Logarithm of multivector in real 3D Clifford algebras
本文提出实三维Clifford代数中一般多向量对数的闭式表达式，涵盖所有p+q=3情形，并给出单刀片及组合的通用与特殊公式。
2023-04-01 math-ph math.MP math.RA
Spectral square roots of the multivector
本文研究了实几何 Clifford 代数中具有符号系数的多重向量多重平方根问题，提出基于 R.Bott 周期表与矩阵特征系统的方法求解，并确定谱平方根的存在域，给出了低维至高维代数的示例与基向量表。
2025-01-28 math-ph math.MP
The characteristic polynomial in calculation of exponential and elementary functions in Clifford algebras
给出了任意Clifford几何代数Cl（p，q）在无基表示和正交基表示下的多重向量指数的计算公式.这些公式是基于对多重向量的特征多项式的根的分析。详细的例子，如何在实践中使用的公式。这些结果对量子线路和纠缠量子态演化分析等问题有一定的参考价值。
2022-05-24 math-ph math.MP quant-ph
Inverse of multivector: Beyond p+q=5 threshold
在应用Clifford几何代数（GA）$Cl_{p,q}$中，求逆向量（MV）的数值算法和符号算法是一个非常重要的问题。第一种通用MV求逆算法是基于MV的矩阵表示。计算的复杂性和符号形式的答案的大小随着GA维度$n=p+q$呈指数增长。突破发生在D. Lundholm然后P. Dadbeh发现紧凑的逆公式的维数$n\le5$。这些公式以初始MV与其精心选择的级反对应项的Clifford积的形式构造。在这份报告中，我们表明，级否定自我产品的方法可以扩展到超过$n=5$阈值，如果此外，适当构造的线性组合，这样的MV产品使用。特别是，我们提出了紧凑的明确MV逆公式的向量空间维数$n=6$代数，并表明，他们包括所有低维的情况下，以及。为了方便读者，我们还给出了当$n\le5$时，各种MV公式的等级否定形式。
2018-03-14 math-ph math.MP
Coordinate-free exponentials of general multivector (MV) in Cl(p,q) algebras for p+q=3
在实Clifford几何代数Cl（0，3），Cl（3，0）$，Cl（1，2）和Cl（2，1）中，当指数是最一般的多向量时，得到了指数函数在无坐标形式下的封闭形式表达式.解决这个问题的主要困难是与矢量和双矢量分量的纠缠或混合有关。解纠缠后，得到的公式简化为著名的Moivre型三角/双曲函数的向量或双向量指数。这些公式在遗传算法微分方程的求解、信号处理、自动控制和机器人学中有广泛的应用。
2021-08-03 math-ph math.MP
A note on solution of $ax+xb=c$ by Clifford algebras
讨论了当$p+q\le 3$为Clifford代数$Cl_{p,q}$时多向量方程$ax+xb=c$的无坐标解.
2019-02-25 math-ph math.MP math.RA
On Rank of Multivectors in Geometric Algebras
该研究在任意维度Clifford几何代数中，仅用几何代数运算、结合特征多项式概念与SVD方法定义了多重向量的秩，成果可应用于计算机科学、工程、物理等多领域的几何代数相关场景。
2025-04-28 math-ph math.MP math.RA
Euclidean Clifford Algebra
设$V$是$n$维实向量空间.本文对$V,$上给定的欧氏结构引入了\emph{euclidean} Clifford代数$\mathcal{C\ell}(V,G_{E})$的概念，即，对$(V,G_{E})$，其中$G_{E}$是$V$的欧几里德度量（也称为欧几里德标量积）。我们的$\mathcal{C\ell}(V,G_{E})$结构被设计成一个强大的计算工具。我们开始介绍的概念，\emph{multivectors}在$V.$这些对象是一个线性空间的元素，在实数域，表示为$\bigwedge V.$。我们还介绍了，外部和欧几里德标量积的多向量的概念。这允许在$\bigwedge V,$上引入两个\emph{contraction operators}和欧几里得\emph{interior}代数的概念。有了这些概念，欧氏Clifford积就很容易被引入。我们用相当多的细节计算出了几个重要的恒等式和有用的公式，以帮助读者发展关于这个问题的技能，为阅读本系列的以下论文做好准备。
2002-12-18 math-ph math.MP
Grade free product formulae from Grassmann Hopf gebras
在Clifford代数的传统方法中，Clifford积是通过递归应用一个向量（生成元的跨度）在齐次（即可分解（格拉斯曼），多向量和上的乘积来计算的，后来通过双线性扩展。Hestenesian的“点”积，扩展了单向量标量积，甚至更糟糕，有标量的例外，并且需要在不同的时间应用等级运算符。此外，多重向量阶不是一般的Clifford代数概念。在几何应用中，如果必须计算相交、连接或收缩，则情况变得更糟。从自然分次的Grassmann霍普夫代数出发，推导出乘积的一般公式：相遇和连接、相遇和共连接、左/右收缩、左/右共收缩、Clifford和coClifford乘积。这些乘积公式对任意双线性形式的Clifford代数的任意阶数和任意非齐次多向量因子都是有效的，包括非对称和退化形式。我们推导出三个著名的Chevalley公式作为我们的方法的专业化，并将显示合作Chevalley公式。Rota-Steinclifford化是Chevalley变形的推广。我们的乘积公式基于不变理论，不依赖于表示/矩阵，计算效率很高。该方法也适用于辛Clifford代数。
2002-08-13 math-ph math.MP math.RA
Clifford algebra-parametrized octonions and generalizations
通过引入Cl（0，7）的多向量与八元数之间的乘积，得到一个八元数，并在特定情况下得到非结合的标准八元数乘积，我们推广了八元数X-乘积和XY-乘积，并结合了7-球面上切丛上玻色子场和费米子场的变换规则.我们还提出了必要的形式主义，以构建Clifford代数参数化八元数。最后，我们介绍了一种构造广义八元数代数的方法，其中它们的八元数单位由任意Clifford多向量参数化。Clifford多向量和八元数之间的产品，导致一个八元数，示出共享分级关联，超对称性质。我们还调查了推广的Moufang身份，为每一个产品介绍。X-积等于由挠率张量给出的平行化挠率的两倍，并用于研究S7卡茨-穆迪代数。X-积也被用来获得三度映射和G2作用，它自然地导致了显着的几何和拓扑性质，例如十维中的Hopf纤维化和扭量形式主义。八元数在寻求统一中的重要性是基于这样的事实，例如，通过将除代数值超代数扩展到八元数，在D=11中可以构造一个八元数广义庞加莱超代数，即所谓的八元数M-代数，它描述了八元数M-理论，其中八元数超2-膜和八元数超5-膜扇区被证明是等价的。此外，八元数形式主义还有其他广泛的推广和应用，如四元数和八元数旋量的分类和伪八元数形式主义。
2006-03-21 math-ph math.MP math.QA
Clifford geometric algebra: Real and complex spinor data tables
本文利用现代代数概念构建了实与复系数Clifford代数多重向量的旋量表，通过Mathematica计算并完整呈现了包含初始幂等元、理想、旋量基及矩阵表示等七项数据，扩展了1998年仅发表前四项的早期研究。
2024-12-19 math-ph math.MP
Metric Clifford Algebra
本文引入了度量Clifford代数$\mathcal{C\ell}(V,g)$的概念，其中$n$维实向量空间$V$被赋予了一个度量扩张子$g$，其签名为$(p,q)$，具有$p+q=n$ . $\mathcal{C\ell}(V,g)$上的度量Clifford积表现为$\mathcal{C\ell}(V)$上的欧氏Clifford积的定义良好的\emph{deformation}（由$g$诱导）。与度量伸缩子$g,$相关联的是规范度量伸缩子$h$，其将刚刚包含在$g.$中的所有几何信息编码。这里确定这种$h$的精确形式。此外，我们提出并证明了所谓的\emph{golden formula,}，这是很重要的，在许多应用中，自然出现在我们的研究多向量函数，微分几何和理论物理。
2002-12-16 math-ph math.MP
Quregisters, symmetry groups and Clifford algebras
三维实线性空间上的Clifford代数包括它的线性结构和它的外代数，由同次多向量张成的子空间决定了Clifford代数的一个阶。通过这些几何概念，从$\mbox{SO}(3)$到$\mbox{SU}(2)$的自然一对一和二对一同态被常规地构建，并且量子位的集合被标识为$\mbox{SU}(2)$的子组。这些构造适合于推广到相应的张量幂。量子比特、量子寄存器和量子门的概念被翻译成对称群的语言。希尔伯特空间张量积中纠缠态的对应元素。在对称群的张量积中实现纠缠的概念。
2016-02-22 math-ph math.MP quant-ph
On SVD and Polar Decomposition in Real and Complexified Clifford Algebras
本文提出在任意维度与符号的非退化实与复化 Clifford 几何代数中，仅用代数运算实现任意多重向量的奇异值分解（SVD）与极分解，并定义了相关结构，为计算机科学、工程和物理等领域的应用提供基础。
2024-04-18 math-ph math.MP math.RA
Square roots of complexified quaternions
Center for Physical Sciences and Technology, Semiconductor Physics Institute（物理科学和技术中心，半导体物理研究所）；Institute of Theoretical Physics and Astronomy, Vilnius University（维尔纽斯大学理论物理与天文研究所）
研究复数化四元数的平方根，包括汉密尔顿四元数、共四元数、内克托因和共内克托因，通过克莱因代数的三维多向量同构性分析其根形式。
2026-03-16 math-ph math.MP
Clifford algebra is the natural framework for root systems and Coxeter groups. Group theory: Coxeter, conformal and modular groups
在本文中，我们证明了Clifford代数是根系和反射群以及相关群如共形群和模群的自然框架：存在于这些空间上的度量总是可以用来构造相应的Clifford代数。通过Cartan-Dieudonné定理，所有感兴趣的变换都可以写成反射的乘积，从而通过与Clifford代数多向量的“重叠”。这些多向量群可以用于在不同的群中执行具体的计算，例如各种类型的多面体群，并且我们详细地处理四面体群$A_3$的例子。顺便说一句，这给出了一个建设性的结果，从每个3D根系中导出一个四维根系，这取决于以下事实：旋量组提供了旋转的双重覆盖，3D旋量空间具有4D欧几里得内积，并且相对于这个内积，旋量组可以被示出为在反射下闭合。特别是4D根系/Coxeter群诱导以这种方式正是例外的，与三维旋的观点也解释了他们不寻常的自同构群。这种结构简化了阿诺德的三位一体，并把麦凯对应到一个更广泛的框架。我们最后讨论了将共形几何代数方法推广到二维共形群和模群，这在共形场论、弦论和模形式理论中可能有有趣的新应用。
2016-02-18 hep-th math-ph math.GR
On Lie Groups Preserving Subspaces of Degenerate Clifford Algebras
HSE University（莫斯科大学）；Institute for Information Transmission Problems of the Russian Academy of Sciences（俄罗斯科学院信息传输问题研究所）
本文研究了保持退化克莱因代数子空间的李群及其代数，探讨其与海森堡群的关系及在等变神经网络中的应用。
2026-01-12 cs.LG math-ph math.MP
Relativity in Clifford's Geometric Algebras of Space and Spacetime
在各种形式主义发展来处理相对论现象，那些基于克利福德的几何代数是特别适合明确的几何解释和计算效率。本文研究了闵可夫斯基空间的时空代数（STA）Cl{1，3}和物理空间代数（APS）Cl{3}中的狭义相对论公式之间的关系。STA适合于相对论的绝对表述，其中路径，场和其他物理性质具有独立于任何其他物理性质的表示。APS中的描述通过从APS到STA的偶数子代数STA+的元素的一对一映射而相关。通过这种映射，APS中的回复对应于STA中的厄密共轭。STA+的元素是计算物理可测量量所需的全部，因为只有它们才需要任何物理测量中固有的观察者依赖性。因此，每一个可以在STA中建模的相对论性物理过程在APS中也有表示，反之亦然。在两个或两个以上的惯性观察员的存在下，两个版本的APS呈现自己。在绝对版本中，到STA+的映射和厄米共轭都是依赖于观察者的，并且适当的基向量是扫过类时平面的持久向量。在相对版本中，映射和厄密共轭对所有观察者都是相同的。相对APS给出了相对论物理的协变表示，时空多矢量由多副矢量表示。我们涉及的两个版本的APS作为一致的模型在同一代数。
2004-05-07 math-ph math.MP
Rank-3 root systems induce root systems of rank 4 via a new Clifford spinor construction
在本文中，我们表明，通过一种新的建设，每秩3根系诱导一个根系秩4。通过Cartan-Dieudonné定理，偶数个连续的Coxeter反射产生旋转，在Clifford代数框架中由旋量描述。在三维中，这些旋量本身具有自然的四维欧几里得结构，因此离散的旋量群可以被解释为4D多面体。事实上，我们表明，这些多面体必须是根系统，从而导致考克斯特群的秩4，和他们的自同构群包括两个因素的各自的离散旋量组平凡地作用在左边和右边的旋量乘法。这个一般定理的特殊情况包括特殊的四维群$D_4$，$F_4$和$H_4$，因此打开了一个新的理解这些结构的应用在旋几何。特别是，4D群在高能物理中无处不在。对于二维中的相应情况，群$I_2(n)$被证明是自对偶的，而通过八元数的类似构造，每个秩3的根系在8维中诱导一个根系;这个根系实际上是相应诱导的4D根系的两个副本的直和。
2016-02-18 hep-th math-ph math.MP
Clifford spinors and root system induction: $H_4$ and the Grand Antiprism
最近的工作表明，每一个三维根系允许建设一个相应的四维根系通过“归纳定理”。在本文中，我们看在二十面体的情况下，$H_3\rightarrow H_4$的详细和执行的计算明确。Clifford代数用于基于Versor定理和Cartan-Dieudonné定理执行群论计算，给出Pin和Spin覆盖的简单构造。通过归纳定理将这种联系与$H_3$联系起来，可以阐明$H_4$根系（$600$ -细胞）的几何方面，以及其他相关的多面体及其对称性，如著名的大反棱柱和snub 24-细胞。从3D的根系的统一建设和统一的程序分裂根系相对于subrootsystems到单独的不变集允许进一步系统的洞察到潜在的几何形状。所有的计算都在Cl（3）的偶子代数中进行，包括Coxeter平面的构造，它用于可视化不变多面体的互补对，并作为补充计算工作表共享。因此，这种方法构成了一个更系统和一般的方式执行计算有关的群体，特别是反射群和根系，在克利福德代数框架。
2021-04-10 hep-th math-ph math.GR
Clifford algebra unveils a surprising geometric significance of quaternionic root systems of Coxeter groups
秩为3和4的Coxeter（反射）群以及E_8的Coxeter（反射）群的四元数表示在文献中得到了广泛的应用。本文分析了这样的考克斯特群的克利福德几何代数框架，它提供了一个简单的方法来执行反射和旋转，同时更清楚地揭示了底层的几何。克利福德方法表明，四元数表示实际上有非常简单的几何解释。秩为3的群A_1xA_1xA_1，A_3，B_3和H_3用纯四元数表示为确定Coxeter群反射面的Hodge对偶根向量。两个连续的反射导致旋转，由两个反射向量的几何积描述，给出Clifford旋量。秩为3的群A_1xA_1xA_1，A_3，B_3和H_3的旋量给出了二元多面体群的一个新的简单构造。这些又生成秩为4的群A_1 x A_1 x A_1 x A_1，D_4，F_4和H_4，它们广泛使用的四元数表示被证明是伪装的旋量。因此，Clifford几何积实际上是从秩3群导出秩4群。特别是D_4，F_4和H_4群是特殊的结构，我们的研究对它们有新的认识。
2012-05-07 hep-th math-ph math.MP
Root systems & Clifford algebras: from symmetries of viruses to $E_8$ & ADE correspondences
在本文中，我们将讨论反射群和根系，特别是非结晶的，和Clifford代数框架，这两个概念。回顾历史以及最近的工作，病毒衣壳对称性的动机集中在二十面体根系统$H_3$。我们讨论了非晶体学基团的仿射扩展概念及其在富勒烯和病毒中的应用。病毒衣壳内核酸的二十面体有序组分和两者之间的相互作用揭示了病毒组装过程，其在抗病毒治疗、药物递送和纳米技术中具有有趣的应用。Clifford代数框架是非常自然的，因为它精确地使用了在这个根系统和反射群上下文中已经隐含的结构，即具有内积的向量空间。此外，它提供了一个独特的简单反射公式，群变换的双重覆盖，以及对几何的更多洞察，例如Coxeter平面的几何。这种方法使得一系列的根系归纳证明成为可能，例如从$H_3$构造$E_8$和从3D根系构造特殊的4D根系。这使得阿诺德所谓的三位一体（三个例外情况的集合）之间有了明确的各种联系。事实上，这进一步推广，因为归纳结构包含额外的情况下，即两个无限家庭的情况。因此，它实际上产生了三组不同数学概念之间的PDMATHAMO对应关系，这些概念通常被分别认为是多面体、$SU(2)$的子群和$ADE$李代数。在这里，我们通过将它们视为三组不同的根系，以明确和统一的方式将它们联系起来。
2022-04-12 math-ph math.GR math.MP
Deformed Clifford Cl_q(n|m) and orthosymplectic U_q[osp(2n+1|2m)] superalgebras and their root of unity representations
证明了Clifford超代数Cl（n| m个由m对玻色算符（奇元）与n对费米算符（偶元）反交换生成的C1_q（n| m），使得后者是量子超代数U_q[osp（2n+1）]的同态像|2m）]。Fock空间F（n| Cl_q（n）的m| m）已建成。当q是单位根时（q= \exp（{iπl/k}）），q-玻色子（和q-费米子）是作用在有限维子空间F_{l/k}（n）中的算子|F（n）|m）。每个F_{l/k}（n| m）通过上述同态化为一个不可约（单位根）U_q[osp（2n+1| 2 m）]模块。对于q是本原单位根单位根（l=1），相应的表示是酉的。模块F_{1/k}（n| m）分解为不可约U_q[sl（m）]的直和|n）]子模块。U_q[sl（m）]中所有Cartan-Weyl元的矩阵元|n）]在每个这样的子模块中给出。
2002-10-22 hep-th math-ph math.MP
The $E_8$ geometry from a Clifford perspective
本文认为几何的$E_8$从克利福德的角度来看，在三个互补的方式。首先，在早期的工作中，我已经展示了如何使用Clifford技巧从3D根系构造四维例外根系，通过在3D Clifford代数的4D偶子代数中构造它们;例如二十面体根系$H_3$产生了最大的（因此是例外的）非晶体学根系$H_4$。阿诺德的三位一体和麦凯的对应暗示了二十面体和$E_8$之间可能存在间接的联系。其次，在一个相关的构造中，我现在第一次明确了这种联系：在三维空间的8D Clifford代数中，二十面体群$H_3$的$120$元素被$240$ 8分量对象双重覆盖，这些对象被赋予“约化内积”，正是$E_8$的根系。我们以前知道，$E_8$分裂成$H_4$ -不变子空间，我们讨论的折叠结构有关的两个图片。这种折叠是一个部分版本的一个用于建设的Coxeter平面，所以第三，我们讨论几何的Coxeter平面的Clifford代数框架。我们主张完全因式分解的Coxeter versor的Clifford代数到双向量的指数描述旋转正交平面的旋转角度给出正确的指数，这给了更多的几何洞察力比通常的方法复杂化和搜索复杂的特征值。特别是，我们明确地找到这些factorisations的二维，三维和四维根系，$D_6$以及$E_8$，其Coxeter versor factorises作为$W=\exp(\fracπ{30}B_C)\ex…
2016-02-18 hep-th math-ph math.GR
Cubic root of Klein-Gordon equation
利用Klein-Gordon算子的三次多项式的Clifford代数乘以质量参数，构造了推广Dirac方程的$d$维相对论线性微分方程.与狄拉克的情况不同，在狄拉克的情况下，自旋内容是唯一的，洛伦兹协方差是明显的，这里的自旋以及洛伦兹协方差的理论是与选择的代表性的克利福德代数。所考虑的显式矩阵表示之一，在$d=1+1$中产生任意子类场。讨论了与U（1）规范场的耦合，并与狄拉克理论进行了比较。
2000-02-02 gr-qc hep-ph hep-th
Machine Learning Clifford invariants of ADE Coxeter elements
Stony Brook University（石溪大学）；University of Leeds（利兹大学）；London Institute for Mathematical Sciences（伦敦数学科学研究所）；City, University of London（伦敦城市大学）；Queen Mary University of London（伦敦玛丽女王大学）
本文利用高性能计算穷举计算 A8、D8 和 E8 的 Coxeter 变换的 Clifford 不变量，通过神经网络分类和主成分分析实现高精度机器学习，揭示新型几何不变量间关系。
2024-05-26 cs.LG hep-th math-ph
Finite-dimensional representations of the symmetry algebra of the dihedral Dunkl--Dirac operator
Dunkl-Dirac算子是Dirac算子通过Dunkl导数的变形。本文研究了由与Dunkl-Dirac算子及其对偶符号超交换的元素生成的对称代数。这种对称代数是实现内部的张量积的Clifford代数和合理的Cherednik代数与反射群或根系。对于秩为3的可约根系，我们确定了所有不可约的有限维表示和酉性条件。多项式解决方案的Dunkl-Dirac方程作为一个家庭的实现，这样的不可约酉表示。
2021-11-03 math-ph math.MP math.RT
A Clifford algebraic framework for Coxeter group theoretic computations
具有反射和旋转对称性的真实物理系统，如病毒、富勒烯和准晶体，最近已经成功地用三维（仿射）Coxeter群建模。受此进展的启发，我们在这里探索在几何代数框架中执行相关计算的好处，该框架特别适合于描述反射。从考克斯特发电机的反射，我们描述了如何相关的手征（旋转），充分（考克斯特）和二元多面体群可以很容易地产生和处理在一个统一的方式在一个versor形式主义。特别地，这产生了二元多面体群作为离散旋量群的简单构造。这些又被称为生成四维李群和考克斯特群，特别是例外群D_4，F_4和H_4。克利福德代数的方法，从而揭示了一个意想不到的连接之间的考克斯特群的秩3和4。我们将讨论如何将这些考虑和计算扩展到共形几何代数的设置，特别是对于非晶体组，并构建根系和准晶点阵列。最后，我们以二维非晶体Coxeter群I_2（n）和三维群A_3，B_3以及二十面体群H_3为例，说明了Clifford变换框架是如何阐明Coxeter元和Coxeter平面的几何的。
2013-07-26 cond-mat.mtrl-sci hep-ph hep-th
Dirac reduction algebra
本文研究正交辛李超代数$\frak{osp}(1|2)$到Weyl-Clifford超代数$W(2n|n)$的同态诱导的Dirac约化代数$Z_n$，给出其局部化的完备表现，并利用该代数生成$n$维平直时空中无质量Dirac方程的所有多项式解。
2025-07-29 math-ph math.MP math.RT
