Courant-sharp property for Dirichlet eigenfunctions on the Möbius strip
确定哪些特征值存在与相关特征值的标签具有相同数目的节点域的特征函数（Courant-sharp性质）的问题是由最小谱划分的分析激发的。在以前的作品中，已经分析了许多例子对应的正方形，矩形，磁盘，三角形，圆环，\ldots。进一步研究的自然玩具模型是默比乌斯带，一种具有欧拉示性数$0$的不可可定向曲面，特别是特征值具有更高重数的“正方形”默比乌斯带。在这种情况下，我们证明了唯一的Courant-sharp Dirichlet特征值是第一和第二，我们表现出独特的节点模式。
2020-11-12 math-ph math.DG math.MP
Nodal count for Dirichlet-to-Neumann operators with potential
考虑光滑流形上Lipschitz域上$Δ+q$的Dirichlet-to-Neumann算子，其中$q$是一个$L^{\infty}$势.本文证明了$k$的Dirichlet-to-Neumann本征函数$ϕ_k$的扩张$u_k$到内部满足$(Δ+q)u_k=0$的结点数的Courant型界。已知经典的柯朗节域定理对斯捷克洛夫本征函数成立，斯捷克洛夫本征函数是与$Δ$相关的狄利克雷-诺依曼本征函数的调和延拓。我们的结果扩展到一个更大的家庭的Dirichlet-to-Neumann算子。我们的证明利用了Steklov和Robin问题之间的对偶性。
2022-03-08 math.AP math.SP
Courant-sharp eigenvalues for the equilateral torus, and for the equilateral triangle
我们解决了确定特征值$λ\_n$（以非递减顺序列出，具有多重性）的问题，其中柯朗的节域定理是尖锐的，即，其中存在与$n$节点域相关的本征函数（Courant-sharp本征值）。根据Pleijel（1956）的思想，我们证明了平坦等边环面的Courant-sharp本征值只有第一和第二本征值，而等边三角形的Courant-sharp Dirichlet本征值只有第一、第二和第四本征值。在最后一节中，我们对直角等腰三角形和半等边三角形给出了类似的结果。
2015-07-02 math-ph math.AP math.DG
Courant-sharp Robin eigenvalues for the square: the case of negative Robin parameter
我们考虑的情况下，有平等的柯朗的节点域定理的拉普拉斯方程的罗宾边界条件的平方。在前两篇文章中，我们分别讨论了Robin参数$h>0$较大和较小的情况。在本文中，我们调查的情况下，$h<0\,$。
2020-03-29 math.SP
Courant-sharp eigenvalues of Neumann 2-rep-tiles
我们求出了某些2-rep-tile域上Laplacian的Courant-sharp Neumann特征值。在$\R^{2}$中，我们考虑的域是等腰直角三角形和边比为$\sqrt{2}$的矩形（也称为A4纸）。在$\R^{n}$中，域是概括上述平面矩形的框。这些域的对称性揭示了它们本征函数的一种特殊结构，我们称之为折叠\textbackslash{}展开。这种结构会影响本征函数的节点集，这反过来又允许导出柯朗锐度的必要条件。此外，这些域的本征值被布置为允许节点计数和谱位置之间的比较的晶格。使用这些方法排除了大多数特征值的Courant锐度。此外，这种分析允许估计节点缺陷-频谱位置和节点计数之间的差异。
2016-11-02 math.SP
On nodal domains in Euclidean balls
- 是的Pleijel（1956）证明了在具有Dirichlet条件的Laplacian情形下，当维数为$\geq 2$时，Courant节点定理（Courant sharp情形）中的等式仅对有限个特征值成立。最近Polterovich扩展的结果诺依曼问题在两个维度的情况下，边界是分段解析。一个来自谱极小分拆理论的问题激发了对柯朗定理中等式的分析。在本文中，我们确定了球中Dirichlet和Neumann Laplacian在$\mathbb R^d$，$d\geq 2$中的Courant尖锐特征值。关于$\mathbb R^2$中圆盘上Dirichlet Laplacian的结果是由B. Helffer，T. Hoffmann-Ostenhof和S.泰拉奇尼
2016-03-22 math.SP
Courant-sharp eigenvalues of compact flat surfaces: Klein bottles and cylinders
确定哪些特征值存在与相关特征值的标签具有相同数目的节点域的特征函数（Courant-sharp性质）的问题是由最小谱划分的分析激发的。在以前的工作中，已经分析了与正方形、矩形、圆盘、三角形、圆环、默比乌斯带、\ldots对应的许多示例。用于进一步研究的自然玩具模型是平坦的克莱因瓶，具有欧拉示性数$0$的不可可定向曲面，并且特别是与方形环面相关联的克莱因瓶，其特征值具有较高的多重性。本文证明了与正方形环面（分别为）有关的平坦Klein瓶的Courant-sharp特征值是唯一的。具有平方基本区）是第一和第二特征值。我们还考虑了扁平圆柱$(0,π) \times \mathbb{S}^1_r$，其中$r \in \{0.5,1\}$是半径的圆$\mathbb{S}^1_r$，我们表明，只有Courant-sharp Dirichlet特征值的这些圆柱的第一和第二特征值。
2021-04-11 math-ph math.AP math.DG
Courant-sharp Robin eigenvalues for the square and other planar domains
本文讨论了在Robin边界条件下柯朗节域定理中存在等式的情形。对于平方，我们部分地推广了Pleijel，Bérard-Helffer，Helffer--Bérson--Sundqvist关于Dirichlet和Neumann问题的结果。在证明一些一般的结果，持有任何值的罗宾参数$h$，我们专注于当$h$是大的情况下。当$h$很小时，我们希望在第二篇论文中回到分析。当$h$大变化时，我们还得到了具有$C^{2,α}$边界区域（$α>0$）的Robin特征函数的节点区域个数的半稳定性结果.
2019-02-08 math.SP
Courant-sharp Robin eigenvalues for the square -- the case with small Robin parameter--
这篇文章是我们的第一个工作的延续，确定的情况下，有平等的柯朗的节点域定理的情况下，罗宾边界条件（罗宾参数$h$）。对于正方形，我们的第一篇论文集中在$h$是大的情况下，并扩展了由Pleijel，Bérard-Helffer，为Dirichlet边界条件的问题所获得的结果。在那里，我们也得到了一些一般性的行为的节点结构（平面域）下的小变形$h$，其中$h$是积极的，不接近$0$。在这第二篇论文中，我们扩展的结果，得到了Helffer--Brachson-Sundqvist的Neumann问题的情况下，$h>0$是小的。
2019-03-25 math.SP
Upper bounds for Courant-sharp Neumann and Robin eigenvalues
Durham University（杜伦大学）；Università degli Studi di Padova（帕多瓦大学）
本文研究了Neumann和Robin边界条件下Courant-sharp特征值的上界，并在凸集情况下给出了显式上界。
2026-02-18 math.AP math.SP
Nodal domains a la Courant
设$H(\Om_0)=-Δ+V$是有界区域$\Om_0\subset \mathbb R^d$上的Schrödinger算子.设$\Om_\ell$（$\ell \in \{1,...,k\}$）是$\Om_0$的两两不相交的子集，而$H(\Om_\ell)$又是相应的具有Dirichlet边界条件的薛定谔算子.本文研究了$H(\Om_0)$谱与$H(\Om_\ell)$谱之间的关系。特别地，我们得到了相关的谱计数函数的一些不等式，这些不等式可以被解释为柯朗节点定理的推广。对于实现平等的情况，我们证明了相反的结果。特别地，我们使用位势理论的方法将$\Om_\ell$与$H(Ω_0)$的某些本征函数的节点域联系起来。
2004-03-02 math-ph math.MP math.SP
Nodal domains in the square---the Neumann case
Pleijel证明了在具有Neumann条件的平方上的拉普拉斯算子的情况下，柯朗结点定理（柯朗尖锐情况）中的等式仅对有限个特征值成立。我们确定了五个柯朗夏普特征值的Neumann Laplacian在广场上，并证明没有其他情况。
2014-11-19 math.SP
Local version of Courant's nodal domain theorem
本文针对闭 Riemann 流形上 Laplace 算子特征函数，结合 Remez 型不等式与 Landis 型增长引理，证明了与局部球相交的结点域数量的精确估计，解决了 Donnelly 和 Fefferman 提出的局部界限问题。
2020-08-03 math.AP math.DG math.SP
On the sharpness of a certain spectral stability estimate for the Dirichlet Laplacian
本文考虑了N维欧几里得空间中二阶一致椭圆算子特征值在可变开集上的变分的谱稳定性估计，并证明了它对任意维数N都是尖锐的.这是通过研究的本征值问题的狄利克雷拉普拉斯特殊开集内接在适当的球面锥。
2010-12-23 math.AP math.SP
Sharp bounds for higher Steklov-Dirichlet eigenvalues on domains with spherical holes
Indian Institute of Technology (BHU) Varanasi（印度理工学院（贝拿勒斯印度教大学）瓦拉纳西）；Indian Institute of Science Education and Research, Pune（印度科学教育与研究学院，浦那）
本文研究了带有球形孔的领域中高阶Steklov-Dirichlet特征值的精确界，通过等周不等式和空间形式领域的扩展，获得了星形领域中特征值的精确上下界。
2023-12-28 math.AP math.SP
Sharp behavior of Dirichlet--Laplacian eigenvalues for a class of singularly perturbed problems
本文研究边界附着细管的Dirichlet特征值问题，通过引入截面扭转刚度，定量刻画了摄动特征值的收敛速率，并推广至边界小部分施加Neumann条件的摄动情形。
2023-08-31 math.AP math.SP
Nodal counts for the Robin problem on Lipschitz domains
本文研究了 Lipschitz 区域上 Robin Laplacian 的 Courant-sharp 特征值，证明了 Pleijel 定理及其改进版，并为具有 $C^2$ 边界的凸集给出了显式的特征值数量上界。
2025-04-04 math.SP
Homology of spectral minimal partitions
本文通过定义修正拉普拉斯算子并借助代数拓扑中的相对同调工具，研究了非二分谱最小分割，证明其 Courant-sharp 特征函数的节点分割在特定拓扑类中最小，同时统一恢复了二分情形的已知结果。
2024-06-06 math.AP math.AT math.SP
Nodal and spectral minimal partitions -- The state of the art in 2015 --
PSL, CNRS, ENS Paris（巴黎文理研究大学、法国国家科学研究中心、巴黎高等师范学院）；Université Paris Sud（巴黎第十一大学）；Université de Nantes（南特大学）
本文综述了节点和谱极小划分的最新研究，包括Courant锐例、极小谱划分、正则划分拓扑及Aharonov-Bohm方法，探讨了极小k划分的渐进行为。
2015-06-24 cs.NA math.AP math.NA
The sharp upper bound for the area of the nodal sets of Dirichlet Laplace eigenfunctions
设$Ω$是$\mathbb{R}^n$中具有$C^{1}$边界的有界区域，$u_λ$是$Ω$中具有特征值$λ$的Dirichlet Laplace特征函数.证明了$u_λ$的零集的$(n-1)$维Hausdorff测度不超过$C(Ω)\sqrtλ$ .这一结果对于具有$C^\infty$ -光滑边界的区域也是新的.
2021-04-19 math.AP math.DG math.SP
The sharp lower bound of the first Dirichlet eigenvalue for geodesic balls
本研究在非负Ricci曲率的完备非紧黎曼流形框架下，得到测地球第一Dirichlet特征值的精确下界，由此推导出测地球的精确Poincaré不等式，推进了Li-Schoen的相关结果。
2021-08-16 math.DG math.SP
The weak Pleijel theorem with geometric control
设$Ω\subset \mathbb R^d\,, d\geq 2$是一个有界开集，用$λ\_j(Ω), j\geq 1$表示Dirichlet Laplacian的特征值按非减序排列，具有重数. Pleijel定理的弱形式指出，存在精确$j$节点域（Courant-sharp本征值）的相关本征函数的本征值$λ\_j(Ω)$的数目是有限的。本文的目的是确定柯朗夏普特征值的上界，用$Ω$的简单几何不变量表示。我们将看到，这与Y最喜欢考虑的问题之一有关。萨法罗夫
2016-10-18 math-ph math.DG math.MP
The first Dirichlet eigenvalue and the width
该研究针对非负Ricci曲率、平均凸边界的测地球，提出定量显式不等式，用第一Dirichlet特征值与其精确下界的谱间隙界定测地球宽度，拓展了相关谱几何结论。
2024-10-22 math.AP math.DG math.SP
Sharp Fundamental Gap Estimate on Convex Domains in Gaussian Spaces
本文证明了高斯空间中凸域上奥恩斯坦-乌伦贝克算子基本间隙的尖锐下界，证实了基本间隙猜想的高斯类比，并建立了热核的改进对数凹性质。
2025-10-27 math.AP math.SP
Planar Dirichlet eigenvalue bounds from a trace identity
Stanford University（斯坦福大学）
通过迹恒等式证明平面Dirichlet特征值渐近锐下界，得到Pólya猜想界的2/3。
2026-10-06 math.AP math.SP
A sharp upper bound for the first Dirichlet eigenvalue and the growth of the isoperimetric constant of convex domains
我们证明了当凸区域的第一Dirichlet特征值与具有相同体积的球的第一Dirichlet特征值之比变大时，相应的等周常数之比也会发生变化。证明是基于推广到任意维数的Polya和Szego的上界的Dirichlet拉普拉斯算子的第一个特征值的平面星形区域，这取决于支撑函数的域。作为一个副产品，我们也得到了一个尖锐的上界的凸区域的谱间隙。
2007-10-29 math-ph math.MP math.SP
Sharp spectral stability estimates via the Lebesgue measure of domains for higher order elliptic operators
我们证明了尖锐的稳定性估计的变化的特征值的任意偶数阶的非负自伴椭圆算子的变化的开放集上，他们被定义。这些估计用开集的对称差的勒贝格测度表示。Dirichlet和Neumann边界条件。
2011-09-03 math.AP math.SP
Pointwise estimates for the ground states of singular Dirichlet fractional Laplacian
在相对紧的欧氏子集上建立了奇异分数阶薛定谔算子基态的精确逐点估计。所考虑的算子是$(-Δ)^{α/2}|_\Om-c|x|^{-α}$型的，其中$(-Δ)^{α/2}|_\Om$是$\R$中具有零外部条件的开子集$\Om$上的分数Laplacien，而$0<c\leq(\frac{d-α}{2})^2$是开子集$0<c\leq(\frac{d-α}{2})^2$上的分数Laplacien.讨论了这类算子的内禀超压缩性，并得到了热核的一个大时间渐近解。
2012-11-02 math.SP
Boundary quasi-orthogonality and sharp inclusion bounds for large Dirichlet eigenvalues
通过边界L²范数估计Helmholtz方程试验解的误差，并利用新的边界法向导数拟正交性，获得了比Moler-Payne界改进√E因子的尖锐特征值包含界。
2010-06-18 cs.NA math.AP math.NA
Sharp lower bound on the "number of nodal decomposition" of graphs
本文沿用 Urschel 的节点划分概念，研究固定顶点数图类中离散 Laplacian 特征向量节点分解数的下界及其可能不存在性，给出连续情形结果的离散对应。
2023-04-20 math.CO math.SP
Sharp spectral estimates in domains of infinite volume
我们考虑无限体积的开的拟有界域上的Dirichlet Laplace算子。对于这样的区域，基于相空间体积--因此也基于区域体积--的半经典谱估计必定失败。在这里，我们提出了一种方法，如何证明统一的界限，本征值和本征值的手段是尖锐的半经典极限。我们给出了角状区域和所谓的棘海胆的例子。一些结果被推广到定义在拟有界区域上的具有Dirichlet边界条件的薛定谔算子。
2010-12-29 math-ph math.MP math.SP
Eigenvalue bounds of mixed Steklov problems
研究了有界区域$\mathbb{R}^n$上混合Steklov-Neumann和Steklov-Dirichlet本征值问题的Riesz平均的界. Steklov-Neumann本征值问题也称为晃动问题。我们得到了晃动问题的Riesz平均的两项渐近尖下界，也给出了混合Steklov-狄利克雷问题的Riesz平均的一个渐近尖上界.利用平均变分原理和晃动特征值的单调性证明了我们的结果。在Steklov-Dirichlet本征值问题中，证明是基于Dirichlet分数拉普拉斯算子的Riesz平均上的一个著名的界和Dirichlet分数拉普拉斯算子与Navier分数拉普拉斯算子之间的一个不等式.在附录中讨论了混合Steklov本征值问题的Riesz平均的两项渐近结果，特别是显示了我们得到的界的渐近尖锐性。
2018-09-06 math-ph math.FA math.MP
Complementary asymptotically sharp estimates for eigenvalue means of Laplacians
我们提出了一个渐近尖锐的不等式，包含第二项，为Dirichlet和Neumann特征值的Laplacian在一个区域上，这是互补的熟悉Berezin-Li-Yau和Kröger不等式的极限，因为特征值趋于无穷大。我们完成这一点的Riesz平均$R_1(z)$的特征值的框架内，通过应用平均变分原理与家庭的检验函数，已被纠正的边界行为。
2019-04-17 math.SP
Sharp bounds for eigenvalues of triangles
证明了平面上三角形的Dirichlet Laplacian的第一特征值由$π^2 L^2\over 9A^2$上有界，其中$L$是三角形的周长，$A$是三角形的面积.我们证明了\mbox{constant 9}是最优的，并且相同形式的下界的最优常数是16。这就肯定地回答了弗雷塔斯的一个猜想。
2006-03-27 math.SP
Two-term, asymptotically sharp estimates for eigenvalue means of the Laplacian
利用\cite{HaSt14}中引入的平均变分原理，给出了具有Neumann边界条件的区域上Laplacian的特征值$μ_k$的渐近尖锐不等式.对于Riesz平均$R_1(z)$的特征值，我们改进了已知的尖锐的半经典界的体积与第二项的最佳可能的功率$z$的域。此外，我们得到了双边界限个别$μ_k$，这是半经典尖锐的。在最后一节中，我们用同样的方法对狄利克雷情形进行了评述。
2016-07-08 math.SP
Sharp Spectral Bounds for the $p$-Laplacian and Polyharmonic Operators on Asymptotically Hyperbolic Manifolds
Haverford College（哈弗福德学院）
本文研究了渐近双曲流形上 $p$-Laplacian 和多项式调和算子的谱界，推导了三种特征值问题的精确上界和下界，揭示了渐近曲率、无穷处的角度及平均曲率范数与第一特征值的关系。
2026-04-28 math.DG math.SP
A Sharp Bound for the Ratio of the First Two Dirichlet Eigenvalues of a Domain in a Hemisphere of S^n
对于域$Ω$包含在一个半球的$n$维球体$\SS^n$，我们证明了最佳结果$λ_2/λ_1(Ω) \le λ_2/λ_1(Ω^{\star})$的第一个两个Dirichlet特征值的比例，其中$Ω^{\star}$，对称重排的$Ω$在$\SS^n$，是一个测地球在$\SS^n$具有相同的$n$体积的$Ω$。我们还表明，$λ_2/λ_1$测地球的测地半径$θ_1$小于或等于$π/2$是$θ_1$之间运行的值$(j_{n/2,1}/j_{n/2-1,1})^2$ $θ_1=0$（这是欧几里德值）和$2(n+1)/n$为$θ_1=π/2$的$θ_1$的增函数。这里，$j_{ν,k}$表示贝塞尔函数$J_ν(t)$的$k^{th}$正零点。这一结果推广了Payne-Pólya-Weinberger猜想，该猜想适用于欧氏空间中的有界域，并且我们已经证明了。我们的方法利用对称重排的功能和各种技术性能的特殊功能。我们还证明了在包含在一个半球的$\SS^n$，并有一个固定的$λ_1$值的所有域的$λ_2$的最大值是适当半径的测地线球。这是一个比$λ_2/λ_1$更强的等周结果，但稍难获得。在我们的工作过程中，证明了在$\SS^n$中测地球的$λ_1$和$λ_2$的各种其他结果。
2000-08-11 math-ph math.MP math.SP
Improved Berezin-Li-Yau inequalities with a remainder term
本文给出了Dirichlet Laplacian的特征值$λ_k$在一个区域上的Riesz平均$\sum_k(Λ-λ_k)_+^σ$的Berezin型上界的一个改进，如果$σ\geq 3/2$ .它包含一个校正项的顺序的标准第二项的外尔渐近。本文的结果是基于具有算子值位势的锐Lieb-Thirring不等式在域上Dirichlet Laplacian的谱估计中的应用。
2007-11-30 math-ph math.MP math.SP
Sharp trace asymptotics for a class of 2D-magnetic operators
本文证明了在强磁场和半经典极限下区域（具有Dirichlet边界条件）上二维磁薛定谔算子谱计数函数的一个两项渐近公式.通过换算，这相当于2D费米气体在恒定外部磁场下的热力学极限。最初的动机来自H.昆茨在其中，他研究了，除其他事项外，边界修正的大正则压力和密度的这样一个费米气体。我们的主要定理产生一个严格的证明公式宣布昆兹。此外，同样的定理提供了几个其他结果的积分态密度的$(-ih\nabla- μ{\bf A})^2$类型的运营商在$L^2(Ω)$与Dirichlet边界条件。
2011-08-03 math-ph math.MP math.SP
Bounds for exit times of Brownian motion and the first Dirichlet eigenvalue for the Laplacian
本文研究d维区域中拉普拉斯算子谱底部与布朗运动退出时间p阶矩乘积的普适上下界，证明整数p时下界精确、p≥1时上界渐近精确，并证明凸对称区域类中存在极值区域，猜想立方体为极值。
2023-04-13 math.FA math.PR math.SP
