节点几何、热扩散与布朗运动
Nodal Geometry, Heat Diffusion and Brownian Motion
摘要：
我们使用$n$维布朗运动的工具，结合Feynman-Kac公式的热扩散，研究节点几何上的一个紧凑的黎曼流形$M$。一方面，我们推广了Lieb的一个定理，证明了任何节域$Ω_λ$几乎完全包含一个半径为$\sim \frac{1}{\sqrtλ}$的球.这也给出了Mangoubi关于节域内径（\cite{Man2}）的结果的一个细微改进。另一方面，我们也证明了没有节点域可以包含在一个合理的薄管状邻域的工会内的$M$许多表面。
英文摘要：
We use tools from $n$-dimensional Brownian motion in conjunction with the Feynman-Kac formulation of heat diffusion to study nodal geometry on a compact Riemannian manifold $M$. On one hand we extend a theorem of Lieb and prove that any nodal domain $Ω_λ$ almost fully contains a ball of radius $\sim \frac{1}{\sqrtλ}$. This also gives a slight refinement of a result by Mangoubi, concerning the inradius of nodal domains (\cite{Man2}). On the other hand, we also prove that no nodal domain can be contained in a reasonably thin tubular neighbourhood of unions of finitely many surfaces inside $M$.
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