026-01-21 math.CO
Ramsey Theory on Infinite Structures and the Method of Strong Coding Trees
本文讨论了无限大结构拉姆齐理论的一些最新发展趋势。树和它们的拉姆齐理论对这些研究至关重要。背后的作者最近的方法编码节点的树的主要思想，显示它们如何可以是有用的编码结构与禁止的配置，以及那些没有。使用强制作为有限搜索的工具，使得拉姆齐理论在这样的树上得以发展，导致了Henson图的有限大拉姆齐度的解决方案以及Rado图的无限维拉姆齐理论的副本。这些方法的应用的未来可能的方向进行了讨论。
2020-09-08 math.CO math.LO
An Improved Upper Bound for Multicolour Ramsey Numbers
Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）；QED Audit（QED审计）
本研究针对多色拉姆齐数，改进了Yang和Mao的相关上界，通过非对角界得到了更优的指数形式上界，推进了拉姆齐数的理论研究。
2026-09-07 math.CO
Infinite-dimensional Ramsey theory for binary free amalgamation classes
本文为有限二元语言中的自由合并类Fraïssé极限发展无限维拉姆齐理论，引入A.3(2)-理想概念，在更弱假设下证明Todorcevic抽象拉姆齐定理，并恢复精确大拉姆齐度。
2023-12-23 math.CO math.LO
Multicolour Ramsey numbers of paths and even cycles
证明了路和偶圈的多色Ramsey数的新的上界.众所周知，$(k-1)n+o(n)\leq R_k(P_n)\leq R_k(C_n)\leq kn+o(n)$ .上界最近改进了Sárközy谁表明，$R_k(C_n)\leq\left(k-\frac{k}{16k^3+1}\right)n+o(n)$。在这里，我们展示了$R_k(C_n) \leq (k-\frac14)n +o(n)$，通过绝对常数获得线性项系数的第一次改进。
2017-02-23 math.CO
Upper bounds on probability thresholds for asymmetric Ramsey properties
给定两个图$G$和$H$，我们研究了随机图$G_{n,p}$（$n$顶点上的具有边概率$p$的二项随机图）对于哪些函数$p=p(n)$以概率$1-o(1)$满足它的每个边的红-蓝着色包含$G$的红色副本或$H$的蓝色副本.在假设两个图中密度较大的一个满足一定的平衡条件的情况下，我们证明了该性质阈值的一般上界。我们的结果部分证实了第一作者和Kreuter的猜想，并与早期的下界结果建立了确切的数量级的阈值的情况下，其中$G$和$H$是完全图的任意大小。在我们的证明中，我们提出了一种替代所谓的删除方法，这是由Rödl和Rucienski在他们的研究对称拉姆齐性质的随机图（即情况$G=H$），并已被用于许多证明类似的结果。
2016-02-12 math.CO
An exponential upper bound for induced Ramsey numbers
本文研究导出拉姆齐数的上界问题，证明存在常数C>0使得任意k顶点图的r色导出拉姆齐数不超过$r^{Crk}$，解决了r=2时Erdős的1975年猜想，并强形式回答了r>2时的相关公开问题。
2025-11-13 math.CO
Ramsey Theory for Words Representing Rationals
拉姆齐理论的话在一个有限的字母表是统一的工作卡尔森和弗斯滕伯格Katznelson。卡尔森，在同一工作，概述了一种方法，以扩大理论的话在一个无限的字母表，但受一个固定的主导原则，证明特别是埃伦塔克版本，和相应的拉姆齐定理k=1。在目前的工作中，我们开发了一个系统的方式拉姆齐理论的话（实际上是ω-Z*-定位的话）在一个双无限字母扩展卡尔森的方法（可数序数和Schreier型家庭），我们应用这个理论，利用Budak-Isik-Pym表示，以获得一个分区理论的一组有理数。此外，我们表明，该理论可以用来获得任何半群的划分定理，强于已知的。
2010-11-02 math.CO
Strong Ramsey Games: Drawing on an infinite board
研究了在无限完全$k$ -一致超图$K^k_{\mathbb{N}}$的边集上的强Ramsey型对策$\mathcal{R}^{(k)}(\mathcal{H}, \aleph_0)$.两个参与者，称为FP（第一个参与者）和SP（第二个参与者），轮流声明$K^k_{\mathbb{N}}$的边，目的是构建某个有限预定$k$ -均匀超图$\mathcal{H}$的副本。第一个复制$\mathcal{H}$的玩家获胜。如果没有一个玩家有策略来确保他在200步中获胜，那么游戏被宣布为平局。本文构造了一个$5$ -一致超图$\mathcal{H}$，使得$\mathcal{R}^{(5)}(\mathcal{H}, \aleph_0)$是一个画.这与在$K^5_n$的边集上进行的相应有限博弈$\mathcal{R}^{(5)}(\mathcal{H}, n)$形成鲜明对比。事实上，使用一个被称为\emph{strategy stealing}的经典博弈论论证和一个拉姆齐型论证，可以证明对于每个$k$ -均匀超图$\mathcal{G}$，存在一个整数$n_0$，使得FP对于每个$n \geq n_0$都有一个$\mathcal{R}^{(k)}(\mathcal{G}, n)$的获胜策略。
2016-05-25 math.CO
Diagonal Ramsey via effective quasirandomness
我们将对角Ramsey数的上界改进为$k\ge 3$的\[R(k+1,k+1)\le\exp(-c(\log k)^2)\binom{2k}{k}\].要做到这一点，我们建立在一个quasirandomness和感应框架的拉姆齐数介绍了康伦，展示了最佳的“有效quasirandomness”的结果图的收敛性。这种最优性代表了改进的天然障碍。
2020-05-19 math.CO
A Ramsey space of infinite polyhedra and the random polyhedron
本文引入了一个新的拓扑Ramsey空间，它的元素是无穷序多面体。作为应用，我们证明了有限多面体集满足两类Ramsey性质：一类是作为$\mathbb N$上的范畴，另一类是作为有限结构.（有序）随机多面体是有限有序多面体类的Fraisse极限，我们证明了它的自同构群是非常顺从的。最后，我们提出了一个可数无限族的拓扑Ramsey子空间，每一个确定一类有限序结构，这是一个Ramsey类。这些子空间之一是埃伦塔克的空间;另一个是与有限有序图类的Fraisse限制是随机图。这些类的Fraisse极限不是成对同构的可数结构，也不是同构于随机多面体。
2016-02-04 math.CO math.LO
A List of Problems on the Reverse Mathematics of Ramsey Theory on the Rado Graph and on Infinite, Finitely Branching Trees
这份清单提出的问题，在逆向数学的无穷拉姆齐理论，我觉得有趣，但没有个人的技术来解决。其目的是寻求逆向数学工作者的帮助来解决这些问题，以及人们可以从中推断出的无数相关问题。提供了一小段背景和起始参考。
2018-08-30 math.CO math.LO
New Upper Bounds for the Classical Ramsey Numbers $R(4,4,4)$, $R(3,4,5)$ and $R(3,3,6)$
Universidad de Sevilla（塞维利亚大学）
本文利用Ramsey数不等式，给出了R(4,4,4)、R(3,4,5)和R(3,3,6)的新上界。
2026-03-12 math.CO
A generalized infinite quantum Ramsey theorem for operator systems
California State University Los Angeles（加州州立大学洛杉矶分校）
本文证明了无限量子拉姆齐定理的推广，展示其源于无限维希尔伯特空间中某些投影家族的典型'选择性'模式。
2026-04-29 math.CO math.FA math.OA
Hypergraph Ramsey numbers: tight cycles versus cliques
对于$s \ge 4$，3-均匀紧圈$C^3_s$具有对应于圆上的$s$不同点的顶点集和由三个连续点的$s$循环间隔给出的边集。对于固定的$s \ge 4$和$s \not\equiv 0$（mod 3），我们证明了在$$2^{at}<r(C^3_s, K^3_t)<2^{bt^2\log t}.$$的情况下，存在正的常数$a$和$b$。$s>5$的上界是通过使用过饱和度和已知的$r(K_4^{3}, K_t^3)$的上界来证明的，而$s=5$的上界是从我们开发的$r(K_5^{3-}, K_t^3)$的一个新的上界得出的。
2015-03-20 math.CO
On the size Ramsey number of all cycles versus a path
如果$G-E(F)$包含任何生成林$F\subset G$的$n$ -顶点路径$P_n$，则称之为$G\to (\mathcal{C}, P_n)$。大小Ramsey数$\hat{R}(\mathcal{C}, P_n)$是最小整数$m$，使得存在具有$m$边的图$G$，其中$G\to (\mathcal{C}, P_n)$。Dudek，Khoeini和Prahanat证明了对于足够大的$n$，$2.0036n \le \hat{R}(\mathcal{C}, P_n)\le 31n$ .在这篇文章中，我们将上下界都改进为$2.066n\le \hat{R}(\mathcal{C}, P_n)\le 5.25n+O(1).$。我们构造的上界与Dudek，Khoeini和Prahanat所考虑的上界完全不同。我们也有一个计算机辅助证明的上限$\hat{R}(\mathcal{C}, P_n)\le \frac{75}{19}n +O(1) < 3.947n $。
2020-05-16 math.CO
Some upper bounds on ordinal-valued Ramsey numbers for colourings of pairs
我们研究拉姆齐定理对和两个颜色的背景下，理论的$α$ -大集介绍Ketonen和Solovay。证明了来自$ω^{300n}$ -大集的对的任何$2$ -着色都存在$ω^n$ -大齐次集.我们解释了这个界限的形式化版本是如何给出一个更直接的证明，并加强了Patey和Yokoyama [Adv. Math. 330（2018），1034- 1070]的最近结果，该结果指出拉姆齐关于对和两种颜色的定理是$\forallΣ^0_2$ -保守的，超过了公理理论$\mathsf{RCA}_0$（递归理解）。
2018-11-09 math.CO math.LO
Some recent results in Ramsey theory
IMPA（巴西纯数学与应用数学研究所）
本文综述了Ramsey理论中关于Ramsey数的最新突破，包括对角线、近对角线和多色Ramsey数的指数改进，以及诱导Ramsey数的上界结果。
2026-01-08 math.CO
Big Ramsey Degrees and Infinite Languages
本文研究了无穷语言中无限制关系结构的大 Ramsey 度，证明了当每个大于 1 的元数仅有有限个关系时，结构具有有限大 Ramsey 度，首次为无穷语言中的随机结构确立了大 Ramsey 度的有限性。
2024-07-18 cs.DM math.CO math.LO
Anti-Ramsey problems in the generalized Petersen graphs for cycles
反拉姆齐数$Ar(G,H)$是在没有$H$的彩虹拷贝的情况下，$G$的边着色中的最大颜色数。本文确定了广义Petersen图$P_{n,k}$中的反Ramsey数，其中$C_d$是圈，$1\leq k\leq \lfloor \frac{n-1}{2} \rfloor$和$5\le d \le 6$ .给出了求反Ramsey数的上界或下界的算法。
2021-10-05 math.CO
Small minimal $(3, 3)$-Ramsey graphs
我们称$G$是一个$(3, 3)$ -Ramsey图，如果$G$的边的每一个$2$ -染色都迫使一个单色三角形.如果$G$不包含一个真的$(3, 3)$ -Ramsey子图，则称$(3, 3)$-Ramsey图$G$是最小的.本文利用计算机找到了顶点数不超过13的所有极小$(3, 3)$ -Ramsey图，并得到了这类图的一些新结果。我们还获得了任意$(3, 3)$ -Ramsey图的独立数的新上界和最小度的新下界。
2016-04-13 math.CO
Towards the Kohayakawa--Kreuter conjecture on asymmetric Ramsey properties
对于固定图$F_1,\dotsc,F_r$，我们证明了一个上界的门限函数的性质，$G(n,p) \to (F_1,\dotsc,F_r)$。这建立了Kohayakawa和Kreuter猜想的$1$ -陈述。
2020-05-05 math.CO
Ramsey and Gallai-Ramsey numbers for two classes of unicyclic graphs
给定一个图$G$和一个正整数$k$，定义\emph{Gallai-Ramsey number}为$n$的最小顶点数，使得$K_n$的任何$k$ -边着色包含彩虹（所有不同颜色）三角形或$G$的单色副本。本文考虑了两类单圈图：有额外边的星形图和一端有三角形的路图。我们提供了这两类图的$2$ -色Ramsey数，并使用这些来获得一般的上界和下界的Gallai-Ramsey数。
2018-09-26 math.CO
New Upper Bounds for the Erdős-Gyárfás Problem on Generalized Ramsey Numbers
图$G$的$(p,q)$ -染色是$G$的边染色，它至少为每个$p$ -团分配$q$颜色。确定完全图$K_n$的$(p,q)$ -着色所需的最小颜色数$f(n,p,q)$的问题是确定对角Ramsey数$r_k(p)$的著名问题的自然推广。$f(n,p,q)$最著名的一般上界是由Erdens和Gyárfás在1997年使用概率论证给出的。从那时起，在$p=q$的情况下，已得到改进的界限仅为$p\in\{4,5\}$，其中每一个证明了给出一个确定性的结构相结合的$(p,p-1)$ -着色使用几种颜色与代数着色。在本文中，我们提供了一个框架，证明新的上界$f(n,p,p)$的风格，这些早期的建设。我们用$p-1$颜色描述了$p$ -团的所有着色，这些颜色可以出现在我们修改后的$(p,p-1)$ -Conlon、Fox、Lee和Sudakov着色中。这使我们能够大大减少识别$(p,p)$ -着色所需的案例检查量，否则这将使这个问题对于大的$p$值变得棘手。此外，我们推广了我们的代数着色从$p=5$设置，并使用这给改进的上界$f(n,6,6)$和$f(n,8,8)$。
2020-06-19 math.CO
Parametrized Ramsey theory of infinite block sequences of vectors
我们证明了Gowers的$\mathrm{FIN}_k$和$\mathrm{FIN}_{\pm k}$定理的无限维版本可以由$2^ω$的完美子集的无穷序列参数化。要做到这一点，我们使用超拉姆齐理论，以获得精确和近似版本的结果，结合元素从两个Gowers'定理和Hales-Jewett定理。因此，我们得到了Gowers的$c_0$定理的参数化形式.
2020-06-18 math.CO math.FA math.LO
Improved Upper Bounds for Gallai-Ramsey Numbers of Odd Cycles
完全图的Gallai染色是一种边染色，使得没有三角形的所有边都是不同的颜色。Gallai $k$-着色是使用$k$颜色的Gallai着色。给定一个整数$k\ge1$和一个图$H$，Gallai-Ramsey数$GR_k(H)$是最小正整数$n$，使得完全图$K_n$的每一个Gallai $k$-染色都包含$H$的单色副本。Gyárfás，Sárközy，SebIgnand Selkow在2010年证明了如果$H$不是二分的，则$GR_k (H) $在$k$中是指数的;如果$H$是二分的但不是星的，则在$k$中是线性的;当$H$是星的时候，则是常数（不依赖于$k$）。因此，$GR_k(H)$比经典的Ramsey数$R_k(H)$表现得更好。然而，找到$GR_k (H)$的精确值绝非易事，即使$|V(H)|$很小。本文首先改进了已有的奇圈Gallai-Ramsey数的上界，证明了对于所有的$k \ge 3$和$n \ge 8$，$GR_k(C_{2n+1}) \le (n\ln n) \cdot 2^k -(k+1)n+1$.然后，我们证明了$GR_k( C_{13})= 6\cdot 2^k+1$和$GR_k( C_{15})= 7\cdot 2^k+1$的所有$k\ge1$。
2018-08-29 math.CO
Ramsey and Gallai-Ramsey numbers for stars with extra independent edges
给定一个图$G$和一个正整数$k$，定义\emph{Gallai-Ramsey number}为$n$的最小顶点数，使得$K_n$的任何$k$ -边着色包含彩虹（所有不同颜色）三角形或$G$的单色副本。本文给出了由$t$阶星得到的图$G = S_t^{r}$的Gallai-Ramsey数的一般上、下界，该图是通过在该星的叶之间添加$r$额外独立边而得到的，从而使$S_t^{r}$中存在$r$三角形和$t - 2r - 1$悬垂边.当$t = 2$ .
2019-08-06 math.CO
An infinite quantum Ramsey theorem
证明了作用在无限维希尔伯特空间上的线性算子的有单位元的自伴子空间的非交换图的无限Ramsey定理。具体地说，我们证明了，如果V是这样一个子空间，那么提供了没有明显的障碍，有一个无限秩投影P的性质，压缩PVP是最大或最小的在一定的自然意义。
2017-11-27 math-ph math.CO math.FA
Blowup Ramsey numbers
我们研究了推广的二分拉姆齐数爆破的图形。对于图$G$，用$G[t]$表示$G$的$t$ -爆破。如果$G$的边的每个$r$ -着色都有$H$的单色副本，则我们说$G$是$r$ -Ramsey for $H$，并写作$G \stackrel{r}{\rightarrow} H$。我们证明，如果$G \stackrel{r}{\rightarrow} H$，那么对于所有的$t$，存在$n$，使得$G[n] \stackrel{r}{\rightarrow} H[t]$。事实上，我们提供了指数下限和上限的最小$n$与$G[n] \stackrel{r}{\rightarrow} H[t]$，并推测一个上界的形式$c^t$，其中$c$依赖于$H$和$r$，但不依赖于$G$。我们还表明，这一猜想持有$G(n,p)$的概率很高，高于事件$G(n,p) \stackrel{r}{\rightarrow} H$的阈值。
2021-01-14 math.CO
New bounds on the Ramsey number $r(I_m, L_n)$
研究了Ramsey数$r(I_m, L_n)$，它是最小自然数$k$，使得$k$顶点上的每个有向图都包含一个独立的$m$大小集或一个$n$顶点上的传递竞赛图.除了有限组合的兴趣，这些拉姆齐数是感兴趣的集理论家，因为它是已知的，$r(ωm, n) = ωr(I_m, L_n)$，其中$ω$是最低超限序数，和$r(κm, n) = κr(I_m, L_n)$的所有初始序数$κ$。继续Bermond从1974年开始的研究，他确实证明了$r(I_3, L_3) = 9$，我们证明了$r(I_4, L_3) = 15$和$r(I_5, L_3) = 23$。通过将Larson和Mitchell（1997）的关于$r(I_m, L_3)$的$m^2$的上限改进为$m^2 - m + 3$，获得了上述两个估计的上限。此外，我们提供了渐近上界$r(I_m, L_n)$的所有$n \geq 3$。特别是，我们表明，$r(I_m, L_3) \in Θ(m^2 / \log m)$。
2020-04-08 math.CO
Improved bounds on the multicolor Ramsey numbers of paths and even cycles
研究了路和偶圈的Ramsey数$R_k(P_n)$和$R_k(C_n)$，它们是使完全图$K_N$的每一个着色分别有$P_n$或$C_n$的单色副本的最小整数$N$.长期以来，人们只知道$R_k(P_n)$介于$(k-1+o(1))n$和$(k + o(1))n$之间。最近Sárközy的突破和后来Davies、Jenssen和Roberts的改进给出了$(k - \frac{1}{4} + o(1))n$的上界。我们将上界改进为$(k - \frac{1}{2}+ o(1))n$。我们的方法使用连接图中的结构洞察力，而没有大的匹配。这些见解可能是独立的利益。
2018-01-12 math.CO
A note on the grid Ramsey problem
格子拉姆齐数$ G(r) $是最小的数$ n $，使得格子图$Γ_{n,n} := K_n \times K_n$的每一个边用$r$颜色着色都导出一个矩形，其平行边接收相同的颜色。我们展示了$ G(r) \leq r^{\binom{r+1}{2}} - \left( 1/4 - o(1) \right) r^{\binom{r}{2}+1} $，稍微改进了目前最知名的上界由于Gyárfás。
2017-09-27 math.CO
Gallai-Ramsey numbers for books
给定一个图$G$和一个正整数$k$，\emph{Gallai-Ramsey number}被定义为$n$的最小顶点数，使得$K_n$的任何$k$ -边着色包含彩虹（所有不同颜色）三角形或$G$的单色副本.本文给出了$B_{m} = K_{2} + \overline{K_{m}}$书中Gallai-Ramsey数的一般上、下界，并证明了$m \leq 5$的精确结果.
2018-02-14 math.CO
