Scaling inequalities and limits for Robin and Dirichlet eigenvalues
本文将欧氏拉普拉斯算子的标度不变性推广到球面与双曲空间，证明了二维Robin特征值和高维Dirichlet特征值的标度不等式，并揭示区域扩张为二维球面时标度Robin特征值趋于外部Robin问题谱的奇异极限行为。
2024-09-04 math.SP
Eigenvalues of Dirichlet Laplacian within the class of open sets with constant diameter
本文讨论了一个与欧氏平面上Dirichlet Laplacian特征值有关的形状最优化问题。更确切地说，我们研究的形状的最小类的开放集的恒定宽度。我们证明了磁盘是不是一个局部极小，除了有限数量的特征值。
2018-01-12 math.SP
Minimising Dirichlet eigenvalues on cuboids of unit measure
本文考虑单位测度长方体上拉普拉斯算子的Dirichlet特征值$λ_k$，$k \in \N$在$\R^3$中的极小化问题.证明了$\R^3$中的任意最优长方体序列在Hausdorff意义下收敛于单位测度的立方体为$k \rightarrow \infty$ .
2016-07-07 math.SP
Extrema of low eigenvalues of the Dirichlet-Neumann Laplacian on a disk
本文研究了圆盘上Laplacian算子的第一、第二混合特征值在几类Dirichlet-Neumann边界条件下的极值问题。我们证明了所有混合边界条件中第二特征值的极小值存在于一个紧致的单参数族中，并给出了明确的描述。此外，我们证明了在所有分区的边界上的有限数量的部分，Dirichlet和Neumann条件交替施加，第一特征值是最大化的均匀分布的分区。
2007-08-26 math.SP
Curl curl versus Dirichlet Laplacian eigenvalues
该研究给出有界三维区域上curl curl算子特征值的Dirichlet拉普拉斯特征值上界估计，补充了其与Neumann拉普拉斯特征值的不等式，对应常参数Maxwell特征值问题。
2025-05-21 math.AP math.SP
Extremal eigenvalues of the Dirichlet biharmonic operator on rectangles
本文研究了具有固定面积的矩形域上Dirichlet双调和算子的极值特征值的性质。我们首先证明，主特征值是最小的矩形之间的比例的最长和最短的边长不超过$1.066459$。然后，我们考虑的序列所形成的最小$k^{\rm th}$特征值，并表明，相应的序列的最小矩形收敛到广场$k$走向无穷大。
2019-08-18 math.SP
On the number of Courant-sharp Dirichlet eigenvalues
考虑欧几里得空间中任意开集$Ω$的有限勒贝格测度，得到了（i）$Ω$的最大Courant-sharp Dirichlet特征值，（ii）$Ω$的Courant-sharp Dirichlet特征值个数的上界.这推广了P. Bérard和B.希弗
2016-06-20 math.AP math.SP
Some universal inequalities for Dirichlet eigenvalues of the Laplacian on a Euclidean convex domain
Division of Mathematics & Research Center for Pure and Applied Mathematics, Graduate School of Information Sciences, Tohoku University（东北大学信息科学研究院数学系与纯应用数学研究中心）
本文建立了欧几里得凸域上拉普拉斯算子狄利克雷本征值的两个通用不等式，探讨了相关数学性质。
2026-04-13 math.AP math.DG math.SP
A shape optimization problem for the first mixed Steklov-Dirichlet eigenvalue
考虑两点齐性空间中两球有界区域的第一混合Steklov-Dirichlet特征值的形状最优化问题.我们给出了一个由牛顿壳定理所激发的几何证明
2021-02-06 math.DG math.SP
The parametrization of the Marchenko-Ostrovsky mapping in terms of the Dirichlet eigenvalues
我们考虑了周期Jacobi矩阵的逆谱问题，其形式为准动量域上的垂直缝加上Dirichlet特征值，即，马琴科-奥斯特洛夫斯基映射此外，我们证明了Dirichlet特征值的梯度和所谓的赋范常数是线性无关的。
2008-01-05 math-ph math.MP math.SP
The first Dirichlet eigenvalue of birth-death process on tree
本文研究了连续时间树上的生灭过程，重点讨论了在唯一根0处具有Dirichlet边界的过程的主特征值（等价于收敛速度）的估计.给出了特征值的三种变分公式。作为应用，我们得到了树上B-D过程第一特征值为正的一个判别准则。
2013-04-19 math.PR math.SP
Eigenvalues on Spherically Symmetric Manifolds
在这篇文章中，我们将探讨球对称流形上球的Dirichlet Laplace特征值。我们将比较任意Dirichlet Laplace本征值与欧几里得空间中具有相同半径的球上相应的Dirichlet Laplace本征值。作为特例，我们将证明球面上小半径球的Dirichlet Laplace特征值小于相同半径欧几里德球的相应特征值。而对于双曲空间的Dirichlet Laplace特征值则相反。
2022-03-22 math.AP math.DG math.SP
Asymptotics of Dirichlet eigenvalues and eigenfunctions of the Laplacian on thin domains in R^d
考虑R^d中区域上具有Dirichlet边界条件的Laplace算子，研究在一个方向上执行缩放对本征值和相应本征函数作为缩放参数在零附近的函数的影响。这推广了我们以前的结果在两个维度，并在这种情况下，使我们能够获得一个近似的Dirichlet特征值为一大类域，在非常温和的假设。作为应用，我们导出了d维椭球第一特征值的三项渐近展开。
2009-08-17 math.AP math.SP
The generalised Pólya conjecture for the Dirichlet eigenvalues
本文证明了Dirichlet特征值的广义Pólya猜想。换句话说，我们证明了在有界区域$Ω\subset {\Bbb R}^n$中，具有$α\in (0,2]$的分数拉普拉斯$(-Δ)^{α/2}$的$λ_k(α) \ge \frac{(2π)^α k^{α/n}}{\big(ω_n \cdot {vol}(Ω)\big)^{α/n}}, \quad\, {for}\;\; k=1,2,3,....$，其中$λ_k(α)$是$k$阶Dirichlet特征值.
2015-02-13 math.AP math.SP
Inequalities between Dirichlet and Neumann eigenvalues on Carnot groups
本文证明Carnot群开集上次Laplacian算子的第j个Dirichlet特征值大于第(j+1)个Neumann特征值，推广了Euclidean与Heisenberg情形的早期结果。
2024-11-17 math.AP math.SP
Comparisons of Dirichlet, Neumann and Laplacian eigenvalues on graphs and their applications
本文研究图上Dirichlet、Neumann和Laplacian特征值之间的比较关系，讨论刚性情形，并给出Lichnerowicz型、Fiedler型和Friedman型估计等应用，推广了Hua-Huang-Wang及作者先前的工作。
2024-11-20 math.DG math.SP
Estimates for Dirichlet Eigenvalues of the Schrodinger operator with the Kronig-Penney Model
Yalova University（亚洛瓦大学）；Dogus University（多古斯大学）
本文基于Kronig-Penney模型，通过改进的渐近公式和固定点迭代方法，对Schrodinger算子的Dirichlet本征值进行精确估计并提供数值结果。
2025-12-16 math.SP
Asymptotic formulae for eigenvalues and eigenfunctions of Sturm--Liouville operators with potentials---distributions. Dirichlet--Neumann boundary conditions
本文在空间$L_2[0,π]$中讨论了Sturm-Liouville算子$Ly=l(y)=-\dfrac{d^2y}{dx^2}+q(x)y,$的Dirichlet-Neumann边界条件$ y(0)=y'(π)=0 $.我们假设潜在的$q$是复值的，并具有$q(x)=u'(x)$的形式，其中$u\in L_2[0,π]$。在这里，导数是在分配意义上处理的。我们的目的是获得详细的渐近公式的本征值和本征函数和相关的运营商$L$。
2011-06-13 math.SP
Dirichlet Eigenvalue Approximation on Manifolds with Cylindrical Boundary
Indian Institute of Science Education and Research Mohali（印度科学教育与研究学院莫哈利分校）
研究通过构造(ε,ρ)近邻图的截断图拉普拉斯算子谱来近似流形上的狄利克雷特征值，证明在满足曲率、注入半径和直径约束的流形类中，特征值收敛性。
2026-03-12 math.DG math.SP
Neumann--Dirichlet eigenvalue comparison at the first Dirichlet threshold in the plane
University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）；Shandong University（山东大学）
本文证明平面有界连通Lipschitz域上第三Neumann特征值小于第一Dirichlet特征值，去掉了单连通性假设，并建立了三谱计数不等式。
2026-09-09 math.AP math.SP
Sums of Dirichlet eigenvalues in proximity of the disk and the ball
Institute of Analysis, Dynamics and Modeling, Department of Mathematics, University of Stuttgart（斯图加特大学数学系分析与动力学建模研究所）
该研究推导了近圆形、近球形区域前n个体积归一化狄利克雷特征值和的二阶扰动展开式，给出判定圆盘或球为弱局部极小值或鞍点的准则，证明二维中存在无穷多有限特征值和的圆盘鞍点情形。
2026-10-12 math.SP
Singular asymptotic expansions for Dirichlet eigenvalues and eigenfunctions of the Laplacian on thin planar domains
我们考虑拉普拉斯算子的Dirichlet边界条件的平面域和研究的效果，在一个方向上进行缩放的频谱。我们推导出本征值和相应的本征函数作为标度参数在零附近的函数的渐近展开。这种方法允许我们，例如，以获得一个近似的第一Dirichlet特征值的一大类平面域，在非常温和的假设。
2007-12-19 math-ph math.MP math.SP
Hadamard Asymptotics for Eigenvalues of the Dirichlet Laplacian
本文研究了Dirichlet-Laplacian算子在边界扰动下特征值渐近性的经典Hadamard公式。我们证明了Hadamard公式对具有$C^1$ -扰动的$C^1$ -整环仍然成立.我们还推导出$C^{1,α}$ -情况下余项的最佳估计。此外，如果边界仅仅是Lipschitz，我们表明，阿达玛公式是无效的。
2018-09-23 math.AP math.SP
On Dirichlet eigenvalues of regular polygons
本文证明了面积为$π$的正则$N$ -边形的第一Dirichlet特征值具有$λ_1(1+\sum_{n\ge3}C_n(λ_1)N^{-n})$形式的渐近展开式为$N\to\infty$，其中$λ_1$是单位圆盘的第一Dirichlet特征值，$C_n$是多项式，其系数属于权值为$n$的多个zeta值的空间.我们还明确计算这些多项式的所有$n\le14$。
2021-03-01 math.AP math.NT math.SP
Sharp bounds for higher Steklov-Dirichlet eigenvalues on domains with spherical holes
Indian Institute of Technology (BHU) Varanasi（印度理工学院（贝拿勒斯印度教大学）瓦拉纳西）；Indian Institute of Science Education and Research, Pune（印度科学教育与研究学院，浦那）
本文研究了带有球形孔的领域中高阶Steklov-Dirichlet特征值的精确界，通过等周不等式和空间形式领域的扩展，获得了星形领域中特征值的精确上下界。
2023-12-28 math.AP math.SP
A hot spots theorem for the mixed eigenvalue problem with small Dirichlet region
本文证明了在凸区域上，当连通的 Dirichlet 区域足够小时，第一混合 Laplace 特征函数无内部临界点，并给出了第一混合特征值的两个新估计及显式示例。
2025-05-28 math.AP math.SP
The Second Dirichlet Eigenvalue is Simple on Every Non-equilateral Triangle, Part II: Nearly Equilateral Triangles
本文通过新的差商公式和验证计算数值算法，完整证明了近等边三角形上第二 Dirichlet 特征值的单重性，解决了 Laugesen 与 Siudeja 提出的猜想 6.47。
2025-07-18 math.SP
Complete asymptotic expansions for eigenvalues of Dirichlet Laplacian in thin three-dimensional rods
我们考虑三维曲细杆中的Dirichlet Laplacian。杆是有限的。它的横截面是恒定的和小的，并以任意方式沿参考曲线旋转。我们找到了这类算子的特征值的一个双参数集，并构造了它们的完全渐近展开。我们表明，这两个参数集包含任何规定数量的第一特征值的考虑运营商。我们得到了与这些第一特征值相关的特征函数的完全渐近展开。
2010-02-21 math.AP math.SP
A remark on the order of mixed Dirichlet-Neumann eigenvalues of polygons
给定平面凸区域上具有分段线性边界的Laplacian算子满足混合Dirichlet-Neumann边界条件，给出了其最低特征值优于具有互补边界条件的Laplacian算子的最低特征值的充分条件（即用Neumann代替Dirichlet，反之亦然）.这个结果的应用三角形给出了一个肯定的部分答案最近的猜想。此外，我们证明了类似的味道直角三角形的进一步观察。
2017-10-01 math-ph math.AP math.MP
The sharp lower bound of the first Dirichlet eigenvalue for geodesic balls
本研究在非负Ricci曲率的完备非紧黎曼流形框架下，得到测地球第一Dirichlet特征值的精确下界，由此推导出测地球的精确Poincaré不等式，推进了Li-Schoen的相关结果。
2021-08-16 math.DG math.SP
Corrigendum to "Ramification of multiple eigenvalues for the Dirichlet-Laplacian in perforated domains" published in Journal of Functional Analysis 283 (2022) 109718
修正了原定理1.17的证明，该定理在域中移除小孔时未能正确给出Dirichlet-Laplacian特征值渐近行为的系数。
2026-05-07 math.AP math.SP
Pólya's conjecture for Dirichlet eigenvalues of annuli
University of Reading（雷丁大学）；Université de Montréal（蒙特利尔大学）；DePaul University（德保罗大学）
本文通过结合变分界、贝塞尔相函数估计和精细化格点计数技术，证明了环形域狄利克雷特征值的波利亚猜想，并改进了圆盘特征值计数函数的上界估计。
2026-02-09 math.NT math.SP
The first Dirichlet eigenvalue and the width
该研究针对非负Ricci曲率、平均凸边界的测地球，提出定量显式不等式，用第一Dirichlet特征值与其精确下界的谱间隙界定测地球宽度，拓展了相关谱几何结论。
2024-10-22 math.AP math.DG math.SP
Inequalities between Dirichlet and Neumann eigenvalues of the magnetic Laplacian
该研究针对二维和三维均匀磁场下的磁拉普拉斯算子，证明了凸区域上磁Neumann特征值与磁Dirichlet特征值的两类不等式关系，方法基于对Levine和Weinberger策略的改进，丰富了磁算子谱理论的相关结果。
2024-05-20 math-ph math.AP math.MP
Gradient Flows for Dirichlet Eigenvalues
我们感兴趣的形状泛函，特别是第一拉普拉斯特征值的梯度流的存在性。我们引入不同的技术来证明存在性，并使用不同的配方梯度流。我们应用一个紧凑的参数证明存在的广义极小化运动的Dirichlet和罗宾边界条件关于几个常见的度量。利用Brunn-Minkowski不等式证明了凸体上Dirichlet边界条件的$α$ -凸性和压缩半群的存在性.最后，由于不存在Brunn-Minkowski不等式，我们利用第二区域变分给出了Robin边界条件的$α$ -凸性的证明.
2020-03-03 math.AP math.SP
Isoperimetric relations between Dirichlet and Neumann eigenvalues
拉普拉斯算子的Dirichlet和Neumann特征值之间的不等式在文献中得到了广泛的关注，但存在很多未解决的问题。这里，我们研究了Neumann特征值的个数不大于大于第一Dirichlet特征值。基于分析和数值结果的结合，我们推测，这个数字是由域的等周比控制。这有应用的节点不足的本征函数和密切相关的一个长期猜想丘的豪斯多夫措施的节点集。
2019-06-24 math-ph math.AP math.DG
Range of the first three eigenvalues of the planar Dirichlet Laplacian
通过数值实验确定平面Dirichlet拉普拉斯算子前三个特征值之比的允许范围，改进理论估计，并证明比率最大化者的性质。
2002-03-22 cs.NA math.NA math.SP
Inequalities between Neumann and Dirichlet eigenvalues of Schrödinger operators
给出了有界、凸区域或有界区间上具有实值位势的薛定谔算子，证明了相应于Neumann边界条件和Dirichlet边界条件的特征值之间的不等式.所得不等式部分依赖于势函数的单调性和凸性。结果是对应的经典的拉普拉斯不等式，但显示一维的情况下，更高的维度之间的一些区别。
2020-03-16 math-ph math.AP math.MP
On the paper "The Payne conjecture for Dirichlet and buckling eigenvalues", by Genquian Liu
G. Liu [arxiv：2109.02561]包含错误。在这篇笔记中，我简要回顾一下这个问题，并指出错误是什么。
2021-09-18 math-ph math.AP math.DG
The Weyl-type asymptotic formula for biharmonic Steklov eigenvalues with Dirichlet boundary condition on Riemannian manifolds
设$Ω$是$n$维定向黎曼流形中具有$C^2$ -光滑边界的有界区域.对于$Ω$中的具有$0$ -Dirichlet边界条件的双调和方程$Δ^2 u=0$，在边界$\partial Ω$上存在一个正特征值$\{λ_k\}$满足$Δu_k+ λ_k \varrho \frac{\partial u_k}{\partial ν}=0$的$Ω$中的双调和函数的无限集合$\{u_k\}$.本文用一种新的方法建立了双调和Stekloff特征值$λ_k$计数函数的Weyl型渐近公式。
2011-01-31 math.AP math.SP
The Ratio of Eigenvalues of the Dirichlet Eigenvalue Problem for Equations with One-Dimensional p-Laplacian
Chao-Zhong Chen et al. $[{Proc}.$ ${Amer. Math. Soc},2013],$证明了具有非负单阱势的Dirichlet Shrödinger算子的上估计$\frac{λ_{n}}{λ_{m}}\leq \frac{% n^{p}}{m^{p}}$ $ (n>m\geq 1) $.本文讨论了非正电位$q(x)$在区间$[ 0,1] $上连续的情形。证明了如果$q(x)\leq 0$和单势垒，则$\frac{λ_{n}}{λ_{m}}\geq \frac{n^{p}% }{m^{p}}$对于$λ_{n}>λ_{m}\geq -2q^{\ast },$，其中$q^{\ast}=\inf\{q(0), q(1)\}$。此外，我们还证明了存在$\ell_{0}\in ( 0,1] $，使得对于所有的$\ell\in(0,\ell_{0}],$，相关的特征值$(λ_{n}(\ell)) _{n\geq 1}$（定义在$[0,\ell]$上的问题）满足$ λ_{1}( \ell)>0$和$\frac{λ_{n}( \ell)}{λ_{m}( \ell) }\geq \frac{n^{p}}{m^{p}}$ $n>m\geq 1$。值$\ell _{0}$满足以下估计值$0<\ell_{0}\leq \sqrt[p]{\frac{-p}{3q^{*}}}$…
2016-03-01 math.SP
Conformal spectral stability for the Dirichlet-Laplace operator
利用保角变换将有界单连通平面区域$Ω\subset\mathbb{C}$上Dirichlet Laplacian的本征值问题转化为单位圆盘$\mathbb{D}$上Dirichlet Laplacian的加权本征值问题.这使我们能够估计变化的特征值的Dirichlet拉普拉斯算子域扰动通过能量型积分的一大类“共形规则”域，其中包括所有quasidisks，即图像的单位盘下的平面上的拟共形同胚到自己。这种域的边界可以具有1和2之间的任何豪斯多夫维数。
2015-04-06 math.SP
Monotonicity of the first Dirichlet eigenvalue of regular polygons
本文研究了正则多边形第一狄利克雷特征值随边数变化的单调性，证明其随边数增加而递减，并解决了相关猜想。
2026-10-27 math.AP math.SP
Sharp behavior of Dirichlet--Laplacian eigenvalues for a class of singularly perturbed problems
本文研究边界附着细管的Dirichlet特征值问题，通过引入截面扭转刚度，定量刻画了摄动特征值的收敛速率，并推广至边界小部分施加Neumann条件的摄动情形。
2023-08-31 math.AP math.SP
Eigenvalues of the magnetic Dirichlet Laplacian with constant magnetic field on disks in the strong field limit
本文研究强磁场下磁 Dirichlet Laplacian 的特征值渐近行为，证明圆盘上特征值分支的线性渐近及指数小余项，并揭示强场会以与区域无关的尖锐因子违背 Pólya 谱界。
2025-01-17 math.SP
Planar Dirichlet eigenvalue bounds from a trace identity
Stanford University（斯坦福大学）
通过迹恒等式证明平面Dirichlet特征值渐近锐下界，得到Pólya猜想界的2/3。
2026-10-06 math.AP math.SP
Ramification of multiple eigenvalues for the Dirichlet-Laplacian in perforated domains
利用Colin de Verdière的“关于小特征值的引理”，研究了有界穿孔域上Dirichlet Laplacian重特征值的分歧.多重本征值的渐近行为取决于适当的相关本征函数的渐近展开。我们处理的情况下，平面域的细节，由于渐近展开的推广所谓的u-容量，我们计算在2维。在这种情况下，多个特征值被证明分裂基本上由不同的速度收敛的扰动特征值或由不同的系数，在他们的扩展，如果两个eigenbranches率原来是相同的。
2022-08-27 math.AP math.SP
On asymptotics of Robin eigenvalues in the Dirichlet limit
本文研究了 Robin 参数发散时 Laplacian 算子 Robin 特征值向 Dirichlet 特征值收敛的渐近行为，通过引入新的扭转刚度概念，证明了特征值的一阶展开及特征函数的收敛速率，且谱估计显式且尖锐。
2025-07-12 math.AP math.SP
Where to place a spherical obstacle so as to maximize the second Dirichlet eigenvalue
我们证明了在所有双连通域的$\mathbb{R}^n$由两个球的半径给定的限制，第二特征值的Dirichlet拉普拉斯算子达到其最大值时，球是同心的（球壳）。第一本征值的相应结果已经由Hersch在2维中建立，并由Harrell，Kröger和Kurata和Kesavan在任何维中建立。我们还证明了当周围空间$\mathbb{R}^n$被替换为标准球面$\mathbb{S}^n$或双曲空间$\mathbb{H}^n$时，同样的结果仍然有效。
2007-12-12 math.MG math.SP
A sharp upper bound for the first Dirichlet eigenvalue and the growth of the isoperimetric constant of convex domains
我们证明了当凸区域的第一Dirichlet特征值与具有相同体积的球的第一Dirichlet特征值之比变大时，相应的等周常数之比也会发生变化。证明是基于推广到任意维数的Polya和Szego的上界的Dirichlet拉普拉斯算子的第一个特征值的平面星形区域，这取决于支撑函数的域。作为一个副产品，我们也得到了一个尖锐的上界的凸区域的谱间隙。
2007-10-29 math-ph math.MP math.SP
The Payne conjecture for Dirichlet and Buckling eigenvalues
我们证明了长期存在的佩恩猜想，即固支板屈曲问题中的$k^{\text{th}}$特征值不小于固定在边界上的相同形状薄膜的${k+1}^{\text{st}}$特征值。此外，我们还证明了Payne猜想对于$n$维情形（$n\ge 2)$ .
2021-09-23 math-ph math.AP math.DG
Inequalities between Neumann and Dirichlet Laplacian eigenvalues on planar domains
本文推广了平面区域上 Neumann 与 Dirichlet Laplacian 特征值间的经典不等式，通过新的变分原理证明该不等式对所有单连通平面 Lipschitz 区域均成立，证实了相关猜想。
2025-06-27 math-ph math.AP math.MP
Regularity of the optimal sets for the second Dirichlet eigenvalue
本文研究Dirichlet Laplacian第二特征值的最优集的正则性。我们证明了：如果集合$Ω$在光滑有界开集$D\subset \mathbb{R}^d$的所有子集中最小化泛函\[ \mathcal F_Λ(Ω)=λ_2(Ω)+Λ|Ω|, \]，其中$λ_2(Ω)$是$Ω$上Dirichlet Laplacian的第二特征值，$Λ>0$是固定常数，则$Ω$等价于两个不相交开集$Ω_+$和$Ω_-$的并.其是$C^{1,α}$ -正则的，直到包含在单相自由边界$D\cap \partialΩ_+\setminus\partialΩ_-$和$D\cap\partialΩ_-\setminus\partialΩ_+$中的至多$d-5$的Hausdorff维数的（可能为空的）闭集。
2020-10-01 math.AP math.OC math.SP
Asymptotic behaviour of cuboids optimising Laplacian eigenvalues
证明了在$n \geq 2$维中，在$\mathbb{R}^n$中的单位测度长方体集合（即$\prod_{i=1}^{n}(0, a_n)$形式的域）内，Dirichlet特征值$λ_k$的极小化域$R_k^\mathcal{D}$的任何序列都收敛到单位立方体，即$k \to \infty$.相应地，我们还证明了任何序列的最大化域$R_k^\mathcal{N}$的Neumann特征值$μ_k$在同一集合的域收敛到单位立方体的$k\to \infty$。对于$n=2$，这一结果是由Antunes和Freitas在Dirichlet特征值和van den Berg，Bucur和Gittins的Neumann特征值的情况下获得的。$n=3$的Dirichlet案例最近由van den Berg和Gittins处理。此外，我们得到的最佳特征值为$k \to \infty$的稳定性结果。我们还获得了相应的形状优化结果的Riesz平均特征值在同一集合的长方体。对于狄利克雷的情况下，这使我们能够解决的第一$k$特征值的平均值的形状优化。
2017-10-10 math.SP
