Logarithm of multivector in real 3D Clifford algebras
本文提出实三维Clifford代数中一般多向量对数的闭式表达式，涵盖所有p+q=3情形，并给出单刀片及组合的通用与特殊公式。
2023-04-01 math-ph math.MP math.RA
Spectral square roots of the multivector
本文研究了实几何 Clifford 代数中具有符号系数的多重向量多重平方根问题，提出基于 R.Bott 周期表与矩阵特征系统的方法求解，并确定谱平方根的存在域，给出了低维至高维代数的示例与基向量表。
2025-01-28 math-ph math.MP
The characteristic polynomial in calculation of exponential and elementary functions in Clifford algebras
给出了任意Clifford几何代数Cl（p，q）在无基表示和正交基表示下的多重向量指数的计算公式.这些公式是基于对多重向量的特征多项式的根的分析。详细的例子，如何在实践中使用的公式。这些结果对量子线路和纠缠量子态演化分析等问题有一定的参考价值。
2022-05-24 math-ph math.MP quant-ph
Inverse of multivector: Beyond p+q=5 threshold
在应用Clifford几何代数（GA）$Cl_{p,q}$中，求逆向量（MV）的数值算法和符号算法是一个非常重要的问题。第一种通用MV求逆算法是基于MV的矩阵表示。计算的复杂性和符号形式的答案的大小随着GA维度$n=p+q$呈指数增长。突破发生在D. Lundholm然后P. Dadbeh发现紧凑的逆公式的维数$n\le5$。这些公式以初始MV与其精心选择的级反对应项的Clifford积的形式构造。在这份报告中，我们表明，级否定自我产品的方法可以扩展到超过$n=5$阈值，如果此外，适当构造的线性组合，这样的MV产品使用。特别是，我们提出了紧凑的明确MV逆公式的向量空间维数$n=6$代数，并表明，他们包括所有低维的情况下，以及。为了方便读者，我们还给出了当$n\le5$时，各种MV公式的等级否定形式。
2018-03-14 math-ph math.MP
Coordinate-free exponentials of general multivector (MV) in Cl(p,q) algebras for p+q=3
在实Clifford几何代数Cl（0，3），Cl（3，0）$，Cl（1，2）和Cl（2，1）中，当指数是最一般的多向量时，得到了指数函数在无坐标形式下的封闭形式表达式.解决这个问题的主要困难是与矢量和双矢量分量的纠缠或混合有关。解纠缠后，得到的公式简化为著名的Moivre型三角/双曲函数的向量或双向量指数。这些公式在遗传算法微分方程的求解、信号处理、自动控制和机器人学中有广泛的应用。
2021-08-03 math-ph math.MP
A note on solution of $ax+xb=c$ by Clifford algebras
讨论了当$p+q\le 3$为Clifford代数$Cl_{p,q}$时多向量方程$ax+xb=c$的无坐标解.
2019-02-25 math-ph math.MP math.RA
On Rank of Multivectors in Geometric Algebras
该研究在任意维度Clifford几何代数中，仅用几何代数运算、结合特征多项式概念与SVD方法定义了多重向量的秩，成果可应用于计算机科学、工程、物理等多领域的几何代数相关场景。
2025-04-28 math-ph math.MP math.RA
Euclidean Clifford Algebra
设$V$是$n$维实向量空间.本文对$V,$上给定的欧氏结构引入了\emph{euclidean} Clifford代数$\mathcal{C\ell}(V,G_{E})$的概念，即，对$(V,G_{E})$，其中$G_{E}$是$V$的欧几里德度量（也称为欧几里德标量积）。我们的$\mathcal{C\ell}(V,G_{E})$结构被设计成一个强大的计算工具。我们开始介绍的概念，\emph{multivectors}在$V.$这些对象是一个线性空间的元素，在实数域，表示为$\bigwedge V.$。我们还介绍了，外部和欧几里德标量积的多向量的概念。这允许在$\bigwedge V,$上引入两个\emph{contraction operators}和欧几里得\emph{interior}代数的概念。有了这些概念，欧氏Clifford积就很容易被引入。我们用相当多的细节计算出了几个重要的恒等式和有用的公式，以帮助读者发展关于这个问题的技能，为阅读本系列的以下论文做好准备。
2002-12-18 math-ph math.MP
Grade free product formulae from Grassmann Hopf gebras
在Clifford代数的传统方法中，Clifford积是通过递归应用一个向量（生成元的跨度）在齐次（即可分解（格拉斯曼），多向量和上的乘积来计算的，后来通过双线性扩展。Hestenesian的“点”积，扩展了单向量标量积，甚至更糟糕，有标量的例外，并且需要在不同的时间应用等级运算符。此外，多重向量阶不是一般的Clifford代数概念。在几何应用中，如果必须计算相交、连接或收缩，则情况变得更糟。从自然分次的Grassmann霍普夫代数出发，推导出乘积的一般公式：相遇和连接、相遇和共连接、左/右收缩、左/右共收缩、Clifford和coClifford乘积。这些乘积公式对任意双线性形式的Clifford代数的任意阶数和任意非齐次多向量因子都是有效的，包括非对称和退化形式。我们推导出三个著名的Chevalley公式作为我们的方法的专业化，并将显示合作Chevalley公式。Rota-Steinclifford化是Chevalley变形的推广。我们的乘积公式基于不变理论，不依赖于表示/矩阵，计算效率很高。该方法也适用于辛Clifford代数。
2002-08-13 math-ph math.MP math.RA
Clifford algebra-parametrized octonions and generalizations
通过引入Cl（0，7）的多向量与八元数之间的乘积，得到一个八元数，并在特定情况下得到非结合的标准八元数乘积，我们推广了八元数X-乘积和XY-乘积，并结合了7-球面上切丛上玻色子场和费米子场的变换规则.我们还提出了必要的形式主义，以构建Clifford代数参数化八元数。最后，我们介绍了一种构造广义八元数代数的方法，其中它们的八元数单位由任意Clifford多向量参数化。Clifford多向量和八元数之间的产品，导致一个八元数，示出共享分级关联，超对称性质。我们还调查了推广的Moufang身份，为每一个产品介绍。X-积等于由挠率张量给出的平行化挠率的两倍，并用于研究S7卡茨-穆迪代数。X-积也被用来获得三度映射和G2作用，它自然地导致了显着的几何和拓扑性质，例如十维中的Hopf纤维化和扭量形式主义。八元数在寻求统一中的重要性是基于这样的事实，例如，通过将除代数值超代数扩展到八元数，在D=11中可以构造一个八元数广义庞加莱超代数，即所谓的八元数M-代数，它描述了八元数M-理论，其中八元数超2-膜和八元数超5-膜扇区被证明是等价的。此外，八元数形式主义还有其他广泛的推广和应用，如四元数和八元数旋量的分类和伪八元数形式主义。
2006-03-21 math-ph math.MP math.QA
Clifford geometric algebra: Real and complex spinor data tables
本文利用现代代数概念构建了实与复系数Clifford代数多重向量的旋量表，通过Mathematica计算并完整呈现了包含初始幂等元、理想、旋量基及矩阵表示等七项数据，扩展了1998年仅发表前四项的早期研究。
2024-12-19 math-ph math.MP
Metric Clifford Algebra
本文引入了度量Clifford代数$\mathcal{C\ell}(V,g)$的概念，其中$n$维实向量空间$V$被赋予了一个度量扩张子$g$，其签名为$(p,q)$，具有$p+q=n$ . $\mathcal{C\ell}(V,g)$上的度量Clifford积表现为$\mathcal{C\ell}(V)$上的欧氏Clifford积的定义良好的\emph{deformation}（由$g$诱导）。与度量伸缩子$g,$相关联的是规范度量伸缩子$h$，其将刚刚包含在$g.$中的所有几何信息编码。这里确定这种$h$的精确形式。此外，我们提出并证明了所谓的\emph{golden formula,}，这是很重要的，在许多应用中，自然出现在我们的研究多向量函数，微分几何和理论物理。
2002-12-16 math-ph math.MP
Quregisters, symmetry groups and Clifford algebras
三维实线性空间上的Clifford代数包括它的线性结构和它的外代数，由同次多向量张成的子空间决定了Clifford代数的一个阶。通过这些几何概念，从$\mbox{SO}(3)$到$\mbox{SU}(2)$的自然一对一和二对一同态被常规地构建，并且量子位的集合被标识为$\mbox{SU}(2)$的子组。这些构造适合于推广到相应的张量幂。量子比特、量子寄存器和量子门的概念被翻译成对称群的语言。希尔伯特空间张量积中纠缠态的对应元素。在对称群的张量积中实现纠缠的概念。
2016-02-22 math-ph math.MP quant-ph
On SVD and Polar Decomposition in Real and Complexified Clifford Algebras
本文提出在任意维度与符号的非退化实与复化 Clifford 几何代数中，仅用代数运算实现任意多重向量的奇异值分解（SVD）与极分解，并定义了相关结构，为计算机科学、工程和物理等领域的应用提供基础。
2024-04-18 math-ph math.MP math.RA
Clifford algebra is the natural framework for root systems and Coxeter groups. Group theory: Coxeter, conformal and modular groups
在本文中，我们证明了Clifford代数是根系和反射群以及相关群如共形群和模群的自然框架：存在于这些空间上的度量总是可以用来构造相应的Clifford代数。通过Cartan-Dieudonné定理，所有感兴趣的变换都可以写成反射的乘积，从而通过与Clifford代数多向量的“重叠”。这些多向量群可以用于在不同的群中执行具体的计算，例如各种类型的多面体群，并且我们详细地处理四面体群$A_3$的例子。顺便说一句，这给出了一个建设性的结果，从每个3D根系中导出一个四维根系，这取决于以下事实：旋量组提供了旋转的双重覆盖，3D旋量空间具有4D欧几里得内积，并且相对于这个内积，旋量组可以被示出为在反射下闭合。特别是4D根系/Coxeter群诱导以这种方式正是例外的，与三维旋的观点也解释了他们不寻常的自同构群。这种结构简化了阿诺德的三位一体，并把麦凯对应到一个更广泛的框架。我们最后讨论了将共形几何代数方法推广到二维共形群和模群，这在共形场论、弦论和模形式理论中可能有有趣的新应用。
2016-02-18 hep-th math-ph math.GR
On Lie Groups Preserving Subspaces of Degenerate Clifford Algebras
HSE University（莫斯科大学）；Institute for Information Transmission Problems of the Russian Academy of Sciences（俄罗斯科学院信息传输问题研究所）
本文研究了保持退化克莱因代数子空间的李群及其代数，探讨其与海森堡群的关系及在等变神经网络中的应用。
2026-01-12 cs.LG math-ph math.MP
Relativity in Clifford's Geometric Algebras of Space and Spacetime
在各种形式主义发展来处理相对论现象，那些基于克利福德的几何代数是特别适合明确的几何解释和计算效率。本文研究了闵可夫斯基空间的时空代数（STA）Cl{1，3}和物理空间代数（APS）Cl{3}中的狭义相对论公式之间的关系。STA适合于相对论的绝对表述，其中路径，场和其他物理性质具有独立于任何其他物理性质的表示。APS中的描述通过从APS到STA的偶数子代数STA+的元素的一对一映射而相关。通过这种映射，APS中的回复对应于STA中的厄密共轭。STA+的元素是计算物理可测量量所需的全部，因为只有它们才需要任何物理测量中固有的观察者依赖性。因此，每一个可以在STA中建模的相对论性物理过程在APS中也有表示，反之亦然。在两个或两个以上的惯性观察员的存在下，两个版本的APS呈现自己。在绝对版本中，到STA+的映射和厄米共轭都是依赖于观察者的，并且适当的基向量是扫过类时平面的持久向量。在相对版本中，映射和厄密共轭对所有观察者都是相同的。相对APS给出了相对论物理的协变表示，时空多矢量由多副矢量表示。我们涉及的两个版本的APS作为一致的模型在同一代数。
2004-05-07 math-ph math.MP
Existence, degeneracy and stability of ground states by logarithmic Sobolev inequalities on Clifford algebras
Politecnico di Milano（米兰理工大学）
通过Clifford代数上满足对数Sobolev不等式的能量形式，证明基态的存在性与有限简并性，并推导其在无界扰动下的稳定性，为量子场论中自旋1/2狄拉克粒子与外标量场相互作用的哈密顿量基态提供无穷小方法。
2026-06-26 math-ph math.FA math.MP
On Computable Geometric Expressions in Quantum Theory
几何代数和微积分是数学语言编码的基本几何关系，物理理论似乎尊重。我们提出的标准，给出统计的几何代数表达式是可计算的量子理论，在这样一种方式，保持其代数性质。它们是，一个人必须能够任意变换的基础上的Clifford代数，通过乘法的代数元素，平凡的作用在状态空间;所有这些元素必须由运营商对应的因素，在原来的表达，而不是状态向量。我们探讨的后果，这些标准的物理学的动态多向量场。
2020-12-11 hep-th math-ph math.MP
