An upper bound for the restricted online Ramsey number
受限制的$(m,n;N)$-在线拉姆齐游戏是两个玩家之间的游戏，建设者和画家。游戏从$N$孤立顶点开始。每回合生成器选取一条边进行构建，绘制器选择该边是红色还是蓝色，生成器的目标是在尽可能少的回合中创建红色$K_m$或蓝色$K_n$。限制在线拉姆齐号码$\tilde{r}(m,n;N)$是建造者需要保证她在限制$(m,n;N)$-在线拉姆齐游戏中获胜的最低回合数。我们表明，如果$N=r(n,n)$，\[ \tilde{r}(n,n;N)\le \binom{N}{2} - Ω(N\log N), \]动机的问题所提出的康伦，福克斯，Grinshpun和他。在无限多个顶点上进行的等价博弈被称为在线拉姆齐博弈。由于在线Ramsey游戏中几乎所有已知的Builder策略最终都减少到受限设置，因此我们预计受限在线Ramsey游戏的进一步进展将在一般情况下得到应用。
2019-06-06 math.CO
Diagonal Ramsey numbers of loose cycles in uniform hypergraphs
一个$k$ -一致松圈$\mathcal{C}_n^k$是一个顶点集为$\{v_1,v_2,\ldots,v_{n(k-1)}\}$，边集为$e_i=\{v_{(i-1)(k-1)+1},v_{(i-1)(k-1)+2},\ldots,v_{(i-1)(k-1)+k}\}$，$1\leq i\leq n$的超图，这里我们使用模$n(k-1)$算法. Ramsey数$R(\mathcal{C}^k_n,\mathcal{C}^k_n)$是渐近的$\frac{1}{2}(2k-1)n$，正如Gyárfás、Sárközy和Szemerédi所证明的。本文研究了$\mathcal{C}^k_n$的对角Ramsey数的确定问题，证明了对于$n\geq 2$和$k\geq 8$ $$R(\mathcal{C}^k_n,\mathcal{C}^k_n)=(k-1)n+\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor.$$
2015-03-03 math.CO
Recursive upper bounds for the vertex online Ramsey game with applications to hypergraph Ramsey numbers
Emory University（埃默里大学）
本文研究了超图Ramsey数的递归上界，提出改进的递推关系并应用于超图Ramsey数的上界优化。
2026-05-15 math.CO
Diagonal Ramsey numbers in multipartite graphs related to stars
令$n$顶点上的星，即$K_{1,n-1}$，用$S_n$表示。如果完全平衡多部图$K_{j \times s}$的边的每两个着色都有一个$S_n$的第一种颜色的副本或一个$S_m$的第二种颜色的副本，则我们称之为$K_{j \times s}\rightarrow (S_n,S_m)$。拉姆齐多方数$m_j(S_n, S_m)$的大小是使得$K_{j \times s}\rightarrow (S_n,S_m)$的最小自然数$s$。本文给出了$n,m \ge 3$和$j \ge 3$的尺寸Ramsey数$m_j(S_n,S_m)$的精确值.
2019-01-05 math.CO
Online and size anti-Ramsey numbers
如果没有两条邻边具有相同的颜色，则图是适当边着色的。如果图H的任意一个真边着色都包含图H的一个全多色副本，则该图的最小边数是图H的大小反Ramsey数AR_s（H）。在离线和在线设置中的这个数字在这里进行了调查。
2013-11-03 math.CO
On a Diagonal Conjecture for Classical Ramsey Numbers
令$R(k_1, \cdots, k_r)$表示整数$k_i \ge 2$的经典$r$ -色Ramsey数.经典Ramsey数的对角猜想（DC）提出：如果$k_1, \cdots, k_r$和$k_{r-1} \leq k_r$是不小于3的整数，则有$R(k_1, \cdots, k_{r-2}, k_{r-1}-1, k_r +1) \leq R(k_1, \cdots, k_r)$ .我们得到了这个猜想的一些含义，它的有效性，目前的证据，并讨论相关问题。让$R_r(k)$代表$r$颜色拉姆齐数$R(k, \cdots, k)$。众所周知，$\lim_{r \rightarrow \infty} R_r(3)^{1/r}$存在，或者是有限的，或者是无限的。这个极限与$K_3$ -free图的补图的香农容量有关.证明了如果DC成立，且$\lim_{r \rightarrow \infty} R_r(3)^{1/r}$是有限的，则对每个整数$k \geq 3$，$\lim_{r \rightarrow \infty} R_r(k)^{1/r}$是有限的.
2019-06-21 math.CO
An exponential improvement for diagonal Ramsey
本文证明了对角拉姆齐数 $R(k)$ 存在指数改进的上界 $R(k) \leqslant (4 - \varepsilon)^k$，首次突破 Erdős–Szekeres 上界。
2025-08-04 math.CO
Off-diagonal ordered Ramsey numbers of matchings
对于有序图$G$和$H$，有序Ramsey数$r_<(G,H)$是最小的$n$，使得在顶点$\{1,\dots,n\}$上的完全图的每个红/蓝边着色包含$G$的蓝色副本或$H$的红色副本，其中嵌入必须保持顶点的相对顺序。首先由Conlon、Fox、Lee和Sudakov研究的一个感兴趣的数是“非对角”有序拉姆齐数$r_<(M, K_3)$，其中$M$是$n$顶点上的有序匹配。特别地，Conlon等人询问了对于$\max r_<(M, K_3)$可以获得什么样的渐近界（在$n$中），其中最大值是在$n$顶点上的所有有序匹配$M$上。最著名的上界是$O(n^2/\log n)$，而最著名的下界是$Ω((n/\log n)^{4/3})$，Conlon等人假设对于每个有序匹配的$M$，都有$r_<(M, K_3) = O(n^{2-ε})$。我们解决了这个猜想的两个特殊情况。我们发现，非对角有序的拉姆齐数的匹配，边缘不交叉是近线性的。我们还证明了一个真正的次二次区间色数$2$随机匹配的上界。
2018-08-13 math.CO
Some recent results in Ramsey theory
IMPA（巴西纯数学与应用数学研究所）
本文综述了Ramsey理论中关于Ramsey数的最新突破，包括对角线、近对角线和多色Ramsey数的指数改进，以及诱导Ramsey数的上界结果。
2026-01-08 math.CO
New bounds for off-diagonal hypergraph Ramsey numbers
California Institute of Technology（加州理工学院）；Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）
该研究针对Conlon等人的拉姆齐数猜想，证明了至多5个紧分支的3-图满足该猜想，推导了其与线性3-图特例的等价性，给出可向前双化3-图的拟多项式上界、非向前层状3-图的指数下界，并分类了链族的拉姆齐增长性。
2026-10-14 math.CO
Proof of a Conjecture on Online Ramsey Numbers of Paths
对于两个图$G_1$和$G_2$，在线Ramsey数$\tilde{r}(G_1,G_2)$是Builder在无限空图上绘制的最小边数，以确保在Builder在每一轮中绘制一条边并且Painter立即将其着色为红色或蓝色的条件下，有$G_1$的红色副本或$G_2$的蓝色副本。对于路径的在线Ramsey数，Cyman，Dzido，Lapinskas和Lo证明了对于所有$\ell \ge 3$，$\tilde{r}(P_4, P_{\ell+1}) = \lceil(7\ell+2)/5\rceil$ [Electron. J. Combin. 22（2015）#P1.15]。本文验证了这一猜想。
2023-02-27 math.CO
Diagonal Ramsey numbers for wheels
Qinghai Normal University（青海师范大学）；Keio University（庆应义塾大学）
本文研究了轮图的对角Ramsey数，改进了之前的结果，给出了更精确的上下界，并提供了关于k着色Ramsey数的递归界。
2026-05-21 math.CO
Lower bounds for multicolor Ramsey numbers
我们给出了一个指数改善的下界对角线拉姆齐数的任何固定数量的颜色大于两个。
2020-11-25 math.CO
A Note on Restricted Online Ramsey Numbers of Matchings
受限制的在线Ramsey数字由Conlon，Fox，Grinshpun和He在2019年推出。在最近的一篇论文中，Briggs和Cox研究了匹配的受限在线Ramsey数，并确定了它们的一般上界。他们证明，对于$n=3r-1=R_2(r K_2)$，我们有$\tilde{R}_{2}(r K_2;n) \leq n-1$，并询问这是否很紧。在这篇短文中，我们给出了这些Ramsey数的一般下界。作为推论，我们回答了Briggs和Cox的这个问题，并确认对于$n=3r-1$，我们有$\tilde{R}_{2}(r K_2;n) = n-1$。我们还表明，对于$n'=4r-2=R_3(r K_2)$，我们有$\tilde{R}_{3}(r K_2;n') = 5r-4$。
2020-10-08 math.CO
Turán Colourings in Off-Diagonal Ramsey Multiplicity
本研究将Fox和Wigderson关于由带临界边的连通非3-可着色图加悬挂边构成的图类的Ramsey重数常数由Turán着色达到的结果，推广到涉及两图红、蓝副本加权和最小化的非对角Ramsey重数常数变体。
2024-01-30 math.CO
Bounds on the Threshold Ramsey Multiplicity of Ramsey Numbers with Many Colors
University of North Dakota（北达科他大学）
本文推导多色非对角阈值拉姆齐重数的上界，改进了对角二色情形下的基础随机染色估计，得到$m(3,3,3)=5$、$m(3,3,4)\leq10$的结果，并给出通用改进框架。
2026-08-03 math.CO
Optimizing the CGMS upper bound on Ramsey numbers
University of Waterloo（滑铁卢大学）；Charles University（查理大学）；University of Toronto（多伦多大学）；McGill University（麦吉尔大学）
本文简化了Campos等人关于Ramsey数上界的突破性证明，用归纳陈述替代书算法，优化参数后得到对角Ramsey数上界$R(k,k) \leq (3.8)^{k+o(k)}$，还将非对角Ramsey数上界推广到多色情形。
2026-09-01 math.CO
Retained-Set Descent for Diagonal Ramsey Numbers
Shenzhen MSU-BIT University（深圳莫斯科国立技术大学）
本文通过保留一个顶点集并在另一顶点集的蓝色邻域中下降来改进拉姆齐上界，得到对角指数下确界在[1.305,1.307]内，并给出R(k,k)≤3.69507^k的有限推导及最大不动点刻画。
2026-09-15 math.CO
Online Ramsey theory for a triangle on $F$-free graphs
给定一个图类$\mathcal{C}$和一个固定的图$H$，在$\mathcal C$上的$H$的在线拉姆齐游戏是两个玩家Builder和Painter之间的游戏，如下所示：给定一个无界顶点集作为初态，在每一轮Builder引入一个新的边，约束条件是结果图必须在$\mathcal C$中，Painter将新的边涂成红色或蓝色。如果Painter被迫在游戏中的某个时刻制作$H$的单色副本，则Builder赢得游戏。否则，Painter可以永远避免创建$H$的单色副本，我们说Painter赢得了比赛。我们开始研究的图形$F$的特征，这样对于一个给定的图$H$，画家赢得了$F$上的$H$的在线拉姆齐游戏。我们的特点是所有的图形$F$，使画家赢得了在线拉姆齐游戏$C_3$类的$F$ -免费的图形，除了当$F$是一个特定的图形。我们还表明，画家赢得了在线拉姆齐游戏的$C_3$类的$K_4$ -未成年人的自由图，扩展Grytczuk，Hauptuszczak，Kierstead的结果。
2019-01-10 math.CO
Online Ramsey numbers: Long versus short cycles
在线拉姆齐游戏是发挥建设者和画家之间的无限板$K_{\mathbb N}$。在每一轮中，生成器选择一条边，然后绘制器将其着色为红色或蓝色。两者都知道目标图$H_1$和$H_2$。Builder的目标是尽快在$K_{\mathbb N}$中创建$H_1$的红色副本或$H_2$的蓝色副本，Painter试图阻止它。在线Ramsey数$\tilde{r}(H_1,H_2)$是Builder获胜的最小回合数。我们研究$\tilde{r}(C_k,C_n)$，其中$k$是固定的，而$n$是大的。我们证明了，如果$k$是偶数，则对于绝对常数$c$有$\tilde{r}(C_k,C_n)=2n+\mathcal O(k)$，而如果$k$是奇数，则有$\tilde{r}(C_k,C_n)\le 3n+o(n)$。
2023-03-27 math.CO
Sharper Zarankiewicz and Diagonal Bipartite Ramsey Bounds
University of Illinois Chicago（伊利诺伊大学芝加哥分校）
证明二分图边稠密时存在完全二分子图的更优界，改进 Zarankiewicz 与对角二分 Ramsey 数上界至 $O(2^t)$，方法由 GPT-6 Astra 发现。
2026-09-29 math.CO
Off-Diagonal Ramsey Numbers for Linear Hypergraphs
本文研究线性超图的非对角 Ramsey 数，证明在均匀度 $k\ge 4$ 时，存在线性 $k$-均匀超图使 Ramsey 数具有远高于多项式的增长率。
2025-07-09 math.CO
An improved lower bound on multicolor Ramsey numbers
Conlon和Ferber最近的一项突破使多色对角Ramsey数的下界得到了指数级的改进。在本文中，我们修改了它们的结构，并获得了三种以上颜色的改进边界。
2020-12-09 math.CO
Online Ramsey Numbers and the Subgraph Query Problem
该$(m,n)$ -在线拉姆齐游戏是一个组合游戏之间的两名球员，建设者和画家。从一组无限的孤立顶点开始，Builder在每个转弯处绘制一条边，Painter立即将其绘制为红色或蓝色。Builder的目标是迫使Painter使用尽可能少的旋转次数创建红色$K_m$或蓝色$K_n$。在线Ramsey数$\tilde{r}(m,n)$是生成器确保在$(m,n)$ -在线Ramsey游戏中获胜所需的最小边数。通过分析Painter随机博弈的特殊情形，得到了对角在线Ramsey数下界的指数改进\[ \tilde{r}(n,n) \ge 2^{(2-\sqrt{2})n + O(1)} \]，以及非对角情形下相应的改进\[ \tilde{r}(m,n) \ge n^{(2-\sqrt{2})m + O(1)} \]，其中$m\ge 3$是固定的，而$n\rightarrow\infty$ .使用不同的随机画家策略，我们证明了$\tilde{r}(3,n)=\tildeΘ(n^3)$，确定这个函数的多对数因子。我们还改进了非对角情况下的上界$m \geq 4$。在与在线拉姆齐游戏与随机画家，我们研究的问题，找到一个副本的目标图$H$在一个足够大的未知Erdens-Rényi随机图$G(N,p)$使用尽可能少的查询，其中每个查询揭示了是否有一个特定的一对顶点相邻。我们称这个问题为子图查询问题。我们…
2018-11-04 math.CO
Formalising New Mathematics in Isabelle: Diagonal Ramsey
针对证明助手验证全新数学成果案例稀少的问题，本文在Isabelle中完成了2023年公布的对角拉姆齐数新成果的形式化，意外发现该工作高度依赖计算机代数技术，为数学形式化的实际应用提供了新案例。
2025-01-18 cs.LO math.CO
Proof of a Conjecture on Online Ramsey Numbers of Stars versus Paths
给定两个图$G$和$H$，在线Ramsey数$\tilde{r}(G,H)$被定义为Builder在以下$(G, H)$ -Builder和Painter之间的在线Ramsey游戏中始终可以保证获胜的最小回合数。从一组无限的孤立顶点开始，在每一轮中，Builder在两个顶点之间绘制一条边，Painter立即将其着色为红色或蓝色。Builder的目标是在尽可能少的回合内强制$G$的红色副本或$H$的蓝色副本，而Painter的目标是尽可能多的回合延迟它。令$K_{1,3}$表示具有三条边的星形，$P_{\ell}$表示具有$\ell$顶点的路径。Bullp和Tan证实了$\tilde{r}(K_{1,3}, P_{\ell})=(3/2+o(1))\ell$ [公牛。马来人。数学科学Soc.44（2021）3511- 3521]。我们证明了$\tilde{r}(K_{1,3}, P_{\ell})=\lfloor 3\ell/2 \rfloor$对于$\ell\ge 2$，从而以更强的形式验证了猜想。
2023-02-17 math.CO
An Improved Upper Bound for Multicolour Ramsey Numbers
Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）；QED Audit（QED审计）
本研究针对多色拉姆齐数，改进了Yang和Mao的相关上界，通过非对角界得到了更优的指数形式上界，推进了拉姆齐数的理论研究。
2026-09-07 math.CO
Off-diagonal Ramsey numbers for slowly growing hypergraphs
本文研究缓慢增长超图的对角外拉姆齐数，证明对任意非k-部缓慢增长k-一致超图F，r(F,n)至少为n^k除以对数因子的量级，并首次确定三元系F_5的对角外拉姆齐数多项式幂次，构造综合运用伪随机图、鞅与超图容器方法。
2024-09-02 math.CO
Off-diagonal Ramsey numbers
Institute of Mathematics, EPFL（洛桑联邦理工学院数学研究所）
通过构造新的无 K_s 图族，改进了非对角 Ramsey 数的下界，几乎匹配已知上界，并证明了当 s, k/s → ∞ 时 r(s,k) = (k/s)^{(1+o(1))s}。
2026-06-17 math.CO
Off-Diagonal Ramsey Multiplicity
School of Computing Science, University of Glasgow（格拉斯哥大学计算机科学学院）；University of Victoria（维多利亚大学）
本文研究了非对角Ramsey乘数问题，通过引入加权密度求和的概念，解决了几种图对的Ramsey乘数问题。
2026-06-04 cs.DM math.CO
Online size Ramsey numbers: Path vs $C_4$
给定两个图$G$和$H$，在$K_\mathbb{N}$的边集上进行一个大小Ramsey对策.在每一轮中，Builder选择一条边，Painter将其涂成红色或蓝色。Builder的目标是强制Painter尽快创建$G$的红色副本或$G$的蓝色副本。在线（大小）拉姆齐数$\tilde r(G,H)$是指建筑师和画家在游戏中最佳发挥的回合数。我们证明了对每个$n\ge 8$，都有$\tilde r(C_4,P_n)\le 2n-2$.上界与J. Cyman，T. Dzido，J. Lapinskas，and A.所以我们得到了$n\ge 8$的$\tilde r(C_4,P_n)=2n-2$。我们对$n\le 13$的证明是计算机辅助的。绑定的$\tilde r(C_4,P_n)\le 2n-2$还解决了$n\ge 8$ $-$的“所有循环与$P_n$“博弈，这意味着需要Builder $2n-2$回合来迫使Painter在$n$顶点或任何红色循环上创建蓝色路径。
2022-12-14 math.CO
Upper bounds on diagonal Ramsey numbers [after Campos, Griffiths, Morris, and Sahasrabudhe]
本文综述了对角 Ramsey 数上界问题的历史，并介绍了 Campos 等人将上界改进至 $N=3.993^k$ 的突破性证明及后续的替代性概念证明。
2024-12-20 math.CO
Restricted online Ramsey numbers of matchings and trees
考虑一个两人游戏，玩家之间的建设者和画家。Painter通过选择$K_n$边缘的颜色开始游戏，该颜色对Builder隐藏。在每一轮中，Builder指向一条边，Painter显示其颜色。Builder的目标是通过显示尽可能少的边的颜色来定位Painter着色中的特定单色结构。建造者赢得这场比赛所需的最少回合数被称为限制在线拉姆齐数。在本文中，我们考虑的情况下，这个“特定的单色结构”是一个大的匹配或一棵大树。我们表明，在任何$t$着色的$E(K_n)$，Builder可以找到一个单色匹配上至少${n-t+1\over t+1}$边缘揭示最多$O(n\log t)$边缘。我们还表明，在任何$3$着色的$E(K_n)$，Builder可以找到一个单色树上的至少$n/2$顶点，揭示了最多$5n$边缘。
2020-08-19 math.CO
Tight degeneracy bounds in online Ramsey games
Center for Discrete Mathematics, Fuzhou University（福州大学离散数学中心）
本文证明在 $q$-色在线 Ramsey 博弈中，Builder 能以至多 $d$ 的退化度迫使任意 $d$-退化图 $H$ 的单色副本，且该界紧，解决了 Conlon、Fox 和 Sudakov 的问题。
2026-10-02 math.CO
Online Ramsey turnaround numbers
Budapest University of Technology and Economics（布达佩斯技术与经济大学）；Karlsruhe Institute of Technology（卡尔斯鲁厄理工学院）
研究在线拉姆齐转折游戏，定义并分析了转折数f(n,H)和f(H)，探讨其与极值图论中多项概念的关系。
2025-12-08 math.CO
Asymptotic Bounds for Online Ramsey Numbers of Stars versus Long Paths and Cycles
Kean University（基恩大学）；University of Chicago（芝加哥大学）；Cornell University（康奈尔大学）
该研究针对星图与长路、长圈的在线拉姆齐数问题，改进了固定k≥4时两类在线拉姆齐数的渐近上界，将原有的(k+o(1))n提升至更紧的((2k+4)/5+o(1))n，推动了在线拉姆齐理论的定量研究。
2026-11-10 math.CO
On off-diagonal $F$-Ramsey numbers
本文研究了非对角$F$-Ramsey数猜想，利用$r(4,t)$的渐近构造证明了当$t_1$为3或4时，$r_{K_s}(t_1,t_2)$与$\inom{r(t_1,t_2)}{s}$在指数项上仅相差低阶项。
2024-12-26 math.CO
On Induced Online Ramsey Number of Paths, Cycles, and Trees
一个在线拉姆齐游戏是一个游戏之间的建设者和画家，轮流交替。给出了图$H$和图$G$的一个独立顶点的无限集合。在每一轮中，生成器绘制一条边，绘制器将其着色为红色或蓝色。如果在某个有限回合之后有图形的单色副本$H$，则生成器获胜，否则绘制器获胜。在线Ramsey数$\widetilde{r}(H)$是生成器可以在$G$中强制生成$H$单色副本的最小轮数。这是一个类比的大小拉姆齐数$\overline{r}(H)$定义为最小数，使存在图$G$与$\overline{r}(H)$的边缘，其中任何边缘二着色$G$包含一个单色副本的$H$。本文引入诱导在线Ramsey数的概念：诱导在线Ramsey数$\widetilde{r}_{ind}(H)$是Builder在$G$中可以强制生成$H$的诱导单色副本的最小轮数。我们证明了渐近紧界诱导在线Ramsey数的道路，圈和两个家庭的树。此外，我们还提供了一个类似于Conlon [On-line Ramsey Numbers，SIAM J. Discr. Math.2009]，表明对于$i\ge1$存在树$T_1,T_2,\dots$、$|T_i|<|T_{i+1}|$的无限族，使得\[ \lim_{i\to\infty} \frac{\widetilde{r}(T_i)}{\overline{r}(T_i)} = 0. \]
2019-01-11 cs.DM math.CO
Online size Ramsey number for $C_4$ and $P_6$
本文研究 Builder 与 Painter 在无限团上进行的在线 Ramsey 游戏，证明在线大小 Ramsey 数 $\tilde{r}(C_4,P_6)$ 的精确值为 11，改进了此前 $11\leq\tilde{r}\leq13$ 的界。
2023-05-07 math.CO
On off-diagonal hypergraph Ramsey numbers
研究固定3-一致超图H与完全3-一致超图K_n^{(3)}的拉姆齐数增长速率，证明对奇环链接及多数紧环有下界2^{Ω_H(n log n)}，并构造线性超图H使其拉姆齐数为超多项式，首次分离r(H,K_n^{(3)})与r(H,K_{n,n,n}^{(3)})。
2024-04-02 math.CO
Off-diagonal hypergraph Ramsey numbers
拉姆齐数$r_k(s,n)$是最小的$N$，使得$\{1, \ldots, N\}$的$k$ -子集的每个红-蓝着色包含大小为$s$的红色集合或大小为$n$的蓝色集合，其中如果集合的所有$k$ -子集都是红色（蓝色），则集合是红色（蓝色）。由$P_{s}$表示的大小为$s$的$k$ -均匀\emph{tight path}是$\mathbb{Z}$中的$s$顶点$v_1 < \cdots < v_{s}$和形式为$\{v_j,v_{j+1},\ldots, v_{j + k -1}\}$的所有$s-k+1$边的集合。令$r_k(P_s, n)$为最小$N$，使得$\{1, \ldots, N\}$的$k$ -子集的每个红-蓝着色导致红色$P_{s}$或大小为$n$的蓝色集合。估计$k=2$的$r_k(s,n)$和$r_k(P_s, n)$的问题可以追溯到1935年Erdos和Szekeres的开创性工作，而$k\ge 3$的情况是由Erdos和Rado在1952年首次研究的。在本文中，我们推导出一个定量关系之间的$r_k(P_s, n)$和$r_k(n, n)$的双变异。这产生几个结果，包括以下：（1）我们确定正确的塔增长率为$r_k(s,n)$和$r_k(P_s, n)$为$s \ge k+3$。Erdos和Hajnal在1972年提出了确定所有$s \ge k+1$的$r_k(…
2015-05-29 math.CO
Ramsey numbers of cliques versus monotone paths
Erdos-Szekeres单调子序列定理的一个公式表明，对于$\{1, 2, \ldots, N\}$上完全图的边集的任何红/蓝着色，存在一个单色红色$s$ -团或一个单色蓝色增加路径$P_n$，其顶点为$n$，条件是$N >(s-1)(n-1)$。我们以前已经证明，这个问题的一个适当的推广到四重系统基本上是等价于经典的对角超图Ramsey数。在这里，我们证明了一个类似的声明，在非对角的情况下，三重系统，与拟多项式界$N>2^{c(\log n)^{s-1}}$。对于具有$n$顶点的序增图路的$t$次幂$P_n^t$，我们证明了一个近线性界$c\, n(\log n)^{s-2}$，它改进了Conlon-Fox-Lee-Sudakov提出的适用于比$P_n^t$更一般的一类图的界.
2023-03-29 math.CO
A nonconstructive Proof to show the Convergence of the $n^{th}$ root of diagonal Ramsey Number $r(n, n)$
对角Ramsey数的$n^{th}$根收敛于有限极限吗？答案是肯定的。如果一个序列满足单调性以外的收敛条件，则它可以被证明是收敛的。我们证明了这样一个属性，其中序列的$n^{th}$根不收敛，即使没有先验知识，序列是否单调或不。我们还证明了对角Ramsey数的$n^{th}$根可以表示为两个因子的乘积，第一个因子是一个已知的收敛序列，第二个因子是一个绝对收敛的无穷级数。也可以表示为其中一个乘积是收敛的，而另一个乘积的所有值来自复平面上单位圆内的一致收敛复函数全纯。我们的动机仅仅是证明猜想作为一个问题，在寻找一个解决方案，而不是建立一些深刻的理论图。第二个问题是：如果极限存在，那么极限是什么？在写这篇文章的时候，我们的理解是，所寻求的证据不需要是建设性的。在这里，我们证明了非建设性的证明，$n^{th}$根的对角拉姆齐数收敛到一个有限的限制。我们还证明了对角Ramsey数的$j^{th}$根的极限是2，其中正整数$j$依赖于Ramsey数。
2012-10-07 cs.DM math.CO math.NT
Sharp bounds for off-diagonal and tripartite canonical Ramsey numbers
ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院）
本文研究典型拉姆齐定理的两个变体，给出多部分超图典型拉姆齐数的锐界，并建立非对角典型拉姆齐数在不同参数区间的上下界，包括避免字典序三角形时的上界。
2026-10-05 math.CO
Online Ramsey numbers of ordered graphs
本文研究有序图的在线 Ramsey 数，利用最大左右度给出新的下界证明，并在圈对完全二部图、树对团两种情形下给出上界。
2024-09-03 math.CO
Online size Ramsey numbers: Odd cycles vs connected graphs
给定两个图族$\mathcal H_1$和$\mathcal H_2$，在$K_\mathbb{N}$的边集上进行一个大小Ramsey对策.在每一轮中，Builder选择一条边，Painter将其涂成红色或蓝色。Builder正在尝试强制Painter尽快从$\mathcal H_1$创建图形的红色副本或从$\mathcal H_2$创建图形的蓝色副本。在线（大小）拉姆齐数$\tilde{r}(\mathcal H_1,\mathcal H_2)$是游戏中最小的回合数，前提是建筑师和画家最佳地发挥作用。本文证明了：如果$\mathcal H_1$是所有奇圈的族，$\mathcal H_2$是$n$的顶点和$m$的边上的所有连通图的族，则$\tilde{r}(\mathcal H_1,\mathcal H_2)\ge φn + m-2φ+1$，其中$φ$是黄金比例，对于$n\ge 3$，$m\le (n-1)^2/4$，我们有$\tilde{r}(\mathcal H_1,\mathcal H_2)\le n+2m+O(\sqrt{m-n+1})$ .我们还表明，$\tilde{r}(C_3,P_n)\le 3n-4$的$n\ge 3$。因此，我们为每个$n\ge 3$得到$2.6n-3\le \tilde{r}(C_3,P_n)\le 3n-4$。
2022-11-01 math.CO
Off-diagonal online size Ramsey numbers for paths
本文研究路径的非对角在线大小 Ramsey 数，证明 $\tilde{r}(P_k,P_n)\le (5/3+o(1))n$（当 $k=o(n)$），并改进 $\tilde{r}(P_4,P_n)$ 的上界至 $\lceil 7n/5\rceil -1$，验证了相关猜想。
2023-10-13 math.CO
Online Ramsey numbers of ordered paths and cycles
本文研究固定有序图G时网络有序拉姆齐数r_o(G,P_n)的增长行为，证明了一般情形下的O(n log₂ n)上界及G为3-色图时的O(n)上界，并部分分类了满足r_o(G,P_n)=n+O(1)的图。
2024-03-28 math.CO
On the asymptotic behavior of online Ramsey numbers for stars, paths and cycles
Kean University（基恩大学）
研究在线Ramsey数渐进行为，证明对于固定k，某些比值收敛到常数。
2026-04-20 cs.DM math.CO
Online Ramsey numbers of the claw versus cycles
Hebei Research Center of the Basic Discipline Pure Mathematics（河北省基础学科纯数学研究中心）
本文确定了claw与长环的在线Ramsey数的精确值，证明当$\ell \ge 13$时，$\tilde r(K_{1,3},C_\ell)=\left\lfloor \frac{3(\ell+1)}{2} \right\rfloor$。
2026-10-27 math.CO
Polynomial families of incident flags and explicit off-diagonal Ramsey graphs
Vrije Universiteit Brussel（布鲁塞尔自由大学）；imec-SMIT
本文从多项式族构造显式非对角 Ramsey 图，通过插值和标量限制得到指数界，并给出确定性多项式时间算法。
2026-10-06 math.CO math.GR
Ramsey number of a connected triangle matching
我们确定了与$c(nK_3)$匹配的{ \em连通}三角形的$2$ -色Ramsey数，其中$2$是任何含有$n$顶点不相交三角形的连通图.我们得到了$R(c(nK_3),c(nK_3))=7n-2$，比Burr，Erd \H os和Spencer关于三角形匹配的经典结果$R(nK_3,nK_3)=5n$稍大.其动机是确定循环$C_n^2$的平方的拉姆齐数$R(C_n^2,C_n^2)$。我们应用我们的拉姆齐结果连接三角形匹配表明，拉姆齐数的“几乎”平方的周期$C_n^{2,c}$（周期长度$n$，但最多一个常数$c$的短对角线）是渐近$7n/3$。
2015-09-18 math.CO
On off-diagonal ordered Ramsey numbers of nested matchings
对于两个点集为线性序的图$G^<$和$H^<$，有序Ramsey数$r_<(G^<,H^<)$是最小$N$，使得有序完全图的边在$N$顶点上的每一个红-蓝染色都包含$G^<$的一个红色副本或$H^<$的一个蓝色副本.对于正整数$n$，嵌套匹配$NM^<_n$是$2n$顶点上的有序图，其中每个$i=1,\dots,n$都有边$\{i,2n-i+1\}$。本文改进了Rohatgi得到的有序Ramsey数$r_<(NM^<_n,K^<_3)$的上界，证明了对每一个$n \geq 6$都有$4n+1 \leq r_<(NM^<_n,K^<_3) \leq (3+\sqrt{5})n$，从而否定了Rohatgi的猜想，并确定了$n=4,5$的个数$r_<(NM^<_n,K^<_3)$.作为推论，这给出了对每个$k \geq 3$的$k$ -队列图的最大色数的更强下界.我们还证明了$r_<(NM^<_m,K^<_n)=Θ(mn)$的任意$m$和$n$。我们扩大了经典的拉姆齐善良的概念，有序的情况下，我们试图描述所有连接有序图是$n$ -好的每$n\in\mathbb{N}$。特别是，我们发现了一类新的有序树是$n$ -好的每一个$n \in \mathbb{N}$，扩展所有以前已知的例子。
2022-10-11 cs.DM math.CO
A note on the logarithmic exponent of Ramsey number $r(4,t)$
Princeton University（普林斯顿大学）
该注记结合非对角拉姆齐数下界与Ajtai等人的独立性猜想证明，得出$r(4,t)$的对数指数相关结果，仅作非正式传阅不投稿。
2026-10-14 math.CO
