Gallai-Ramsey numbers for books
给定一个图$G$和一个正整数$k$，\emph{Gallai-Ramsey number}被定义为$n$的最小顶点数，使得$K_n$的任何$k$ -边着色包含彩虹（所有不同颜色）三角形或$G$的单色副本.本文给出了$B_{m} = K_{2} + \overline{K_{m}}$书中Gallai-Ramsey数的一般上、下界，并证明了$m \leq 5$的精确结果.
2018-02-14 math.CO
Euclidean Gallai-Ramsey Theory
本文将欧氏拉姆齐理论与图的Gallai-拉姆齐理论结合起来，引入欧氏Gallai-拉姆齐理论.更确切地说，我们考虑以下问题：对于一个整数$r$和配置$K$和$K'$，是否存在一个整数$n_0$，使得对于任何$n$维欧几里得空间的点用$n \geq n_0$的$r$ -染色，存在一个与$K$全等的单色配置或一个与$K'$全等的彩虹配置？特别地，我们给出了一些配置$K$和$K'$，如三角形和矩形的$n_0$上的界。这些都是普通欧几里得拉姆齐理论的扩展，其目的是找到一个单色的配置。
2022-09-27 math.CO
Gallai-Ramsey numbers for fans
给定一个图$G$和一个正整数$k$，定义\emph{Gallai-Ramsey number}为$n$的最小顶点数，使得$K_n$的任何$k$ -边着色包含彩虹（所有不同颜色）三角形或$G$的单色副本。本文得到了扇形$F_{m} = K_{1} + mK_{2}$的Gallai-Ramsey数的一般上、下界，并证明了对于$m = 2$和对于$k$为偶数的$m = 3$的Sharp结果.
2019-02-27 math.CO
Gallai-Ramsey Multiplicity
给定两个图$G$和$H$，\emph{general $k$-colored Gallai-Ramsey number} $\operatorname{gr}_k(G:H)$被定义为最小整数$m$，使得完全图在$m$顶点上的每个$k$ -染色包含$G$的彩虹拷贝或$H$的单色拷贝.当人们问必须出现多少个这样的$G$的彩虹拷贝和$H$的单色拷贝时，有趣的问题出现了。\emph{Gallai-Ramsey multiplicity} $\operatorname{GM}_{k}(G,H)$定义为在$K_{\operatorname{gr}_{k}(G,H)}$的任何精确$k$着色中，$G$的彩虹拷贝和$H$的单色拷贝的最小总数。本文给出了包含小彩虹子图的Gallai-Ramsey重数的上、下界。
2023-02-20 math.CO
Gallai-Ramsey number of an 8-cycle
给定图$G$和$H$以及正整数$k$，Gallai-Ramsey数$gr_{k}(G : H)$是最小整数$N$，使得对于任何整数$n \geq N$，$K_{n}$的每个$k$ -边着色包含$G$的彩虹副本或$H$的单色副本。这些数字最近已被研究的情况下，当$G = K_{3}$，其中仍然只有几个精确的数字是已知的所有$k$。在本文中，我们推广了已知的精确Gallai-Ramsey数，包括$H = C_{8}$的所有$k$。
2019-05-18 math.CO
A note on Gallai-Ramsey number of even wheels
完全图的Gallai染色是一种边染色，使得没有三角形的所有边都是不同的颜色。Gallai $k$ -着色是使用$k$颜色的Gallai着色。给定一个图$H$和一个整数$k\geq 1$，$H$的Gallai-Ramsey数$GR_k(H)$是最小正整数$N$，使得完全图$K_N$的每一个Gallai $k$ -染色包含$H$的单色拷贝。令$W_{2n} $表示$2n+1\ge5$顶点上的偶数轮。本文研究了$W_{2n}$的Gallai-Ramsey数，并完全确定了所有$k\ge2$的$GR_k(W_4)$的精确值.
2019-10-28 math.CO
New Lower Bound Formulas for Multicolored Ramsey Numbers
给出了多色Ramsey数的两个下界公式。这些公式改进了几个小的多色Ramsey数的界。
2001-07-27 math.CO
Gallai-Ramsey numbers for a class of graphs with five vertices
给定两个图$G$和$H$，$k$着色Gallai-Ramsey数$gr_k(G : H)$被定义为最小整数$n$，使得完全图在$n$顶点上的每个$k$着色包含$G$的彩虹拷贝或$H$的单色拷贝.本文考虑了$gr_k(K_3 : H)$，其中$H$是一个五点至多六条边的连通图.这类图共有13个图，其中一些图的Gallai-Ramsey数已经在几篇论文中逐步研究。我们确定了其余图的所有Gallai-Ramsey数，并得到了一类单圈图的相关结果。
2018-11-15 math.CO
Gallai-Ramsey numbers for rainbow paths
给定图$G$和$H$以及正整数$k$，由$gr_{k}(G : H)$表示的\emph{Gallai-Ramsey number}被定义为最小整数$n$，使得使用最多$k$颜色的$K_{n}$的每个着色将包含$G$的彩虹副本或$H$的单色副本。我们考虑这个问题的情况下，$G \in \{P_{4}, P_{5}\}$。在$G = P_{4}$的情况下，我们完全解决了Gallai-Ramsey问题，通过减少到$2$ -色Ramsey数。在$G = P_{5}$的情况下，我们猜想，该问题减少到$3$ -色Ramsey数，并提供了几个结果支持这一猜想。
2019-02-02 math.CO
Gallai-Ramsey number for the union of stars
给定一个图$G$和一个正整数$k$，定义\emph{Gallai-Ramsey number}为$n$的最小顶点数，使得完全图$K_n$的任何$k$ -边着色包含彩虹（所有不同颜色）三角形或$G$的单色副本。本文给出了两星并的Gallai-Ramsey数在许多情况下的精确值和在其它情况下的界。这项工作代表了第一类不连通图被认为是所需的单色子图。
2020-07-11 math.CO
Gallai Ramsey number for double stars
给定一个图$G$和一个正整数$k$，\emph{Gallai-Ramsey number}被定义为$n$的最小顶点数，使得$K_n$的任何$k$ -边着色包含$G$的彩虹（所有不同颜色）副本或$G$的单色副本.本文给出了双星$S(n,m)$的Gallai-Ramsey数的一般上、下界，其中$S(n,m)$是由两个双星$K_{1,n}$和$K_{1,m}$通过在它们的中心之间加上一条边而得到的图.在某些情况下，我们也给出了尖锐的结果.
2020-01-09 math.CO
Gallai-Ramsey number of odd cycles with chords
Gallai染色是指没有彩虹三角形的完全图的边的染色，Gallai $k$-染色是指使用最多$k$颜色的Gallai染色。对于整数$k\geq 1$，给定图$H$的Gallai-Ramsey数$GR_k(H)$是最小正整数$N$，使得完全图$K_N$的每个Gallai-$k$-着色包含$H$的单色副本。令$C_m$表示$m\ge4$顶点上的圈，令$Θ_m$表示通过添加连接两个不连续顶点的附加边而从$C_m$获得的图族。我们证明了对于所有的$k\geq 1$和$n\geq 3$，都有$GR_k(Θ_{2n+1})=n\cdot 2^k+1$.这意味着$GR_k(C_{2n+1})=n\cdot 2^k+1$均为$k\geq 1$和$n\geq 3$。我们的结果给出了至少五个顶点上所有奇圈的Gallai-Ramsey数的统一证明。
2020-09-16 math.CO
Disproofs of four Gallai-Ramsey-type conjectures
本文通过构造新的下界反证了关于扇形、轮形和 kipas 的三个 Gallai–Ramsey 数猜想，并给出两类 Ramsey-full 但非 Gallai–Ramsey-full 的图，否定相关等价猜想。
2024-10-02 math.CO
Note on a generalization of Gallai-Ramsey numbers
一个着色的完全图如果不含彩虹三角形，则称为是伽莱着色的。这个性质已经被证明等价于存在一个顶点的划分（每个诱导子图），其中至多两种颜色出现在部分之间的边上，并且至多一种颜色出现在每对部分之间的边上。我们通过定义一个完全图的着色为$k$ -Gallai来扩展这个概念，如果每个诱导子图都有一个非平凡的顶点划分，使得在划分的部分之间最多存在$k$颜色。图$H$的广义$(k, \ell)$ Gallai-Ramsey数被定义为最小顶点数$N$，使得完全图$K_{n}$的每个$k$染色都包含$H$的单色副本。基于$H$的结构，我们证明了这些广义$(k, \ell)$ Gallai-Ramsey数的界，推广了Gallai着色的最近结果.
2019-05-28 math.CO
Gallai-Ramsey numbers of odd cycles
给定两个图$G$和$H$以及一个正整数$k$，用$gr_{k}(G : H)$表示的$k$ -色Gallai-Ramsey数是最小整数$N$，使得对于所有$n \geq N$，$K_{n}$的边的每个$k$ -着色包含$G$的彩虹拷贝或$H$的单色拷贝。我们证明了对于所有的$k \geq 1$和$\ell \geq 3$，都有$gr_{k} (K_{3} : C_{2\ell + 1}) = \ell \cdot 2^{k} + 1$.
2021-06-20 math.CO
All partitions have small parts - Gallai-Ramsey numbers of bipartite graphs
Gallai染色是边着色的完全图，其中不存在彩虹三角形。在这样的彩色完全图，我们考虑拉姆齐型问题，寻找指定的单色图。在这项工作中，我们考虑单色二部图，因为已知的数字增长速度比非二部图。主要结果表明，它足以只考虑$3$ -染色，有一个特殊的划分的顶点。利用这个工具，我们找到了几个锐数，并推测了所有二部图的锐值。特别地，我们确定了所有二部图的Gallai-Ramsey数，并开始了线性森林的研究。
2017-10-28 math.CO
Gallai-Ramsey numbers for graphs with five vertices and eight edges
Gallai $k$ -染色是不含彩虹三角形的完全图的$k$ -边染色.对于给定的图$G_1, G_2, G_3$和具有该$k=r+s+t$的非负整数$r, s, t$，$k$着色的Gallai-Ramsey数$gr_{k}(K_{3}: r\cdot G_1,~ s\cdot G_2, ~t\cdot G_3)$是最小整数$n$，使得每个Gallai $k$ -彩色$K_{n}$包含由第一$r$颜色之一着色的$G_1$的单色拷贝或由中间$s$颜色之一着色的$G_2$的单色拷贝或由以下颜色之一着色的$G_3$的单色拷贝：最后的$t$颜色本文确定了当$G_1=B_{3}^{+}$，$G_2=S_{3}^+$和$G_3=K_3$满足时的Gallai-Ramsey数的值.然后得到了Gallai-Ramsey数$gr_{k}(K_{3}: B_{3}^{+})$。从而完全解决了五点八边图的Gllai-Ramsey数问题。进一步，分别得到了Gallai-Ramsey数$gr_{k}(K_{3}: r\cdot B_3^+,~ (k-r)\cdot S_3^+)$、$gr_{k}(K_{3}: r\cdot B_3^+,~ (k-r)\cdot K_3)$和$gr_{k}(K_{3}: s\cdot S_3^+,~ (k-s)\cdot K_3)$.
2020-08-26 math.CO
Gallai-Ramsey multiplicity for rainbow small trees
本文定义了Gallai-Ramsey重数，并在足够多颜色下求得了彩虹小树与一般单色图该重数的精确值，同时研究了二部Gallai-Ramsey重数。
2024-03-25 math.CO
Two multicolor Ramsey numbers
证明了两个新的Ramsey数的界：$R(K_3,K_3,C_4,C_4)\geq 27$和$R_4(C_4)\leq 19$ .
2005-02-19 math.CO
Bounds for Gallai-Ramsey functions and numbers
对于两个图$G,H$和一个正整数$k$，\emph{Gallai-Ramsey number} $\operatorname{gr}_k(G,H)$被定义为顶点$n$的最小数目，使得$K_n$的任何$k$ -边着色包含$G$的彩虹（所有不同颜色）副本或$H$的单色副本。如果$G$和$H$都是完全图，则称之为Gallai-Ramsey函数。Fox和Sudakov证明了$\operatorname{gr}_k(K_s,K_t)\leq s^{4kt}$。Alon等表明，$\operatorname{gr}_k(K_s,K_t)\leq (2s^3+4s^2)^{kt}$ .本文证明了$\operatorname{gr}_k(K_s,K_t)\leq 2^{kt}s^{3kt}$对于$t\geq 47$ .当$G,H$是某些特殊图时，我们也给出了$\operatorname{gr}_k(G,H)$的更好的上界.本文利用Lovász局部引理得到了Gallai-Ramsey函数和数的一些下界.
2023-01-28 math.CO
Gallai-Ramsey numbers involving a rainbow $4$-path
给定两个非空图$G,H$和一个正整数$k$，Gallai-Ramsey数$\operatorname{gr}_k(G:H)$被定义为最小整数$N$，使得对于所有$n\geq N$，$K_n$的每个$k$ -边染色包含$G$的彩虹色副本或$H$的单色副本。在本文中，我们得到了$\operatorname{gr}_k(P_5:H) \ (k\geq 3)$的一些精确值或界，如果$H$是一个一般的图或一个具有额外独立边的星或一个菠萝。
2021-10-07 math.CO
Lower bounds for multicolor Ramsey numbers
我们给出了一个指数改善的下界对角线拉姆齐数的任何固定数量的颜色大于两个。
2020-11-25 math.CO
Multicolor Ramsey numbers for Berge cycles
在本文中，对于小的一致性，我们确定了长度为$4$，$5$，$6$，$7$，$10$，或$11$的Berge圈的Ramsey数的数量级。我们的结果如下从一个更一般的设置，可以应用到其他超图拉姆齐问题。利用这一点，我们还确定了Berge- $K_{a,b}$为某些$a$，$b$，和均匀性的Ramsey数的数量级。
2021-09-28 math.CO
Gallai-Ramsey number of even cycles with chords
对于图$H$和整数$k\ge1$，$k$ -色Ramsey数$R_k(H)$是最小整数$N$，使得完全图$K_N$的边的每一个$k$ -着色都包含$H$的单色副本.令$C_m$表示$m\ge4$顶点上的圈，令$Θ_m$表示通过添加连接两个不连续顶点的附加边而从$C_m$获得的图族。不同于Ramsey数的奇循环，很少有人知道$R_k(C_{2n})$的一般行为，除了$R_k(C_{2n})\ge (n-1)k+n+k-1$的所有$k\ge2$和$n\ge2$。本文研究了具有弦的偶数圈在Gallai染色下的Ramsey数，其中Gallai染色是指不含彩虹三角形的完全图的边的染色。对于整数$k\geq 1$，图$H$的Gallai-Ramsey数$GR_k(H)$是最小正整数$N$，使得完全图$K_N$的每个Gallai-$k$-着色包含$H$的单色副本。证明了对于所有的$k\geq 2$和$n\geq 3$，都有$GR_k(Θ_{2n})=(n-1)k+n+1$.这意味着$GR_k(C_{2n})=(n-1)k+n+1$均为$k\geq 2$和$n\geq 3$。我们的结果给出了至少四个顶点上的所有偶数圈的Gallai-Ramsey数的统一证明。
2020-09-16 math.CO
An improved lower bound on multicolor Ramsey numbers
Conlon和Ferber最近的一项突破使多色对角Ramsey数的下界得到了指数级的改进。在本文中，我们修改了它们的结构，并获得了三种以上颜色的改进边界。
2020-12-09 math.CO
New Lower Bounds for Some Multicolored Ramsey Numbers
本文利用有限域，推广了Fan Chung的一个结果，给出了八个新的非平凡的下界.
1998-11-19 math.CO
Gallai-Ramsey numbers of $C_9$ with multiple colors
研究了Gallai着色中的Ramsey型问题。给定一个图$G$和一个整数$k\ge1$，Gallai-Ramsey数$gr_k(K_3,G)$是最小正整数$n$，使得完全图的边在$n$顶点上的每个$k$-染色包含彩虹三角形或$G$的单色副本。结果表明，$gr_k(K_3, G)$比经典的Ramsey数$r_k(G)$表现得更好。然而，找到$gr_k (K_3, G)$的精确值绝非易事。本文证明了对所有的$k\ge1$，都有$gr_k(K_3, C_9)= 4\cdot 2^k+1$.这一新结果为1973年Bondy和Erdans提出的三重奇循环猜想的第一个公开例子提供了部分证据。我们的技术在很大程度上依赖于结构的结果Gallai的边着色完全图没有彩虹三角形。我们相信，我们开发的方法可以用来确定$gr_k(K_3, C_n)$的奇数$n\ge11$的确切值。
2017-09-30 math.CO
Gallai-Ramsey numbers for graphs with chromatic number three
给定一个图$H$和一个整数$k\ge1$，Gallai-Ramsey数$GR_k(H)$被定义为最小整数$n$，使得完全图$K_n$的每个$k$ -边着色包含彩虹三角形或$H$的单色副本。本文研究了色数为3的图的Gallai-Ramsey数，如$\widehat{K}_m$ for $m\ge2$，其中$\widehat{K}_m$是由$K_1$和$P_m$的连接得到的具有$m+1$顶点的kipas，以及一类五顶点图，记为$\mathscr{H}$ .我们首先研究了这类图的一般下界，并对$GR_k(\widehat{K}_m)$的精确值提出了一个猜想。然后给出了确定$\mathscr{H}$中许多图的Gallai-Ramsey数的统一证明，并得到了$k\ge1$的$GR_k(\widehat{K}_4)$的精确值.我们的结果不仅表明了关于$GR_k(\widehat{K}_m)$的猜想对$m\le4$成立，而且对某些$H\in \mathscr{H}$给出了关于$GR_k(H)$的几个结果，这些结果在不同的文献中被分别证明.
2021-07-15 math.CO
New lower bounds for two color and multicolor Ramsey numbers
利用循环图给出了双色Ramsey数的新的下界：R（4，16）>163，R（5，11）>170，R（5，12）>190，R（5，13）>212，R（5，14）>238，R（3，3，9）>117，R（3，3，10）>141，R（3，3，11）>157.改进了以前最好的边界。
2010-05-06 math.CO
Gallai-Ramsey number for $K_{5}$
给定一个图$H$，定义$k$ -着色Gallai Ramsey数$gr_{k}(K_{3} : H)$为最小整数$n$，使得完全图的边在$n$顶点上的每一个$k$ -着色包含一个彩虹三角形或一个$H$的单色副本. Fox等人[J. Fox，A. Grinshpun和J. Pach。彩虹三角形的Erd{ \H o}s-Hajnal猜想J. Combin。理论系列B，111：75-125，2015.]证明了完全图的Gallai Ramsey数的值。最近，这一猜想已被验证的第一个开放的情况下，当$H = K_{4}$。在本文中，我们攻击下一种情况，当$H = K_5$。令人惊讶的是，该猜想的有效性取决于拉姆齐数$R(5,5)$的（尚未未知的）值。已知$43 \leq R(5,5) \leq 48$和证实$R(5,5)=43$ [B.D.麦凯和S. P. Radziszowski。子图计数恒等式和Ramsey数。J. Combin。Theory Ser. B，69：193-209，1997]。如果是$44 \leq R(5,5) \leq 48$，则Fox et al.的猜想是正确的，我们提出了一个完整的证明。然而，如果是$R(5,5)=43$，那么Fox et al.的猜想是假的，这意味着这两个猜想中至少有一个是假的。对于$R(5, 5) = 43$的情况下，我们显示的Gallai拉姆齐…
2019-01-11 math.CO
An improved lower bound for multicolor Ramsey numbers and the half-multiplicity Ramsey number problem
对于每对自然数$\ell$和$t$，Ramsey数问题要求一个没有大小为$t$的单色团的完全图的最大$\ell$ -染色。Conlon-Ferber和Wigderson最近的工作改进了这个问题长期存在的下界。我们做了进一步的改进，取代显式图出现在他们的建设由一个随机图。对于这种构造有用的图正是那些与没有大集团和几个大独立集的图上的Erdos问题相关的图。我们也对这个问题做了一些基本的观察。
2021-11-22 math.CO
Improved Upper Bounds for Gallai-Ramsey Numbers of Odd Cycles
完全图的Gallai染色是一种边染色，使得没有三角形的所有边都是不同的颜色。Gallai $k$-着色是使用$k$颜色的Gallai着色。给定一个整数$k\ge1$和一个图$H$，Gallai-Ramsey数$GR_k(H)$是最小正整数$n$，使得完全图$K_n$的每一个Gallai $k$-染色都包含$H$的单色副本。Gyárfás，Sárközy，SebIgnand Selkow在2010年证明了如果$H$不是二分的，则$GR_k (H) $在$k$中是指数的;如果$H$是二分的但不是星的，则在$k$中是线性的;当$H$是星的时候，则是常数（不依赖于$k$）。因此，$GR_k(H)$比经典的Ramsey数$R_k(H)$表现得更好。然而，找到$GR_k (H)$的精确值绝非易事，即使$|V(H)|$很小。本文首先改进了已有的奇圈Gallai-Ramsey数的上界，证明了对于所有的$k \ge 3$和$n \ge 8$，$GR_k(C_{2n+1}) \le (n\ln n) \cdot 2^k -(k+1)n+1$.然后，我们证明了$GR_k( C_{13})= 6\cdot 2^k+1$和$GR_k( C_{15})= 7\cdot 2^k+1$的所有$k\ge1$。
2018-08-29 math.CO
Star-critical Gallai-Ramsey numbers of graphs
Gallai-Ramsey数$gr_{k}(K_{3}: H_{1}, H_{2}, \cdots, H_{k})$是最小的整数$n$，使得每个$k$ -边着色的$K_{n}$对于某些$i\in [k]$包含彩虹$K_3$或彩色$i$中的单色$H_{i}$。我们找到最大的明星，可以从$K_n$，使基本的图形仍然被迫有彩虹$K_3$或单色$H_{i}$在彩色$i$的一些$i\in [k]$。因此，我们定义星临界Gallai-Ramsey数$gr_{k}^{*}(K_3: H_{1}, H_{2}, \cdots, H_{k})$为最小整数$s$，使得对于某些$i\in [k]$，每个$k$ -边色$K_{n}-K_{1, n-1-s}$包含彩虹$K_3$或彩色$i$中的单色$H_{i}$。当$H=H_{1}=\cdots=H_{k}$时，我们简单地用$gr_{k}^{*}(K_{3}: H)$表示$gr_{k}^{*}(K_{3}: H_{1}, H_{2}, \cdots, H_{k})$。我们确定了完全图和一些小图的星临界Gallai-Ramsey数。此外，我们表明，$gr_{k}^{*}(K_3: H)$是指数的$k$，如果$H$不是二分的，线性的$k$，如果$H$是二分的，但不是一个明星和常数（不依赖于$k$），如果$H$是一个明星。
2021-03-02 math.CO
On multicolor Ramsey number for 3-paths of length three
我们证明了，如果我们用$n$颜色对完全$3$ -一致完全图的$2n+\sqrt{18n+1}+2$顶点上的超边进行着色，则其中一个颜色类包含长度为3的松弛路.
2016-11-24 math.CO
Gallai-Ramsey Numbers for $\ell$-Connected Graphs
China Jiliang University（中国计量大学）；Shanghai Maritime University（上海海事大学）；Western Carolina University（西卡罗来纳大学）
本文研究了ℓ连通图的Gallai-Ramsey数，给出了该数的精确值和界，并探讨了相关图的着色性质。
2026-01-20 math.CO
An update on multicolor Ramsey lower bounds
IMPA（巴西国家纯数学和应用数学研究所）；Emory University（埃默里大学）
基于球面随机几何图构造，改进了多色Ramsey数的下界，提供了更精确的理论结果。
2026-01-21 math.CO
A conjecture on Gallai-Ramsey numbers of even cycles and paths
Gallai着色是指不含彩虹三角形的完全图的边的着色，而Gallai $k$ -着色是指使用最多$k$颜色的Gallai着色。给定一个整数$k\ge1$和图$H_1, \ldots, H_k$，Gallai-Ramsey数$GR(H_1, \ldots, H_k)$是最小整数$n$，使得完全图$K_n$的每个Gallai $k$ -着色包含一个$H_i$在颜色$i$中的单色副本，对于某些$i \in \{1,2, \ldots, k\}$。当$H = H_1 = \cdots = H_k$时，我们简单地写$GR_k(H)$。研究了偶数圈和偶数路的Gallai-Ramsey数。对于所有$n\ge3$和$k\ge2$，令$G_i=P_{2i+3}$为所有$i\in\{0,1, \ldots, n-2\}$和$G_{n-1}\in\{C_{2n}, P_{2n+1}\}$的$2i+3$顶点上的路径。对于所有具有$ i_1\ge i_2\ge\cdots\ge i_k $的$j\in\{1,2, \ldots, k\}$，设$ i_j\in\{0,1,\ldots, n-1 \}$。第一作者最近澄清说，$ GR(G_{i_1}, G_{i_2}, \ldots, G_{i_k}) = |G_{i_1}|+\sum_{j=2}^k i_j$。这个猜想的真实性意味着，对于所有的$n\ge3$和…
2019-09-24 math.CO
On multicolor Ramsey numbers for loose $k$-paths of length three
证明了存在一个绝对常数$A$，使得对于完全$k$ -均匀超图的每个$k\ge2$和每个边的着色，在具有$r$颜色的$ Ar$顶点上，有一个颜色类包含长度为3的松弛路.
2017-03-28 math.CO
New upper bound for multicolor Ramsey number of odd cycles
令$r_k(C_{2m+1})$为长度为$2m+1$的奇数圈$C_{2m+1}$的$k$ -色拉姆齐数.它表明，对于每个固定的$m\ge2$，\[r_k(C_{2m+1})<c^{k}\sqrt{k!}\]的所有足够大的$k$，其中$c=c(m)>0$是一个常数。这改进了Bondy和Erdwords的一个旧结果（Ramsey numbers for cycles in graphs，J. Combin.理论系列B 14（1973）46-54）。
2018-10-24 math.CO
Ramsey and Gallai-Ramsey numbers for linear forests and kipas
本文研究线性森林与 kipas 图的 Ramsey 及 Gallai-Ramsey 数，通过边着色结构分析确定线性森林对 kipas 的经典 Ramsey 数，并给出路径或 kipas 与若干小图组合下多色 Gallai-Ramsey 数的精确值。
2024-01-25 math.CO
Multicolor list Ramsey numbers grow exponentially
列表拉姆齐数$R_{\ell}(H,k)$，最近由Alon，Bucić，Kalvari，Kuperwasser和Szabó提出，是经典拉姆齐数的列表着色变体。他们证明了，如果$H$是一个固定的$r$ -均匀超图，它不是$r$ -particular的，并且$k$的颜色数趋于无穷大，则$e^{Ω(\sqrt{k})} \le R_{\ell} (H,k) \le e^{O(k)}$。我们证明了$R_{\ell}(H,k) = e^{Θ(k)}$当且仅当$H$不是$r$ -partite.
2022-01-23 math.CO
Gallai-Ramsey numbers of $C_{10}$ and $C_{12}$
Gallai着色是指不含彩虹三角形的完全图的边的着色，而Gallai $k$ -着色是指使用$k$颜色的Gallai着色。给定一个整数$k\ge1$和图$H_1, \ldots, H_k$，Gallai-Ramsey数$GR(H_1, \ldots, H_k)$是最小整数$n$，使得完全图$K_n$的每个Gallai $k$ -着色包含一个$H_i$在颜色$i$中的单色副本，对于某些$i \in \{1, \ldots, k\}$。当$H = H_1 = \cdots = H_k$，我们简单地写$GR_k(H)$。我们继续研究偶数圈和偶数路的Gallai-Ramsey数。对于所有$n\ge3$和$k\ge1$，令$G_i=P_{2i+3}$为所有$i\in\{0,1, \ldots, n-2\}$和$G_{n-1}\in\{C_{2n}, P_{2n+1}\}$的$2i+3$顶点上的路径。令$ i_j\in\{0,1,\ldots, n-1\}$用于所有具有$ i_1\ge i_2\ge\cdots\ge i_k $的$j\in\{1, \ldots, k\}$。宋最近澄清说，$GR(G_{i_1}, \ldots, G_{i_k}) = 3+\min\{i_1, n^*-2\}+\sum_{j=1}^k i_j$，其中$n^* =n$当$G_{i_1}\ne P_{2n+1}$和…
2018-08-29 math.CO
On multicolor Ramsey numbers of triple system paths of length 3
设$\mathcal{H}$是一个3-一致超图. Ramsey数$ r_k(\mathcal{H})$是最小的整数$n$，使得$ \binom{[n]}{3}$的每个着色都具有$\mathcal{H}$的单色副本。设$ \mathcal{L}$是具有3条边的松散3-均匀路径，$ \mathcal{M}$表示具有3条边的杂乱3-均匀路径;即，设$\mathcal{L} = \{abc, cde, efg\}$和$\mathcal{M} = \{ abc, bcd, def\}$。本文证明了$k$的$ r_k(\mathcal{L}) < 1.54k$和$ r_k(\mathcal{M}) < 1.6k$是充分大的.
2023-02-16 math.CO
Weakened Gallai-Ramsey Numbers for Books
Western Carolina University（西卡罗来纳大学）
本文研究书图B_n的弱化Gallai-Ramsey数，扩展了前人t=3时的结果，确定了t>3时gr^3_2(B_n)在5≤n≤15的值，并给出该类数的一般下界。
2026-08-14 math.CO
Bipartite and Euclidean Gallai-Ramsey Theory
本文研究二部图与欧几里得空间的两类Gallai-Ramsey问题，证明二部图情形答案关于色数线性并给出s=2时的精确界，还通过图着色与空间着色的对应得到一类构型的欧氏Gallai-Ramsey数新上界。
2024-10-10 math.CO
Lower Bounds for Multicolor Star-Critical Ramsey Numbers
本文研究多色星临界拉姆齐数，给出其消失的等价判据及非消失时的通用下界，并计算了 $r_*(P_k, P_3, P_3)$，同时证明 $r_*(C_5, P_3)=3$。
2024-07-01 math.CO
New upper bound for multicolor Ramsey numbers
Yokohama National University（Yokohama国立大学）；Qinghai Normal University（青海师范大学）
本研究针对多色Ramsey数上界问题，结合可变阶正系数根滤波器与多色书方法的保留脊细化技术，证明了满足一定参数条件的对角r色图Ramsey数新上界公式。
2026-11-10 math.CO
Euclidean Gallai-Ramsey for various configurations
本文研究着色欧几里得空间中多种构型的Gallai-Ramsey问题，涵盖三角形、正方形、直线及矩形和球面构型，改进已有结果并揭示空间维数与颜色数无关的现象。
2023-05-29 math.CO math.MG
Improved bounds on the multicolor Ramsey numbers of paths and even cycles
研究了路和偶圈的Ramsey数$R_k(P_n)$和$R_k(C_n)$，它们是使完全图$K_N$的每一个着色分别有$P_n$或$C_n$的单色副本的最小整数$N$.长期以来，人们只知道$R_k(P_n)$介于$(k-1+o(1))n$和$(k + o(1))n$之间。最近Sárközy的突破和后来Davies、Jenssen和Roberts的改进给出了$(k - \frac{1}{4} + o(1))n$的上界。我们将上界改进为$(k - \frac{1}{2}+ o(1))n$。我们的方法使用连接图中的结构洞察力，而没有大的匹配。这些见解可能是独立的利益。
2018-01-12 math.CO
On the multicolor Ramsey number of a graph with m edges
图$F$的Ramsey数$r_k(F)$是最小整数$n$，使得在$K_n$的边被$k$颜色着色时，存在$F$的单色副本。在这个简短的说明中，我们证明了一个上界$r_k(F)$的图$F$与$m$边和没有孤立的顶点的形式$k^{6km^{2/3}}$解决Sudakov的问题[ Adv. Math. 227（2011），no. 1，601- 609]。此外，在二分$F$和两种颜色的情况下，指数中的常数被降低，使得$r_2(F)\le 2^{(1+o(1))2\sqrt{2m}}$改进了Alon，Krivelevich和Sudakov [Combin.可能吧Comput. 12（2003），no. 5- 6，477- 494]。
2013-11-24 math.CO
Multicolor Ramsey Numbers for Complete Bipartite Versus Complete Graphs
令H_1，...，H_k是图。本文讨论了Ramsey数r（H_1，...，H_k）是最小整数r，使得在K_r的每一个k色边染色中，对于某个1 <= i <= k，存在H_i在颜色i中的单色副本。在本文中，我们研究了Ramsey数$r(K_{2,t},...,K_{2,t},K_m)$，确定了几乎所有范围内的t和m的渐近行为的多对数因子。几种不同的结构被用于下界，包括随机图和显式图建立从有限域。阿隆和Rödl使用的概率方法和频谱参数的技术，以提供紧密的下界。对于任何t和m，示例结果是$c_1 m^2t/\log^4(mt) \leq r(K_{2,t},K_{2,t},K_m) \leq c_2 m^2t/\log^2 m$，其中c_1和c_2是绝对常数。
2013-09-12 math.CO
Extremal problems and results related to Gallai-colorings
Gallai-染色（$k$ -染色）是一个不含彩虹三角形的完全图的边染色（颜色来自$\{1, 2, \ldots, k\}$）。给定一个图$H$和一个正整数$k$，$k$着色的Gallai-Ramsey数$GR_k(H)$是使得完全图$K_n$的每个Gallai-$k$-着色包含$H$的单色副本的最小整数$n$。本文考虑与Gallai- $k$ -着色有关的两个极值问题.首先，我们确定不包含在任何彩虹三角形或单色三角形的$k$ -边着色的$K_n$的最大数量的边缘的上限和下限。其次，对于$n\geq GR_k(K_3)$，我们确定了$K_{n}$的Gallai- $k$ -着色中单色三角形的最小数目的上界和下界，得到了$k=3$的精确值。此外，我们还确定了由一个$K_4$和一条悬挂边组成的五点图的Gallai-Ramsey数$GR_k(K_4+e)$.
2021-07-30 math.CO
Multicolor Ramsey numbers of odd cycles are superexponential
该研究对 OpenAI 关于三角形多色拉姆齐数的递归构造作出修改，证明固定奇环的多色拉姆齐数呈超指数增长，相关证明由 ChatGPT 5.6 Pro/Sol 自主完成。
2026-09-09 math.CO
Multicolor Ramsey numbers via pseudorandom graphs
弱最优$K_s$ -free $(n,d,λ)$ -图是指$n$顶点上的$d$ -正则$K_s$ -free图，它具有$d=Θ(n^{1-α})$和谱展开$λ=Θ(n^{1-(s-1)α})$，对于某些固定的$α>0$ .这样的图被称为最优的，如果另外$α= \frac{1}{2s-3}$。证明了若$s_{1},\ldots,s_{k}\ge3$是固定正整数，且对每个$1\le i\le k$都存在弱最优的无$K_{s_{i}}$伪随机图，则其Ramsey数满足\[ Ω\Big(\frac{t^{S+1}}{\log^{2S}t}\Big)\le r(s_{1},\ldots,s_{k},t)\le O\Big(\frac{t^{S+1}}{\log^{S}t}\Big), \] as $t\rightarrow\infty$，其中$S=\sum_{i=1}^{k}(s_{i}-2)$ .这推广了Mubayi和Verstraëte以前的结果，他们证明了$k=1$情形，Alon和Rödl证明了$s_1=\cdots = s_k = 3$情形。这两个先前的结果使用的最佳，而不是弱最佳$K_{s_i}$自由图的存在。
2020-02-08 math.CO
