Unified Octonionic Representation of the 10-13 Dimensions Clifford Algebra
Khaled Abdel-Khalek
我们给出了不同Clifford代数$Cliff(5,5)\sim Cliff(1,9), Cliff(6,6)\sim Cliff(2,10)$的一维八元数表示，最后给出了$Cliff(7,6)\sim Cliff(3,10)$的一维八元数表示.
We give a one dimensional octonionic representation of the different Clifford algebra $Cliff(5,5)\sim Cliff(1,9), Cliff(6,6)\sim Cliff(2,10)$ and lastly $Cliff(7,6)\sim Cliff(3,10)$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Superalgebras of (split-)division algebras and the split octonionic M-theory in (6,5)-signature
研究了（分裂）除代数与Clifford代数和超对称的关系.首先介绍了由任意给定的（分裂）除代数构造的超代数类。我们进一步指定哪些真正的Clifford代数和真正的基本旋量可以重新表示的分裂四元数。最后，我们构造了允许玻色张量中心荷的广义超对称。特别地，我们证明了分裂八元数允许引入一个分裂八元数M-代数，它将11维八元数M-代数（只存在于（10，1）Minkowski和（2，9）签名中）的性质推广到（6，5）签名上.
Clifford algebra-parametrized octonions and generalizations
通过引入Cl（0，7）的多向量与八元数之间的乘积，得到一个八元数，并在特定情况下得到非结合的标准八元数乘积，我们推广了八元数X-乘积和XY-乘积，并结合了7-球面上切丛上玻色子场和费米子场的变换规则.我们还提出了必要的形式主义，以构建Clifford代数参数化八元数。最后，我们介绍了一种构造广义八元数代数的方法，其中它们的八元数单位由任意Clifford多向量参数化。Clifford多向量和八元数之间的产品，导致一个八元数，示出共享分级关联，超对称性质。我们还调查了推广的Moufang身份，为每一个产品介绍。X-积等于由挠率张量给出的平行化挠率的两倍，并用于研究S7卡茨-穆迪代数。X-积也被用来获得三度映射和G2作用，它自然地导致了显着的几何和拓扑性质，例如十维中的Hopf纤维化和扭量形式主义。八元数在寻求统一中的重要性是基于这样的事实，例如，通过将除代数值超代数扩展到八元数，在D=11中可以构造一个八元数广义庞加莱超代数，即所谓的八元数M-代数，它描述了八元数M-理论，其中八元数超2-膜和八元数超5-膜扇区被证明是等价的。此外，八元数形式主义还有其他广泛的推广和应用，如四元数和八元数旋量的分类和伪八元数形式主义。
An octonionic formulation of the M-theory algebra
我们给出了D = 11中N = 1超对称代数的八元数公式，其中包含了所有的膜荷。我们用一种新的外积来表示，它取除代数A的一对元素，并返回A上的一个实线性算子。更一般地说，有了这个乘积，就有能力用n维除代数A中的乘法来重写R^n（n = 1，2，4，8）上的任何线性运算。最后，我们考虑了D = 11超对称代数在D = 4中的八元数代数的重新解释和可除子代数的截断。
We consider a formulation of Yang-Mills theory where the gauge field is valued on an octonionic algebra and the gauge transformation is the group of automorphisms of it. We show, under mild assumptions, that the only possible gauge formulations are the usual $\mathfrak{su}(2)$ or $\mathfrak{u}(1)$ Yang-Mills theories.
Dirac and Maxwell systems in split octonions
本文利用分裂八元数表示 SO(4,4)/Spin(4,4) 及三线性不变量，构造推广 Dirac 与 Maxwell 系统的 Lagrangian，并证明其方程对应分裂八元数解析性条件。
In this work we present a useful way to introduce the octonionic projective and hyperbolic plane through the use of Veronese vectors. Then we focus on their relation with the exceptional Jordan algebra and show that the Veronese vectors are the rank-one elements of the algebra. We then study groups of motions over the octonionic plane recovering all real forms of G2, F4and E6 groups and finally give a classification of all octonionic and split-octonionic planes as symmetric spaces.
E7 groups from octonionic magic square
在本文中，我们继续我们的计划，开始在[2]中，建立显式广义欧拉角参数化的所有例外紧李群。在这里，我们解决了E7的问题，首先提供显式矩阵实现的山雀建设之间的特殊八元代数J和四元代数H的幻方产品，无论是在伴随和56维表示。然后，我们从E7的极大子群U=（E6 × U（1））/Z3出发，给出E7的欧拉参数化。其次，我们给出了所有其它极大紧子群的构造。
Generalization of Lagrangian of electro-weak interaction to the octonionic algebra
本文考虑了Weinberg-Salam理论从SU（2）群到八元数代数的推广。用扩展的八元数代数代替su（2）上的旋量作为粒子波函数。结果表明，这导致出现了一个新的中性质量矢量C和E玻色子（E玻色子的特殊性质是，它不与物质相互作用），和两个带电的质量矢量$D$和$D^*$玻色子。
Isotopic liftings of Clifford algebras and applications in elementary particle mass matrices
研究了Clifford代数中代数结构的同位素提升问题，定义了一个新的乘积，它涉及Clifford代数中的一个任意但固定的元素。该元素作为引入产品的单位，称为isounit。我们在结合和非结合的任意代数中构造同位素，这些构造的例子使用Clifford代数展示，虽然结合，可以生成八元数，非结合，代数。整个形式主义是在Clifford代数舞台上发展起来的，也给出了引入外代数的同位素的必要前提。当构造了同位素李代数su（6）的生成元时，证明了u，d，s，c，b，t六夸克的味强子对称性是精确的，并证明了同位素Clifford代数的单位是六夸克质量的函数.约束参数的限制，即同位素群SU（6）中Isounit表示的条目，是基于最近对夸克质量施加的限制。
Collineation groups of octonionic and split-octonionic planes
本文用 Veronese 向量刻画八元数与分裂八元数射影、双曲平面及其直射群实形式，并借助 Okubo 代数和副八元数代数给出最小构造。
Octonionic Electrodynamics
在分裂八元数代数中导出了真空中的狄拉克算符和麦克斯韦方程。给出了从满八元数方程到经典Maxwell-Heaviside方程的近似。经典电动力学中磁单极子的不存在与结合论极限的应用有关。
Group Theoretical Description of Space Inversion, Time Reversal and Charge Conjugation
给出了基本离散对称性（空间反演P、时间反演T和电荷共轭C）的群论描述。利用Clifford代数的基本自同构，研究了实数域和复数域上多维空间正交群的离散子群。根据除环的结构，对实数域和复数域上的Clifford代数建立了自同构群的完全分类。利用Clifford代数的旋量表示研究了真正交Lorentz群的二维表示。实数，复数，四元数和八元数表示的洛伦兹群被认为是。Atiayh-Bott-Shapiro周期定义在Lorentz群上。介绍了洛伦兹群的商表示。结果表明，商表示是最适合的描述无质量的物理场。给出了基本物理场的代数构造。
Clifford Algebras and Lorentz Group
利用Clifford代数的旋量表示研究了真正交Lorentz群的二维表示。克利福德代数被理解为洛伦兹群的有限维表示的完整系统的“代数覆盖”。在所有的表示空间上定义了由Clifford代数的基本自同构表示的时空离散对称P、T和PT。实数，复数，四元数和八元数表示的洛伦兹群被认为是。不同类型的物理场在这样的表示中被公式化。Atiyah-Bott-Shapiro周期定义在Lorentz群上。结果表明，Clifford代数的模2和模8周期性可以使我们对de Broglie-Jordan中微子光理论和粒子物理中的Gell-Mann-Ne'emann八重方式有一个新的认识.在表示空间上，电荷共轭C由复Clifford代数的伪自同构表示。介绍了洛伦兹群的商表示。结果表明，商表示是最适合的描述无质量的物理场。作为例子，中微子场通过最简单的商表示来描述。给出了中微子场的Weyl-Hestenes方程。
Octonionic formulation of the fully symmetric Maxwell's equations in 3+1 dimensions
使用八元数，更具体地说，使用借助四元数的代数性质获得的八元数的4 x 4矩阵表示，我们获得了完全对称的麦克斯韦方程组（具有电、磁电荷和电流的麦克斯韦方程组，在二元变换下是不变的）。
The purpose of this paper is to provide an octonionic description of the Lie group $SL(2,{\mathbb O})$. The main result states that it can be obtained as a free group generated by invertible and determinant preserving transformations from $\mathfrak{h}_2({\mathbb O})$ onto itself. An interesting characterization is given for the generators of $G_2$. Also, explicit isomorphisms are constructed between the Lie algebras $\mathfrak{sl}(2,{\mathbb K})$, for ${\mathbb K}={\mathbb R}, {\mathbb C}, {\mathbb H}, {\mathbb O}$, and their corresponding Lorentz algebras.
Canonical quantization in a spinor substructure of Minkowski space
本研究将闵可夫斯基时空坐标分解为带分裂克利福德代数分量的外尔旋量，定义对应泊松括号开展点粒子与弦的量子化，结合八元数推导得到十维洛伦兹不变弦作用量。
Clifford algebras, meson algebras and higher order generalisations
本文研究了克莱因和介子代数的同质部分，并提出了一种针对所有阶数费米子para统计的更高阶推广方法。
Clifford algebras obtained by twisting of group algebras
我们研究Clifford代数的构造和性质，其方法与我们以前构造八元数的方法类似，即把Z_2 ^n的群代数用一个上圈扭曲。我们的方法比通常的基于生成元和关系的方法更一般。特别地，我们得到了Clifford代数中旋量的周期性和一个新的构造。
The Clifford algebra of a n-dimensional Euclidean vector space provides a general language comprising vectors, complex numbers, quaternions, Grassman algebra, Pauli and Dirac matrices. In this work, we present an introduction to the main ideas of Clifford algebra, with the main goal to develop a package for Clifford algebra calculations for the computer algebra program Mathematica. The Clifford algebra package is thus a powerful tool since it allows the manipulation of all Clifford mathematical objects. The package also provides a visualization tool for elements of Clifford Algebra in the 3-di…
Unitary spaces on Clifford algebras
对于维数n=p+q的复Clifford代数Cl（p，q），我们定义了一个Hermitian纯量积.这个标量积依赖于Clifford代数的签名（p，q）。因此，我们得到了Clifford代数上的酉空间。借助于厄米特幂等元，我们提出了一种新的构造，所谓的正规矩阵表示的Clifford代数元素。这些表示考虑了Clifford代数上酉空间的结构。
In his study on the geometry of Lie groups, Rosenfeld postulated a strict relation between all real forms of exceptional Lie groups and the isometries of projective and hyperbolic spaces over the (rank-2) tensor product of Hurwitz algebras taken with appropriate conjugations. Unfortunately, the procedure carried out by Rosenfeld was not rigorous, since many of the theorems he had been using do not actually hold true in the case of algebras that are not alternative nor power-associative. A more rigorous approach to the definition of all the planes presented more than thirty years ago by Rosenfe…
In this paper we further develop the method of quaternion typification of Clifford algebra elements suggested by the author in the previous paper. On the basis of new classification of Clifford algebra elements it is possible to reveal and prove a number of new properties of Clifford algebra. We use k-fold commutators and anticommutators. In this paper we consider Clifford and exterior degrees and elementary functions of Clifford algebra elements.
Between Quantum Virasoro Algebra \cal{L}_c and Generalized Clifford Algebras
利用广义Clifford代数$C_{n}^{k}$的算子构造了量子维拉索罗代数${\mathcal{L}}_{c}$生成元.准确地说，我们证明了${\mathcal{L}}_{c}$可以嵌入到广义Clifford代数中。
Real Clifford algebras for arbitrary number of space and time dimensions as well as their representations in terms of spinors are reviewed and discussed. The Clifford algebras are classified in terms of isomorphic matrix algebras of real, complex or quaternionic type. Spinors are defined as elements of minimal or quasi-minimal left ideals within the Clifford algebra and as representations of the pin and spin groups. Two types of Dirac adjoint spinors are introduced carefully. The relation between mathematical structures and applications to describe relativistic fermions is emphasized throughou…
Mathematics of CLIFFORD - A Maple package for Clifford and Grassmann algebras
Clifford在Grassmann和Clifford代数中执行各种计算。它可以计算四元数、八元数和元素在Cl（B）中的矩阵-赋予任意双线性形式B的向量空间V的Clifford代数。实现了两种用户可选的Clifford乘积算法：基于Chevalley递归公式的“cmulNUM”和基于非递归Rota-Stein香肠的“cmulRS”。可以使用Grassmann和Clifford基。讨论了非点楔基和点楔基上的反转性质。
Application of the method of quaternion typification for finding subalgebras and Lie subalgebras of Clifford algebras
本文进一步发展了作者在前几篇文章中提出的Clifford代数元素的四元数类型化方法。在Clifford代数元素新分类的基础上，可以发现并证明Clifford代数的一些新性质。特别地，我们找到了Clifford代数的子代数和李子代数以及伪酉李群的李代数的子代数。
In this paper we consider different operators acting on Clifford algebras. We consider Reynolds operator of Salingaros' vee group. This operator average" an action of Salingaros' vee group on Clifford algebra. We consider conjugate action on Clifford algebra. We present a relation between these operators and projection operators onto fixed subspaces of Clifford algebras. Using method of averaging we present solutions of system of commutator equations.
An Adinkra is a graph from the study of supersymmetry in particle physics, but it can be adapted to study Clifford algebra representations. The graph in this context is called a Cliffordinkra, and puts some standard ideas in Clifford algebra representations in a geometric and visual context. In the past few years there have been developments in Adinkras that have shown how they are connected to error correcting codes, algebraic topology, algebraic geometry, and combinatorics. These connections also arise for Cliffordinkras. This paper introduces Cliffordinkras and describes the relationship to…
We present a new classification of Clifford algebra elements. Our classification is based on the notion of quaternion type. Using this classification we develop a method for analyzing of commutators and anticommutators of Clifford algebra elements. This method allows us to find out and prove a number of new properties of Clifford algebra elements.
k-deformed Poincare algebras and quantum Clifford-Hopf algebras
在Atiyah-Bott-Shapiro模8定理的背景下，研究了与共形群和Clifford-Hopf交替k-变形量子Poincare代数相关联的Minkowski时空量子Clifford代数结构.当结合量子Clifford代数和周期性Atiyah-Bott-Shapiro定理的变形（非辫状）时，所得到的代数等价于变形反deSitter代数U_q（so（3，2））.
A classification of Lie algebras of pseudounitary groups in the techniques of Clifford algebras
本文给出了将Clifford代数元素的同乘子与反同乘子表示为不同秩元素之和的新公式。利用这些公式，我们考虑伪酉群的李代数的子代数。我们的主要技术是Clifford代数。我们找到了伪酉群李代数的12类子代数。
A list of identities made with products between two different generators of the Clifford algebra
在这里，我给出了一个四维时空中Clifford代数的生成元之间所有可能的乘积的完整列表。由此产生的表达式非常简单，易于处理。
Symbolic Computations in Higher Dimensional Clifford Algebras
我们提出了不同的方法，符号计算机代数计算在高维（\ge 9）Clifford代数使用\Clifford \和\Bigebra \包\Maple（R）。这是实现使用分级张量分解，周期性定理和矩阵旋量表示克利福德数。我们展示了如何编码的分次代数同构和主对合，我们提供了一些基准。
Notions of determinant, spectrum, and Hermitian conjugation of Clifford algebra elements
我们展示了如何矩阵代数概念的行列式，频谱和厄米共轭转移到克利福德代数和微分形式的parallelisable流形。
Complex structure of a real Clifford algebra
实Clifford代数的矩阵代数分类是众所周知的。在这里，我们考虑实Clifford代数${\mathcal Cl}(r,s)$不是作为矩阵代数，而是作为自身上的Clifford模。我们证明了只有当体积元$ω$的平方为-1时，${\mathcal Cl}(r,s)$才具有基独立复结构，在这种情况下，它唯一地放弃与$ω$的右乘符号.
Concepts of trace, determinant and inverse of Clifford algebra elements
本文考虑Clifford代数元素的行列式的概念。给出了4维和5维Clifford代数元素行列式的新公式。另外，我们还考虑了Clifford代数元素的迹的概念.我们将泡利定理推广到满足Clifford代数的主要反对易条件的2组元素。
Quaternion types of Clifford algebra elements, basis-free approach
本文将实数域或复数域上的Clifford代数看作是一个无固定基的商代数。基于四元数型的概念，给出了Clifford代数元素的分类。这种分类使我们能够揭示和证明Clifford代数的一些新的性质。我们依靠共轭运算来引入四元数类型的概念。同时，我们还发现了四元数型与Clifford代数元素秩之间的关系。
We show that the binary representation of the integers has a role to play in many aspects of Clifford algebras.
Clifford algebras, spinors and fundamental interactions : Twenty Years After
这是一个简短的审查代数性质的Clifford代数和旋量。它们在描述基本物理学（基本粒子）中的应用也被总结。在图卢兹国际化学品管理协会第七届会议上发表的演讲（2005年5月23日）
In these lectures, we discuss some well-known facts about Clifford algebras: matrix representations, Cartan's periodicity of 8, double coverings of orthogonal groups by spin groups, Dirac equation in different formalisms, spinors in $n$ dimensions, etc. We also present our point of view on some problems. Namely, we discuss the generalization of the Pauli theorem, the basic ideas of the method of averaging in Clifford algebras, the notion of quaternion type of Clifford algebra elements, the classification of Lie subalgebras of specific type in Clifford algebra, etc.
Considering tensor products of special commutative algebras and general real Clifford algebras, we arrive at extended Clifford algebras. We have found that there are five types of extended Clifford algebras. The class of extended Clifford algebras is closed with respect to the tensor product.
Thomas-Wigner rotation via Clifford algebras
本文用 Clifford 代数方法推导 Thomas-Wigner 旋转角的 Macfarlane 公式，教学性强，适合有狭义相对论基础的学生。
On parallelizing the Clifford algebra product for CLIFFORD
作为一个概念的证明，我们提出了一种方法来并行CL_{p,q}中的Clifford产品的对角化二次型作为一个新的过程“cmulWpar”的\Clifford包\Maple（R）。该过程使用Maple 15（及以后版本）下可用的新“Threads”模块和新的\Clifford过程“cmulW”，该过程借助Walsh函数计算\CL_{p,q}中任意两个格拉斯曼单项式的Clifford积。我们对“cmulWpar”进行了基准测试，并将其与\Clifford的另外两个过程“cmulNUM”和“cmulRS”进行了比较。我们评论如何利用现代处理器中的多核处理器和多线程来改进“cmulWpar”。
Idempotents of Clifford Algebras
给出了Clifford代数C（p，q）中幂等元的一个分类.证明了利用Clifford代数C（p，q）与适当的矩阵环之间的同构，可以将任意Clifford代数中的幂等元分类到连续族中.这些家庭包括用于生成Clifford代数中的极小单边理想的本原幂等元。一些低维的例子进行了讨论。
The Stabilized Poincare-Heisenberg algebra: a Clifford algebra viewpoint
稳定化的Poincare-Heisenberg代数（SPHA）是量子相对论运动学的李代数，由15个生成元生成。它是在试图将量子力学和相对论的李代数结合起来后，通过施加稳定性条件而得到的，这些李代数本身是稳定的，但结合起来就不稳定了。在本文中，我们展示了如何十六维Clifford代数CL（1，3）可以用来生成SPHA。到SPHA的Clifford代数路径避免了传统的稳定性考虑，而是依赖于CL（1，3）是一个半单代数，因此是稳定的。因此，在概念上更容易和更直接地使用Clifford代数。克利福德代数路径表明，在GR和QM的界面上，物理学理论的下一个进化步骤可能是离开时空，而是在时空动量中工作。
This work presents and studies Riccati equations over finite-dimensional normed division algebras. We prove that a Riccati equation over a finite-dimensional normed division algebra $A$ is a particular case of conformal Riccati equation on a Euclidean space and it can be considered as a curve in a Lie algebra of vector fields $V\simeq\mathfrak{so}(\dim A+1,1)$. Previous results on known types of Riccati equations are recovered from a new viewpoint. A new type of Riccati equations, the octonionic Riccati equations, are extended to the octonionic projective line $\mathbb{O}{\rm P}^1$. As a new p…
We give an algebraic formulation based on Clifford algebras and algebraic spinors for quantum information. In this context, logic gates and concepts such as chirality, charge conjugation, parity and time reversal are introduced and explored in connection with states of qubits. Supersymmetry and M-superalgebra are also analysed with our formalism. Specifically we use extensively the algebras $Cl_{3,0}$ and $Cl_{1,3}$ as well as tensor products of Clifford algebras.
Inverse and Determinant in 0 to 5 Dimensional Clifford Algebra
本文给出了不超过5维的Clifford代数中Clifford数的逆的方程。在提出这些，也提出了公式的行列式和adjugate一般克利福德数的五个维度，匹配行列式和adjugate的矩阵表示的代数。这些方程与所使用的度量无关。
The coordinate-free solutions of the multivector equation $ax+xb=c$ are discussed and presented for the Clifford algebras $Cl_{p,q}$ when $p+q\le 3$.
Clifford Algebras in Symplectic Geometry and Quantum Mechanics
克利福德代数在费米子量子描述中的必要出现促使我们重新审视四元数克利福德代数C（0，2）所扮演的基本角色。这个代数本质上是描述空间旋转性质的几何代数。隐藏在这个代数中的是以海森堡代数为核心的辛结构。这个代数也使我们能够定义一个泊松代数的所有齐次二次多项式的二维子空间，法的欧几里德三维空间。这使我们能够构建一个泊松Clifford代数，H（F），一个有限维的相空间，将进行动态。量子动力学表现为H（F）在由厄米算符组成的Clifford代数中的实现。
On Computational Complexity of Clifford Algebra
在简要讨论Clifford代数的计算复杂性之后，我们给出了偶Clifford代数Cl（2 m）的一个新基，它大大简化了实际计算，而且不需要借助于传统的矩阵同构公式，得到了同样的复杂性.在最后一部分中，我们应用这些结果的Clifford代数制定的NP-完全问题的最大团的图在以前的文件中介绍。
On Unitary Groups in Ternary and Generalized Clifford Algebras
该研究面向广义（尤其三元）Clifford 代数，在不借助矩阵表示的前提下构造酉 Lie 群，并给出无基的行列式、迹、特征多项式、逆及 Hermitian 共轭定义与显式公式。
Ideal Structure of Clifford Algebras
研究了既可以是无限维又可以是实数上退化的Clifford代数的理想的结构。
The Dunkl--Dirac symmetry algebra is an associative subalgebra of the tensor product of a Clifford algebra and the faithful polynomial representation of a rational Cherednik algebra. In previous work, the finite-dimensional representations of the Dunkl--Dirac symmetry algebra in three dimensions linked with a dihedral group were given. We give here the necessary results to proceed to the same construction when the Clifford algebra in the tensor product has negative signature.
Clifford algebra, geometric algebra, and applications
这些是克利福德代数理论课程的讲义，特别强调了它们在数学和物理中的广泛应用。克利福德代数是通过一个传统的张量代数结构（当时称为几何代数）与几何应用，以及在代数更一般的形式，这是非常适合组合，并定义和理解众多的产品和运算的代数。提出的各种应用包括向量空间和射影几何，正交映射和旋量，赋范划分代数，以及单纯复形和图论。
Universal Similarity Factorization Equalities over Real Clifford Algebras
建立了实Clifford代数${\cal R}_{p,q}$上的一类泛相似因子分解等式.在这些等式的基础上，可以显式地确定${\cal R}_{p,q}$中元素的实数、复数和四元数矩阵表示。
Universal Similarity Factorization Equalities over Complex Clifford Algebras
在复Clifford代数$\Cn.$上建立了一组有价值的泛相似因子分解等式，通过它们可以直接导出复Clifford代数$\Cn$的矩阵表示，并容易地确定其性质.
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