A New Upper Bound for Diagonal Ramsey Numbers
David Conlon
本文证明了对角双色Ramsey数的一个新的上界，证明了存在一个常数$C$，使得\[r(k+1, k+1) \leq k^{- C \frac{\log k}{\log \log k}} \binom{2k}{k}.\]
We prove a new upper bound for diagonal two-colour Ramsey numbers, showing that there exists a constant $C$ such that \[r(k+1, k+1) \leq k^{- C \frac{\log k}{\log \log k}} \binom{2k}{k}.\]
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Diagonal Ramsey via effective quasirandomness
我们将对角Ramsey数的上界改进为$k\ge 3$的\[R(k+1,k+1)\le\exp(-c(\log k)^2)\binom{2k}{k}\].要做到这一点，我们建立在一个quasirandomness和感应框架的拉姆齐数介绍了康伦，展示了最佳的“有效quasirandomness”的结果图的收敛性。这种最优性代表了改进的天然障碍。
A coding perspective on the lower bound for diagonal Ramsey numbers
我们给出了一个编码为基础的角度来看，结果Erdós，上的一个下界的对角线拉姆齐数。
When are off-diagonal hypergraph Ramsey numbers polynomial?
该研究针对拉姆齐理论中3-图非对角超图拉姆齐数何时随n多项式增长的开放问题，证明了紧连通或至多两个紧分支的3-图满足该性质当且仅当它包含于边的迭代膨胀中，推进了相关问题研究。
Off-diagonal book Ramsey numbers
书图$B_n^{(k)}$由沿公共$K_k$连接的$K_{k+1}$的$n$个拷贝组成。在本文的前序部分，我们研究了对角Ramsey数$r(B_n^{(k)}, B_n^{(k)})$。这里我们考虑固定$c \in (0,1]$的自然非对角变体$r(B_{cn}^{(k)}, B_n^{(k)})$。在这个更一般的设置，我们表明，一个有趣的二分法出现：对于非常小的$c$，一个简单的$k$ -部建设规定的拉姆齐函数和所有近极值着色接近$k$ -部，而对于$c$有界远离$0$，随机着色的适当的密度是渐近最佳的，所有近极值着色是准随机的。我们的研究也提出了一系列关于$c$中间值的问题。
Some Combinatorial Formulas Related to Diagonal Ramsey Numbers
本文推导了与对角拉姆齐数 R(k) 相关的一类组合公式，其形式为 F(n,k)=0 当且仅当 n≥R(k)，并与 De Loera 和 Wesley 的近期工作密切相关。
Diagonal Ramsey numbers of loose cycles in uniform hypergraphs
一个$k$ -一致松圈$\mathcal{C}_n^k$是一个顶点集为$\{v_1,v_2,\ldots,v_{n(k-1)}\}$，边集为$e_i=\{v_{(i-1)(k-1)+1},v_{(i-1)(k-1)+2},\ldots,v_{(i-1)(k-1)+k}\}$，$1\leq i\leq n$的超图，这里我们使用模$n(k-1)$算法. Ramsey数$R(\mathcal{C}^k_n,\mathcal{C}^k_n)$是渐近的$\frac{1}{2}(2k-1)n$，正如Gyárfás、Sárközy和Szemerédi所证明的。本文研究了$\mathcal{C}^k_n$的对角Ramsey数的确定问题，证明了对于$n\geq 2$和$k\geq 8$ $$R(\mathcal{C}^k_n,\mathcal{C}^k_n)=(k-1)n+\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor.$$
Diagonal Ramsey numbers in multipartite graphs related to stars
令$n$顶点上的星，即$K_{1,n-1}$，用$S_n$表示。如果完全平衡多部图$K_{j \times s}$的边的每两个着色都有一个$S_n$的第一种颜色的副本或一个$S_m$的第二种颜色的副本，则我们称之为$K_{j \times s}\rightarrow (S_n,S_m)$。拉姆齐多方数$m_j(S_n, S_m)$的大小是使得$K_{j \times s}\rightarrow (S_n,S_m)$的最小自然数$s$。本文给出了$n,m \ge 3$和$j \ge 3$的尺寸Ramsey数$m_j(S_n,S_m)$的精确值.
On a Diagonal Conjecture for Classical Ramsey Numbers
令$R(k_1, \cdots, k_r)$表示整数$k_i \ge 2$的经典$r$ -色Ramsey数.经典Ramsey数的对角猜想（DC）提出：如果$k_1, \cdots, k_r$和$k_{r-1} \leq k_r$是不小于3的整数，则有$R(k_1, \cdots, k_{r-2}, k_{r-1}-1, k_r +1) \leq R(k_1, \cdots, k_r)$ .我们得到了这个猜想的一些含义，它的有效性，目前的证据，并讨论相关问题。让$R_r(k)$代表$r$颜色拉姆齐数$R(k, \cdots, k)$。众所周知，$\lim_{r \rightarrow \infty} R_r(3)^{1/r}$存在，或者是有限的，或者是无限的。这个极限与$K_3$ -free图的补图的香农容量有关.证明了如果DC成立，且$\lim_{r \rightarrow \infty} R_r(3)^{1/r}$是有限的，则对每个整数$k \geq 3$，$\lim_{r \rightarrow \infty} R_r(k)^{1/r}$是有限的.
An exponential improvement for diagonal Ramsey
本文证明了对角拉姆齐数 $R(k)$ 存在指数改进的上界 $R(k) \leqslant (4 - \varepsilon)^k$，首次突破 Erdős–Szekeres 上界。
Off-diagonal ordered Ramsey numbers of matchings
对于有序图$G$和$H$，有序Ramsey数$r_<(G,H)$是最小的$n$，使得在顶点$\{1,\dots,n\}$上的完全图的每个红/蓝边着色包含$G$的蓝色副本或$H$的红色副本，其中嵌入必须保持顶点的相对顺序。首先由Conlon、Fox、Lee和Sudakov研究的一个感兴趣的数是“非对角”有序拉姆齐数$r_<(M, K_3)$，其中$M$是$n$顶点上的有序匹配。特别地，Conlon等人询问了对于$\max r_<(M, K_3)$可以获得什么样的渐近界（在$n$中），其中最大值是在$n$顶点上的所有有序匹配$M$上。最著名的上界是$O(n^2/\log n)$，而最著名的下界是$Ω((n/\log n)^{4/3})$，Conlon等人假设对于每个有序匹配的$M$，都有$r_<(M, K_3) = O(n^{2-ε})$。我们解决了这个猜想的两个特殊情况。我们发现，非对角有序的拉姆齐数的匹配，边缘不交叉是近线性的。我们还证明了一个真正的次二次区间色数$2$随机匹配的上界。
Some recent results in Ramsey theory
本文综述了Ramsey理论中关于Ramsey数的最新突破，包括对角线、近对角线和多色Ramsey数的指数改进，以及诱导Ramsey数的上界结果。
New bounds for off-diagonal hypergraph Ramsey numbers
该研究针对Conlon等人的拉姆齐数猜想，证明了至多5个紧分支的3-图满足该猜想，推导了其与线性3-图特例的等价性，给出可向前双化3-图的拟多项式上界、非向前层状3-图的指数下界，并分类了链族的拉姆齐增长性。
Diagonal Ramsey numbers for wheels
本文研究了轮图的对角Ramsey数，改进了之前的结果，给出了更精确的上下界，并提供了关于k着色Ramsey数的递归界。
Lower bounds for multicolor Ramsey numbers
我们给出了一个指数改善的下界对角线拉姆齐数的任何固定数量的颜色大于两个。
Turán Colourings in Off-Diagonal Ramsey Multiplicity
本研究将Fox和Wigderson关于由带临界边的连通非3-可着色图加悬挂边构成的图类的Ramsey重数常数由Turán着色达到的结果，推广到涉及两图红、蓝副本加权和最小化的非对角Ramsey重数常数变体。
Bounds on the Threshold Ramsey Multiplicity of Ramsey Numbers with Many Colors
本文推导多色非对角阈值拉姆齐重数的上界，改进了对角二色情形下的基础随机染色估计，得到$m(3,3,3)=5$、$m(3,3,4)\leq10$的结果，并给出通用改进框架。
Optimizing the CGMS upper bound on Ramsey numbers
本文简化了Campos等人关于Ramsey数上界的突破性证明，用归纳陈述替代书算法，优化参数后得到对角Ramsey数上界$R(k,k) \leq (3.8)^{k+o(k)}$，还将非对角Ramsey数上界推广到多色情形。
Retained-Set Descent for Diagonal Ramsey Numbers
本文通过保留一个顶点集并在另一顶点集的蓝色邻域中下降来改进拉姆齐上界，得到对角指数下确界在[1.305,1.307]内，并给出R(k,k)≤3.69507^k的有限推导及最大不动点刻画。
Sharper Zarankiewicz and Diagonal Bipartite Ramsey Bounds
证明二分图边稠密时存在完全二分子图的更优界，改进 Zarankiewicz 与对角二分 Ramsey 数上界至 $O(2^t)$，方法由 GPT-6 Astra 发现。
Recursive upper bounds for the vertex online Ramsey game with applications to hypergraph Ramsey numbers
本文研究了超图Ramsey数的递归上界，提出改进的递推关系并应用于超图Ramsey数的上界优化。
Off-Diagonal Ramsey Numbers for Linear Hypergraphs
本文研究线性超图的非对角 Ramsey 数，证明在均匀度 $k\ge 4$ 时，存在线性 $k$-均匀超图使 Ramsey 数具有远高于多项式的增长率。
A New Upper Bound for the Ramsey Number of Fans
扇形$F_n$是由$n$三角形组成的图，所有三角形都恰好有一个公共顶点。目前，Ramsey数$R(F_n)$最著名的界是$9n/2-5 \leq R(F_n) \leq 11n/2+6$，由Chen，Yu和Zhao得到。我们将上界改进为$31n/6+O(1)$。
An improved lower bound on multicolor Ramsey numbers
Conlon和Ferber最近的一项突破使多色对角Ramsey数的下界得到了指数级的改进。在本文中，我们修改了它们的结构，并获得了三种以上颜色的改进边界。
The asymptotic of off-diagonal online Ramsey numbers for paths
本文证明路径的在线拉姆齐数下界与最近上界在线性项内匹配，从而确定其渐近值为5/3n，并否定了Cyman等人的猜想。
New upper bound for multicolor Ramsey number of odd cycles
令$r_k(C_{2m+1})$为长度为$2m+1$的奇数圈$C_{2m+1}$的$k$ -色拉姆齐数.它表明，对于每个固定的$m\ge2$，\[r_k(C_{2m+1})<c^{k}\sqrt{k!}\]的所有足够大的$k$，其中$c=c(m)>0$是一个常数。这改进了Bondy和Erdwords的一个旧结果（Ramsey numbers for cycles in graphs，J. Combin.理论系列B 14（1973）46-54）。
Formalising New Mathematics in Isabelle: Diagonal Ramsey
针对证明助手验证全新数学成果案例稀少的问题，本文在Isabelle中完成了2023年公布的对角拉姆齐数新成果的形式化，意外发现该工作高度依赖计算机代数技术，为数学形式化的实际应用提供了新案例。
An Improved Upper Bound for Multicolour Ramsey Numbers
本研究针对多色拉姆齐数，改进了Yang和Mao的相关上界，通过非对角界得到了更优的指数形式上界，推进了拉姆齐数的理论研究。
Off-diagonal Ramsey numbers for slowly growing hypergraphs
本文研究缓慢增长超图的对角外拉姆齐数，证明对任意非k-部缓慢增长k-一致超图F，r(F,n)至少为n^k除以对数因子的量级，并首次确定三元系F_5的对角外拉姆齐数多项式幂次，构造综合运用伪随机图、鞅与超图容器方法。
Further improving of upper bound on a geometric Ramsey problem
本文考虑如下几何Ramsey问题：求最小维数$n$，使得对完全图的边在点$\{\pm 1\}^n$上的任意2-染色，存在4-顶点共面单色团。Graham和Rothschild首先分析了这个问题，他们给出了一个上界：$n\le F(F(F(F(F(F(F(12)))))))$，其中$F(m) = 2\uparrow^m3$。2014年，Lavrov、Lee和Mackey通过给出上界$n< 2\uparrow\uparrow\uparrow 6 < F(5)$极大地改进了这个结果。在本文中，我们重新审视他们的估计和减少上界的$n< 2\uparrow\uparrow\uparrow 5$
An adaptive upper bound on the Ramsey numbers $R(3,\dots,3)$
自2002年以来，Ramsey数Rn（3）= R（3，. ..，3）是Rn（3）$\le$ n！对于所有n个$\ge$，（e - 1/6）+1 4。它基于当前估计R 4（3）$\le$ 62。我们在这里展示了对于所有n个$\ge$ 4，R4（3）上的任何趋近如何产生Rn（3）上的改进的上界.例如，对于我们目前的自适应界，假设值R 4（3）= 51意味着Rn（3）$\le$ n！对于所有n个$\ge$，（e - 5/8）+1 4。
Off-Diagonal Ramsey Multiplicity
本文研究了非对角Ramsey乘数问题，通过引入加权密度求和的概念，解决了几种图对的Ramsey乘数问题。
Off-diagonal Ramsey numbers
通过构造新的无 K_s 图族，改进了非对角 Ramsey 数的下界，几乎匹配已知上界，并证明了当 s, k/s → ∞ 时 r(s,k) = (k/s)^{(1+o(1))s}。
An improved method for recursively computing upper bounds for two-colour Ramsey numbers
双色Ramsey数$R(m,n)$是最小自然数$p$，使得任何$p$阶图必须包含大小为$m$的团或大小为$n$的独立集。我们展示了一种方法，用于计算上界$R(m,n)$递归，使用已知的上界的$R(\cdot,\cdot)$与较低的值，至少一个参数。我们还给出了一个例子，说明如何使用这种方法来改进文献中可用的几个最知名的边界（但由于即将开展的工作，这些边界很快就会过时）。
Upper Bounds for Ordered Ramsey Numbers of Small 1-Orderings
图$G$的$k$ -排序将来自集合$\{1,\ldots,|G|\}$的不同的顺序标签分配给$G$中的$k$顶点。给定一个$k$ -序$H$，序Ramsey数$R_<(H)$是最小$n$，使得在点集$\{1, \ldots, n\}$上的完全图的每个边2-染色都包含一个$H$的拷贝，其第10个最小点的$i$要么在$H$中有序标号$i$，要么在$H$中没有序标号.本文首次系统地研究了小图的$1$ -序的有序Ramsey数.对于$4$顶点上的每个连接的$1$ -序$H$，我们提供了$R_<(H)$的上界.另外，对于$n$ -顶点路径$P_n$的每个$1$ -序$H$，我们证明了$R_<(H) \in O(n)$ .最后，我们给出了广义序Ramsey数$R_<(K_n, H)$的一个上界，该上界可应用于任何含有序标号为$1$的点的$k$ -序$H$.
Upper bounds on diagonal Ramsey numbers [after Campos, Griffiths, Morris, and Sahasrabudhe]
本文综述了对角 Ramsey 数上界问题的历史，并介绍了 Campos 等人将上界改进至 $N=3.993^k$ 的突破性证明及后续的替代性概念证明。
An upper bound for the restricted online Ramsey number
受限制的$(m,n;N)$-在线拉姆齐游戏是两个玩家之间的游戏，建设者和画家。游戏从$N$孤立顶点开始。每回合生成器选取一条边进行构建，绘制器选择该边是红色还是蓝色，生成器的目标是在尽可能少的回合中创建红色$K_m$或蓝色$K_n$。限制在线拉姆齐号码$\tilde{r}(m,n;N)$是建造者需要保证她在限制$(m,n;N)$-在线拉姆齐游戏中获胜的最低回合数。我们表明，如果$N=r(n,n)$，\[ \tilde{r}(n,n;N)\le \binom{N}{2} - Ω(N\log N), \]动机的问题所提出的康伦，福克斯，Grinshpun和他。在无限多个顶点上进行的等价博弈被称为在线拉姆齐博弈。由于在线Ramsey游戏中几乎所有已知的Builder策略最终都减少到受限设置，因此我们预计受限在线Ramsey游戏的进一步进展将在一般情况下得到应用。
Ramsey upper density of infinite graph factors
拉姆齐理论上密度问题的研究是由Erdens和Galvin于1993年开始的。本文研究了以下问题：给定一个固定的有限图$F$，$F$的最大值是多少，使得$\mathbb{N}$上的完全图的每一个2-边染色都包含一个单色无限$F$ -因子，其顶点集至少具有上密度$λ$？在这里，我们证明了这个问题的一个新的下界。对于$F$的某些选择，包括集团和奇循环，这个新的界是尖锐的，因为它匹配旧的上界。对于$F$是三角形的特殊情况，我们也给出了一个明确的下界$1-\frac{1}{\sqrt{7}}=0.62203\dots$，改进了以前的最佳界3/5。
Ramsey upper density of infinite graphs
对于一个固定的无限图$H$，我们研究了在$K_{\mathbb{N}}$的边的每一个双染色中，与$H$同构的单色子图的最大密度。这被称为$H$的拉姆齐上密度，由Erdens和Galvin引入。最近，确定了无限路径的Ramsey上密度。在这里，我们发现这个密度的值为所有局部有限图$H$的一个因素为2，回答了一个问题的DeBiasio和McKenney。我们还发现了广泛的一类二部图，包括所有的局部有限森林的确切密度。我们的方法涉及这个问题的解决方案的最优化问题的连续函数。证明了在一定条件下，密度只依赖于$H$的色数、$H$的分支数以及$H$的独立集的扩张比$|N(I)|/|I|$.
An improved upper bound for the multicolour Ramsey number of odd cycles
该研究推导出长度为$2\ell+1$的奇环的$k$色Ramsey数的改进上界$(4\ell)^k \cdot k^{k/\ell}$，证明了Fox的猜想，实现了自1973年以来该问题指数项的首次超绝对常数因子改进。
On off-diagonal $F$-Ramsey numbers
本文研究了非对角$F$-Ramsey数猜想，利用$r(4,t)$的渐近构造证明了当$t_1$为3或4时，$r_{K_s}(t_1,t_2)$与$\inom{r(t_1,t_2)}{s}$在指数项上仅相差低阶项。
Three Proofs of the Hypergraph Ramsey Theorem (An exposition)
Ramsey，Erdos-Rado和Conlon-Fox-Sudakov给出了3-超图Ramsey定理的证明，并给出了3-超图Ramsey数的越来越好的上界. Ramsey和Erdos-Rado也证明了a-超图Ramsey定理。Conlon-Fox-Sudakov注意到他们在3-超图Ramsey数上的上界，以及Erdos-Rado的递归（这是Erdos-Rado证明的关键），产生了a-超图Ramsey数的改进边界。我们提出了所有这些证明和状态明确的界限为2色的情况下和C色的情况下。我们给出了一个更详细的分析Conlon-Fox-Sudakov的结构，从而得到一个稍微好一点的界限。
Upper bounds for ordered Ramsey numbers of forests and bounded-degree graphs
本文证明了有序森林和固定有界度图的有序Ramsey数的两个上界，分别回答了Geneson等人的问题并给出了多项式界。
On off-diagonal hypergraph Ramsey numbers
研究固定3-一致超图H与完全3-一致超图K_n^{(3)}的拉姆齐数增长速率，证明对奇环链接及多数紧环有下界2^{Ω_H(n log n)}，并构造线性超图H使其拉姆齐数为超多项式，首次分离r(H,K_n^{(3)})与r(H,K_{n,n,n}^{(3)})。
Off-diagonal hypergraph Ramsey numbers
拉姆齐数$r_k(s,n)$是最小的$N$，使得$\{1, \ldots, N\}$的$k$ -子集的每个红-蓝着色包含大小为$s$的红色集合或大小为$n$的蓝色集合，其中如果集合的所有$k$ -子集都是红色（蓝色），则集合是红色（蓝色）。由$P_{s}$表示的大小为$s$的$k$ -均匀\emph{tight path}是$\mathbb{Z}$中的$s$顶点$v_1 < \cdots < v_{s}$和形式为$\{v_j,v_{j+1},\ldots, v_{j + k -1}\}$的所有$s-k+1$边的集合。令$r_k(P_s, n)$为最小$N$，使得$\{1, \ldots, N\}$的$k$ -子集的每个红-蓝着色导致红色$P_{s}$或大小为$n$的蓝色集合。估计$k=2$的$r_k(s,n)$和$r_k(P_s, n)$的问题可以追溯到1935年Erdos和Szekeres的开创性工作，而$k\ge 3$的情况是由Erdos和Rado在1952年首次研究的。在本文中，我们推导出一个定量关系之间的$r_k(P_s, n)$和$r_k(n, n)$的双变异。这产生几个结果，包括以下：（1）我们确定正确的塔增长率为$r_k(s,n)$和$r_k(P_s, n)$为$s \ge k+3$。Erdos和Hajnal在1972年提出了确定所有$s \ge k+1$的$r_k(…
Online Ramsey Numbers and the Subgraph Query Problem
该$(m,n)$ -在线拉姆齐游戏是一个组合游戏之间的两名球员，建设者和画家。从一组无限的孤立顶点开始，Builder在每个转弯处绘制一条边，Painter立即将其绘制为红色或蓝色。Builder的目标是迫使Painter使用尽可能少的旋转次数创建红色$K_m$或蓝色$K_n$。在线Ramsey数$\tilde{r}(m,n)$是生成器确保在$(m,n)$ -在线Ramsey游戏中获胜所需的最小边数。通过分析Painter随机博弈的特殊情形，得到了对角在线Ramsey数下界的指数改进\[ \tilde{r}(n,n) \ge 2^{(2-\sqrt{2})n + O(1)} \]，以及非对角情形下相应的改进\[ \tilde{r}(m,n) \ge n^{(2-\sqrt{2})m + O(1)} \]，其中$m\ge 3$是固定的，而$n\rightarrow\infty$ .使用不同的随机画家策略，我们证明了$\tilde{r}(3,n)=\tildeΘ(n^3)$，确定这个函数的多对数因子。我们还改进了非对角情况下的上界$m \geq 4$。在与在线拉姆齐游戏与随机画家，我们研究的问题，找到一个副本的目标图$H$在一个足够大的未知Erdens-Rényi随机图$G(N,p)$使用尽可能少的查询，其中每个查询揭示了是否有一个特定的一对顶点相邻。我们称这个问题为子图查询问题。我们…
An improved upper bound for the grid Ramsey problem
对于一个正整数$r$，令$G(r)$是最小的$N$，使得只要笛卡儿积$K_N \times K_N$的边是$r$ -着色的，则存在一个矩形，其中两对相对的边接收相同的颜色。在本文中，我们通过证明$G(r) \leq \Big(1 - \frac{1}{128}r^{-2}\Big) r^{\binom{r+1}{2}}$来改进$G(r)$的上界，当$r$足够大时。不像以前的改进，这是基于限制交叉点大小的集合系统的大小的界限，我们的证明是一种形式的quasirandomness参数。
Ramsey numbers of cliques versus monotone paths
Erdos-Szekeres单调子序列定理的一个公式表明，对于$\{1, 2, \ldots, N\}$上完全图的边集的任何红/蓝着色，存在一个单色红色$s$ -团或一个单色蓝色增加路径$P_n$，其顶点为$n$，条件是$N >(s-1)(n-1)$。我们以前已经证明，这个问题的一个适当的推广到四重系统基本上是等价于经典的对角超图Ramsey数。在这里，我们证明了一个类似的声明，在非对角的情况下，三重系统，与拟多项式界$N>2^{c(\log n)^{s-1}}$。对于具有$n$顶点的序增图路的$t$次幂$P_n^t$，我们证明了一个近线性界$c\, n(\log n)^{s-2}$，它改进了Conlon-Fox-Lee-Sudakov提出的适用于比$P_n^t$更一般的一类图的界.
A nonconstructive Proof to show the Convergence of the $n^{th}$ root of diagonal Ramsey Number $r(n, n)$
对角Ramsey数的$n^{th}$根收敛于有限极限吗？答案是肯定的。如果一个序列满足单调性以外的收敛条件，则它可以被证明是收敛的。我们证明了这样一个属性，其中序列的$n^{th}$根不收敛，即使没有先验知识，序列是否单调或不。我们还证明了对角Ramsey数的$n^{th}$根可以表示为两个因子的乘积，第一个因子是一个已知的收敛序列，第二个因子是一个绝对收敛的无穷级数。也可以表示为其中一个乘积是收敛的，而另一个乘积的所有值来自复平面上单位圆内的一致收敛复函数全纯。我们的动机仅仅是证明猜想作为一个问题，在寻找一个解决方案，而不是建立一些深刻的理论图。第二个问题是：如果极限存在，那么极限是什么？在写这篇文章的时候，我们的理解是，所寻求的证据不需要是建设性的。在这里，我们证明了非建设性的证明，$n^{th}$根的对角拉姆齐数收敛到一个有限的限制。我们还证明了对角Ramsey数的$j^{th}$根的极限是2，其中正整数$j$依赖于Ramsey数。
Sharp bounds for off-diagonal and tripartite canonical Ramsey numbers
本文研究典型拉姆齐定理的两个变体，给出多部分超图典型拉姆齐数的锐界，并建立非对角典型拉姆齐数在不同参数区间的上下界，包括避免字典序三角形时的上界。
A linear upper bound for zero-sum Ramsey numbers of bounded degree graphs
本文研究了有限度图G和有限阿贝尔群Γ的零和Ramsey数R(G, Γ)，证明了对于任意n顶点图G和满足|Γ|整除e(G)的有限阿贝尔群Γ，R(G, Γ) ≤ Cn。
New upper bound for multicolor Ramsey numbers
本研究针对多色Ramsey数上界问题，结合可变阶正系数根滤波器与多色书方法的保留脊细化技术，证明了满足一定参数条件的对角r色图Ramsey数新上界公式。
A new upper bound on the minimum degree of minimal Ramsey graphs
本研究针对Burr等人1976年提出的Ramsey参数$s_r(K_k)$，证明了$s_r(K_{k+1})$的新上界为$O(k^3 r^3 \log^3 k)$，推进了极小Ramsey图最小度的相关理论研究。
Off-diagonal online size Ramsey numbers for paths
本文研究路径的非对角在线大小 Ramsey 数，证明 $\tilde{r}(P_k,P_n)\le (5/3+o(1))n$（当 $k=o(n)$），并改进 $\tilde{r}(P_4,P_n)$ 的上界至 $\lceil 7n/5\rceil -1$，验证了相关猜想。
A General Upper Bound on Multicolor Ordered Ramsey Numbers
本文给出了多色有序拉姆齐数的一般上界，基于区间色数和退化度，扩展了先前结果，并证明对有序匹配几乎紧。
On the geometric Ramsey numbers of trees
本文给出了树的几何Ramsey数的上界.我们证明了$R_c(T_n,H_m)=(n-1)(m-1)+1$如果$T_n$是一个毛毛虫，而$H_m$是一个关于$m$顶点的Hamilton外平面图.此外，如果$T_n$最多有两个非叶顶点，则$R_g(T_n,H_m)=(n-1)(m-1)+1$。我们还证明了$R_c(T_n,H_m)=O(n^2m)$和$R_g(T_n,H_m)=O(n^3m^2)$，如果$T_n$是$n$顶点上的任意树和$H_m$是路径宽度为2的外平面三角剖分。进一步证明了毛毛虫的几何Ramsey数的一个一致多项式上界，并给出了$R_g(T_n)$的一个上界，其中$T_n$是任意树.
A linear upper bound on the zero-sum Ramsey number of forests in $\mathbb{Z}_p$
本文研究了森林在Z_p中的零和Ramsey数，证明了当森林顶点数满足特定条件时，其零和Ramsey数不超过n+9p-12。
On degree anti-Ramsey numbers
图$H$的度反Ramsey数$AR_d(H)$是最小整数$k$，对于该最小整数，存在最大度至多为$k$的图$G$，使得$G$的任何适当的边着色产生$H$的彩虹拷贝。本文证明了度反Ramsey数的一个一般上界，确定了任意森林的度反Ramsey数的精确值，并证明了任意长度圈的度反Ramsey数的一个上界，该上界最大可能为$2$的乘法因子.我们的证明涉及各种工具，包括经典的结果Bollobás关于交叉相交的家庭和拓扑版本的霍尔定理由于Aharoni，伯杰和Meshulam。
Upper bounds for multicolour Ramsey numbers
本文给出了多重颜色Ramsey数的指数级上界，改进了Erdős和Szekeres的结果，并为r=2的情况提供了更简短的证明。
An update on multicolor Ramsey lower bounds
基于球面随机几何图构造，改进了多色Ramsey数的下界，提供了更精确的理论结果。
Polynomial families of incident flags and explicit off-diagonal Ramsey graphs
本文从多项式族构造显式非对角 Ramsey 图，通过插值和标量限制得到指数界，并给出确定性多项式时间算法。
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