Eigenfunction statistics for a point scatterer on a three-dimensional torus
本文研究了三维平面环面上点散射体（拉普拉斯算子受δ势扰动）的本征函数统计。该算子的本征函数是在散射体处消失的拉普拉斯算子的本征函数，以及一组新的本征函数（扰动本征函数）。我们首先表明，对于一个点散射的标准环面上的所有扰动本征函数均匀分布在配置空间。然后，我们研究了同样的问题，一个点散射体在一个平坦的环面与一些非合理性条件，并显示均匀分布的配置空间中的几乎所有的扰动本征函数。
2012-12-19 math-ph math.AP math.MP
The size of the nodal sets for the eigenfunctions of the smooth laplacian
我们证明估计特征函数的流形上配备了一个光滑度量。我们使用这些估计，以估计其节点集的大小。
2013-10-29 math.AP
A lower bound for the nodal sets of Steklov eigenfunctions
本文研究光滑黎曼流形上Steklov本征函数节点集的下界--Dirichlet-to-Neumann映射的本征函数.设$N_λ$为其节点集。假设零是斯捷克洛夫本征函数的正则值。我们证明了对于某个正的常数$C$，$$H^{n-1}(N_λ)\geq Cλ^{\frac{3-n}{2}}$$只依赖于流形。
2015-04-05 math.AP
Lower bounds for nodal sets of Dirichlet and Neumann eigenfunctions
设λ是紧致有界黎曼流形上Laplace-Beltrami算子的Dirichlet或Neumann本征函数.我们证明了节点集{n =0}的大小的下界。
2011-10-31 math.AP
On nodal lines of Neumann eigenfunctions
本文提出了一种新的确定平面区域中Neumann问题第二特征函数节线的方法。该技术是基于反射布朗运动的“镜像耦合”。
2002-03-02 math.AP math.PR
Lower bounds for nodal sets of eigenfunctions
我们证明了特征函数节点集的Hausdorff测度的下界。
2010-10-26 math.AP math.DG
Small scale equidistribution of eigenfunctions on the torus
研究了平坦环面$\mathbb T^d$上拉普拉斯算子的本征函数的$L^2$质量的小尺度分布。给定本征函数的规范正交基，我们证明了在小尺度上存在一个密度为1的子序列，其$L^2$质量均匀分布。在二维空间中，我们的结果一直适用于普朗克尺度。对于维度$d=3,4$，我们可以限制到单个特征空间，并在该上下文中显示小尺度等分布。我们还研究量子均匀分布的不规则性：我们构造本征函数，其$L^2$质量在普朗克尺度以上的所有尺度上都不均匀分布。此外，在尺寸$d=4$，我们表明存在的本征函数的比例$L^2$质量在小球在一定的尺度爆炸。
2016-06-16 math-ph math.AP math.MP
Nodal Deficiency of Neumann Eigenfunctions on a Symmetric Dumbbell Domain
Fordham University（福特汉姆大学）；Emory University（埃默里大学）
研究对称哑铃域上Neumann特征函数的节点缺陷，揭示其随颈部宽度变化的行为，并提供判断零节点缺陷特征函数的准则。
2026-01-23 math.AP math.SP
On the nodal line of the second eigenfunction of the Laplacian over some concave domains in $\mathbb{R}^2$
本文证明了$\mathbb{R}^2$中单连通凹域$Ω$上Laplacian的第二特征函数的节线$N$必须与边界$\partialΩ$相交于两点。
2010-06-10 math.AP
Nodal sets of Steklov eigenfunctions near the boundary: Inner radius estimates
我们表明，Steklov本征函数在有界Lipschitz域有波长密集的节点集附近的边界，相反，可以发生什么内部的域。作为逆，在二维Lipschitz域$Ω$中，我们证明了Steklov本征函数的任何节点域都包含一个以$\partialΩ$为中心，半径为$c_Ω/λ$的半球.
2022-09-13 math.AP math.CA
Geometry and interior nodal sets of Steklov eigenfunctions
研究了光滑流形中Steklov本征函数的几何性质。我们得到了精化的加倍估计和Bernstein不等式。对于实解析流形，我们能够得到内部节点集测度的精确上界。
2020-04-27 math.AP math.SP
Upper bounds of nodal sets for eigenfunctions of eigenvalue problems
本文的目的是提供一种简单而统一的方法来获得实解析区域上不同类型的本征值问题的本征函数节点集的精确上界。算例包括双调和Steklov本征值问题、屈曲本征值问题和倒角板本征值问题。从特征函数的倍化不等式和增长估计出发，导出了节点集的几何测度。它是通过Morrey-Nirenberg估计和Carleman估计的分析估计完成的。
2020-10-06 math.AP
Sharp $L^p$ estimates and size of nodal sets for generalized Steklov eigenfunctions
我们证明了紧流形上的Steklov本征函数在边界上的$L^2$范数的精确$L^p$估计.我们证明它建立$L^p$边界上的调和扩张算子以及频谱投影算子。此外，我们推导出下界的大小节点集的变化的Steklov谱问题。我们考虑一个广义的版本的Steklov问题，通过添加一个非光滑的潜在的边界上，但我们的一些结果是新的，即使没有潜在的。
2022-12-31 math-ph math.AP math.CA
Eigenfunctions with prescribed nodal sets
在本文中，我们考虑的问题规定的节点集的低能量本征函数的拉普拉斯算子。我们的主要结果是：给定紧致n-流形M中的任一分离闭超曲面，M上存在一个黎曼度量，使得它的第一非平凡特征函数的节点集为.我们提出了一些变化的结果，这使我们能够显示，特别是，第一个非平凡的本征函数可以有许多非退化的临界点作为一个愿望。
2014-04-03 math.AP math.DG
Distribution of the nodal sets of eigenfunctions on analytic manifolds
紧黎曼流形上的Laplacian本征函数的节集具有余维数1和有限超曲面测度。本文研究了当流形上的度规是解析的时，特征函数节点集的分布。我们证明了，如果本征函数在小尺度上是等分布的，那么它们的节点集的超曲面体积形式的弱极限与流形上的体积形式是可比的。特别地，在具有解析度量的负弯曲流形和环面上，我们证明了在任何特征基中，存在特征函数的全密度子序列，使得其节点集的超曲面体积形式的弱极限与流形上的体积形式相当。
2016-11-30 math.AP math.SP
On the parity of the number of nodal domains for an eigenfunction of the Laplacian on tori
本文讨论了T. Hoffmann-Ostenhof关于平坦环面上拉普拉斯算子的非常数本征函数的节点域个数的奇偶性。我们提出了两个结果。我们首先证明了在环面$(\mathbb{R}/2π\mathbb{Z})^{2}$上，一个非常数的本征函数具有偶数个节点域。然后，我们考虑环面$(\mathbb{R}/2π\mathbb{Z})\times(\mathbb{R}/2ρπ\mathbb{Z})\,$，与$ρ=\frac{1}{\sqrt{3}}\,$，并在其上构造一个具有三个节点域的本征函数。
2015-07-14 math.AP math.SP
Interior nodal sets of Steklov eigenfunctions on surfaces
本文研究了具有边界的连通紧致曲面上Steklov本征函数的内节点集$\mathcal{N}_λ$。Steklov本征函数的最佳消失阶为$Cλ$。奇异集$\mathcal{S}_λ$是节点集上的有限点。我们能够证明Hausdorff测度$H^0(\mathcal{S}_λ)\leq Cλ^2$ .此外，我们还得到了内节点集$H^1(\mathcal{N}_λ)\leq Cλ^{\frac{3}{2}}$的测度的一个上界。在这里，这些正常数$C$仅取决于表面。
2015-10-20 math.AP math.SP
Nodal sets of Dirichlet eigenfunctions in quasiconvex Lipschitz domains
本文将拟凸Lipschitz域类引入到椭圆算子边界唯一延拓的研究中，它同时涵盖了$C^1$和凸区域.特别地，我们证明了一般椭圆型方程在有界拟凸Lipschitz域上的Dirichlet特征函数的节点集大小的上界。我们的结果对于凸区域上的Laplace算子也是新的.
2023-03-03 math.AP
Boundedness of the number of nodal domains for eigenfunctions of generic Kaluza-Klein $3$-folds
本文研究了特殊黎曼$3$流形上Laplacian的本征函数的节域的个数，即黎曼曲面上的非平凡主$S^1$丛$P \to X$，它具有一定的$S^1$不变度量，即Kaluza-Klein度量.我们证明了一般的卡鲁扎-克莱因度量，任何拉普拉斯特征函数有两个节点域，除非它是不变的$S^1$行动。我们还构造了一个明确的正交本征基平坦$3$ -环面$\mathbb{T}^3$，其中每个非常数的本征函数属于基础有两个节点域。
2019-10-22 math.AP math.SP
Nodal length of Steklov eigenfunctions on real-analytic Riemannian surfaces
证明了带边界的实解析黎曼曲面上Steklov本征函数的节长的精确上界和下界。参数涉及频率函数方法的调和函数在内部的表面，以及建设的指数精确逼近的Steklov特征函数附近的边界。
2017-02-09 math.AP math.SP
Nodal sets of Laplace eigenfunctions under small perturbations
研究了紧致流形上拉普拉斯本征函数节点集在特定小扰动下的稳定性。我们证明，节点集是相当稳定的，如果说扰动是相对较小的，更正式地说，支持在一个亚波长尺度。我们不需要对节点集的拓扑作任何假设。作为一个间接的应用，我们能够表明，一定的“佩恩财产”有关的第二节线保持稳定的控制扰动下的域。
2020-11-18 math.AP math.FA math.SP
Lower bounds for interior nodal sets of Steklov eigenfunctions
研究了$n$维相对紧流形$M$中Steklov本征函数的内节点集$Z_λ$，证明了它的$(n-1)$维Hausdorff测度的大小存在下界$|Z_λ|\ge cλ^{\frac{2-n}2}$.证明是基于董型恒等式和Steklov特征函数的梯度估计，类似于那些在\cite{SZ1}和\cite{SZ2}，分别。
2015-03-27 math.AP
On the nodal line of a second eigenfunction of the Laplacian-Dirichlet in some annular domains with dihedral symmetry
设$Ω$是$\mathbb{R}^2$中的有界环形$C^{1,1}$区域，在$\mathbb{R}^2$的等距的二面体群$D_n$的作用下，$Ω$是左不变的.在$\frac{\partial}{\partial θ}$上的适当条件下，证明了第二Dirichlet本征函数的节线必与$Ω$的边界相交.
2014-11-02 math.AP
Lower bounds on nodal sets of eigenfunctions via the heat flow
研究了紧致无边界黎曼流形上Laplacian特征函数节点集的大小，并通过比较特征函数的热流与人工构造的扩散过程的热流，得到了当前最优的下界.同样的方法应该适用于许多其他问题;例如，我们证明了一个尖锐的结果，即节点域不能完全包含在“合理平坦”表面的一个小邻域中。我们期望新出现的概念与经典理论有更多的联系，并在这个方向上提出一些建议。
2015-07-03 math.AP
Uniform Distribution of Eigenstates on a Torus with Two Point Scatterers
本文研究了二维平面环面上的拉普拉斯算子受两个δ势扰动的情形。有两种类型的本征函数为该运营商：旧的，或未扰动的本征函数，这是本征函数的标准拉普拉斯算子，和新的，扰动本征函数的散射体的影响。证明了在散射点之差为丢番图的条件下，新的本征函数沿密度为1的序列在位形空间中均匀分布。
2017-01-24 math-ph math.AP math.MP
Intersection bounds for nodal sets of planar Neumann eigenfunctions with interior analytic curves
设$ Ω\subset R^2$是有界分片光滑区域，$ϕ_λ$是Neumann（或Dirichlet）特征函数，其特征值为$λ^2$，节点集为${ N}_{ϕ_λ} = {x \in Ω; ϕ_λ(x) = 0}.$，$H \subset Ω$是内曲线$C^ω$.考虑交数$$ n(λ,H):= \# (H \cap N_{ϕ_λ} ).$$我们首先证明了对于一般的分段解析域，在$H$上适当的“优”条件下，$$ n(λ,H) = {\mathcal O}_H(λ) (*)$$为$λ\rightarrow \infty.$.然后证明了在内部本征函数的量子遍历（QE）序列的情况下，如果$Ω$是凸的，且$H$具有严格正的测地曲率，则$(*)$中的界是满足的.
2014-07-01 math-ph math.AP math.DG
Nodal Sets of Steklov Eigenfunctions
研究了$\mathbb{R}^n$中光滑有界区域边界上Steklov本征函数的节点集--Dirichlet-to-Neumann映射的本征函数.在定义域$Ω$为$C^2$的假设下，证明了特征函数$u$的一个加倍性质.当$λ$增长到无穷大时，我们用特征值$λ$来估计$u|_{\partial Ω}$节点集的Hausdorff $\mathcal H^{n-2}$ -测度.在定义域$Ω$是解析的情况下，证明了多项式有界O（$λ^6$）.我们的论点，其中大量使用Almgren的频率函数，是建立在以前的作品[Garofalo和Lin，CPAM 40（1987），no.3; Lin，CPAM 42（1989），no.6]。
2014-02-18 math.AP
Graph structure of the nodal set and bounds on the number of critical points of eigenfunctions on Riemannian manifolds
本文将紧致二维Riemannian流形上Laplacian特征函数的零点集识别为嵌入度量图，并利用初等图论工具，依据特征值指标$k$与曲面Euler-Poincaré示性数估计了特征函数零点集的临界点数量及消失阶之和。
2025-05-05 math.AP
The nodal line of the second eigenfunction of the Robin Laplacian in $\mathbb{R}^2$ can be closed
我们在$\mathbb{R}^2$中构造了一个多连通区域，其中具有Robin边界条件的Laplacian算子的第二特征函数具有内部节点线。在这个过程中，我们适应的Donnelly-Fergusman型的边界，以获得一个统一的估计的大小的一个序列的解的一个序列的椭圆型方程的内部区域，这并不直接依赖于任何边界行为。这也给出了Dirichlet情形下例子的节线性质的一个新证明。
2010-09-24 math.AP
Nodal Sets of Laplacian Eigenfunctions with an Eigenvalue of Multiplicity 2
该研究针对重数为2的简并拉普拉斯特征值，分析矩形单边边界形变对结点集的影响，明确了小扰动下结点集的几何性质变化规律，证明一般形变下内部交叉破裂并给出结点集的位置与正则性估计。
2025-01-14 math.AP
Nodal sets of eigenfunctions of sub-Laplacians
本文首次研究紧流形上次拉普拉斯算子特征函数的节点集，揭示其各向异性行为，并给出反例说明其豪斯多夫测度不能被 Yau 猜想的 $\sqrtλ$ 所界定。
2023-09-19 math.AP
Nodal intersections and Lp restriction theorems on the torus
研究了标准环面上拉普拉斯算子的本征函数的节线与固定参考曲线的交点数，即本征函数限制在参考曲线上的零点个数。上界是波数k。当曲线没有地方为零曲率时，我们推测，直到常数倍数，这也应该是正确的a下界。我们给出了一个下界，它与这个下界相差一个算术量，这个算术量是以半径为k的圆上波数k的平方根大小的弧中格点的最大数目给出的。根据Cilleruelo和Granville的猜想，这个量是有界的，在这种情况下，我们恢复我们的猜想。为了得到下界，我们将问题简化为给出特征函数对曲线的限制的L1范数的下界，然后给出L4限制范数的上界。
2014-02-04 math-ph math.AP math.MP
Nodal sets and growth exponents of Laplace eigenfunctions on surfaces
我们证明了F.纳扎罗夫湖Polterovich和M. Sodin表示在一个闭曲面上Laplace本征函数的平均局部增长与其节点集的整体大小之间的关系。更准确地说，我们提供了一个下限和上界的Hausdorff措施的节点集方面的期望值的增长指数的本征函数的波长像半径的磁盘。结合丘的猜想，结果表明，在半经典极限中，这样的圆盘上的本征函数的平均局部增长是有界的。我们还得到的结果，链接的节点集的大小与增长的平面薛定谔方程的解决方案，具有小的潜力。
2014-12-01 math.AP math.SP
Prescribing the nodal set of the first eigenfunction in each conformal class
本文考虑在共形类中确定拉普拉斯算子的第一非平凡本征函数的节点集的问题。我们的主要结果是，给定维数为$d \geq 3$的紧致黎曼流形$(M,g_0)$中的一个可分离闭超曲面$Σ$，在$M$上存在一个度量$g$，它与$g_0$共形等价且具有相同的体积，使得它的第一个非平凡本征函数的节点集是$Σ$的一个$C^0$ -小变形（即，$Φ(Σ)$，其中$Φ: M \to M$是任意接近于$C^0$范数中的恒等式的同构）。
2015-03-17 math.AP math.DG math.SP
Quantum ergodicity for a point scatterer on the three-dimensional torus
考虑标准三维平坦环面上的点散射体（拉普拉斯算子受δ势扰动）。与拉普拉斯算子的本征函数在该点处消失，该算子有一组新的扰动本征函数。在最近的一篇论文中，作者能够证明所有的扰动本征函数均匀分布在位形空间。本文证明了几乎所有的本征函数在相空间中是均匀分布的，即证明了扰动本征函数的子空间的量子遍历性。Kurlberg和Ueberschär最近证明了二维环面上点散射体的类似结果。
2013-12-27 math-ph math.AP math.MP
On Courant's nodal domain property for linear combinations of eigenfunctions, Part I
根据柯朗定理，与第$λ\_n$个本征值有关的本征函数至多有$n$节点域.柯朗和希尔伯特的书中的一个脚注指出，对于特征值小于或等于$λ\_n$的特征函数的任何线性组合，同样的断言也是正确的。我们把这个断言称为\emph{Extended Courant Property}。\smallskipIn本文中，我们提出了简单而明确的例子，其中扩展的柯朗性质是假的：凸域$\R^n$（超立方体和等边三角形），域与裂纹在$\mathbb{R}^2$，在圆形球体$\mathbb{S}^2$，并在一个平坦的环面$\mathbb{T}^2$。
2018-10-19 math-ph math.AP math.DG
Nodal line estimates for the second Dirichlet eigenfunction
本文研究了广义曲线四元图中低能Dirichlet本征函数的节点曲线。这些技术可以看作是Grieser-Jerison在一系列关于凸平面域和具有一个弯曲边缘和大纵横比的矩形的作品中开发的工具的推广。在这里，我们更详细地研究了节点曲线的结构，因为我们发现精确的边界上的曲率，与统一的估计，以满足域在直角的两个点，并表明，我们的许多结果保持相对较小的长宽比的边长。我们还讨论了我们的研究结果的应用程序的Courant-sharp特征函数和频谱分割。
2019-05-02 math.AP math.SP
Eigenfunction asymptotics and nodal domain estimates for dumbbell domains
Fordham University（福特汉姆大学）；University of North Carolina（北卡罗来纳大学）
研究哑铃区域Neumann特征函数节点结构，证明颈部变薄时节点域数量增加，第三特征函数达到Courant上界，并利用匹配渐近分析克服奇异极限困难。
2026-09-29 math.AP math.SP
Average $L^q$ growth and nodal sets of eigenfunctions of the Laplacian on surfaces
在最近的一篇论文中，我们展示了表面上拉普拉斯本征函数的平均局部增长与其节点集的大小之间的联系。在该文件中，平均本地增长计算使用均匀或$L^\infty$-生长指数的波长半径的磁盘。本文的目的是用$q \in (1, \infty)$证明更广泛的一类$L^q$增长指数的类似结果。更准确地说，我们表明，节点集的大小是有界的平均本地$L^q$增长与频率的产品以上和以下。我们简要地讨论了这个新结果与丘氏关于节点集大小猜想之间的关系。
2015-10-08 math.AP math.SP
Statistics of wave functions for a point scatterer on the torus
在几乎所有本征态均匀分布于相空间的意义上，其经典对应物具有遍历动力学的量子系统是量子遍历的。与此相反，当经典动力学是可积的时，在相空间的不变结构上存在本征函数的集中。在本文中，我们研究的拉普拉斯方程的本征函数统计的三角洲电位（也被称为点散射体）扰动的一个平坦的环面，一个流行的模型，用于研究量子力学中的可积性和混沌之间的过渡。该算子的本征函数由在散射体处消失的拉普拉斯算子的本征函数和新的或扰动的本征函数组成。我们证明了几乎所有的扰动本征函数都均匀分布在位形空间中。
2012-04-22 math-ph math.AP math.MP
Inner radius of nodal domains of quantum ergodic eigenfunctions
本文证明了本征函数的量子遍历序列的Mangoubi关于节域内径的下界可以根据本征函数均匀分布的收缩球半径的一定幂而得到改进.我们证明了这样的改进，使用我们最近的结果（arXiv：1606.02057）的快速应用程序，这给修改后的增长估计等分布在小球上的本征函数。由于Han和Mrsari-Rivière的结果对于曲率收缩球上的负曲流形的小尺度QE成立，我们得到了这类流形的内径的对数改进。我们也得到了改进的流形遍历测地流。此外，利用Lester-Rudnick的小尺度等分布结果，得到了$n \geq 3$维的环面本征函数的多项式改进.结果只适用于本征函数的全密度子序列。
2016-06-10 math.AP math.DG math.SP
The sharp upper bound for the area of the nodal sets of Dirichlet Laplace eigenfunctions
设$Ω$是$\mathbb{R}^n$中具有$C^{1}$边界的有界区域，$u_λ$是$Ω$中具有特征值$λ$的Dirichlet Laplace特征函数.证明了$u_λ$的零集的$(n-1)$维Hausdorff测度不超过$C(Ω)\sqrtλ$ .这一结果对于具有$C^\infty$ -光滑边界的区域也是新的.
2021-04-19 math.AP math.DG math.SP
Nodal properties of eigenfunctions of a generalized buckling problem on balls
在本文中，我们感兴趣的四阶本征值问题来自液体衬底上的薄膜的屈曲：\begin{equation*} \begin{cases} Δ^2 u+ κ^2 u=-λΔu &\text{in } B_1,\newline u=\partial_r u= 0 &\text{on } \partial B_1, \end{cases} \end{equation*}其中$B_1$是单位球$\mathbb{R}^N$。当$κ> 0$是小的，我们表明，第一本征值是简单的，第一本征函数，这给了小位移的膜的形状，是积极的。然而，当$κ$增加时，我们建立第一特征值并不总是简单的，第一特征函数可能改变符号。更精确地说，对于任何$κ\in (0,+\infty)$，我们给出了第一本征值的确切重数和第一本征函数的节点区域的数目。
2014-08-26 math.AP
On nodal and generalized singular structures of Laplacian eigenfunctions and applications in $\mathbb{R}^3$
本文是我们最近关于Laplacian本征函数的几何结构及其在逆散射问题中的应用的工作[3]的继续和推广。在文献[3]中，研究了拉普拉斯本征函数在两条节点或广义奇异线相交点处的解析行为。它揭示了一个有趣的性质，即本征函数在交点处的消失阶与相交角的合理性有关。在本文中，我们认为这样一个研究的3D对应的拉普拉斯特征函数的节点或广义奇异平面相交的地方研究的分析行为。与2D情况相比，几何情况更加复杂：两个平面的相交生成边角，而三个以上平面的相交生成顶点角。我们为所有这些病例提供了全面的特征描述。此外，我们应用谱结果为通过相关散射远场测量恢复形状以及（可能的）表面阻抗参数的几何逆问题建立了一些新颖的唯一可识别性结果。
2019-09-23 math.AP
Geometric structures in the nodal sets of eigenfunctions of the Dirac operator
我们证明了，在$n\geq3$维的圆球中，对于任意复杂拓扑的余维为2的光滑子流形$\mathfrak{S}:=\{Σ_1,...,Σ_N\}$（$N$是旋量丛的复维数），总存在Dirac算子的本征函数$ψ=(ψ_1,...,ψ_N)$，使得每个子流形$Σ_a$，模环境同态，是旋量分量$ψ_a$的结构稳定节点集.这个结果适用于旋量丛平凡化的任何选择。这些结构的出现发生在小尺度和足够高的能量。
2017-12-29 math.AP math.DG math.SP
The sharp estimate of nodal sets for Dirichlet Laplace eigenfunctions in polytopes
本文研究有界 Lipschitz 多面体中 Dirichlet Laplace 特征函数的节点集测度，证明其上界为 $C(P)\sqrtλ$，并将已有拟凸区域结果推广至一般多面体。
2024-03-01 math.AP
Measure Upper Bounds for Nodal Sets of Eigenfunctions of the bi-Harmonic Operator
在这篇文章中，我们考虑双调和算子的本征函数$u$，即，$\triangle^2u=λ^2u$在具有齐次线性边界条件的$Ω$上。我们假设$Ω\subseteq\mathbb{R}^n$（$n\geq2$）是$C^{\infty}$有界域，$\partialΩ$是分段解析的，$\partialΩ$是解析的，除了一个集合$Γ\subseteq\partialΩ$是$\partialΩ$的一些紧$(n-2)$维子流形的有限并.本文的主要结果是本征函数节点集的测度上界受$\sqrtλ$控制。我们首先定义了一个频率函数和一个与这些特征函数相关的加倍指数。通过建立单调性公式、加倍条件和各种先验估计，我们得到了球中这些本征函数节点集的$(n-1)$维Hausdorff测度受频率函数和$\sqrtλ$的控制.为了进一步用$\sqrtλ$控制频率函数，首先建立频率函数与倍化指数之间的关系，然后将区域$Ω$分为远离$Γ$的区域和靠近$Γ$的区域，并分别针对这两种情况发展迭代参数.
2017-09-01 math.AP
Hausdorff measure bounds for nodal sets of Steklov eigenfunctions
本文研究有界$\mathcal{C}^2$区域内Steklov特征函数的节点集，建立了与特征值无关的Hausdorff测度下界，并给出含$\lambda\log(\lambda+e)$因子的近乎精确上界。
2022-09-13 math.AP math.SP
Closed nodal lines and interior hot spots of the second eigenfunction of the Laplacian on surfaces
我们在总面积固定的单位圆盘上建立了一个单参数S^{1}-不变度量族，其中Laplace算子的第二本征值在Neumann和Dirichlet边界条件下都是简单的，并且有一个具有封闭节线的本征函数.在Neumann边界条件下，我们还证明了该特征函数在一个内点处达到极大值，从而为单连通曲面上的热点猜想提供了一个反例.这是一个更强的结果，在这个家庭的度量任何给定的（有限）数量的S^{1}不变的特征值可以是任意小，而非不变的频谱变得任意大。
2000-09-15 math.AP math.SP
Hausdorff measure bound for the nodal sets of Neumann Laplace eigenfunctions
该研究针对带$\mathcal{C}^{1,1}$边界的有界域内的Neumann拉普拉斯特征函数，推导得出其节点集的$n-1$维Hausdorff测度满足$\mathcal{H}^{n-1}(\{u_\lambda=0\})\leq C\sqrt{\lambda}$的上界估计。
2024-03-06 math.AP math.DG math.SP
Nodal domains and spectral minimal partitions
我们考虑有界域上的二维薛定谔算子。我们分析了本征函数的节点域、谱最小划分和相应算子的谱性质之间的关系。主要结果涉及的存在性和规律性的最小分区与节点集的节点域的Courant-sharp特征函数。
2006-10-31 math.AP math.SP
A Counterexample to the Closed Nodal-Line Conjecture for the Third Eigenfunction of the Planar Dirichlet Laplacian
Beijing Normal University（北京师范大学）
针对平面Dirichlet Laplacian第三本征函数的闭节线猜想，构造出一个第三Dirichlet特征值为单重、节集含两条不相交闭曲线的反例，完成猜想的否定。
2026-08-31 math.AP math.SP
Number of nodal domains of eigenfunctions on non-positively curved surfaces with concave boundary
证明在黎曼流形$(M, g)$上存在一列$Δ_g$ -特征函数$ϕ_{j_k}$，使得节点域的个数$N(ϕ_{j_k}) $随着特征值趋于无穷大，这是一个普遍的公开问题.我们的主要结果是：如果$(M, g)$是一个具有凹边界的非正曲面，即广义Sinai台球或Lorentz台球，则$N(ϕ_{j_k}) \to \infty$沿密度$1$的一个特征值子序列.不像最近密切相关的工作Ghosh Reznikov Sarnak和作者的节点域计数问题，表面不需要有任何对称性。
2014-11-20 math.AP math.SP
The Sharp Measure Upper Bound of the Nodal Sets of Neumann Laplace Eigenfunctions on C1,1 Domains
本文研究了 C^{1,1} 区域上 Neumann Laplace 特征函数的结集测度问题，证明了其零集的 (n-1) 维 Hausdorff 测度不超过 C√λ 的精确上界。
2024-12-22 math.AP
