Planck-scale number of nodal domains for toral eigenfunctions
我们研究了球收缩略高于普朗克尺度的节点域的数量为“通用”toral本征函数。我们证明了，到自然缩放，节点域计数服从相同的渐近规律作为节点域的整体数量。证明，一方面，使用新的算术信息，以完善布尔甘的去随机化技术在普朗克尺度。另一方面，它需要一个普朗克尺度版本的丘氏猜想，我们相信这是独立的利益。
2020-01-17 math.NT math.SP
Capacity estimates and improved lower bounds for the inner radius of nodal domains
University College London（伦敦大学学院）
该研究针对闭光滑流形上拉普拉斯特征函数节点域，给出了不同维数下其内半径的下界估计，并证明了$\mathbb{T}^d$上存在内半径更小的节点域序列。
2026-08-04 math.AP math.SP
Nodal Geometry, Heat Diffusion and Brownian Motion
我们使用$n$维布朗运动的工具，结合Feynman-Kac公式的热扩散，研究节点几何上的一个紧凑的黎曼流形$M$。一方面，我们推广了Lieb的一个定理，证明了任何节域$Ω_λ$几乎完全包含一个半径为$\sim \frac{1}{\sqrtλ}$的球.这也给出了Mangoubi关于节域内径（\cite{Man2}）的结果的一个细微改进。另一方面，我们也证明了没有节点域可以包含在一个合理的薄管状邻域的工会内的$M$许多表面。
2017-08-14 math.AP math.DG math.SP
Free boundary minimal surfaces of any topological type in Euclidean balls via shape optimization
对于任何具有光滑非空边界的紧致曲面$Σ$，我们构造了一个自由边界极小浸入到欧氏球$\mathbb{B}^N$中，其中$N$是根据$Σ$的拓扑结构来控制的.我们获得这些作为最大化度量的等周问题的第一个非平凡的斯捷克洛夫特征值。我们的主要技术成果涉及渐近控制的特征值在一个微妙的胶合建设，使我们能够证明剩余的光谱间隙条件，以完成该计划的弗雷泽-舍恩和第二命名的作者，以获得这样的mazimizing度量。我们的建设从早期的工作，由第一个命名的作者与Siffert在封闭的情况下相应的问题的动机。
2020-04-21 math.AP math.DG math.SP
Spectral decomposition of discrepancy kernels on the Euclidean ball, the special orthogonal group, and the Grassmannian manifold
为了用有限原子测度对Borel概率测度进行数值逼近，我们研究了在$\mathbb{R}^d$的紧子集上的差异核的谱分解.对于奇数维欧氏球、旋转群$SO(3)$和格拉斯曼流形$\mathcal{G}_{2,4}$的限制，我们计算核的傅里叶系数并确定它们的渐近性。然后在傅立叶域中表达$L_2$-差异，其使得能够基于非等间距快速傅里叶变换进行有效的数值最小化。对于$SO(3)$，非等间距快速傅立叶变换是公开可用的，并且对于$\mathcal{G}_{2,4}$，变换在这里导出。我们还提供了$SO(3)$和$\mathcal{G}_{2,4}$的数值实验。
2019-09-26 cs.NA math.NA math.SP
Some remarks on nodal geometry in the smooth setting
考虑光滑闭黎曼流形上的Laplace特征函数$φ_λ$，即满足$-Δφ_λ= λφ_λ$ .我们介绍了几个意见的几何消失（节点）集和相应的节点域。首先，我们给出了$φ_λ$节点集周围管状邻域体积的渐近上、下界。在$ (M, g) $是实解析的情况下，这扩展了Jakobson和Mangoubi以前的工作。在我们的讨论中，一个重要的成分是一些最近的技术，由于对数（cf。\cite{L1}）。第二，我们展示了一些有关节点域的渐近几何的评论。特别是，我们观察到一个类似的结果程在高维关于内部的开角的节点域在一个奇点。进一步，对于$φ_λ$满足指数小$L^\infty$界的节点域$Ω_λ$，给出了内接球半径的一些定量估计.
2017-07-15 math.AP math.DG math.SP
Nonradiality of second eigenfunctions of the fractional Laplacian in a ball
University of West Bohemia（西波希米亚大学）；Institute of Mathematics, Ufa Federal Research Centre, RAS（俄罗斯科学院乌法联邦研究中心数学研究所）；Masaryk University（马萨里克大学）
研究显示，在单位球中，分数拉普拉斯算子的第二特征函数非径向，其节点集为球体的赤道截面。
2022-03-02 math.AP math.SP
Pólya's Conjecture for the Neumann Eigenvalues on Euclidean Balls
School of Mathematics and Statistics Nanfang College（南方学院数学与统计学院）
研究欧几里得球上诺伊曼拉普拉斯算子的波利亚猜想下界，通过严格罗宾比较、变分界等方法，在不同频率范围进行估计，最终证明该猜想，有限有理计算辅助证明。
2026-08-06 math.AP math.CA math.SP
$L^p$ norms, nodal sets, and quantum ergodicity
对于小范围的$p>2$，我们改进了负曲流形上拉普拉斯算子的特征函数的$L^p$界.我们的改进是由幂对数的全密度序列的特征函数。我们还得到改进的节点集的大小。我们的证明是基于量子遍历性的独立利益，这适用于家庭的符号支持球的半径以对数率收缩。
2015-03-30 math-ph math.AP math.DS
Localized frames on Euclidean balls
Independent Researcher（独立研究者）；Department of Mathematics, The University of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校数学系）；Department of Mathematics, CUNY, The Graduate Center（纽约市立大学研究生中心数学系）
研究构造适用于欧几里得球的显式波包框架，通过该框架对时空谱极限算子进行定量特征值估计，利用框架的定量傅里叶局部化估计得出相关 plunge 区域的上界。
2026-07-28 math.AP math.FA math.SP
Nodal sets of thin curved layers
本文讨论了任意维欧几里得空间中Dirichlet Laplacian的特征函数在超曲面的细管状邻域中的节点集的位置。在邻域半径趋于零的极限中，已知拉普拉斯算子的谱性质可以通过超曲面上的有效薛定谔算子很好地近似，该超曲面具有仅用主曲率表示的势。利用椭圆型偏微分方程的技巧，加强了已有的扰动结果，得到了特征函数在Hölder空间中的收敛性.这使我们特别能够得出结论，每个节点集与管状邻域的边界有一个非空的交集。
2014-06-16 math-ph math.AP math.DG
Location of the nodal set for thin curved tubes
研究了任意维欧几里得空间中任意等截面曲管沿有界曲线随Tang标架旋转时的Dirichlet Laplacian，在截面体积减小的极限下.我们表明，谱性质的拉普拉斯算子，在这个限制，近似的Dirichlet拉普拉斯算子的横截面和一维薛定谔算子，其潜在的表示仅在第一曲率的参考曲线的总和。特别地，我们建立了特征值的收敛性，特征函数的一致收敛性以及Dirichlet Laplacian算子在一维Schrodinger算子节点附近的节点集.作为结果，我们证明了一类非凸和可能的多连通域的“切线猜想”。这些结果是基于一个扰动理论发展的薛定谔型运营商在一个直管的截面缩小。
2007-03-01 math.AP math.SP
Pleijel nodal domain theorem in non-smooth setting
本文在非塌缩 RCD 空间及低正则 Euclidean 区域中证明 Pleijel 定理，建立节点域数渐近上界，并推出 Courant 定理至多有有限个例外。
2023-09-26 math.AP math.MG math.SP
Eigenvalues on Spherically Symmetric Manifolds
在这篇文章中，我们将探讨球对称流形上球的Dirichlet Laplace特征值。我们将比较任意Dirichlet Laplace本征值与欧几里得空间中具有相同半径的球上相应的Dirichlet Laplace本征值。作为特例，我们将证明球面上小半径球的Dirichlet Laplace特征值小于相同半径欧几里德球的相应特征值。而对于双曲空间的Dirichlet Laplace特征值则相反。
2022-03-22 math.AP math.DG math.SP
Domains without dense Steklov nodal sets
本文研究二维区域上Steklov特征值问题$$ -Δϕ_{σ_j}=0,\quad\text{ on }Ω,\qquad\qquad \partial_νϕ_{σ_j}=σ_j ϕ_{σ_j}\quad \text{ on }\partialΩ$$的特征函数节点集的渐近几何性质。特别地，本文给出了具有解析边界的二维单连通域的稠密族$\mathcal{A}$，使得对于每个$Ω\in \mathcal{A}$，特征函数$ϕ_{σ_j}$“的节点集在尺度$σ_j^{-1}$上是$not$稠密的.这个结果解决了Girouard和Polterovich，J. Spectr. Theory，321-359（2017）.事实上，本文的结果表明，对于域$Ω\in \mathcal{A}$，与本征值$σ_j$相关的本征函数$ϕ_{σ_j}$的节点集具有与预期完全不同的性质：它们在任何收缩尺度上都不稠密。更精确地，对于每个$Ω\in \mathcal{A}$，存在值$r_1>0$，使得对于每个$j$，存在$x_j\in Ω$，使得$ϕ_{σ_j}$在围绕$x_j$的半径为$r_1$的球上不消失。
2019-08-09 math.AP math.SP
Pólya's conjecture for Euclidean balls
本文证明了圆盘、任意平面扇形及任意维度球（Dirichlet情形）的Pólya猜想，使其成为首个验证该猜想的非铺砌平面域，并发展了特征值与格点计数函数间的一致界限关系。
2023-05-09 math.CA math.NT math.SP
On Pleijel-type nodal domain bounds for the $p$-Laplacian
针对有界域中 $p$-Laplacian 的余属特征值，给出节点域渐近数量的 Pleijel 型上界，并确定第 $k$ 个特征函数节点域数小于 $k$ 的条件。
2026-07-01 math.AP math.SP
Local version of Courant's nodal domain theorem
本文针对闭 Riemann 流形上 Laplace 算子特征函数，结合 Remez 型不等式与 Landis 型增长引理，证明了与局部球相交的结点域数量的精确估计，解决了 Donnelly 和 Fefferman 提出的局部界限问题。
2020-08-03 math.AP math.DG math.SP
