Gallai-Ramsey numbers for books
给定一个图$G$和一个正整数$k$，\emph{Gallai-Ramsey number}被定义为$n$的最小顶点数，使得$K_n$的任何$k$ -边着色包含彩虹（所有不同颜色）三角形或$G$的单色副本.本文给出了$B_{m} = K_{2} + \overline{K_{m}}$书中Gallai-Ramsey数的一般上、下界，并证明了$m \leq 5$的精确结果.
2018-02-14 math.CO
Euclidean Gallai-Ramsey Theory
本文将欧氏拉姆齐理论与图的Gallai-拉姆齐理论结合起来，引入欧氏Gallai-拉姆齐理论.更确切地说，我们考虑以下问题：对于一个整数$r$和配置$K$和$K'$，是否存在一个整数$n_0$，使得对于任何$n$维欧几里得空间的点用$n \geq n_0$的$r$ -染色，存在一个与$K$全等的单色配置或一个与$K'$全等的彩虹配置？特别地，我们给出了一些配置$K$和$K'$，如三角形和矩形的$n_0$上的界。这些都是普通欧几里得拉姆齐理论的扩展，其目的是找到一个单色的配置。
2022-09-27 math.CO
Gallai-Ramsey numbers for fans
给定一个图$G$和一个正整数$k$，定义\emph{Gallai-Ramsey number}为$n$的最小顶点数，使得$K_n$的任何$k$ -边着色包含彩虹（所有不同颜色）三角形或$G$的单色副本。本文得到了扇形$F_{m} = K_{1} + mK_{2}$的Gallai-Ramsey数的一般上、下界，并证明了对于$m = 2$和对于$k$为偶数的$m = 3$的Sharp结果.
2019-02-27 math.CO
Gallai-Ramsey Multiplicity
给定两个图$G$和$H$，\emph{general $k$-colored Gallai-Ramsey number} $\operatorname{gr}_k(G:H)$被定义为最小整数$m$，使得完全图在$m$顶点上的每个$k$ -染色包含$G$的彩虹拷贝或$H$的单色拷贝.当人们问必须出现多少个这样的$G$的彩虹拷贝和$H$的单色拷贝时，有趣的问题出现了。\emph{Gallai-Ramsey multiplicity} $\operatorname{GM}_{k}(G,H)$定义为在$K_{\operatorname{gr}_{k}(G,H)}$的任何精确$k$着色中，$G$的彩虹拷贝和$H$的单色拷贝的最小总数。本文给出了包含小彩虹子图的Gallai-Ramsey重数的上、下界。
2023-02-20 math.CO
Gallai-Ramsey number of an 8-cycle
给定图$G$和$H$以及正整数$k$，Gallai-Ramsey数$gr_{k}(G : H)$是最小整数$N$，使得对于任何整数$n \geq N$，$K_{n}$的每个$k$ -边着色包含$G$的彩虹副本或$H$的单色副本。这些数字最近已被研究的情况下，当$G = K_{3}$，其中仍然只有几个精确的数字是已知的所有$k$。在本文中，我们推广了已知的精确Gallai-Ramsey数，包括$H = C_{8}$的所有$k$。
2019-05-18 math.CO
A note on Gallai-Ramsey number of even wheels
完全图的Gallai染色是一种边染色，使得没有三角形的所有边都是不同的颜色。Gallai $k$ -着色是使用$k$颜色的Gallai着色。给定一个图$H$和一个整数$k\geq 1$，$H$的Gallai-Ramsey数$GR_k(H)$是最小正整数$N$，使得完全图$K_N$的每一个Gallai $k$ -染色包含$H$的单色拷贝。令$W_{2n} $表示$2n+1\ge5$顶点上的偶数轮。本文研究了$W_{2n}$的Gallai-Ramsey数，并完全确定了所有$k\ge2$的$GR_k(W_4)$的精确值.
2019-10-28 math.CO
Gallai-Ramsey numbers for a class of graphs with five vertices
给定两个图$G$和$H$，$k$着色Gallai-Ramsey数$gr_k(G : H)$被定义为最小整数$n$，使得完全图在$n$顶点上的每个$k$着色包含$G$的彩虹拷贝或$H$的单色拷贝.本文考虑了$gr_k(K_3 : H)$，其中$H$是一个五点至多六条边的连通图.这类图共有13个图，其中一些图的Gallai-Ramsey数已经在几篇论文中逐步研究。我们确定了其余图的所有Gallai-Ramsey数，并得到了一类单圈图的相关结果。
2018-11-15 math.CO
Multicolor Gallai-Ramsey numbers of $C_9$ and $C_{11}$
Gallai着色是指不含彩虹三角形的完全图的边的着色，而Gallai $k$ -着色是指使用$k$颜色的Gallai着色。研究了Gallai着色中的Ramsey型问题。给定一个整数$k\ge1$和一个图$H$，Gallai-Ramsey数$GR_k(H)$是最小正整数$n$，使得完全图在$n$顶点上的每一个Gallai-$k$-染色都包含一个$H$的单色拷贝.结果表明，$GR_k(H)$比经典的Ramsey数$R_k(H)$表现得更好。然而，找到$GR_k (H)$的精确值绝非易事。本文研究奇圈的Gallai-Ramsey数。我们证明了对于$n\in\{4,5\}$和所有的$k\ge1$，$GR_k(C_{2n+1})= n\cdot 2^k+1$。这一新结果为1973年Bondy和Erdans提出的三奇循环猜想的前两个公开例子提供了部分证据。我们的技术在很大程度上依赖于结构的结果Gallai的Gallai着色的完全图。我们相信我们开发的方法可用于确定所有$n\ge6$的$GR_k(C_{2n+1})$的精确值。
2018-03-30 math.CO
Gallai-Ramsey numbers for rainbow paths
给定图$G$和$H$以及正整数$k$，由$gr_{k}(G : H)$表示的\emph{Gallai-Ramsey number}被定义为最小整数$n$，使得使用最多$k$颜色的$K_{n}$的每个着色将包含$G$的彩虹副本或$H$的单色副本。我们考虑这个问题的情况下，$G \in \{P_{4}, P_{5}\}$。在$G = P_{4}$的情况下，我们完全解决了Gallai-Ramsey问题，通过减少到$2$ -色Ramsey数。在$G = P_{5}$的情况下，我们猜想，该问题减少到$3$ -色Ramsey数，并提供了几个结果支持这一猜想。
2019-02-02 math.CO
Gallai-Ramsey number for the union of stars
给定一个图$G$和一个正整数$k$，定义\emph{Gallai-Ramsey number}为$n$的最小顶点数，使得完全图$K_n$的任何$k$ -边着色包含彩虹（所有不同颜色）三角形或$G$的单色副本。本文给出了两星并的Gallai-Ramsey数在许多情况下的精确值和在其它情况下的界。这项工作代表了第一类不连通图被认为是所需的单色子图。
2020-07-11 math.CO
Gallai Ramsey number for double stars
给定一个图$G$和一个正整数$k$，\emph{Gallai-Ramsey number}被定义为$n$的最小顶点数，使得$K_n$的任何$k$ -边着色包含$G$的彩虹（所有不同颜色）副本或$G$的单色副本.本文给出了双星$S(n,m)$的Gallai-Ramsey数的一般上、下界，其中$S(n,m)$是由两个双星$K_{1,n}$和$K_{1,m}$通过在它们的中心之间加上一条边而得到的图.在某些情况下，我们也给出了尖锐的结果.
2020-01-09 math.CO
Gallai-Ramsey number of odd cycles with chords
Gallai染色是指没有彩虹三角形的完全图的边的染色，Gallai $k$-染色是指使用最多$k$颜色的Gallai染色。对于整数$k\geq 1$，给定图$H$的Gallai-Ramsey数$GR_k(H)$是最小正整数$N$，使得完全图$K_N$的每个Gallai-$k$-着色包含$H$的单色副本。令$C_m$表示$m\ge4$顶点上的圈，令$Θ_m$表示通过添加连接两个不连续顶点的附加边而从$C_m$获得的图族。我们证明了对于所有的$k\geq 1$和$n\geq 3$，都有$GR_k(Θ_{2n+1})=n\cdot 2^k+1$.这意味着$GR_k(C_{2n+1})=n\cdot 2^k+1$均为$k\geq 1$和$n\geq 3$。我们的结果给出了至少五个顶点上所有奇圈的Gallai-Ramsey数的统一证明。
2020-09-16 math.CO
Disproofs of four Gallai-Ramsey-type conjectures
本文通过构造新的下界反证了关于扇形、轮形和 kipas 的三个 Gallai–Ramsey 数猜想，并给出两类 Ramsey-full 但非 Gallai–Ramsey-full 的图，否定相关等价猜想。
2024-10-02 math.CO
Note on a generalization of Gallai-Ramsey numbers
一个着色的完全图如果不含彩虹三角形，则称为是伽莱着色的。这个性质已经被证明等价于存在一个顶点的划分（每个诱导子图），其中至多两种颜色出现在部分之间的边上，并且至多一种颜色出现在每对部分之间的边上。我们通过定义一个完全图的着色为$k$ -Gallai来扩展这个概念，如果每个诱导子图都有一个非平凡的顶点划分，使得在划分的部分之间最多存在$k$颜色。图$H$的广义$(k, \ell)$ Gallai-Ramsey数被定义为最小顶点数$N$，使得完全图$K_{n}$的每个$k$染色都包含$H$的单色副本。基于$H$的结构，我们证明了这些广义$(k, \ell)$ Gallai-Ramsey数的界，推广了Gallai着色的最近结果.
2019-05-28 math.CO
Gallai-Ramsey numbers of odd cycles
给定两个图$G$和$H$以及一个正整数$k$，用$gr_{k}(G : H)$表示的$k$ -色Gallai-Ramsey数是最小整数$N$，使得对于所有$n \geq N$，$K_{n}$的边的每个$k$ -着色包含$G$的彩虹拷贝或$H$的单色拷贝。我们证明了对于所有的$k \geq 1$和$\ell \geq 3$，都有$gr_{k} (K_{3} : C_{2\ell + 1}) = \ell \cdot 2^{k} + 1$.
2021-06-20 math.CO
All partitions have small parts - Gallai-Ramsey numbers of bipartite graphs
Gallai染色是边着色的完全图，其中不存在彩虹三角形。在这样的彩色完全图，我们考虑拉姆齐型问题，寻找指定的单色图。在这项工作中，我们考虑单色二部图，因为已知的数字增长速度比非二部图。主要结果表明，它足以只考虑$3$ -染色，有一个特殊的划分的顶点。利用这个工具，我们找到了几个锐数，并推测了所有二部图的锐值。特别地，我们确定了所有二部图的Gallai-Ramsey数，并开始了线性森林的研究。
2017-10-28 math.CO
Gallai-Ramsey multiplicity for rainbow small trees
本文定义了Gallai-Ramsey重数，并在足够多颜色下求得了彩虹小树与一般单色图该重数的精确值，同时研究了二部Gallai-Ramsey重数。
2024-03-25 math.CO
Bounds for Gallai-Ramsey functions and numbers
对于两个图$G,H$和一个正整数$k$，\emph{Gallai-Ramsey number} $\operatorname{gr}_k(G,H)$被定义为顶点$n$的最小数目，使得$K_n$的任何$k$ -边着色包含$G$的彩虹（所有不同颜色）副本或$H$的单色副本。如果$G$和$H$都是完全图，则称之为Gallai-Ramsey函数。Fox和Sudakov证明了$\operatorname{gr}_k(K_s,K_t)\leq s^{4kt}$。Alon等表明，$\operatorname{gr}_k(K_s,K_t)\leq (2s^3+4s^2)^{kt}$ .本文证明了$\operatorname{gr}_k(K_s,K_t)\leq 2^{kt}s^{3kt}$对于$t\geq 47$ .当$G,H$是某些特殊图时，我们也给出了$\operatorname{gr}_k(G,H)$的更好的上界.本文利用Lovász局部引理得到了Gallai-Ramsey函数和数的一些下界.
2023-01-28 math.CO
Gallai-Ramsey numbers involving a rainbow $4$-path
给定两个非空图$G,H$和一个正整数$k$，Gallai-Ramsey数$\operatorname{gr}_k(G:H)$被定义为最小整数$N$，使得对于所有$n\geq N$，$K_n$的每个$k$ -边染色包含$G$的彩虹色副本或$H$的单色副本。在本文中，我们得到了$\operatorname{gr}_k(P_5:H) \ (k\geq 3)$的一些精确值或界，如果$H$是一个一般的图或一个具有额外独立边的星或一个菠萝。
2021-10-07 math.CO
Gallai-Ramsey number of even cycles with chords
对于图$H$和整数$k\ge1$，$k$ -色Ramsey数$R_k(H)$是最小整数$N$，使得完全图$K_N$的边的每一个$k$ -着色都包含$H$的单色副本.令$C_m$表示$m\ge4$顶点上的圈，令$Θ_m$表示通过添加连接两个不连续顶点的附加边而从$C_m$获得的图族。不同于Ramsey数的奇循环，很少有人知道$R_k(C_{2n})$的一般行为，除了$R_k(C_{2n})\ge (n-1)k+n+k-1$的所有$k\ge2$和$n\ge2$。本文研究了具有弦的偶数圈在Gallai染色下的Ramsey数，其中Gallai染色是指不含彩虹三角形的完全图的边的染色。对于整数$k\geq 1$，图$H$的Gallai-Ramsey数$GR_k(H)$是最小正整数$N$，使得完全图$K_N$的每个Gallai-$k$-着色包含$H$的单色副本。证明了对于所有的$k\geq 2$和$n\geq 3$，都有$GR_k(Θ_{2n})=(n-1)k+n+1$.这意味着$GR_k(C_{2n})=(n-1)k+n+1$均为$k\geq 2$和$n\geq 3$。我们的结果给出了至少四个顶点上的所有偶数圈的Gallai-Ramsey数的统一证明。
2020-09-16 math.CO
Gallai-Ramsey numbers of $C_9$ with multiple colors
研究了Gallai着色中的Ramsey型问题。给定一个图$G$和一个整数$k\ge1$，Gallai-Ramsey数$gr_k(K_3,G)$是最小正整数$n$，使得完全图的边在$n$顶点上的每个$k$-染色包含彩虹三角形或$G$的单色副本。结果表明，$gr_k(K_3, G)$比经典的Ramsey数$r_k(G)$表现得更好。然而，找到$gr_k (K_3, G)$的精确值绝非易事。本文证明了对所有的$k\ge1$，都有$gr_k(K_3, C_9)= 4\cdot 2^k+1$.这一新结果为1973年Bondy和Erdans提出的三重奇循环猜想的第一个公开例子提供了部分证据。我们的技术在很大程度上依赖于结构的结果Gallai的边着色完全图没有彩虹三角形。我们相信，我们开发的方法可以用来确定$gr_k(K_3, C_n)$的奇数$n\ge11$的确切值。
2017-09-30 math.CO
Gallai-Ramsey numbers for graphs with chromatic number three
给定一个图$H$和一个整数$k\ge1$，Gallai-Ramsey数$GR_k(H)$被定义为最小整数$n$，使得完全图$K_n$的每个$k$ -边着色包含彩虹三角形或$H$的单色副本。本文研究了色数为3的图的Gallai-Ramsey数，如$\widehat{K}_m$ for $m\ge2$，其中$\widehat{K}_m$是由$K_1$和$P_m$的连接得到的具有$m+1$顶点的kipas，以及一类五顶点图，记为$\mathscr{H}$ .我们首先研究了这类图的一般下界，并对$GR_k(\widehat{K}_m)$的精确值提出了一个猜想。然后给出了确定$\mathscr{H}$中许多图的Gallai-Ramsey数的统一证明，并得到了$k\ge1$的$GR_k(\widehat{K}_4)$的精确值.我们的结果不仅表明了关于$GR_k(\widehat{K}_m)$的猜想对$m\le4$成立，而且对某些$H\in \mathscr{H}$给出了关于$GR_k(H)$的几个结果，这些结果在不同的文献中被分别证明.
2021-07-15 math.CO
Gallai-Ramsey number for $K_{5}$
给定一个图$H$，定义$k$ -着色Gallai Ramsey数$gr_{k}(K_{3} : H)$为最小整数$n$，使得完全图的边在$n$顶点上的每一个$k$ -着色包含一个彩虹三角形或一个$H$的单色副本. Fox等人[J. Fox，A. Grinshpun和J. Pach。彩虹三角形的Erd{ \H o}s-Hajnal猜想J. Combin。理论系列B，111：75-125，2015.]证明了完全图的Gallai Ramsey数的值。最近，这一猜想已被验证的第一个开放的情况下，当$H = K_{4}$。在本文中，我们攻击下一种情况，当$H = K_5$。令人惊讶的是，该猜想的有效性取决于拉姆齐数$R(5,5)$的（尚未未知的）值。已知$43 \leq R(5,5) \leq 48$和证实$R(5,5)=43$ [B.D.麦凯和S. P. Radziszowski。子图计数恒等式和Ramsey数。J. Combin。Theory Ser. B，69：193-209，1997]。如果是$44 \leq R(5,5) \leq 48$，则Fox et al.的猜想是正确的，我们提出了一个完整的证明。然而，如果是$R(5,5)=43$，那么Fox et al.的猜想是假的，这意味着这两个猜想中至少有一个是假的。对于$R(5, 5) = 43$的情况下，我们显示的Gallai拉姆齐…
2019-01-11 math.CO
Improved Upper Bounds for Gallai-Ramsey Numbers of Odd Cycles
完全图的Gallai染色是一种边染色，使得没有三角形的所有边都是不同的颜色。Gallai $k$-着色是使用$k$颜色的Gallai着色。给定一个整数$k\ge1$和一个图$H$，Gallai-Ramsey数$GR_k(H)$是最小正整数$n$，使得完全图$K_n$的每一个Gallai $k$-染色都包含$H$的单色副本。Gyárfás，Sárközy，SebIgnand Selkow在2010年证明了如果$H$不是二分的，则$GR_k (H) $在$k$中是指数的;如果$H$是二分的但不是星的，则在$k$中是线性的;当$H$是星的时候，则是常数（不依赖于$k$）。因此，$GR_k(H)$比经典的Ramsey数$R_k(H)$表现得更好。然而，找到$GR_k (H)$的精确值绝非易事，即使$|V(H)|$很小。本文首先改进了已有的奇圈Gallai-Ramsey数的上界，证明了对于所有的$k \ge 3$和$n \ge 8$，$GR_k(C_{2n+1}) \le (n\ln n) \cdot 2^k -(k+1)n+1$.然后，我们证明了$GR_k( C_{13})= 6\cdot 2^k+1$和$GR_k( C_{15})= 7\cdot 2^k+1$的所有$k\ge1$。
2018-08-29 math.CO
Star-critical Gallai-Ramsey numbers of graphs
Gallai-Ramsey数$gr_{k}(K_{3}: H_{1}, H_{2}, \cdots, H_{k})$是最小的整数$n$，使得每个$k$ -边着色的$K_{n}$对于某些$i\in [k]$包含彩虹$K_3$或彩色$i$中的单色$H_{i}$。我们找到最大的明星，可以从$K_n$，使基本的图形仍然被迫有彩虹$K_3$或单色$H_{i}$在彩色$i$的一些$i\in [k]$。因此，我们定义星临界Gallai-Ramsey数$gr_{k}^{*}(K_3: H_{1}, H_{2}, \cdots, H_{k})$为最小整数$s$，使得对于某些$i\in [k]$，每个$k$ -边色$K_{n}-K_{1, n-1-s}$包含彩虹$K_3$或彩色$i$中的单色$H_{i}$。当$H=H_{1}=\cdots=H_{k}$时，我们简单地用$gr_{k}^{*}(K_{3}: H)$表示$gr_{k}^{*}(K_{3}: H_{1}, H_{2}, \cdots, H_{k})$。我们确定了完全图和一些小图的星临界Gallai-Ramsey数。此外，我们表明，$gr_{k}^{*}(K_3: H)$是指数的$k$，如果$H$不是二分的，线性的$k$，如果$H$是二分的，但不是一个明星和常数（不依赖于$k$），如果$H$是一个明星。
2021-03-02 math.CO
Gallai-Ramsey Numbers for $\ell$-Connected Graphs
China Jiliang University（中国计量大学）；Shanghai Maritime University（上海海事大学）；Western Carolina University（西卡罗来纳大学）
本文研究了ℓ连通图的Gallai-Ramsey数，给出了该数的精确值和界，并探讨了相关图的着色性质。
2026-01-20 math.CO
A conjecture on Gallai-Ramsey numbers of even cycles and paths
Gallai着色是指不含彩虹三角形的完全图的边的着色，而Gallai $k$ -着色是指使用最多$k$颜色的Gallai着色。给定一个整数$k\ge1$和图$H_1, \ldots, H_k$，Gallai-Ramsey数$GR(H_1, \ldots, H_k)$是最小整数$n$，使得完全图$K_n$的每个Gallai $k$ -着色包含一个$H_i$在颜色$i$中的单色副本，对于某些$i \in \{1,2, \ldots, k\}$。当$H = H_1 = \cdots = H_k$时，我们简单地写$GR_k(H)$。研究了偶数圈和偶数路的Gallai-Ramsey数。对于所有$n\ge3$和$k\ge2$，令$G_i=P_{2i+3}$为所有$i\in\{0,1, \ldots, n-2\}$和$G_{n-1}\in\{C_{2n}, P_{2n+1}\}$的$2i+3$顶点上的路径。对于所有具有$ i_1\ge i_2\ge\cdots\ge i_k $的$j\in\{1,2, \ldots, k\}$，设$ i_j\in\{0,1,\ldots, n-1 \}$。第一作者最近澄清说，$ GR(G_{i_1}, G_{i_2}, \ldots, G_{i_k}) = |G_{i_1}|+\sum_{j=2}^k i_j$。这个猜想的真实性意味着，对于所有的$n\ge3$和…
2019-09-24 math.CO
Ramsey and Gallai-Ramsey numbers for linear forests and kipas
本文研究线性森林与 kipas 图的 Ramsey 及 Gallai-Ramsey 数，通过边着色结构分析确定线性森林对 kipas 的经典 Ramsey 数，并给出路径或 kipas 与若干小图组合下多色 Gallai-Ramsey 数的精确值。
2024-01-25 math.CO
Gallai-Ramsey numbers of $C_{10}$ and $C_{12}$
Gallai着色是指不含彩虹三角形的完全图的边的着色，而Gallai $k$ -着色是指使用$k$颜色的Gallai着色。给定一个整数$k\ge1$和图$H_1, \ldots, H_k$，Gallai-Ramsey数$GR(H_1, \ldots, H_k)$是最小整数$n$，使得完全图$K_n$的每个Gallai $k$ -着色包含一个$H_i$在颜色$i$中的单色副本，对于某些$i \in \{1, \ldots, k\}$。当$H = H_1 = \cdots = H_k$，我们简单地写$GR_k(H)$。我们继续研究偶数圈和偶数路的Gallai-Ramsey数。对于所有$n\ge3$和$k\ge1$，令$G_i=P_{2i+3}$为所有$i\in\{0,1, \ldots, n-2\}$和$G_{n-1}\in\{C_{2n}, P_{2n+1}\}$的$2i+3$顶点上的路径。令$ i_j\in\{0,1,\ldots, n-1\}$用于所有具有$ i_1\ge i_2\ge\cdots\ge i_k $的$j\in\{1, \ldots, k\}$。宋最近澄清说，$GR(G_{i_1}, \ldots, G_{i_k}) = 3+\min\{i_1, n^*-2\}+\sum_{j=1}^k i_j$，其中$n^* =n$当$G_{i_1}\ne P_{2n+1}$和…
2018-08-29 math.CO
Weakened Gallai-Ramsey Numbers for Books
Western Carolina University（西卡罗来纳大学）
本文研究书图B_n的弱化Gallai-Ramsey数，扩展了前人t=3时的结果，确定了t>3时gr^3_2(B_n)在5≤n≤15的值，并给出该类数的一般下界。
2026-08-14 math.CO
Bipartite and Euclidean Gallai-Ramsey Theory
本文研究二部图与欧几里得空间的两类Gallai-Ramsey问题，证明二部图情形答案关于色数线性并给出s=2时的精确界，还通过图着色与空间着色的对应得到一类构型的欧氏Gallai-Ramsey数新上界。
2024-10-10 math.CO
Euclidean Gallai-Ramsey for various configurations
本文研究着色欧几里得空间中多种构型的Gallai-Ramsey问题，涵盖三角形、正方形、直线及矩形和球面构型，改进已有结果并揭示空间维数与颜色数无关的现象。
2023-05-29 math.CO math.MG
Extremal problems and results related to Gallai-colorings
Gallai-染色（$k$ -染色）是一个不含彩虹三角形的完全图的边染色（颜色来自$\{1, 2, \ldots, k\}$）。给定一个图$H$和一个正整数$k$，$k$着色的Gallai-Ramsey数$GR_k(H)$是使得完全图$K_n$的每个Gallai-$k$-着色包含$H$的单色副本的最小整数$n$。本文考虑与Gallai- $k$ -着色有关的两个极值问题.首先，我们确定不包含在任何彩虹三角形或单色三角形的$k$ -边着色的$K_n$的最大数量的边缘的上限和下限。其次，对于$n\geq GR_k(K_3)$，我们确定了$K_{n}$的Gallai- $k$ -着色中单色三角形的最小数目的上界和下界，得到了$k=3$的精确值。此外，我们还确定了由一个$K_4$和一条悬挂边组成的五点图的Gallai-Ramsey数$GR_k(K_4+e)$.
2021-07-30 math.CO
An analogue of the Erdős-Gallai theorem for random graphs
近年来，许多经典极值定理的变体在随机环境中得到了证明。本文在随机图中推广了Erdens-Gallai定理，作为对已有结果的补充。特别地，我们确定了$G(N,p)$的无$P_n$子图中的最大边数，直到一个常数因子，实际上对于$N,n$和$p$的所有值.我们的工作也受到最近的进展的大小拉姆齐数的道路。
2020-01-14 math.CO
A generalised Ramsey--Turán problem for matchings
本文证明了关于匹配的广义 Ramsey--Turán 定理，通过显式构造和基于 Gallai--Edmonds 分解的复杂压缩算法，确定了在特定边着色条件下图中完全子图的最大数量。
2025-09-12 math.CO
Transitive and Gallai colorings
本文将Gallai着色与传递着色推广到拟阵、Coxeter系统和交换代数，证明最大颜色数等于拟阵的秩，并得到A型根系着色计数函数的对称性与Schur正性。
2023-09-20 math.CO
The Erdős-Gyárfás function with respect to Gallai-colorings
对于固定的$p$和$q$，如果每个$K_p$接收至少$q$不同的颜色，则完全图$K_n$的边染色被称为$(p, q)$ -染色。函数$f(n, p, q)$是$K_n$具有$(p, q)$着色所需的最小颜色数。该函数大约在45年前提出，但埃尔德什和吉亚法斯于1997年对其进行了系统研究，现在称为埃尔德什-吉亚法斯函数。本文研究了$f(n, p, q)$的Gallai-染色，其中Gallai-染色是$K_n$的不含彩虹三角形的边染色.结合这两个概念，我们考虑的功能$g(n, p, q)$，这是所需的最小数量的颜色的Gallai- $(p, q)$ -着色的$K_n$。利用$K_3$的反Ramsey数，我们得到$g(n, p, q)$仅对$2\leq q\leq p-1$是非平凡的。我们给出了一个一般的下限为这个函数，我们研究了这个函数如何脱落，从等于$n-1$时$q=p-1$和$p\geq 4$被$Θ(\log n)$时$q = 2$。特别是，对于适当的$p$和$n$，我们证明了$g=n-c$当$q=p-c$和$c\in \{1,2\}$，$g$是最多的$n$的分数功率时，$q=\lfloor\sqrt{p-1}\rfloor$，和$g$是对数的$n$时，$2\leq q\leq \lfloor\log_2 (p-1)\rfloor+1$。
2021-08-27 math.CO
A very robust Ramsey theorem for matchings
University of Oxford（牛津大学）
本文基于Cockayne-Lorimer定理，研究了匹配的多色Ramsey数，并证明在弱鲁棒性条件下，随机图具有与完全图相似的Ramsey匹配性质。
2026-03-23 math.CO
New Lower Bounds for Some Multicolored Ramsey Numbers
本文利用有限域，推广了Fan Chung的一个结果，给出了八个新的非平凡的下界.
1998-11-19 math.CO
Boolean lattice without small rainbow subposets
Alfréd Rényi Institute of Mathematics, Hungarian Academy of Sciences（匈牙利科学院阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）；Faculty of Environment and Information Sciences, Yokohama National University（横滨国立大学环境信息科学部）；College of Science, China Jiliang University（中国计量大学理学院）
本文研究了布尔格子中不含小彩虹子偏序集的精确着色结构，并给出了布尔加拉-拉姆齐数和彩虹拉姆齐数的精确值和界限。
2026-01-31 math.CO
On characterizing the critical graphs for matching Ramsey numbers
给定简单图$H_{1},H_{2},\ldots,H_{c}$，Ramsey数$r(H_{1},H_{2},\ldots,H_{c})$是最小正整数$n$，使得每个边着色的$K_{n}$具有$c$颜色，对于某些$i\in\{1,2,\ldots,c\}$，$H_{1},H_{2},\ldots,H_{c}$包含一个与$H_{i}$同构的颜色子图$i$。$r(H_1,H_2,\ldots,H_c)$的临界图是在$r(H_1,H_2,\ldots,H_c)-1$顶点上具有$c$颜色的边着色完全图，并且对于任何$i\in \{1,2,\ldots,c\}$，该图不包含与$H_{i}$同构的颜色$i$中的子图。对于$n_1\geq n_2\geq \ldots\geq n_c\geq 1$，Cockayne和Lorimer（条纹的Ramsey数，{ \it J.\澳大利亚。数学。Soc.} \textbf{19}（1975），第252- 256页。）显示了$r(n_{1}K_{2},n_{2}K_{2},\ldots,n_{c}K_{2})=n_{1}+1+ \sum\limits_{i=1}^c(n_{i}-1)$，其中$n_{i}K_{2}$是尺寸$n_{i}$的匹配。利用Gallai-Edmonds定理，刻画了$r(n_{1}K_{2},n_{2}K_{2},\ldots,n_{c}…
2020-10-21 cs.DM math.CO
All Ramsey $(C_n,K_6)$ critical graphs for large $n$
设$G$和$H$是有限图。如果对于一个完全图$K_n$的边的任何两个着色，有一个$G$的第一个颜色（红色）的副本，或者有一个$H$的第二个颜色（蓝色）的副本，我们称之为$K_n\rightarrow (G,H)$。拉姆齐数$r(G, H)$定义为最小正整数$n$，使得$K_{n} \rightarrow (G, H)$。$K_{r(G, H)-1}$的一个双着色使得$K_{r(G, H)-1} \not \rightarrow (G,H)$称为临界着色。Ramsey临界$r(G, H)$图是由临界着色的第一颜色诱导的图。本文证明了当$n \geq 15$时，恰好存在68个非同构的Ramsey临界$r(C_n, K_6)$图.
2020-09-15 math.CO
A New Method that can Generate Ramsey Colourings for Eight and Thirteen Colours
本文提出FBF方法，为8色和13色完全图边着色生成Ramsey着色，并构造了与已有着色非同构的新着色。
2026-09-24 cs.DM math.CO
The Erdős-Hajnal conjecture for rainbow triangles
证明了不含彩虹三角形的n个顶点的完全图的边的每一个3-着色都包含一个至多使用两种颜色的阶为Omega（n^{1/3}log^2 n）的集合，并且这个界是紧到常数因子的.这验证了Hajnal的猜想，这是著名的Erdens-Hajnal猜想的一个推广。我们进一步建立了这个结果的推广。对于固定的正整数s和r，其中s最多为r，我们确定一个常数c_{r,s}，使得以下成立。不含彩虹三角形的n个顶点上的完全图的边的每一个r-染色都包含一个至多使用s个颜色的阶Omega（n^{r（r-1）/s（s-1）}（\log n）^{ c_{r,s} }）的集合，并且除了隐含的常数因子外，这个界是紧的.下界的证明利用了Gallai对完全图的彩虹三角形自由边着色的分类，Ramsey定理的一个新的加权扩展，以及边加权图中的一个差异不等式。上界的证明使用Erdans关于Ramsey数的下界，考虑没有大单色团的完全图的2-边着色的字典积。
2013-03-12 math.CO
Complete bipartite graphs without small rainbow stars
该研究先推导不含彩虹K_{1,3}的完全二部图K_{n,n}的结构定理，再据此算出三类二部Gallai-Ramsey数的精确值，其中H为环、路径与星的并集。
2023-12-14 math.CO
Exact Values and Bounds for Ramsey Numbers of $C_4$ Versus a Star Graph
Universidad de Sevilla（塞维利亚大学）
研究 $R(C_4,K_{1,n})$ 的 Ramsey 数，确定了 $n\le 38$ 中八个未知值，并建立了新的一般不等式。
2026-06-15 math.CO
On SAT Solvers and Ramsey-type Numbers
本文通过并行化SAT求解器研究Ramsey型数，得到$R_3(L)$的新界$21 \leq R_3(L) \leq 2593$，并首次确定$R_4(VS)=58$及$R_5(VS)>180$、$R_6(VS)>333$、$R_3(VC)>521$等新结果。
2023-12-02 math.CO
