Induced Ramsey numbers for fans
Qinghai Normal University（青海师范大学）；Keio University（庆应义塾大学）；Taizhou University（泰州学院）
本文研究了风扇图的诱导拉姆sey数，证明了固定图G与特定结构图F_n的二次上界，并针对星图给出了具体结果。
2026-03-20 math.CO
Some exact values on Ramsey numbers related to fans
对于两个给定的图$F$和$H$，Ramsey数$R(F,H)$是最小整数$N$，使得完全图$K_N$的任何红-蓝边着色包含红色$F$或蓝色$H$。当$F=H$，我们简单地写$R_2(H)$。对于正整数$n$，设$K_{1,n}$是一个具有$n+1$个顶点的星形，$F_n$是一个具有$2n+1$个顶点的扇形，$2n+1$个顶点由$n$三角形共享一个公共顶点组成，$nK_3$是一个具有$3n$个顶点的图，$3n$个顶点由$n$三角形的不交并得到.在1975年，Burr，Erdés和Spencer \cite{B}证明了$R_2(nK_3)=5n$对于$n\ge2$。然而，确定$R_2(F_n)$的确切值是非常困难的。到目前为止，只有$R_2(F_2)=9$被证明。请注意，$F_n$和$nK_3$都包含$n$三角形和所有$n\ge 2$的$|V(F_n)|<|V(nK_3)|$。Chen、Yu和Zhao（2021）推测，$n$的$R_2(F_n)\le R_2(nK_3)=5n$足够大。在本文中，我们首先证明了$R(K_{1,n},F_n)=3n-\varepsilon$对于$n\ge1$，其中$\varepsilon=0$，如果$n$是奇数和$\varepsilon=1$，如果$n$是偶数。应用$R(K_{1,n},F_n)$的精确值，我们将通过证明$R_2(F_3)=14$来确认$n…
2022-11-07 math.CO
Size Ramsey numbers of small graphs versus fans or paths
本文研究固定小图对扇形图或多条路径的尺寸 Ramsey 数，确定 $P_3$ 对 $F_n$、$2K_2$ 对 $F_n$ 及 $2K_2$ 对 $nP_m$ 的精确公式，并反驳或验证相关猜想。
2024-04-05 math.CO
Ramsey goodness of fans
本文研究广义扇图 $K_1+nH$ 的 Ramsey 优良性，提出三种方法将参数 $c$ 从 52.456 依次降至 3、2 和 1，从而改进了 $n$ 的下界，并对扇图 $F_n$ 给出了更精细的界。
2023-10-20 math.CO
Ramsey goodness of stars and fans for the Hajós graph
本文研究星图和扇形图对色盈余为2的 Hajós 图 $H_a$ 的 Ramsey 良性，证明 $K_{1,n}$ 当且仅当 $n$ 为偶时为 $H_a$-良，且 $n\ge111$ 时 $F_n$ 为 $H_a$-良。
2025-09-17 math.CO
Ramsey numbers of color critical graphs versus large generalized fans
本文研究边临界图与广义扇形图的 Ramsey 数和星临界 Ramsey 数，将已有完全图、奇圈结果推广到一般边临界图并给出精确公式。
2023-08-21 math.CO
Disproofs of four Gallai-Ramsey-type conjectures
本文通过构造新的下界反证了关于扇形、轮形和 kipas 的三个 Gallai–Ramsey 数猜想，并给出两类 Ramsey-full 但非 Gallai–Ramsey-full 的图，否定相关等价猜想。
2024-10-02 math.CO
A New Upper Bound for Diagonal Ramsey Numbers
本文证明了对角双色Ramsey数的一个新的上界，证明了存在一个常数$C$，使得\[r(k+1, k+1) \leq k^{- C \frac{\log k}{\log \log k}} \binom{2k}{k}.\]
2006-07-30 math.CO
Recursive upper bounds for the vertex online Ramsey game with applications to hypergraph Ramsey numbers
Emory University（埃默里大学）
本文研究了超图Ramsey数的递归上界，提出改进的递推关系并应用于超图Ramsey数的上界优化。
2026-05-15 math.CO
New upper bound for multicolor Ramsey number of odd cycles
令$r_k(C_{2m+1})$为长度为$2m+1$的奇数圈$C_{2m+1}$的$k$ -色拉姆齐数.它表明，对于每个固定的$m\ge2$，\[r_k(C_{2m+1})<c^{k}\sqrt{k!}\]的所有足够大的$k$，其中$c=c(m)>0$是一个常数。这改进了Bondy和Erdwords的一个旧结果（Ramsey numbers for cycles in graphs，J. Combin.理论系列B 14（1973）46-54）。
2018-10-24 math.CO
Further improving of upper bound on a geometric Ramsey problem
本文考虑如下几何Ramsey问题：求最小维数$n$，使得对完全图的边在点$\{\pm 1\}^n$上的任意2-染色，存在4-顶点共面单色团。Graham和Rothschild首先分析了这个问题，他们给出了一个上界：$n\le F(F(F(F(F(F(F(12)))))))$，其中$F(m) = 2\uparrow^m3$。2014年，Lavrov、Lee和Mackey通过给出上界$n< 2\uparrow\uparrow\uparrow 6 < F(5)$极大地改进了这个结果。在本文中，我们重新审视他们的估计和减少上界的$n< 2\uparrow\uparrow\uparrow 5$
2020-04-12 math.CO
Optimizing the CGMS upper bound on Ramsey numbers
University of Waterloo（滑铁卢大学）；Charles University（查理大学）；University of Toronto（多伦多大学）；McGill University（麦吉尔大学）
本文简化了Campos等人关于Ramsey数上界的突破性证明，用归纳陈述替代书算法，优化参数后得到对角Ramsey数上界$R(k,k) \leq (3.8)^{k+o(k)}$，还将非对角Ramsey数上界推广到多色情形。
2026-09-01 math.CO
An adaptive upper bound on the Ramsey numbers $R(3,\dots,3)$
自2002年以来，Ramsey数Rn（3）= R（3，. ..，3）是Rn（3）$\le$ n！对于所有n个$\ge$，（e - 1/6）+1 4。它基于当前估计R 4（3）$\le$ 62。我们在这里展示了对于所有n个$\ge$ 4，R4（3）上的任何趋近如何产生Rn（3）上的改进的上界.例如，对于我们目前的自适应界，假设值R 4（3）= 51意味着Rn（3）$\le$ n！对于所有n个$\ge$，（e - 5/8）+1 4。
2019-12-11 math.CO
An improved method for recursively computing upper bounds for two-colour Ramsey numbers
双色Ramsey数$R(m,n)$是最小自然数$p$，使得任何$p$阶图必须包含大小为$m$的团或大小为$n$的独立集。我们展示了一种方法，用于计算上界$R(m,n)$递归，使用已知的上界的$R(\cdot,\cdot)$与较低的值，至少一个参数。我们还给出了一个例子，说明如何使用这种方法来改进文献中可用的几个最知名的边界（但由于即将开展的工作，这些边界很快就会过时）。
2018-04-01 math.CO
Upper Bounds for Ordered Ramsey Numbers of Small 1-Orderings
图$G$的$k$ -排序将来自集合$\{1,\ldots,|G|\}$的不同的顺序标签分配给$G$中的$k$顶点。给定一个$k$ -序$H$，序Ramsey数$R_<(H)$是最小$n$，使得在点集$\{1, \ldots, n\}$上的完全图的每个边2-染色都包含一个$H$的拷贝，其第10个最小点的$i$要么在$H$中有序标号$i$，要么在$H$中没有序标号.本文首次系统地研究了小图的$1$ -序的有序Ramsey数.对于$4$顶点上的每个连接的$1$ -序$H$，我们提供了$R_<(H)$的上界.另外，对于$n$ -顶点路径$P_n$的每个$1$ -序$H$，我们证明了$R_<(H) \in O(n)$ .最后，我们给出了广义序Ramsey数$R_<(K_n, H)$的一个上界，该上界可应用于任何含有序标号为$1$的点的$k$ -序$H$.
2017-02-07 math.CO
An upper bound for the restricted online Ramsey number
受限制的$(m,n;N)$-在线拉姆齐游戏是两个玩家之间的游戏，建设者和画家。游戏从$N$孤立顶点开始。每回合生成器选取一条边进行构建，绘制器选择该边是红色还是蓝色，生成器的目标是在尽可能少的回合中创建红色$K_m$或蓝色$K_n$。限制在线拉姆齐号码$\tilde{r}(m,n;N)$是建造者需要保证她在限制$(m,n;N)$-在线拉姆齐游戏中获胜的最低回合数。我们表明，如果$N=r(n,n)$，\[ \tilde{r}(n,n;N)\le \binom{N}{2} - Ω(N\log N), \]动机的问题所提出的康伦，福克斯，Grinshpun和他。在无限多个顶点上进行的等价博弈被称为在线拉姆齐博弈。由于在线Ramsey游戏中几乎所有已知的Builder策略最终都减少到受限设置，因此我们预计受限在线Ramsey游戏的进一步进展将在一般情况下得到应用。
2019-06-06 math.CO
Ramsey upper density of infinite graph factors
拉姆齐理论上密度问题的研究是由Erdens和Galvin于1993年开始的。本文研究了以下问题：给定一个固定的有限图$F$，$F$的最大值是多少，使得$\mathbb{N}$上的完全图的每一个2-边染色都包含一个单色无限$F$ -因子，其顶点集至少具有上密度$λ$？在这里，我们证明了这个问题的一个新的下界。对于$F$的某些选择，包括集团和奇循环，这个新的界是尖锐的，因为它匹配旧的上界。对于$F$是三角形的特殊情况，我们也给出了一个明确的下界$1-\frac{1}{\sqrt{7}}=0.62203\dots$，改进了以前的最佳界3/5。
2020-10-26 math.CO
Ramsey upper density of infinite graphs
对于一个固定的无限图$H$，我们研究了在$K_{\mathbb{N}}$的边的每一个双染色中，与$H$同构的单色子图的最大密度。这被称为$H$的拉姆齐上密度，由Erdens和Galvin引入。最近，确定了无限路径的Ramsey上密度。在这里，我们发现这个密度的值为所有局部有限图$H$的一个因素为2，回答了一个问题的DeBiasio和McKenney。我们还发现了广泛的一类二部图，包括所有的局部有限森林的确切密度。我们的方法涉及这个问题的解决方案的最优化问题的连续函数。证明了在一定条件下，密度只依赖于$H$的色数、$H$的分支数以及$H$的独立集的扩张比$|N(I)|/|I|$.
2020-03-13 math.CO
An improved upper bound for the multicolour Ramsey number of odd cycles
该研究推导出长度为$2\ell+1$的奇环的$k$色Ramsey数的改进上界$(4\ell)^k \cdot k^{k/\ell}$，证明了Fox的猜想，实现了自1973年以来该问题指数项的首次超绝对常数因子改进。
2025-10-20 math.CO
Three Proofs of the Hypergraph Ramsey Theorem (An exposition)
Ramsey，Erdos-Rado和Conlon-Fox-Sudakov给出了3-超图Ramsey定理的证明，并给出了3-超图Ramsey数的越来越好的上界. Ramsey和Erdos-Rado也证明了a-超图Ramsey定理。Conlon-Fox-Sudakov注意到他们在3-超图Ramsey数上的上界，以及Erdos-Rado的递归（这是Erdos-Rado证明的关键），产生了a-超图Ramsey数的改进边界。我们提出了所有这些证明和状态明确的界限为2色的情况下和C色的情况下。我们给出了一个更详细的分析Conlon-Fox-Sudakov的结构，从而得到一个稍微好一点的界限。
2012-06-19 math.CO
Upper bounds for ordered Ramsey numbers of forests and bounded-degree graphs
University of Toronto（多伦多大学）
本文证明了有序森林和固定有界度图的有序Ramsey数的两个上界，分别回答了Geneson等人的问题并给出了多项式界。
2026-10-01 math.CO
An improved upper bound for the grid Ramsey problem
对于一个正整数$r$，令$G(r)$是最小的$N$，使得只要笛卡儿积$K_N \times K_N$的边是$r$ -着色的，则存在一个矩形，其中两对相对的边接收相同的颜色。在本文中，我们通过证明$G(r) \leq \Big(1 - \frac{1}{128}r^{-2}\Big) r^{\binom{r+1}{2}}$来改进$G(r)$的上界，当$r$足够大时。不像以前的改进，这是基于限制交叉点大小的集合系统的大小的界限，我们的证明是一种形式的quasirandomness参数。
2018-09-25 math.CO
A linear upper bound for zero-sum Ramsey numbers of bounded degree graphs
London School of Economics（伦敦政治经济学院）；Nankai University（南开大学）；University of Oxford（牛津大学）；King’s College London（伦敦国王学院）
本文研究了有限度图G和有限阿贝尔群Γ的零和Ramsey数R(G, Γ)，证明了对于任意n顶点图G和满足|Γ|整除e(G)的有限阿贝尔群Γ，R(G, Γ) ≤ Cn。
2026-05-07 math.CO
New upper bound for multicolor Ramsey numbers
Yokohama National University（Yokohama国立大学）；Qinghai Normal University（青海师范大学）
本研究针对多色Ramsey数上界问题，结合可变阶正系数根滤波器与多色书方法的保留脊细化技术，证明了满足一定参数条件的对角r色图Ramsey数新上界公式。
2026-08-04 math.CO
A new upper bound on the minimum degree of minimal Ramsey graphs
本研究针对Burr等人1976年提出的Ramsey参数$s_r(K_k)$，证明了$s_r(K_{k+1})$的新上界为$O(k^3 r^3 \log^3 k)$，推进了极小Ramsey图最小度的相关理论研究。
2024-07-10 math.CO
A General Upper Bound on Multicolor Ordered Ramsey Numbers
Charles University（查理大学）
本文给出了多色有序拉姆齐数的一般上界，基于区间色数和退化度，扩展了先前结果，并证明对有序匹配几乎紧。
2026-09-24 math.CO
Geometric structures of $G$-fans associated with rank $3$ cluster-cyclic exchange matrices
Graduate School of Mathematics nagoya University\ -ku Nagoya 464-8602 Japan.；School of Mathematical Sciences University of Science
本文研究了与秩3实聚类循环交换矩阵相关的$G$-扇的几何结构，通过发现热带符号的递推关系，深入研究了$c$-向量和$g$-向量的性质，并引入两种上界，证明了$g$-向量无周期性，确定了其符号，并证明了在最小假设下$g$-向量的单调性。
2026-06-08 math.CO math.RT
On the geometric Ramsey numbers of trees
本文给出了树的几何Ramsey数的上界.我们证明了$R_c(T_n,H_m)=(n-1)(m-1)+1$如果$T_n$是一个毛毛虫，而$H_m$是一个关于$m$顶点的Hamilton外平面图.此外，如果$T_n$最多有两个非叶顶点，则$R_g(T_n,H_m)=(n-1)(m-1)+1$。我们还证明了$R_c(T_n,H_m)=O(n^2m)$和$R_g(T_n,H_m)=O(n^3m^2)$，如果$T_n$是$n$顶点上的任意树和$H_m$是路径宽度为2的外平面三角剖分。进一步证明了毛毛虫的几何Ramsey数的一个一致多项式上界，并给出了$R_g(T_n)$的一个上界，其中$T_n$是任意树.
2013-11-12 math.CO
A linear upper bound on the zero-sum Ramsey number of forests in $\mathbb{Z}_p$
Instituto de Matemática e Estatística, Universidade de São Paulo（圣保罗大学数学与统计学院）；Colégio Etapa（埃塔帕学院）
本文研究了森林在Z_p中的零和Ramsey数，证明了当森林顶点数满足特定条件时，其零和Ramsey数不超过n+9p-12。
2026-03-19 math.CO
On degree anti-Ramsey numbers
图$H$的度反Ramsey数$AR_d(H)$是最小整数$k$，对于该最小整数，存在最大度至多为$k$的图$G$，使得$G$的任何适当的边着色产生$H$的彩虹拷贝。本文证明了度反Ramsey数的一个一般上界，确定了任意森林的度反Ramsey数的精确值，并证明了任意长度圈的度反Ramsey数的一个上界，该上界最大可能为$2$的乘法因子.我们的证明涉及各种工具，包括经典的结果Bollobás关于交叉相交的家庭和拓扑版本的霍尔定理由于Aharoni，伯杰和Meshulam。
2015-07-27 math.CO
Upper bounds for multicolour Ramsey numbers
University of Oxford（牛津大学）；IMPA（巴西国家纯粹与应用数学研究所）；PUC-Rio（里约热内卢天主教大学）；University of Memphis（孟菲斯大学）；Institute of Mathematics, E
本文给出了多重颜色Ramsey数的指数级上界，改进了Erdős和Szekeres的结果，并为r=2的情况提供了更简短的证明。
2026-01-21 math.CO
An update on multicolor Ramsey lower bounds
IMPA（巴西国家纯数学和应用数学研究所）；Emory University（埃默里大学）
基于球面随机几何图构造，改进了多色Ramsey数的下界，提供了更精确的理论结果。
2026-01-21 math.CO
An Improved Upper Bound for Multicolour Ramsey Numbers
Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）；QED Audit（QED审计）
本研究针对多色拉姆齐数，改进了Yang和Mao的相关上界，通过非对角界得到了更优的指数形式上界，推进了拉姆齐数的理论研究。
2026-09-07 math.CO
Multicolour Ramsey numbers of paths and even cycles
证明了路和偶圈的多色Ramsey数的新的上界.众所周知，$(k-1)n+o(n)\leq R_k(P_n)\leq R_k(C_n)\leq kn+o(n)$ .上界最近改进了Sárközy谁表明，$R_k(C_n)\leq\left(k-\frac{k}{16k^3+1}\right)n+o(n)$。在这里，我们展示了$R_k(C_n) \leq (k-\frac14)n +o(n)$，通过绝对常数获得线性项系数的第一次改进。
2017-02-23 math.CO
Upper bounds on probability thresholds for asymmetric Ramsey properties
给定两个图$G$和$H$，我们研究了随机图$G_{n,p}$（$n$顶点上的具有边概率$p$的二项随机图）对于哪些函数$p=p(n)$以概率$1-o(1)$满足它的每个边的红-蓝着色包含$G$的红色副本或$H$的蓝色副本.在假设两个图中密度较大的一个满足一定的平衡条件的情况下，我们证明了该性质阈值的一般上界。我们的结果部分证实了第一作者和Kreuter的猜想，并与早期的下界结果建立了确切的数量级的阈值的情况下，其中$G$和$H$是完全图的任意大小。在我们的证明中，我们提出了一种替代所谓的删除方法，这是由Rödl和Rucienski在他们的研究对称拉姆齐性质的随机图（即情况$G=H$），并已被用于许多证明类似的结果。
2016-02-12 math.CO
An exponential upper bound for induced Ramsey numbers
本文研究导出拉姆齐数的上界问题，证明存在常数C>0使得任意k顶点图的r色导出拉姆齐数不超过$r^{Crk}$，解决了r=2时Erdős的1975年猜想，并强形式回答了r>2时的相关公开问题。
2025-11-13 math.CO
Diagonal Ramsey via effective quasirandomness
我们将对角Ramsey数的上界改进为$k\ge 3$的\[R(k+1,k+1)\le\exp(-c(\log k)^2)\binom{2k}{k}\].要做到这一点，我们建立在一个quasirandomness和感应框架的拉姆齐数介绍了康伦，展示了最佳的“有效quasirandomness”的结果图的收敛性。这种最优性代表了改进的天然障碍。
2020-05-19 math.CO
Tropical fans supporting a reduced 0-dimensional complete intersection
本文引入热带扇的‘廊道’概念，用于分类一维正则扇并推导其最小模型程序，同时在二维情况下证明了正则扇的有限性定理。
2025-12-17 math.AG math.CO
New Upper Bounds for the Classical Ramsey Numbers $R(4,4,4)$, $R(3,4,5)$ and $R(3,3,6)$
Universidad de Sevilla（塞维利亚大学）
本文利用Ramsey数不等式，给出了R(4,4,4)、R(3,4,5)和R(3,3,6)的新上界。
2026-03-12 math.CO
Hypergraph Ramsey numbers: tight cycles versus cliques
对于$s \ge 4$，3-均匀紧圈$C^3_s$具有对应于圆上的$s$不同点的顶点集和由三个连续点的$s$循环间隔给出的边集。对于固定的$s \ge 4$和$s \not\equiv 0$（mod 3），我们证明了在$$2^{at}<r(C^3_s, K^3_t)<2^{bt^2\log t}.$$的情况下，存在正的常数$a$和$b$。$s>5$的上界是通过使用过饱和度和已知的$r(K_4^{3}, K_t^3)$的上界来证明的，而$s=5$的上界是从我们开发的$r(K_5^{3-}, K_t^3)$的一个新的上界得出的。
2015-03-20 math.CO
On the size Ramsey number of all cycles versus a path
如果$G-E(F)$包含任何生成林$F\subset G$的$n$ -顶点路径$P_n$，则称之为$G\to (\mathcal{C}, P_n)$。大小Ramsey数$\hat{R}(\mathcal{C}, P_n)$是最小整数$m$，使得存在具有$m$边的图$G$，其中$G\to (\mathcal{C}, P_n)$。Dudek，Khoeini和Prahanat证明了对于足够大的$n$，$2.0036n \le \hat{R}(\mathcal{C}, P_n)\le 31n$ .在这篇文章中，我们将上下界都改进为$2.066n\le \hat{R}(\mathcal{C}, P_n)\le 5.25n+O(1).$。我们构造的上界与Dudek，Khoeini和Prahanat所考虑的上界完全不同。我们也有一个计算机辅助证明的上限$\hat{R}(\mathcal{C}, P_n)\le \frac{75}{19}n +O(1) < 3.947n $。
2020-05-16 math.CO
Some recent results in Ramsey theory
IMPA（巴西纯数学与应用数学研究所）
本文综述了Ramsey理论中关于Ramsey数的最新突破，包括对角线、近对角线和多色Ramsey数的指数改进，以及诱导Ramsey数的上界结果。
2026-01-08 math.CO
Anti-Ramsey problems in the generalized Petersen graphs for cycles
反拉姆齐数$Ar(G,H)$是在没有$H$的彩虹拷贝的情况下，$G$的边着色中的最大颜色数。本文确定了广义Petersen图$P_{n,k}$中的反Ramsey数，其中$C_d$是圈，$1\leq k\leq \lfloor \frac{n-1}{2} \rfloor$和$5\le d \le 6$ .给出了求反Ramsey数的上界或下界的算法。
2021-10-05 math.CO
Small minimal $(3, 3)$-Ramsey graphs
我们称$G$是一个$(3, 3)$ -Ramsey图，如果$G$的边的每一个$2$ -染色都迫使一个单色三角形.如果$G$不包含一个真的$(3, 3)$ -Ramsey子图，则称$(3, 3)$-Ramsey图$G$是最小的.本文利用计算机找到了顶点数不超过13的所有极小$(3, 3)$ -Ramsey图，并得到了这类图的一些新结果。我们还获得了任意$(3, 3)$ -Ramsey图的独立数的新上界和最小度的新下界。
2016-04-13 math.CO
Towards the Kohayakawa--Kreuter conjecture on asymmetric Ramsey properties
对于固定图$F_1,\dotsc,F_r$，我们证明了一个上界的门限函数的性质，$G(n,p) \to (F_1,\dotsc,F_r)$。这建立了Kohayakawa和Kreuter猜想的$1$ -陈述。
2020-05-05 math.CO
Ramsey and Gallai-Ramsey numbers for two classes of unicyclic graphs
给定一个图$G$和一个正整数$k$，定义\emph{Gallai-Ramsey number}为$n$的最小顶点数，使得$K_n$的任何$k$ -边着色包含彩虹（所有不同颜色）三角形或$G$的单色副本。本文考虑了两类单圈图：有额外边的星形图和一端有三角形的路图。我们提供了这两类图的$2$ -色Ramsey数，并使用这些来获得一般的上界和下界的Gallai-Ramsey数。
2018-09-26 math.CO
New Upper Bounds for the Erdős-Gyárfás Problem on Generalized Ramsey Numbers
图$G$的$(p,q)$ -染色是$G$的边染色，它至少为每个$p$ -团分配$q$颜色。确定完全图$K_n$的$(p,q)$ -着色所需的最小颜色数$f(n,p,q)$的问题是确定对角Ramsey数$r_k(p)$的著名问题的自然推广。$f(n,p,q)$最著名的一般上界是由Erdens和Gyárfás在1997年使用概率论证给出的。从那时起，在$p=q$的情况下，已得到改进的界限仅为$p\in\{4,5\}$，其中每一个证明了给出一个确定性的结构相结合的$(p,p-1)$ -着色使用几种颜色与代数着色。在本文中，我们提供了一个框架，证明新的上界$f(n,p,p)$的风格，这些早期的建设。我们用$p-1$颜色描述了$p$ -团的所有着色，这些颜色可以出现在我们修改后的$(p,p-1)$ -Conlon、Fox、Lee和Sudakov着色中。这使我们能够大大减少识别$(p,p)$ -着色所需的案例检查量，否则这将使这个问题对于大的$p$值变得棘手。此外，我们推广了我们的代数着色从$p=5$设置，并使用这给改进的上界$f(n,6,6)$和$f(n,8,8)$。
2020-06-19 math.CO
Improved Upper Bounds for Gallai-Ramsey Numbers of Odd Cycles
完全图的Gallai染色是一种边染色，使得没有三角形的所有边都是不同的颜色。Gallai $k$-着色是使用$k$颜色的Gallai着色。给定一个整数$k\ge1$和一个图$H$，Gallai-Ramsey数$GR_k(H)$是最小正整数$n$，使得完全图$K_n$的每一个Gallai $k$-染色都包含$H$的单色副本。Gyárfás，Sárközy，SebIgnand Selkow在2010年证明了如果$H$不是二分的，则$GR_k (H) $在$k$中是指数的;如果$H$是二分的但不是星的，则在$k$中是线性的;当$H$是星的时候，则是常数（不依赖于$k$）。因此，$GR_k(H)$比经典的Ramsey数$R_k(H)$表现得更好。然而，找到$GR_k (H)$的精确值绝非易事，即使$|V(H)|$很小。本文首先改进了已有的奇圈Gallai-Ramsey数的上界，证明了对于所有的$k \ge 3$和$n \ge 8$，$GR_k(C_{2n+1}) \le (n\ln n) \cdot 2^k -(k+1)n+1$.然后，我们证明了$GR_k( C_{13})= 6\cdot 2^k+1$和$GR_k( C_{15})= 7\cdot 2^k+1$的所有$k\ge1$。
2018-08-29 math.CO
Ramsey and Gallai-Ramsey numbers for stars with extra independent edges
给定一个图$G$和一个正整数$k$，定义\emph{Gallai-Ramsey number}为$n$的最小顶点数，使得$K_n$的任何$k$ -边着色包含彩虹（所有不同颜色）三角形或$G$的单色副本。本文给出了由$t$阶星得到的图$G = S_t^{r}$的Gallai-Ramsey数的一般上、下界，该图是通过在该星的叶之间添加$r$额外独立边而得到的，从而使$S_t^{r}$中存在$r$三角形和$t - 2r - 1$悬垂边.当$t = 2$ .
2019-08-06 math.CO
Blowup Ramsey numbers
我们研究了推广的二分拉姆齐数爆破的图形。对于图$G$，用$G[t]$表示$G$的$t$ -爆破。如果$G$的边的每个$r$ -着色都有$H$的单色副本，则我们说$G$是$r$ -Ramsey for $H$，并写作$G \stackrel{r}{\rightarrow} H$。我们证明，如果$G \stackrel{r}{\rightarrow} H$，那么对于所有的$t$，存在$n$，使得$G[n] \stackrel{r}{\rightarrow} H[t]$。事实上，我们提供了指数下限和上限的最小$n$与$G[n] \stackrel{r}{\rightarrow} H[t]$，并推测一个上界的形式$c^t$，其中$c$依赖于$H$和$r$，但不依赖于$G$。我们还表明，这一猜想持有$G(n,p)$的概率很高，高于事件$G(n,p) \stackrel{r}{\rightarrow} H$的阈值。
2021-01-14 math.CO
New bounds on the Ramsey number $r(I_m, L_n)$
研究了Ramsey数$r(I_m, L_n)$，它是最小自然数$k$，使得$k$顶点上的每个有向图都包含一个独立的$m$大小集或一个$n$顶点上的传递竞赛图.除了有限组合的兴趣，这些拉姆齐数是感兴趣的集理论家，因为它是已知的，$r(ωm, n) = ωr(I_m, L_n)$，其中$ω$是最低超限序数，和$r(κm, n) = κr(I_m, L_n)$的所有初始序数$κ$。继续Bermond从1974年开始的研究，他确实证明了$r(I_3, L_3) = 9$，我们证明了$r(I_4, L_3) = 15$和$r(I_5, L_3) = 23$。通过将Larson和Mitchell（1997）的关于$r(I_m, L_3)$的$m^2$的上限改进为$m^2 - m + 3$，获得了上述两个估计的上限。此外，我们提供了渐近上界$r(I_m, L_n)$的所有$n \geq 3$。特别是，我们表明，$r(I_m, L_3) \in Θ(m^2 / \log m)$。
2020-04-08 math.CO
Improved bounds on the multicolor Ramsey numbers of paths and even cycles
研究了路和偶圈的Ramsey数$R_k(P_n)$和$R_k(C_n)$，它们是使完全图$K_N$的每一个着色分别有$P_n$或$C_n$的单色副本的最小整数$N$.长期以来，人们只知道$R_k(P_n)$介于$(k-1+o(1))n$和$(k + o(1))n$之间。最近Sárközy的突破和后来Davies、Jenssen和Roberts的改进给出了$(k - \frac{1}{4} + o(1))n$的上界。我们将上界改进为$(k - \frac{1}{2}+ o(1))n$。我们的方法使用连接图中的结构洞察力，而没有大的匹配。这些见解可能是独立的利益。
2018-01-12 math.CO
A note on the grid Ramsey problem
格子拉姆齐数$ G(r) $是最小的数$ n $，使得格子图$Γ_{n,n} := K_n \times K_n$的每一个边用$r$颜色着色都导出一个矩形，其平行边接收相同的颜色。我们展示了$ G(r) \leq r^{\binom{r+1}{2}} - \left( 1/4 - o(1) \right) r^{\binom{r}{2}+1} $，稍微改进了目前最知名的上界由于Gyárfás。
2017-09-27 math.CO
Gallai-Ramsey numbers for books
给定一个图$G$和一个正整数$k$，\emph{Gallai-Ramsey number}被定义为$n$的最小顶点数，使得$K_n$的任何$k$ -边着色包含彩虹（所有不同颜色）三角形或$G$的单色副本.本文给出了$B_{m} = K_{2} + \overline{K_{m}}$书中Gallai-Ramsey数的一般上、下界，并证明了$m \leq 5$的精确结果.
2018-02-14 math.CO
