在何处放置球形障碍物以使第二Dirichlet eigenvalue最大化
Where to place a spherical obstacle so as to maximize the second Dirichlet eigenvalue
摘要：
我们证明了在所有双连通域的$\mathbb{R}^n$由两个球的半径给定的限制，第二特征值的Dirichlet拉普拉斯算子达到其最大值时，球是同心的（球壳）。第一本征值的相应结果已经由Hersch在2维中建立，并由Harrell，Kröger和Kurata和Kesavan在任何维中建立。我们还证明了当周围空间$\mathbb{R}^n$被替换为标准球面$\mathbb{S}^n$或双曲空间$\mathbb{H}^n$时，同样的结果仍然有效。
英文摘要：
We prove that among all doubly connected domains of $\mathbb{R}^n$ bounded by two spheres of given radii, the second eigenvalue of the Dirichlet Laplacian achieves its maximum when the spheres are concentric (spherical shell). The corresponding result for the first eigenvalue has been established by Hersch in dimension 2, and by Harrell, Kröger and Kurata and Kesavan in any dimension. We also prove that the same result remains valid when the ambient space $\mathbb{R}^n$ is replaced by the standard sphere $\mathbb{S}^n$ or the hyperbolic space $\mathbb{H}^n$ .
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