AI 中文总结
该研究对 OpenAI 关于三角形多色拉姆齐数的递归构造作出修改，证明固定奇环的多色拉姆齐数呈超指数增长，相关证明由 ChatGPT 5.6 Pro/Sol 自主完成。
AI 中文摘要
在最近的一项突破性成果中，OpenAI 证明了三角形 $C_3$ 的 $k$ 色拉姆齐数呈超指数增长，更准确地说，他们证明了 $R_k(C_3)\ge k^{k/3-o(k)}$。在本短注中，我们提出了对其递归构造的一种修改，该修改适用于固定奇环的多色拉姆齐数。更准确地说，对于 $p\ge 1$，令 $\mathcal{O}_p=\{C_3,C_5,\ldots,C_{2p+1}\}$，我们证明对于每个固定的 $p$，有 $R_k(\mathcal{O}_p)\ge (\log^{(p-1)}k)^{k/3-o(k)}$，其中 $\log^{(p-1)}$ 表示 $(p-1)$ 次迭代对数。这立即得出，对于每个固定的奇环，其多色拉姆齐数关于颜色数呈超指数增长。所提出的证明由 ChatGPT 5.6 Pro/Sol 自主发现。
英文摘要
In a recent breakthrough, OpenAI proved that the $k$-color Ramsey number of the triangle $C_3$ grows super-exponentially, more precisely, they proved that $R_k(C_3)\ge k^{k/3-o(k)}$. In this short note, we present a modification of their recursive construction that works for multicolor Ramsey numbers of fixed odd cycles. More precisely, for $p\ge 1$, let $\mathcal{O}_p=\{C_3,C_5,\ldots,C_{2p+1}\}$. We show that \[ R_k(\mathcal{O}_p)\ge (\log^{(p-1)}k)^{k/3-o(k)} \] for every fixed $p$, where $\log^{(p-1)}$ denotes the $(p-1)$-fold iterated logarithm. This immediately implies that for every fixed odd cycle, the multicolor Ramsey number is superexponential in the number of colors. The presented proof was found autonomously by ChatGPT 5.6 Pro/Sol.
CommentsThis paper is superseded by the v2 of arXiv:2608.02522, which combines with v1 of arXiv:2608.02522 and adds several new results
