On the Quadratic Phase Quaternion Domain Fourier Transform and on the Clifford algebra of $R^{3,1}$
本文利用克利福德代数与四元数波函数模型研究 (3+1) 维图像识别，构造费米子与玻色子等自由度的超对称型模型，计算了 7 条路径的不动点格点作用量，并与多种四元数及张量重整化群方法进行比较。
2024-01-15 hep-lat hep-ph math-ph
Mathematics of CLIFFORD - A Maple package for Clifford and Grassmann algebras
Clifford在Grassmann和Clifford代数中执行各种计算。它可以计算四元数、八元数和元素在Cl（B）中的矩阵-赋予任意双线性形式B的向量空间V的Clifford代数。实现了两种用户可选的Clifford乘积算法：基于Chevalley递归公式的“cmulNUM”和基于非递归Rota-Stein香肠的“cmulRS”。可以使用Grassmann和Clifford基。讨论了非点楔基和点楔基上的反转性质。
2013-01-11 math-ph math.MP
Matrix exponential via Clifford algebras
我们利用矩阵代数与单正交Clifford代数$\cl(Q)$之间的同构$φ$来计算实矩阵、复矩阵和四元数矩阵A的矩阵指数${e}^{A}$。使用Clifford指数对$\cl(Q),$中的同构图像$p=φ(A)$取幂模$p$的最小多项式，其中二次形式$Q$具有合适的签名$(p,q),$。$\cl(Q)$的元素被视为Grassmann单项式中的符号多元多项式。$\cl(Q)$中的计算使用Maple软件包“CLIFFORD”进行。给出了三个矩阵求幂的例子。
1998-07-01 math-ph math.MP
On computing the determinant, other characteristic polynomial coefficients, and inverse in Clifford algebras of arbitrary dimension
本文解决了任意维Clifford代数的逆的计算问题。本文给出了任意维向量空间$n$上实Clifford代数（或几何代数）的行列式、其他特征多项式系数、伴随和逆的不同类型（显式和递归）的无基公式.这些公式只涉及乘法、求和和共轭运算，而没有明确使用矩阵表示。我们使用Clifford代数的方法（包括作者在以往文献中提出的四元数类型化方法和本文提出的特殊类型共轭运算方法）和矩阵论数值方法的推广（基于Cayley-Hamilton定理的Faddeev-LeVerrier算法;利用Bell多项式计算特征多项式系数的方法）推广到Clifford代数的情形。给出了一类特殊类型共轭运算的构造，并研究了它们与Clifford代数不动点子空间上的投影运算之间的关系。我们使用这种结构中的行列式，其他特征多项式系数的公式的分析证明，辅，逆Clifford代数。无基求逆公式给出了线性代数方程组的无基解，广泛应用于计算机科学、图像与信号处理、物理学、工程学、控制理论等领域。
2022-09-06 cs.NA math-ph math.MP
Clifford Algebra with Mathematica
n维欧几里德向量空间的Clifford代数提供了一种通用语言，包括向量、复数、四元数、格拉斯曼代数、泡利和狄拉克矩阵。在这项工作中，我们提出了一个介绍Clifford代数的主要思想，主要目标是开发一个软件包的Clifford代数计算的计算机代数程序Mathematica。因此，Clifford代数包是一个强大的工具，因为它允许操纵所有Clifford数学对象。该软件包还提供了一个可视化工具的克利福德代数的元素在三维空间。clifford.m可从github.com/jlaragonvera/Geometric-Algebra获得
2018-01-22 math-ph math.MP
Clifford algebras and their applications to Lie groups and spinors
在这些讲座中，我们讨论了Clifford代数的一些著名事实：矩阵表示，Cartan的周期为8，正交群被自旋群的双重覆盖，Dirac方程在不同形式下的解，$n$维的旋量等，并对一些问题提出了自己的观点。即讨论了Pauli定理的推广，Clifford代数平均化方法的基本思想，Clifford代数元素的四元数型概念，Clifford代数中特定类型的李子代数的分类等。
2018-01-20 math-ph math.MP
Vector Coherent States on Clifford algebras
著名的正则相干态被表示为复数$z$的幂与实数$ρ(m)=m$的正序列的无穷级数。在本文中，我们类比正则相干态，通过用实Clifford矩阵代替复变量$z$，提出了一类矢量相干态。我们还提出了另一类矢量相干态，即同时用实Clifford矩阵代替$z$，用实矩阵代替$ρ(m)$。作为例子，我们给出了四元数和八元数上的矢量相干态及其实矩阵表示。
2003-08-25 math-ph math.MP
Higher Trace and Berezinian of Matrices over a Clifford Algebra
本文定义了（Z_2）^n阶化交换结合代数上矩阵的迹、行列式以及更一般的Berezian的概念。应用包括一个新的方法，经典的矩阵论的系数在Clifford代数，特别是四元数矩阵。在特殊情况下，我们恢复了四元数矩阵的经典Dieudonne行列式，但在一般情况下，我们的四元数行列式是不同的。证明了0次纯偶（Z_2）^n分次矩阵的分次行列式在其元素上是多项式的.在代数的四元数的情况下，我们计算公式的Berezinian在产品的quasimenors在意义上的Gelfand，Retakh，和威尔逊。分次迹与分次Berezian（和行列式）通过Liouville公式的（Z_2）^n分次形式联系起来。
2014-10-16 math-ph math.DG math.MP
Universal Similarity Factorization Equalities over Real Clifford Algebras
建立了实Clifford代数${\cal R}_{p,q}$上的一类泛相似因子分解等式.在这些等式的基础上，可以显式地确定${\cal R}_{p,q}$中元素的实数、复数和四元数矩阵表示。
2000-03-26 math-ph math.MP math.RA
Classification of Lie algebras of specific type in complexified Clifford algebras
本文对复化 Clifford 代数中由四元数类型子空间直和构成的 16 种特定类型 Lie 代数进行了完整分类，建立了其与经典矩阵 Lie 代数在任意维度与符号下的同构，并给出了对应的 16 个 Lie 群及其与旋量群的联系。
2024-12-22 math-ph math.MP
Directional Uncertainty Principle for Quaternion Fourier Transform
本文导出了四元数值函数经四元数傅里叶变换后的一个新的方向测不准原理。这可以推广到建立具有四元数子代数的Clifford几何代数的方向测不准原理。我们证明了这一点的一个方向的时空代数函数的不确定性原则的例子有关的多向量波包。
2013-06-06 math-ph math.MP math.RA
On some Lie groups containing spin group in Clifford algebra
本文研究了复化 Clifford 代数中的 Lie 群，利用共轭与矩阵运算的关系证明了其与经典矩阵群在任意维度和符号差下的同构，并给出了包含 Spin 群的经典矩阵 Lie 群。
2024-12-22 math-ph math.MP
A Construction for Clifford Algebras
本文是专门为内存Zbigniew Oziewicz，他的慷慨，智力和强度的搜索，这是科学和数学。本文首先从一个基本的建设，产生Clifford代数归纳，从一个基础代数A是结合的，并有一个对合。这种构造类似于Cayley-Dickson构造，其从实数开始产生复数、四元数和八元数。我们的基本构造总是产生结合代数，并且可以无限次迭代。我们推广的基本建设的一个群论建设的一个群G的作用在代数A，并显示如何这个群论建设有关的矩阵代数。然后，本文集中在应用这个代数的狄拉克方程和马约拉纳-狄拉克方程。
2022-09-25 math-ph math.MP
Quaternion Fourier Transform on Quaternion Fields and Generalizations
University of Fukui（福井大学）
我们处理四元数傅里叶变换（QFT）应用于四元数域和研究QFT性质的应用。不同形式的QFT导致我们不同的Plancherel定理。我们将四元数域的QFT计算与实信号的QFT计算联系起来。我们用矩阵、Clifford几何代数和例子研究了QFT的一般线性（$GL$）变换行为。我们最终到达广泛的非交换多向量FT推广的QFT。给出的例子是新的体积时间和时空代数傅立叶变换。
2013-06-05 cs.CV math-ph math.MP
Real Clifford algebras and their spinors for relativistic fermions
本文讨论了任意时空维数的实Clifford代数及其旋量表示。Clifford代数根据实型、复型和四元数型的同构矩阵代数进行分类。旋量被定义为Clifford代数中的极小或拟极小左理想的元素，以及pin和spin群的表示。详细介绍了两类Dirac伴随旋量。数学结构和应用程序之间的关系，以描述相对论费米子强调贯穿始终。
2019-08-06 cond-mat.str-el hep-th math-ph
Clifford Algebras in Symplectic Geometry and Quantum Mechanics
克利福德代数在费米子量子描述中的必要出现促使我们重新审视四元数克利福德代数C（0，2）所扮演的基本角色。这个代数本质上是描述空间旋转性质的几何代数。隐藏在这个代数中的是以海森堡代数为核心的辛结构。这个代数也使我们能够定义一个泊松代数的所有齐次二次多项式的二维子空间，法的欧几里德三维空间。这使我们能够构建一个泊松Clifford代数，H（F），一个有限维的相空间，将进行动态。量子动力学表现为H（F）在由厄米算符组成的Clifford代数中的实现。
2012-03-03 math-ph math.MP quant-ph
Revisiting Clifford algebras and spinors II: Weyl spinors in Cl(3,0) and Cl(0,3) and the Dirac equation
本文是三篇系列文章中的第二篇，是math-ph/0412074的续篇。本文综述了Cl（3，0）和Cl（0，3）中代数旋量的一些性质，以及在Cl（3，0）和Cl（0，3）中如何构造Weyl旋量、Pauli旋量和Dirac旋量.给出了Dirac方程的平面波解，并将Dirac方程用Weyl旋量和Pauli旋量表示.最后，构造了同构于四元数代数（H）的两个副本的Cl（0，3）中的协变和逆变无点旋量.我们证明了存在一个应用，它把Cl（0，3）的偶子代数Cl+（0，3），看作是一个右H-模，映射到Cl+（0，3）上，但现在看作是一个左H-模.
2004-12-21 math-ph math.MP
Canonical bases for real representations of Clifford algebras
著名的克利福德代数$Cl(r,s)$的分类导致规范形式的复杂和真正的代表性，本质上是唯一的凭借韦德伯恩定理。对于$s\ge 1$，$R^{2N}$上的$Cl(r,s)$的表示是从$R^N$上的表示通过添加两个新的生成元而获得的，而在从$R^N$上的$Cl(p,0)$的表示传递到$R^{2N}$上的$Cl(r,0)$的表示时，可以添加的生成元的数量是1、2或4，这取决于$R^N$上表示的Clifford代数是实数、复数或四元数类型。我们已经表示这些表示的规范形式的复杂和四元数结构的半维，我们得到的算法转换任何给定的表示$Cl(r,s)$的规范形式。我们的算法转换的表示$Cl(8d+c,0)$，$c\le 7$的标准形式是基于找到一个交换子代数的$Cl(8d+c,0)$和它的不变子空间。对于低维情形，给出了明确确定变换为标准形的基矩阵变化的计算机程序。变换基矩阵的唯一的交换子的建设提供了一个建设性的证明表示的唯一性，并可能在计算机图形学和机器人技术的应用。
2006-02-02 math-ph math.MP math.RT
Calculation of Spin Group Elements Revisited
本文提出了一种在二重覆盖下计算已知伪正交群元素对应 Spin 群元素的方法，利用 Clifford 代数及矩阵、四元数等在低维情形下给出了显式表达，适用于物理、工程和计算机科学应用。
2024-12-03 math-ph math.MP
Vector Coherent States from Plancherel's Theorem, Clifford Algebras and Matrix Domains
作为构造正则相干态及相关的非线性和q变形相干态的技术的实质性推广，本文提出了一种构造矢量相干态的方法。这些矢量相干态可以具有有限或无限数量的分量。作为例子，我们首先应用该技术来构建矢量相干态使用的Plancherel等距群和矢量相干态相关的Clifford代数，特别是四元数。作为物理例子，我们讨论了量子光学模型中的矢量相干态，最后应用一般技术在一定的矩阵域上建立矢量相干态。
2003-11-24 math-ph math.MP physics.atom-ph
A Lorentzian SU(3)-covariant noncommutative KP hierarchy and hypercomplex gauge fields
Univ. Angers, CNRS, LAREMA, SFR MATHSTIC（昂热大学，法国国家科学研究中心，LAREMA，MATHSTIC服务区域）；Lepage Research Institute（莱佩奇研究所）
本文提出一个洛伦兹协变的非交换KP层级框架，结合扭曲四元数与SU(3)对称，用于描述非阿贝尔gauge理论的可积结构。
2026-01-23 math-ph math.MP nlin.SI
Geometry of moving planes
数的概念及其推广在许多世纪和许多文明的数学发展中发挥了核心作用。在这一漫长而艰巨的过程中，值得注意的里程碑是实数和复数的发展，它们已得到普遍接受。人们在进一步的扩展方面进行了认真的尝试，例如汉密尔顿四元数、格拉斯曼的外代数和克利福德的几何代数。通过研究移动平面的几何，我们展示了新的数学是如何触手可及的，如果能够找到学习这些强大方法的意愿。
2007-09-29 math-ph math.MP
Clifford Algebras and Lorentz Group
利用Clifford代数的旋量表示研究了真正交Lorentz群的二维表示。克利福德代数被理解为洛伦兹群的有限维表示的完整系统的“代数覆盖”。在所有的表示空间上定义了由Clifford代数的基本自同构表示的时空离散对称P、T和PT。实数，复数，四元数和八元数表示的洛伦兹群被认为是。不同类型的物理场在这样的表示中被公式化。Atiyah-Bott-Shapiro周期定义在Lorentz群上。结果表明，Clifford代数的模2和模8周期性可以使我们对de Broglie-Jordan中微子光理论和粒子物理中的Gell-Mann-Ne'emann八重方式有一个新的认识.在表示空间上，电荷共轭C由复Clifford代数的伪自同构表示。介绍了洛伦兹群的商表示。结果表明，商表示是最适合的描述无质量的物理场。作为例子，中微子场通过最简单的商表示来描述。给出了中微子场的Weyl-Hestenes方程。
2001-08-26 hep-th math-ph math.HO
On the Transposition Anti-Involution in Real Clifford Algebras III: The Automorphism Group of the Transposition Scalar Product on Spinor Spaces
在[arXiv.1005.3554v1]中引入了实Clifford代数Cl_{p,q}对非退化二次型的一个依赖于（p，q）的转置反对合T.在[arXiv.1005.3558v1]中，我们证明了，依赖于（p-q）mod 8的值，映射T产生旋量表示中表示矩阵的转置、复厄米特或四元数厄米特共轭。由此产生的标量积一般不同于两个已知的标准标量积[Lounesto，Clifford algebras and Spinors 2001]。我们提供了一个完整的签名（p，q）相关的分类的不变性组Gpq_{p,q}的这个产品的p+q <= 9。映射T被认为是由（扭）群代数理论[Passmann，The Algebraic Structure of Group Rings 1985]所知的“星”映射，其中Clifford代数Cl_{p,q}被看作是扭群环k^t[（Z_2）^n]，n=p+q。讨论并列出了稳定群Gpq（f）_{p，q}的重要子群及其横截与旋量空间生成元的关系.
2011-02-16 math-ph math.GR math.MP
Superalgebras of (split-)division algebras and the split octonionic M-theory in (6,5)-signature
研究了（分裂）除代数与Clifford代数和超对称的关系.首先介绍了由任意给定的（分裂）除代数构造的超代数类。我们进一步指定哪些真正的Clifford代数和真正的基本旋量可以重新表示的分裂四元数。最后，我们构造了允许玻色张量中心荷的广义超对称。特别地，我们证明了分裂八元数允许引入一个分裂八元数M-代数，它将11维八元数M-代数（只存在于（10，1）Minkowski和（2，9）签名中）的性质推广到（6，5）签名上.
2006-10-10 hep-th math-ph math.MP
Group Theoretical Description of Space Inversion, Time Reversal and Charge Conjugation
给出了基本离散对称性（空间反演P、时间反演T和电荷共轭C）的群论描述。利用Clifford代数的基本自同构，研究了实数域和复数域上多维空间正交群的离散子群。根据除环的结构，对实数域和复数域上的Clifford代数建立了自同构群的完全分类。利用Clifford代数的旋量表示研究了真正交Lorentz群的二维表示。实数，复数，四元数和八元数表示的洛伦兹群被认为是。Atiayh-Bott-Shapiro周期定义在Lorentz群上。介绍了洛伦兹群的商表示。结果表明，商表示是最适合的描述无质量的物理场。给出了基本物理场的代数构造。
2002-03-28 hep-th math-ph math.MP
Twistors, Generalizations and Exceptional Structures
本文利用Clifford代数的仿向量模型描述扭子，并将这种描述与R（4，1）上Clifford代数的共形映射联系起来，同时指出纯旋量形式的一些应用.我们构造闵可夫斯基时空中的扭子作为与狄拉克-克利福德代数相关的代数旋量，使用比标准克利福德代数公式低一个时空维度，因为为此目的，R{4，1}上的克利福德代数也用于描述共形映射，而不是R{2，4}。用陪集空间SO（4）/（SU（2）× U（1）/Z_2）= CP_1，SO（6）/（SU（3）× U（1）/Z_2）= CP_3和SO（8）/（Spin（6）× Spin（2）/Z_2）分别可以识别四维、六维和八维扭量纤维。最后一个齐性空间与IIB超弦理论中保留SO（8）对称性的SO（8）旋量分解密切相关。事实上，除了IIB理论，没有SO（8）旋量分解保持SO（8）对称性，在这种情况下，只有当自旋（8）对称性被自旋（8）的自旋（6）x自旋（2）子群打破时，才能引入不同的坐标和共轭动量。此外，它是审查如何推广彭罗斯旗杆，构造一个旗杆，这是更普遍的比彭罗斯之一，这是在一个特定的情况下出现（本恩和塔克描述）。我们研究了这个旗杆与SO（2n）/U（n）双层结构之间的关系，当我们考虑C{2n}的所有全迷向子空间的集合X时，出现了SO（2n）/U（n）双层结构，以及从纯旋量集合到X的同构。最后，我们指出了扭振纤维化和紧齐次四元数Kahler流形（所谓的Wo…
2005-02-25 math-ph math.MP
Reality of non-Fock Spinors
无限维Clifford代数有一个迷宫般的不可约酉表示。在这里，我们确定它们的类型-实数，复数或四元数。一些与费米-福克表象有关的，没有实数或四元数结构。但在L（2）上有许多圈是这样的，而且似乎具有分析意义。
2003-02-05 math-ph math.MP math.RT
Clifford algebra-parametrized octonions and generalizations
通过引入Cl（0，7）的多向量与八元数之间的乘积，得到一个八元数，并在特定情况下得到非结合的标准八元数乘积，我们推广了八元数X-乘积和XY-乘积，并结合了7-球面上切丛上玻色子场和费米子场的变换规则.我们还提出了必要的形式主义，以构建Clifford代数参数化八元数。最后，我们介绍了一种构造广义八元数代数的方法，其中它们的八元数单位由任意Clifford多向量参数化。Clifford多向量和八元数之间的产品，导致一个八元数，示出共享分级关联，超对称性质。我们还调查了推广的Moufang身份，为每一个产品介绍。X-积等于由挠率张量给出的平行化挠率的两倍，并用于研究S7卡茨-穆迪代数。X-积也被用来获得三度映射和G2作用，它自然地导致了显着的几何和拓扑性质，例如十维中的Hopf纤维化和扭量形式主义。八元数在寻求统一中的重要性是基于这样的事实，例如，通过将除代数值超代数扩展到八元数，在D=11中可以构造一个八元数广义庞加莱超代数，即所谓的八元数M-代数，它描述了八元数M-理论，其中八元数超2-膜和八元数超5-膜扇区被证明是等价的。此外，八元数形式主义还有其他广泛的推广和应用，如四元数和八元数旋量的分类和伪八元数形式主义。
2006-03-21 math-ph math.MP math.QA
CPT Groups of Spinor Fields in de Sitter and Anti-de Sitter Spaces
在Clifford代数的自同构群的框架下，定义了de Sitter空间和anti-de Sitter空间中旋量场的$CPT$群.证明了具有相反签名的de Sitter空间对应于具有不同代数结构的Clifford代数，从而导致了与这些空间相关的$CPT$群的本质区别.考虑了带电粒子的$CPT$群在复域上的单Clifford代数（Dirac代数）的实子代数所对应的各种旋量空间上的相位因子.结果表明，$CPT$群的中性粒子允许粒子-反粒子交换和$CPT$群的真正的中性粒子内描述的半单Clifford代数与四元数和实除环，分别。玻色子和费米子$CPT$集团之间的差异进行了讨论。
2015-04-02 gr-qc hep-th math-ph
Cohomological Approach to the Graded Berezinian
本文发展了（Z_2）^n-交换代数（n in N）上的线性代数理论，其中包括著名的超线性代数作为特例（n=1）.这种分次交换代数的例子是Clifford代数，特别是四元数代数H。遵循上同调的方法，我们引入类似的概念的痕迹和行列式。我们的构造在经典的交换情况下，通过可逆矩阵对上外幂的作用，简化为行列式的无坐标描述，在超交换情况下，它与Berezinian的著名上同调解释一致。
2013-06-28 math-ph math.DG math.MP
