Eigenfunction asymptotics and nodal domain estimates for dumbbell domains
Fordham University（福特汉姆大学）；University of North Carolina（北卡罗来纳大学）
研究哑铃区域Neumann特征函数节点结构，证明颈部变薄时节点域数量增加，第三特征函数达到Courant上界，并利用匹配渐近分析克服奇异极限困难。
2026-09-29 math.AP math.SP
On Courant-type bounds and spectral partitioning via Neumann domains on quantum graphs
Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa（里斯本大学理学院）；FernUniversität in Hagen（哈根远程大学）
研究量子图上拉普拉斯算子本征函数结构，基于柯朗型论证建立节点点数上界，探索诺伊曼域与谱最小划分关系，重点分析树图，刻画谱能量并关联特征值，引入诺伊曼计数概念证明相关一致性。
2026-07-21 math.AP math.SP
Nodal domains and spectral minimal partitions
我们考虑有界域上的二维薛定谔算子。我们分析了本征函数的节点域、谱最小划分和相应算子的谱性质之间的关系。主要结果涉及的存在性和规律性的最小分区与节点集的节点域的Courant-sharp特征函数。
2006-10-31 math.AP math.SP
Nodal count for Dirichlet-to-Neumann operators with potential
考虑光滑流形上Lipschitz域上$Δ+q$的Dirichlet-to-Neumann算子，其中$q$是一个$L^{\infty}$势.本文证明了$k$的Dirichlet-to-Neumann本征函数$ϕ_k$的扩张$u_k$到内部满足$(Δ+q)u_k=0$的结点数的Courant型界。已知经典的柯朗节域定理对斯捷克洛夫本征函数成立，斯捷克洛夫本征函数是与$Δ$相关的狄利克雷-诺依曼本征函数的调和延拓。我们的结果扩展到一个更大的家庭的Dirichlet-to-Neumann算子。我们的证明利用了Steklov和Robin问题之间的对偶性。
2022-03-08 math.AP math.SP
Dirichlet eigenfunctions of the square membrane: Courant's property, and A. Stern's and Å. Pleijel's analyses
本文重新讨论了Courant关于正方形膜的Dirichlet本征函数的节域定理，以及A。Stern和Stern普莱杰尔
2015-03-11 math.AP math.SP
Courant-sharp eigenvalues of the three-dimensional square torus
在本文中，我们确定的情况下，拉普拉斯算子的平面三维环面$(\mathbb{R}/\mathbb{Z})^3$，所有的特征值具有一个特征函数，满足柯朗节域定理的平等（柯朗夏普情况）。在战略上，Pleijel（1956），证明是一个明确的下界的计数函数和一个Faber-Krahn型不等式的环面上的域的组合，推导为，在工作的P. Bérard和D. Meyer（1982），从一个等周不等式出发。这个不等式依赖于L. Hausperth，J. Perez，P. Romon，and A. Ros（2004）关于周期等周问题。
2015-11-13 math.AP math.SP
Nodal and spectral minimal partitions -- The state of the art in 2015 --
PSL, CNRS, ENS Paris（巴黎文理研究大学、法国国家科学研究中心、巴黎高等师范学院）；Université Paris Sud（巴黎第十一大学）；Université de Nantes（南特大学）
本文综述了节点和谱极小划分的最新研究，包括Courant锐例、极小谱划分、正则划分拓扑及Aharonov-Bohm方法，探讨了极小k划分的渐进行为。
2015-06-24 cs.NA math.AP math.NA
Coarse nodal count and topological persistence
柯朗定理意味着拉普拉斯本征函数的节点域的数目由相应的本征值控制。多年来，人们一直试图从不同的方向找到对这一说法的适当概括。我们提出了一个新的考虑这个问题，从拓扑数据分析的想法。我们表明，如果一个计数的节点域在一个粗糙的方式，基本上忽略小的振荡，柯朗定理延伸到线性组合的本征函数，其产品，其他运营商，和更高的拓扑不变量的节点集。我们也得到了一个粗略的版本的Bézout估计的公共零点的线性组合的特征函数。我们表明，我们的结果基本上是尖锐的，粗计数是必要的，因为这些扩展失败的标准计数。我们的方法结合了多尺度多项式逼近在索伯列夫空间的持久性模块和条形码理论的新成果。
2022-08-19 math.AP math.AT math.SP
On Courant and Pleijel theorems for sub-Riemannian Laplacians
本文研究次黎曼流形次拉普拉斯算子特征函数结点域数量，将Pleijel定理的有效性从一般流形归结为幂零群情形，并详细分析了Heisenberg群情形，改进了相关不等式的最优常数界限。
2024-04-29 math.AP math.SP
Uniform upper bounds on Courant sharp Neumann eigenvalues of chain domains
本文研究由细颈连接的链域上 Neumann 特征函数的节点域数量，在不假设颈宽下界的条件下，证明了 Courant 锐利特征函数数量的上界与颈宽无关。
2023-05-25 math.AP math.SP
Non-boundedness of the number of super level domains of eigenfunctions
推广柯朗的节点域定理，“扩展柯朗性质”是第一个$n$特征函数的线性组合最多有$n$节点域的陈述。一个相关的问题是估计连接组件的数量（超）水平集的诺依曼本征函数$u$。实际上，在这种情况下，第一本征函数是常数，并且查看$u$的水平集相当于查看节点集$\{u-a=0\}$，其中$a$是实常数。在本文的第一部分中，我们证明了扩展的柯朗性质是假的次等边三角形和正则$N$ -ε（$N$大），与Neumann边界条件。更精确地说，我们证明了存在一个Neumann特征函数$u_k$的$N$ -gon，与标签$k$，$4 \le k \le 6$，使集$\{u_k \not = 1\}$有$(N+1)$连通组件。在第二部分中，我们证明了$\mathbb{T}^2$上存在度量$g$（分别为：在$\mathbb{S}^2$上），其可以被任意地选择为接近平坦度量（分别为圆度量）和相关Laplace-Beltrami算子的本征函数$u$，使得集合$\{u \not = 1\}$具有无穷多个连通分量。特别是，对于这些闭合曲面，Extended Courant属性为假。这些结果是由Buhovsky，Logan和Sodin最近的一篇论文强烈激发的。对于正方向，在附录B中，我们证明了$\mathbb{R}^2$中各向同性量子谐振子的扩展Courant性质成立。
2020-03-11 math-ph math.AP math.DG
Level sets of certain Neumann eigenfunctions under deformation of Lipschitz domains. Application to the Extended Courant Property
本文证明了推广的Courant性质对某些光滑的严格凸区域不成立：存在一个第二和第一Neumann特征函数的线性组合，有三个节点区域.为了证明这一点，我们重新回顾了Jerison和Nadirashvili的变形论证（J. Amer. Math. Soc. 2000，vol. 13）。这个论点本身很有趣，我们给出了全部细节。特别是，我们仔细控制的依赖关系的常数对我们的Lipschitz域沿变形的几何形状。
2019-07-10 math-ph math.AP math.MP
Pleijel's nodal domain theorem for Neumann and Robin eigenfunctions
在本文中，我们表明，平等的柯朗的节域定理只能达到一个有限数目的特征值的Neumann拉普拉斯算子，在一个开放的情况下，有界的连通集在Rn与C1，1边界。这个结果类似于Pleijel的Dirichlet Laplacian节点域定理（1956）。它在所有维度上证实了Pleijel提出的一个猜想，这个猜想已经被I. Polterovich for a two-dimensional domain with a piecewise-analytic boundary（2009）.我们还证明了该论证和结果推广到一类Robin边界条件。
2016-12-14 math.AP math.SP
Courant-sharp eigenvalues of compact flat surfaces: Klein bottles and cylinders
确定哪些特征值存在与相关特征值的标签具有相同数目的节点域的特征函数（Courant-sharp性质）的问题是由最小谱划分的分析激发的。在以前的工作中，已经分析了与正方形、矩形、圆盘、三角形、圆环、默比乌斯带、\ldots对应的许多示例。用于进一步研究的自然玩具模型是平坦的克莱因瓶，具有欧拉示性数$0$的不可可定向曲面，并且特别是与方形环面相关联的克莱因瓶，其特征值具有较高的多重性。本文证明了与正方形环面（分别为）有关的平坦Klein瓶的Courant-sharp特征值是唯一的。具有平方基本区）是第一和第二特征值。我们还考虑了扁平圆柱$(0,π) \times \mathbb{S}^1_r$，其中$r \in \{0.5,1\}$是半径的圆$\mathbb{S}^1_r$，我们表明，只有Courant-sharp Dirichlet特征值的这些圆柱的第一和第二特征值。
2021-04-11 math-ph math.AP math.DG
Nodal line estimates for the second Dirichlet eigenfunction
本文研究了广义曲线四元图中低能Dirichlet本征函数的节点曲线。这些技术可以看作是Grieser-Jerison在一系列关于凸平面域和具有一个弯曲边缘和大纵横比的矩形的作品中开发的工具的推广。在这里，我们更详细地研究了节点曲线的结构，因为我们发现精确的边界上的曲率，与统一的估计，以满足域在直角的两个点，并表明，我们的许多结果保持相对较小的长宽比的边长。我们还讨论了我们的研究结果的应用程序的Courant-sharp特征函数和频谱分割。
2019-05-02 math.AP math.SP
Counting Nodal Lines Which Touch the Boundary of an Analytic Domain
本文考虑实解析平面区域$Ω$的Neumann特征函数$ϕ_λ$在边界$\partial Ω$上的零点.我们证明了它的边界零点的个数是$O (λ)$，其中$-Δϕ_λ = λ^2 ϕ_λ$ .我们还证明了Neumann或Dirichlet本征函数的边界临界点的个数是$O(λ)$。因此，接触边界的$ϕ_λ$（节点集的分量）的节点线的数量是$λ$阶。这个上界与总节线的长度具有相同的数量级，但是是内部节点分量数量的柯朗界的平方根。更一般地，证明了分段解析域的结果。
2007-11-05 math.AP math.SP
Nodal Deficiency of Neumann Eigenfunctions on a Symmetric Dumbbell Domain
Fordham University（福特汉姆大学）；Emory University（埃默里大学）
研究对称哑铃域上Neumann特征函数的节点缺陷，揭示其随颈部宽度变化的行为，并提供判断零节点缺陷特征函数的准则。
2026-01-23 math.AP math.SP
Coarse nodal counts on sub-Riemannian manifolds
Université de Montréal（蒙特利尔大学）；University of Oxford（牛津大学）
该研究针对次黎曼流形，证明了次拉普拉斯本征函数线性组合的节点集的粗Courant定理和Bézout定理，推测结果可推广到一般闭等正则次黎曼流形，方法结合拓扑持续性与Hörmander向量场的各向异性索伯列夫理论。
2026-08-04 math.AP math.AT math.SP
Lower bounds for the number of nodal domains for sums of two distorted plane waves in non-positive curvature
本文将考虑无限域曲面上拉普拉斯算子的广义本征函数。我们将感兴趣的下界的节点域的数目，这样的特征函数，其中包括在一个给定的有界集。我们将首先考虑有限总和的平面波，并给出一个标准的振幅和方向的传播这些平面波，保证了最佳的下限，相同的顺序柯朗的上限。作为应用，我们将得到某些非正曲率曲面族上畸变平面波节域个数的最优下界。
2016-12-06 math-ph math.AP math.MP
Homology of spectral minimal partitions
本文通过定义修正拉普拉斯算子并借助代数拓扑中的相对同调工具，研究了非二分谱最小分割，证明其 Courant-sharp 特征函数的节点分割在特定拓扑类中最小，同时统一恢复了二分情形的已知结果。
2024-06-06 math.AP math.AT math.SP
Pleijel nodal domain theorem in non-smooth setting
本文在非塌缩 RCD 空间及低正则 Euclidean 区域中证明 Pleijel 定理，建立节点域数渐近上界，并推出 Courant 定理至多有有限个例外。
2023-09-26 math.AP math.MG math.SP
Oscillation estimates of eigenfunctions via the combinatorics of noncrossing partitions
本文研究了分数阶薛定谔算子在实直线上的本征函数的振荡。一个参数的柯朗的节域定理的精神适用于一个相关的局部问题，在上半平面，并提供了一个边界上的节点域的本征函数的扩展。利用非交叉分区的组合性质，我们把节点域界的本征函数的符号变化的数量估计。我们讨论的应用程序中的周期设置和平面域上的Steklov问题。
2017-09-05 math.AP math.CO math.SP
Upper bounds for Courant-sharp Neumann and Robin eigenvalues
Durham University（杜伦大学）；Università degli Studi di Padova（帕多瓦大学）
本文研究了Neumann和Robin边界条件下Courant-sharp特征值的上界，并在凸集情况下给出了显式上界。
2026-02-18 math.AP math.SP
A Counterexample to the Closed Nodal-Line Conjecture for the Third Eigenfunction of the Planar Dirichlet Laplacian
Beijing Normal University（北京师范大学）
针对平面Dirichlet Laplacian第三本征函数的闭节线猜想，构造出一个第三Dirichlet特征值为单重、节集含两条不相交闭曲线的反例，完成猜想的否定。
2026-08-31 math.AP math.SP
Some nodal properties of the quantum harmonic oscillator and other Schr{ö}dinger operators in $\mathbb{R}^2$
对于球面上的球面拉普拉斯算子和正方形上的狄利克雷拉普拉斯算子，安东尼·斯特恩在她的博士论文（1924年）中声称存在一个无穷序列的特征值，其对应的特征空间包含一个恰好有两个节点域的特征函数。这些结果分别由Hans Lewy在1977年和作者在2014年给出了完整的证明（参见Gauthier-Shalom-Przybytkowski，2006）。本文对二维各向同性量子谐振子也得到了类似的结果。在相反的方向上，我们构造了一个无穷序列的正则本征函数与尽可能多的节点域允许的柯朗定理，直到一个因素$\frac{1}{4}$。对于$2$维有界区域，一个经典的问题是用能量的平方根来估计Dirichlet本征函数的节点集的长度.在最后一节中，我们考虑了$\mathbb{R}^2$中的一些Schr{<$}dinger算子$-Δ+ V$，并给出了能量为$λ$的本征函数在经典允许区域$\{V(x) < λ\}$中节点集长度的界.
2017-05-04 math-ph math.AP math.DG
Pleijel's theorem for Schrödinger operators with radial potentials
1956年$Å$。Pleijel给他著名的定理表明，不平等的柯朗定理的数目节点域是严格的大特征值的拉普拉斯算子。这是一个后果的一个更强的结果，给出了一个渐近上界的本征函数的节点域的数目的本征值趋于$+\infty$。对于Schr”\odinger算子，自然会出现类似的问题。第一作者最近在谐振子方面得到了第一个有意义的结果。本文的目的是考虑更一般的径向势。我们将分析势趋于$+\infty$的情况和势为负且趋于零的情况，其中所考虑的本征函数与低于本质谱的本征值相关联。
2016-04-28 math-ph math.AP math.MP
Stability of spectral partitions with corners
Texas A&M University（德克萨斯农工大学）；University of North Carolina at Chapel Hill（北卡罗来纳大学教堂山分校）；Memorial University of Newfoundland（纽芬兰纪念大学）
本文通过定义修改的拉普拉斯算子，证明谱极小划分的临界点与特征函数的节点划分一致，并揭示了临界点的莫尔斯指数与节点缺陷的关系。
2024-11-04 math.AP math.SP
Nodal domain theorems for $p$-Laplacians on signed graphs
本文在带符号图上建立p-拉普拉斯算子的节点域定理，统一了现有图p-拉普拉斯算子与对称矩阵的节点域结果，并由此得到联系变分特征值与多路Cheeger常数的高阶Cheeger不等式，还导出了通常图上的新结论。
2023-05-31 math.AP math.CO math.SP
Sharp $L^p$ estimates and size of nodal sets for generalized Steklov eigenfunctions
我们证明了紧流形上的Steklov本征函数在边界上的$L^2$范数的精确$L^p$估计.我们证明它建立$L^p$边界上的调和扩张算子以及频谱投影算子。此外，我们推导出下界的大小节点集的变化的Steklov谱问题。我们考虑一个广义的版本的Steklov问题，通过添加一个非光滑的潜在的边界上，但我们的一些结果是新的，即使没有潜在的。
2022-12-31 math-ph math.AP math.CA
On the Geometry of the Nodal Lines of Eigenfunctions of the Two-Dimensional Torus
平面内凸曲线的宽度是曲线的一对平行支撑线之间的最小距离。本文研究了标准平坦环面上拉普拉斯算子本征函数的节线宽度。我们证明了各种结果的宽度，一些具有较强的版本假设猜想Cilleruelo和格兰维尔断言一个统一的界限上的一些格子点的圆躺在短弧。
2011-01-28 math-ph math.AP math.MP
Nodal domains, spectral minimal partitions, and their relation to Aharonov-Bohm operators
本综述是该书前两位作者所写的一章的简短版本[A。Henrot，编辑。形状优化和谱理论。柏林：De Gruyter，2017]（其中给出了更多的细节和参考资料），但我们决定在这里更加强调Aharonov-Bohm算子的作用，它似乎是一个有用的工具，来自物理学，用于理解由谱几何或种群动力学激发的问题。类似的问题也出现在玻色-爱因斯坦理论中。最后提到了一些可能感兴趣的开放问题。
2017-11-02 math-ph math.AP math.MP
Upper bounds on eigenvalue multiplicities for spheres and plane domains revisited
Institut Fourier, Université Grenoble Alpes and CNRS（傅里叶研究所，格勒诺布尔阿尔卑斯大学和法国国家科学研究中心）；Laboratoire de Mathématiques Jean Leray, Nantes Université and CNRS（让·勒雷数学实验室，南特大学 and 法国国家科学研究中心）
本文重新审视了球面和平面域的特征值多重性上界，通过详细证明和扩展到Robin边界条件，提供了关于特征值多重性的上界结果。
2026-01-31 math-ph math.AP math.DG
Łojasiewicz Inequalities and Generic Smoothness of Nodal Sets of Solutions to Elliptic PDE
在这篇文章中，我们证明了一个广泛的二阶椭圆偏微分方程，包括拉普拉斯算子，零集的狄利克雷问题的解决方案是光滑的“通用”$L^2$数据。当解的零点集（例如调和函数）包含奇点时，这意味着我们可以找到边界数据的任意小扰动，使得扰动解的零点集在前一个奇点的指定邻域内是光滑的。此外，我们可以把微扰取为“平均零”，这就有了额外的技术困难，以确保我们在消除原始奇点的过程中不会引入新的奇点。独立的兴趣，为了证明的主要定理，我们建立了一个有效的版本的梯度不等式的一致常数在类的解有界频率。
2021-10-06 math.AP math.CA
Sign-changing solutions for the one-dimensional non-local sinh-Poisson equation
研究了一维有界区间$I$上sinh-泊松方程在$I$外部Dirichlet条件下变号解的存在性.该模型与简单电化学系统电偶腐蚀现象的数学描述密切相关。通过有限维Lyapunov-Schmidt约化方法，我们构造了具有任意数量符号交替峰的起泡解族.通过对解的极限轮廓的仔细分析，我们还证明了节点区域的数目与爆破点的数目一致。
2020-05-20 math.AP
